1．在數(shù)列中，，則（ ）
A．B．C．16D．32
2．已知直線在軸上的截距是，其傾斜角是直線的傾斜角的2倍，則（ ）
A．B．C．D．
3．頂點在原點，關(guān)于軸對稱，并且經(jīng)過點的拋物線方程為（ ）
A．B．C．D．
4．已知等差數(shù)列的前項和為，若，則的最大值為（ ）
A．2B．4C．6D．8
5．已知數(shù)列中，，則數(shù)列前2024項的和為（ ）
A．0B．1012C．2024D．4048
6．《九章算術(shù)》中有問題：“今有蒲生一日，長三尺，莞生一日，長一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是說今有蒲第一天長高三尺，莞第一天長高一尺，以后蒲每天長高為前一天的一半，莞每天長高為前一天的兩倍，要使莞的長度大于蒲的長度（蒲與莞原先的長度忽略不計），需要經(jīng)過的時間最少為（ ）
A．3天B．4天C．5天D．6天
7．記曲線圍成的平面圖形的面積為，曲線圍成的平面圖形的面積為，則（ ）
A．B．C．16D．
8．已知拋物線的準(zhǔn)線交軸于點，過點作直線交于兩點，且，則直線的斜率是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．下列數(shù)列中，為遞增數(shù)列的是（ ）
A．B．C．D．
10．如圖，在正方體中，為底面的中心，分別為的中點，點滿足，則（ ）
A．平面B．平面
C．D．四點共面
11．已知為圓上任意一點，，線段的垂直平分線交直線于點，記點的軌跡為曲線，設(shè)在曲線上，且，則（ ）
A．曲線的方程為
B．曲線的離心率為
C．經(jīng)過且與曲線只有一個公共點的直線恰有兩條
D．四邊形面積的最小值為8
三、填空題（本大題共3小題）
12．如圖，若三棱柱的所有棱長都是，是棱的中點，則兩點之間的距離等于 ．
13．若數(shù)列滿足，且為其前項和，則的最小值為 .
14．已知拋物線為拋物線上任意一點，過點向圓作切線，切點分別為，則的最小值為 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知是數(shù)列的前項和，若是等差數(shù)列，．
(1)求；
(2)求數(shù)列的通項公式．
16．如圖，在三棱臺中，平面是邊長為2的正三角形，．
(1)求證：；
(2)求與平面所成角的正弦值．
17．已知橢圓的離心率為，左焦點為是上任意一點，且的最大值為3．
(1)求的方程；
(2)設(shè)的右頂點為，直線的方程為，若直線交于兩點，求證：直線的斜率之和為，
18．設(shè)為拋物線的焦點，為上三個不同的點，且，．
(1)求的方程；
(2)設(shè)過點的直線交于兩點．
①若直線交圓于兩點，其中位于第一象限，求的最小值；
②過點作的垂線，直線交于兩點，設(shè)線段的中點分別為，求證：直線過定點．
19．對于各項均為正數(shù)的無窮數(shù)列，若，都有，其中為非零常數(shù)，則稱數(shù)列是數(shù)列.
(1)判斷無窮數(shù)列和是不是數(shù)列？若是，求出相應(yīng)的常數(shù)的值；若不是，請說明理由；
(2)若是數(shù)列，且，
①記的前項和為，求證：；
②對任意的正整數(shù)，設(shè)，求數(shù)列的前項和.
答案
1．【正確答案】D
【詳解】，則，
則是公比為2的等比數(shù)列，
∴，
故選：D．
2．【正確答案】A
【詳解】由直線在軸上的截距是，則直線過，可得，解得；
由直線，設(shè)該直線的傾斜角為，則，解得，
設(shè)直線的傾斜角為，斜率為，
由，則，
由，則，解得.
故選：A.
3．【正確答案】C
【詳解】依題意，設(shè)拋物線方程為，
將代入得，則，
所以所求拋物線方程為.
故選：C.
4．【正確答案】B
【詳解】是等差數(shù)列，則，，
要使得最大，則，
此時，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
故選：B．
5．【正確答案】C
【詳解】由題意可得，，，，，…
則可得下表：
易知數(shù)列存在周期性，最小正周期為，
由，則.
故選：C.
6．【正確答案】A
【詳解】由題意，蒲第一天長高三尺，以后蒲每天長高前一天的一半，
所以蒲生長長度構(gòu)成首項為，公比為的等比數(shù)列，
其前項和為，
又由莞第一天長高一尺，每天長高前一天的兩倍，
則莞生長長度構(gòu)成首項為，公比為的等比數(shù)列，
其前項和為，
由題意得，即，則，
令，則，，解得，即，
又，，所以需要經(jīng)過的時間最少為3天.
故選.
7．【正確答案】D
【詳解】對于曲線，
當(dāng)，時，曲線；
當(dāng)，時，曲線；
當(dāng)，時，曲線；
當(dāng)，時，曲線；
因為，所以，不同時為0，
畫出曲線的大致圖象，如圖，
則曲線圍成的面積可分割為一個邊長為的正方形和四個半徑為的半圓，
故面積為，故A正確；
對于曲線，
當(dāng)，時，曲線；
當(dāng)，時，曲線；
當(dāng)，時，曲線；
當(dāng)，時，曲線；
則曲線圍成的面積為上圖虛線圍成的邊長為的正方形，
故面積為，
所以.
故選：D.
8．【正確答案】B
【詳解】因為拋物線的準(zhǔn)線為，所以，
因為直線l交E于兩點，所以直線l的斜率存在且不為0，
故可設(shè)直線l的方程為，，，
聯(lián)立，消去y得，
所以，即，，，
因為，所以，得，
聯(lián)立，解得或，
所以，滿足.
故選：B.
9．【正確答案】AD
【詳解】對于A.，所以，
所以為遞增數(shù)列，故A正確；
對于B，，所以為遞減數(shù)列，故B錯誤；
對于C，因為，則，，所以不單調(diào)，故C錯誤；
對于D，，所以，所以為遞增數(shù)列，故D正確.
故選：AD.
10．【正確答案】ABD
【詳解】以為坐標(biāo)原點，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
不妨設(shè)正方體棱長為2，則,,，
則，，，，
設(shè)平面的法向量，則，
令，則，即，
因為，且平面，所以平面，故A正確；
因為，平面，所以平面，故B正確；
因為，，，，
所以，故C錯誤；
因為，
所以，即，
所以，，所以，
所以，所以四點共面，故D正確.
故選：ABD
11．【正確答案】AC
【詳解】對于A，圓：的圓心為，半徑，
因為線段的垂直平分線交直線于點M，則，
所以，
所以點M的軌跡是以，為焦點的雙曲線，其中，，
所以，所以曲線H的方程為，故A正確；
對于B，因為，，所以該雙曲線的離心率為2，故B錯誤；
對于C，當(dāng)直線的斜率不存在時，經(jīng)過且與曲線H相切的直線是，符合題意；
當(dāng)直線斜率存在時，經(jīng)過的直線與曲線H的漸近線平行時，也滿足條件，
所以符合條件的直線恰有兩條，故C正確；
對于D，因為，，則A，B分別在兩支上，
且A，B都在x軸上方或x軸下方，不妨設(shè)都在x軸上方，
又，則A在第二象限，B在第一象限，
如圖所示，延長交雙曲線于點N，延長交雙曲線于點Q，
由對稱性知四邊形為平行四邊形，且面積為四邊形面積的2倍.
由題設(shè)，直線AN的方程為，直線BQ的方程為，
聯(lián)立消去x并整理得，且，
，，，
易得
，
因為，所以，所以，
兩條直線AN與BQ間的距離，
所以，
令，，所以，
因為在上單調(diào)遞減，且，
所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)即時，取得最小值為12，故D錯誤.
故選：AC.
12．【正確答案】
【詳解】三棱柱的所有棱長都是，
，
，
則
，
所以兩點之間的距離等于.
故
13．【正確答案】
【詳解】令，解得，
所以數(shù)列中，只有，為負(fù)數(shù)，
所以的最小值為或或，
又，，
，，
，，
則，所以的最小值為.
故答案為.
14．【正確答案】
【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，則圓心為，半徑為，
設(shè)，，所以，
.
所以的最小值為.
故答案為.
15．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設(shè)，由數(shù)列是等差數(shù)列，即數(shù)列為等差數(shù)列，則設(shè)公差為，
由，則，
由，即，，即，
則，，
由，可得，解得，
所以等差數(shù)列的首項為，公差為，可得，即，.
（2）當(dāng)時，，符合題意；
當(dāng)時，，
將代入上式，可得也適合，
所以.
16．【正確答案】(1)證明見詳解
(2)
【詳解】（1）如圖，取的中點，連接，.
，，則是平行四邊形，
故，結(jié)合平面，則平面；
而平面，故，
是等邊三角形的中線，.
和在平面內(nèi)，且，所以平面；
平面，故.
（2）中已證，平面，且，故，與兩兩垂直，
可分別以，和為軸，軸，軸正向，建立空間直角坐標(biāo)系：
，，,，，，；
設(shè)平面的一個法向量為，則，即令，可求得.
根據(jù)線面角的定義，所求角的正弦值即為與所成角的余弦值的絕對值，
，將坐標(biāo)代入計算得：，，，
.
故與平面所成角的正弦值為.
17．【正確答案】(1)；
(2)證明見解析．
【詳解】（1）由題意．解得，則，
所以橢圓方程為；
（2）設(shè)，又，
由得，
則，，
所以
.
18．【正確答案】(1)
(2)①；②證明見解析
【詳解】（1）由拋物線，則，準(zhǔn)線方程為，
由為上三個不同的點，設(shè)，
則，
由，則，
由，
且，則，
所以，解得，故橢圓的方程為.
（2）①由題意作圖如下：
由，整理可得，則圓心為F1,0，半徑，
當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，代入拋物線，解得，則，
將代入圓，解得，則，
所以，此時；
當(dāng)直線的斜率存在時，由題意可得，直線的方程可設(shè)為，設(shè)
聯(lián)立可得，消去整理可得，
，，
易知，，
所以，
由，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
綜上所述，的最小值為.
②證明：由題意可作圖如下：
由題意可知直線的斜率存在且不為零，可設(shè)該直線方程為，
由①可得，設(shè)，則，
由直線垂直直線，且垂足為，則該直線方程為，
聯(lián)立，消去整理可得，
，
設(shè)，則，
設(shè)，且線段的中點分別為，
則，，
，，
當(dāng)時，直線斜率存在，直線的斜率，
可得方程為，則，
整理可得，
令，解得，所以直線過定點.
當(dāng)時，直線斜率不存在，易知，
直線DE的方程為，此時直線過；
綜上所述，所以直線過定點.
19．【正確答案】(1)是數(shù)列，；不是數(shù)列
(2)①證明見解析；②
【詳解】（1）對于無窮數(shù)列，
有，
所以是數(shù)列，相應(yīng)的常數(shù)；
對于無窮數(shù)列，
有，
，
即，
所以不是數(shù)列.
（2）①因為是數(shù)列，且，
所以，又，
所以是首項和公差都為的等差數(shù)列，
故，則，
故，，
從而
，
因為，所以，則，
所以，即；
②當(dāng)n為奇數(shù)時，，
當(dāng)n為偶數(shù)時，，
所以，
而，
則，
兩式相減，得，
，
所以，
因此.
所以數(shù)列的前2n項和為.

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