1．直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
2．若 ， ，，且 三點(diǎn)共線，則（ ）
A．－2B．5C．10D．12
3．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，則（ ）．
A．B．C．D．
4．某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對(duì)住房戶型結(jié)構(gòu)的滿意率分別如圖1和圖2所示，為了解該小區(qū)戶主對(duì)戶型結(jié)構(gòu)的滿意程度，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取的戶主作為樣本進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的戶主對(duì)四居室滿意的人數(shù)分別為（ ）

A．400，32B．400，36C．480，32D．480，36
5．如圖，在三棱錐中，是的中點(diǎn)，若，，，則等于（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，則“”是“直線與直線垂直”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
7．若數(shù)據(jù)、、?的平均數(shù)是5，方差是4，數(shù)據(jù)、、?、的平均數(shù)是4，標(biāo)準(zhǔn)差是，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
8．如圖，在四棱錐中，平面，，，則點(diǎn)到直線的距離為（ ）
A．B．
C．D．4
9．如圖所示，在平行六面體中，，，，，，則的長為（ ）

A．B．C．D．
10．如圖，已知正方體的棱長為1，分別是棱上的中點(diǎn).若點(diǎn)為側(cè)面正方形內(nèi)（含邊）動(dòng)點(diǎn)，且存在使成立，則點(diǎn)的軌跡長度為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題（本大題共5小題）
11．已知空間向量，若，則實(shí)數(shù) ， .
12．直線l、m的方向向量分別為、，則直線l、m的夾角為 ．
13．已知空間三點(diǎn)，則在上的投影向量坐標(biāo)為 .
14．已知兩點(diǎn)A（1，﹣2），B（2，1），直線l過點(diǎn)P（0，﹣1）與線段AB有交點(diǎn)，則直線l斜率取值范圍為 ．
15．如圖，在正方體中，E為棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)沿著棱DC從點(diǎn)D向點(diǎn)C移動(dòng)，對(duì)于下列三個(gè)結(jié)論：
①存在點(diǎn)P，使得；
②的面積越來越??；
③四面體的體積不變.
所有正確的結(jié)論的序號(hào)是 .
三、解答題（本大題共6小題）
16．（1）經(jīng)過點(diǎn)，且與直線垂直的直線一般式方程.
（2）求過點(diǎn)，且與直線平行的直線的一般式方程；
（3）求過點(diǎn)，且在軸上的截距與在軸上的截距之和為2的直線斜率.
17．對(duì)某校高三年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取M名學(xué)生，得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)，根據(jù)此數(shù)據(jù)作出如下頻率分布表和頻率分布直方圖．
(1)求出表中M，p及圖中a的值；
(2)若該校有高三學(xué)生300人，試估計(jì)該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)；
(3)估計(jì)該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)的眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)．（保留一位小數(shù)）
18．文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱號(hào)，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要?jiǎng)?chuàng)造者，某市為提高市民對(duì)文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識(shí)，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識(shí)競賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：40,50，，得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求頻率分布直方圖中的值；
(2)求樣本成績的第75百分位數(shù)；
(3)已知落在50,60的平均成績是54，方差是7，落在60,70的平均成績?yōu)?6，方差是4，求兩組成績的總平均數(shù)和總方差.
19．如圖，在長方體中，，和交于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB的中點(diǎn).
(1)求證：∥平面；
(2)再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求
（i）平面CEF與平面BCE的夾角的余弦值；
（ii）點(diǎn)A到平面CEF的距離.
條件①：；
條件②：直線與平面所成的角為.
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
20．已知底面是平行四邊形，平面，，，，且.
(1)求證：平面平面；
(2)線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值是.若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
21．已知集合，對(duì)于，，定義與的差為；與之間的距離為.
（1）若，試寫出所有可能的，；
（2），證明：；
（3），三個(gè)數(shù)中是否一定有偶數(shù)？證明你的結(jié)論.
參考答案
1．【答案】D
【詳解】設(shè)斜率為，傾斜角為，
∵，∴，．
故選：D．
2．【答案】C
【詳解】解：由題意，可知直線的斜率存在并且相等，
即，解得 10.
故選：C.
3．【答案】C
【詳解】解：點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，所以；
故選：C
4．【答案】A
【詳解】由圖（1）得該小區(qū)戶主總?cè)藬?shù)為人，
所以樣本容量為人，其中四居室戶主有人，
由圖（2）得抽取的戶主中對(duì)四居室滿意的有人，
故選：A.
5．【答案】C
【詳解】在三棱錐中，是的中點(diǎn)，
則.
故選：C
6．【答案】A
【詳解】充分性：
當(dāng)時(shí)，兩條直線分別為：與
此時(shí)兩條直線垂直
必要性：
若兩條直線垂直，則，解得
故“”是“直線與直線垂直”的充分不必要條件
故選
7．【答案】D
【詳解】根據(jù)題意，設(shè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,標(biāo)準(zhǔn)差為，
數(shù)據(jù)、、?、的平均數(shù)是4,
則，
解得而數(shù)據(jù)的平均數(shù)是5,
可得，由方差公式可得，
，
，
解得，故D正確.
故選：D.
8．【答案】A
【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線分別為x軸、y軸、z軸的非負(fù)半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
故，
故點(diǎn)到直線的距離為.
故選：A.
9．【答案】C
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以，
又，，，，，
所以
所以.
故選：C.
10．【答案】C
【詳解】
因?yàn)槌闪?，所以共面，即平面?br>如圖，取中點(diǎn)，連接、、，
根據(jù)正方體的性質(zhì)得，，，
且，，所以平面平面，
所以點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的軌跡為線段，因?yàn)?，?br>由勾股定理得，
故選：C.
11．【答案】
【解析】根據(jù)空間向量平行的性質(zhì)求解即可.
【詳解】設(shè)，則
即，解得
故答案為：；
12．【答案】60°/
【詳解】∵，
∴，
又∵兩直線夾角范圍是[0°，90°]，
∴直線l、m的夾角為60°．
故答案為：60°．
13．【答案】
【詳解】由三點(diǎn)，
可得，則，
則在上的投影向量坐標(biāo)為.
故答案為：.
14．【答案】
【詳解】如圖所示，直線PA的斜率為，直線PB的斜率為．
由圖可知，當(dāng)直線l與線段AB有交點(diǎn)時(shí)，直線l的斜率．
故答案為：.

15．【答案】①②③
【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，則，，設(shè)（），則，，令，解得：，存在點(diǎn)P，使得，①正確；
，，，，設(shè)點(diǎn)P到直線距離為，則
所以，因?yàn)椋瑒?dòng)點(diǎn)沿著棱DC從點(diǎn)D向點(diǎn)C移動(dòng)，即從0逐漸變到2，隨著的變大，變小，的面積越來越小，②正確；
以為底，高為點(diǎn)P到上底面的距離，因?yàn)椤蔚酌?，所以h不變，所以四面體的體積不變，③正確.
故答案為：①②③
16．【答案】（1）；（2）；（3）或.
【詳解】（1）設(shè)與直線垂直的直線方程為，又該直線過點(diǎn)，
則，解得，
所以所求直線方程為.
（2）設(shè)與直線平行的直線方程為，
又該直線過點(diǎn)，則，解得，
所以所求直線方程為.
（3）顯然直線不過原點(diǎn)，設(shè)其方程為，則，
整理得，即，因此，解得，
而直線，即，其斜率為，
所以所求直線的斜率為或.
17．【答案】(1)，，
(2)144
(3)，18.1，18.3
【分析】（1）借助頻數(shù)、頻率與總數(shù)之間的關(guān)系計(jì)算即可得；
（2）以所得頻率估計(jì)概率計(jì)算即可得；
（3）借助眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的定義計(jì)算即可得.
【詳解】（1）由分組對(duì)應(yīng)的頻數(shù)是10，頻率是0.20，知，所以，
所以，解得，所以，；
（2）估計(jì)該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為；
（3）估計(jì)該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)的眾數(shù)是．
因?yàn)?，所以估?jì)該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)的中位數(shù)x滿足：
，解得，所以該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)的中位數(shù)約為18.1，由，
所以估計(jì)該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)的平均數(shù)是18.3.
18．【答案】(1)
(2)84
(3)總平均數(shù)為；總方差為
【詳解】（1）因?yàn)槊拷M小矩形的面積之和為1，
所以，
則.
（2）成績落在內(nèi)的頻率為，
落在內(nèi)的頻率為，
設(shè)第75百分位數(shù)為m，
由，得，故第75百分位數(shù)為84.
（3）由圖可知，成績?cè)诘氖忻袢藬?shù)為，
成績?cè)诘氖忻袢藬?shù)為，
故這兩組成績的總平均數(shù)為，
由樣本方差計(jì)算總體方差公式可得總方差為：
.
19．【答案】(1)證明見解析
(2)（ⅰ） （ⅱ） 1
【詳解】（1）如圖，連接，，.
因?yàn)殚L方體中,∥且，
所以四邊形為平行四邊形.
所以為的中點(diǎn)，
在中，因?yàn)椋謩e為和的中點(diǎn)，
所以∥.
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以∥平面.
（2）選條件①：.
(ⅰ)連接.
因?yàn)殚L方體中，所以.
在中,因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，
所以.
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)殚L方體中,，
則，，，，，
，.
所以，，.
設(shè)平面的法向量為，
則即
令，則，，可得.
設(shè)平面的法向量為，
則即
令，則，，所以.
設(shè)平面與平面的夾角為 ，
則
所以平面與平面的夾角的余弦值為.
(ⅱ)因?yàn)椋?br>所以點(diǎn)到平面的距離為.
選條件②：與平面所成角為.
連接.
因?yàn)殚L方體中，平面，平面，
所以.
所以為直線與平面所成角，即.
所以為等腰直角三角形.
因?yàn)殚L方體中，所以.
所以.
以下同選條件① .
20．【答案】(1)證明見解析
(2)存在，或.
【詳解】（1）證明：在中，，，，
則，可得，
所以，所以.
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>又因?yàn)?，平面，平面，所以平面?br>因?yàn)?，所以平面?br>又因?yàn)槠矫?，所以平面平?
（2）
是平行四邊形，平面，，，，且.
假設(shè)線段上存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值是，
以為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示，則，
可得，，
設(shè)，
則，所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
令，可得，所以，
設(shè)直線與平面所成角的大小為，
故，
整理得，解得或，所以或.
21．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）一定有偶數(shù)，理由見解析
【解析】（1）由題意結(jié)合新概念可直接得解；
（2）先證明、時(shí)，均有，由新概念運(yùn)算即可得證；
（3）設(shè)，，，由（2）可得，，，設(shè)是使成立的的個(gè)數(shù)，即可得，即可得解.
【詳解】（1）由題意可得，所有滿足要求的，為：
，；
，；
，；
，.
（2）證明：令，，，
對(duì)，
當(dāng)時(shí)，有；
當(dāng)時(shí)，有.
所以
.
（3），，，，，三個(gè)數(shù)中一定有偶數(shù).
理由如下：
設(shè)，，，
，，，
記，由（2）可知: ，
，，
所以中1的個(gè)數(shù)為，中1的個(gè)數(shù)為.
設(shè)是使成立的的個(gè)數(shù)，則.
由此可知，，，三個(gè)數(shù)不可能都是奇數(shù)，
即，，三個(gè)數(shù)中一定有偶數(shù).
2024-2025學(xué)年北京市海淀區(qū)高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試卷（二）
一?選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).
1.如圖所示，用符號(hào)語言可表述為（ ）
A．α∩β=m，n?α，m∩n=AB．α∩β=m，n?α，m∩n=A
C．α∩β=m，n?α，A?m，A?nD．α∩β=m，n?α，A∈m，A∈n
2.△ABC的直觀圖△A'B'C'如圖所示，其中A'B'//x'軸，A'C'//y'軸，且A'B'=A'C'=1，則△ABC的面積為（ ）

A．22B．1C．8D．24
3.已知某圓錐的母線長為4，高為2 3，則圓錐的全面積為( )
A. 10πB. 12πC. 14πD. 16π
4．已知直線a與平面，能使的充分條件是（ ）
① ② ③ ④
A．①②B．②③C．①④D．②④
5.我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中積水深九寸，則平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸）（ ）
A．6寸B．4寸C．3寸D．2寸
6.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是B1D1的中點(diǎn),直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M,則下列結(jié)論正確的是( )
A.A,M,O三點(diǎn)共線B.A,M,O,A1不共面
C.A,M,C,O不共面D.B,B1,O,M共面
7.正四棱錐底面正方形的邊長為4，高與斜高的夾角為30°，則該四棱錐的側(cè)面積為( )
A. 32B. 48C. 64D. 323 3
8.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,F為AD的中點(diǎn),E為棱D1D上的動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),過點(diǎn)B,E,F的平面截正方體所得的截面的形狀不可能是( )
A.四邊形 B.等腰梯形
C.五邊形 D.六邊形
9.正方體ABCD?A1B1C1D1中，若△D1AC外接圓半徑為2 63，則該正方體外接球的表面積為( )
A. 2πB. 8πC. 12πD. 16π
10．如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
①．AC ⊥BE
②．EF//平面ABCD
③．△AEF的面積與△BEF面積相等
④．三棱錐A-BEF的體積為定值
A. ①．②．③ B.①．②．④． C. ②．③．④． D. ①．③．④．
二?填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分.
11.如圖所示，在所有棱長均為1的直三棱柱上，有一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，圍著三棱柱的側(cè)面爬行一周到達(dá)點(diǎn)A1，則爬行的最短路線長為 ．
12．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中點(diǎn)，則在所有的棱中與直線CD和AA1都垂直的直線有______．
13．如圖，在正方體中，，分別是中點(diǎn)，則異面直線與所成角大小為__________.
14．圓錐的底面半徑為，母線與底面成45°角，過圓錐頂點(diǎn)S作截面SAB，且與圓錐的高SO成30°角，則底面圓心O到截面SAB的距離是______.
15.如圖1，在矩形ABCD中，AB=2AD=2，E為AB的中點(diǎn)，將△ADE沿DE折起，點(diǎn)A折起后的位置記為點(diǎn)A1，得到四棱錐A1?BCDE，M為A1C的中點(diǎn)，如圖2.某同學(xué)在探究翻折過程中線面位置關(guān)系時(shí)，得到下列四個(gè)結(jié)論：

①恒有A1D⊥A1E；②恒有BM//平面A1DE；
③三棱錐A1?DEM的體積的最大值為212；④存在某個(gè)位置，使得平面A1DE⊥平面A1CD．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．
三?解答題：本大題共3小題，共40分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16．（本小題13分）如圖，在三棱錐P－ABC中，底面ABC，，D，E分別是AB，PB的中點(diǎn)．
(1)求證：DE//平面PAC；
(2)求證：
17.（本小題13分）如圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，底面ABC為正三角形，側(cè)棱AA1⊥底面ABC.已知D是BC的中點(diǎn)，AB=AA1=2．
(1)求證：平面AB1D⊥平面BB1C1C；
(2)求證：A1C//平面AB1D；
(3)求三棱錐A1?AB1D的體積．
解：(1)證明：因?yàn)椤鰽BC為正三角形，且D是BC的中點(diǎn)，所以
因?yàn)閭?cè)棱AA1⊥底面ABC， ，所以BB1⊥底面ABC．
又因?yàn)? ，所以BB1⊥AD．
而 ，B1B?平面BB1C1C，BC?平面BB1C1C，
所以AD⊥平面BB1C1C.
因?yàn)? ，
所以平面AB1D⊥平面BB1C1C.
(2)證明：連接A1B，設(shè)A1B∩AB1=E，連接DE．
由已知得，四邊形A1ABB1為正方形，則E
因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以 .
又因?yàn)镈E?平面AB1D， ，
所以A1C//平面AB1D.
(3)由(2)可知A1C//平面AB1D，所以A1與 到平面AB1D的距離相等，
所以 ．
由題設(shè)及AB=AA1=2，得 ，且S△ACD= ，
所以三棱錐A1?AB1D的體積為VC?AB1D=VB1?ACD= .
18.（本小題14分）如圖，四棱錐P?ABCD的底面是菱形，側(cè)面PAB是正三角形，M是PD上一動(dòng)點(diǎn)，N是CD中點(diǎn)．

(1)當(dāng)M是PD中點(diǎn)時(shí)，求證：PC//平面BMN；
(2)若∠ABC=60°，求證：PC⊥AB；
(3)在(2)的條件下，是否存在點(diǎn)M，使得PC⊥BM？若存在，求PMMD的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
參考答案
一?選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).
1.【答案】A
【分析】利用圖形，表示為點(diǎn)，線，面的符號(hào)語言.
【詳解】由圖形可知，α∩β=m，n?α，m∩n=A或表示為A∈m，A∈n.
即A正確.
2.【答案】B
【分析】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則將圖還原，平面圖是一個(gè)直角三角形，從而可求出其面積
【詳解】由直觀圖還原平面圖形，△ABC中，AB⊥AC，AB=A'B'=1，AC=2A'C'=2，
所以S△ABC=12×1×2=1．
故選：B．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本題考查圓錐的側(cè)面積和表面積，屬于基礎(chǔ)題．
由勾股定理得出r，進(jìn)而由面積公式得出全面積．
【解答】
解：由題意可知，該圓錐的底面半徑為r= 42?(2 3)2=2，
則圓錐的全面積為π×22+12×(2π×2)×4=12π．
故選：B．
4．【答案】D
【解析】
根據(jù)線面的平行關(guān)系，結(jié)合相關(guān)性質(zhì)，逐個(gè)分析判斷即可得解.
【詳解】
對(duì)①，若，垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面可以相交，故①錯(cuò)誤；
對(duì)②，若，則，平面的平行具有傳遞性，故②正確；
對(duì)③，若，平行于同一直線的兩平面可以相交，故③錯(cuò)誤；
對(duì)④，，垂直于同一直線的兩平面平行，故④正確.
綜上：②④正確，
故選：D.
5.【答案】C
【分析】由題意得到盆中水面的半徑，利用圓臺(tái)的體積公式求出水的體積，用水的體積除以盆的上底面面積即可得到答案.
【詳解】
如圖，由題意可知，天池盆上底面半徑為14寸，下底面半徑為6寸，高為18寸，
因?yàn)榉e水深9寸，所以水面半徑為12×14+6=10寸，
則盆中水的體積為13π×9×62+102+6×10=588π立方寸，
所以平地降雨量等于588ππ×142=3寸.
故選：C.
6.分析：選A.連接A1C1,AC,則A1C1∥AC,所以A1,C1,C,A四點(diǎn)共面.所以A1C?平面ACC1A1.因?yàn)镸∈A1C,所以M∈平面ACC1A1.又因?yàn)镸∈平面AB1D1,所以點(diǎn)M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上.同理點(diǎn)O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上,所以A,M,O三點(diǎn)共線.
7.【答案】A
【解析】【分析】
本題考查四棱錐的側(cè)面積的求法，屬于簡單題．
正四棱錐的高PO，斜高PE，底面邊心距OE組成直角△POE，由此能求出結(jié)果．
【解答】
解：如圖，
正四棱錐的高PO，斜高PE與底面邊心距OE組成直角△POE．
由題知OE=2，∠OPE=30°，
∴斜高PE=OEsin30°=4，
∴S正四棱錐側(cè)=12×BC×PE×4 =12×4×4×4=32．
故選A．
8.分析：選D.不妨設(shè)正方體的棱長為1,
當(dāng)0

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