一、單選題（本大題共8小題）
1．在空間直角坐標系中，與點關于平面對稱的點為（ ）
A．B．C．D．
2．已知直線的方向向量為，平面的法向量為，下列結(jié)論成立的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
3．如圖所示，在平行六面體中，為與的交點，若，則等于（ ）
A．B．
C．D．
4．四面體中，，，，則（ ）
A．B．C．D．
5．已知 ，向量，，，且，，則的值為（ ）
A．－1B．1C．2D．3
6．空間四點共面，但任意三點不共線，若為該平面外一點且，則實數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
7．已知，，，則在上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
8．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，，M為PC上一動點，，若∠BMD為鈍角，則實數(shù)t可能為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知是空間的三個單位向量，下列說法正確的是（ ）
A．若∥，∥，則∥
B．若兩兩共面，則，，共面
C．若是空間的一個基底，則也是空間的一個基底
D．對于空間的任意一個向量，總存在實數(shù)x，y，z使得
10．已知空間向量，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C．與夾角的余弦值為－D．
11．已知空間中三點，，，則下列說法正確的是（ ）
A．與是共線向量B．與同向的單位向量是
C．和夾角的余弦值是D．平面的一個法向量是
三、填空題（本大題共3小題）
12．在正方體中，，則 ．
13．已知，則 .
14．若，，三點共線，則 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知，.
(1)若()∥()，求x，y的值；
(2)若，且，求x的值.
16．如圖，正四面體ABCD(所有棱長均相等)的棱長為1，E，F(xiàn)，G，H分別是正四面體ABCD中各棱的中點，設，，.
(1)用表示，并求EF的長；
(2)求與夾角的大?。?br>17．如圖，在正方體中，分別是的中點．
(1)證明：；
(2)求與所成的角；
18．如圖，正三棱柱中，底面邊長為.
(1)設側(cè)棱長為，求證：；
(2)設與的夾角為，求側(cè)棱的長．
19．如圖所示,ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,M,N,Q分別是PC,AB,CD的中點.
求證:（1）MN∥平面PAD;
（2）平面QMN∥平面PAD.
參考答案
1．【答案】A
【詳解】解：因為點，則其關于平面對稱的點為.
故選：A.
2．【答案】C
【詳解】因為直線的方向向量為，平面的法向量為，
由，可得，所以A不正確，C正確；
對于B中，由，可得或，所以B、D都不正確；
故選：C.
3．【答案】D
【詳解】因為為與的交點，
所以
.
故選：D.
4．【答案】C
【詳解】由題知，，
所以
，
所以，解得，
故選：C
5．【答案】A
【詳解】因為向量，，，
由，則，解得，
由，則，解得，
則.
故選：A.
6．【答案】C
【詳解】解：因為空間，，，四點共面，但任意三點不共線，
則可設，
又點在平面外，則
，
即，
則，
又，
所以，解得，，
故選：C．
7．【答案】B
【詳解】因為，，所以.
因為，所以
故在上的投影向量為
故選：B
8．【答案】D
【詳解】分別以、、為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖所示，
設， ，故，,，,
由可知，，即，
又因為為鈍角，所以，
由,,可知，，
，整理得，
解得，
故選：D.
9．【答案】AC
【詳解】對于選項A：因為是空間的三個單位向量，可知，，都是非零向量，
若∥，∥，則，故A正確；
對于選項B：若，，兩兩共面，可能為空間能作為基底的三個向量，
所以，，不一定共面，故B錯誤；
對于選項C：若，，是空間的一組基底，
假設，，共面，
則存在，使得，
可得，方程組無解，
假設不成立，所以，，不共面，也可以是空間的一組基底，故C正確；
對于選項D：對于空間的任意一個向量，總存在實數(shù)，，，使得，需要不共面，故D錯誤.
故選：AC．
10．【答案】BCD
【詳解】因為，，
所以，
因為，所以向量與不共線，故選項A不正確；
因為，，所以，故選項B正確；
因為，故選項C正確；
因為，所以，即，故選項D正確.
故選：BCD.
11．【答案】BD
【詳解】對于A，，，因為，所以與不是共線向量，故A錯誤；
對于B，，與同向的單位向量是，故B正確；
對于C，，，，所以和夾角的余弦值是，故C錯誤；
對于D，，，設為平面的一個法向量，
則，，令，可得，
所以平面的一個法向量是，故D正確.
故選：BD.
12．【答案】
【詳解】解：在正方體中，因為，，
所以．
故答案為：2.
13．【答案】2
【詳解】由題意可得，
故答案為：2
14．【答案】
【詳解】因為，，三點共線，
所以，即，
所以，解得，即.
故答案為：.
15．【答案】(1)，
(2)
【詳解】（1）∵，，
∴，.
又()∥()，
∴，解得，.
（2）由，得，
∴，∴，即，∴，解得.
16．【答案】(1)，
(2)
【詳解】（1）因為E，F(xiàn)分別為棱BC，AD的中點，且，，，
可得
，
因為正四面體ABCD的棱長為1，則，且，
可得
，
即，所以EF的長為.
（2）由題意得
，
因此
，
即，即與的夾角為.
17．【答案】(1)證明見解析
(2)90°
【詳解】（1）在中，平面，平面,
所以;
（2）取AB中點，連接，因為是CD的中點，所以平行且相等，
又因為,故,
即四邊形是平行四邊形，所以，
設與相交于點H，則是與所成的角或其補角，
因為E是的中點，則，故，
而,則,
則，即與所成的角是；
18．【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）由已知得，，
平面，
，，
又是正三角形，
,
；
；
（2）由（1）得，
又，
，
，
解得，
即側(cè)棱長為.
19．【答案】（1）見解析
（2）見解析
【詳解】(1) 證明:如圖以A為原點,以AB,AD,AP所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系,
設B(b,0,0),D(0,d,0),P(0,0,d),則C(b,d,0),
因為M,N,Q分別是PC,AB,CD的中點,
所以M,N,Q,
所以.
因為平面PAD的一個法向量為m=(1,0,0),
所以·m=0,即⊥m.
因為MN不在平面PAD內(nèi),故MN∥平面PAD.
(2)=(0,-d,0),⊥m,
又QN不在平面PAD內(nèi),又QN∥平面PAD.
又因為MN∩QN=N,所以平面MNQ∥平面PAD
2024-2025學年河南省許昌市長葛市高二上學期9月月考數(shù)學
檢測試題（二）
一、單選題（本大題共8小題）
1．給出下列命題：
①零向量的方向是任意的；
②若兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同；
③若空間向量，滿足，則；
④空間中任意兩個單位向量必相等．
其中正確命題的個數(shù)為（ ）．
A．B．C．D．
2．如圖，在直三棱柱中，E為棱的中點.設，，，則（ ）

A．B．
C．D．
3．對于任意空間向量，，，下列說法正確的是（ ）．
A．若，，則B．
C．若，則，的夾角是鈍角D．
4．設，向量，，，且，，則（ ）．
A．B．C．5D．6
5．我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標系中，過點的直線的一個法向量為，則直線的點法式方程為：，化簡得.類比以上做法，在空間直角坐標系中，經(jīng)過點的平面的一個法向量為，則該平面的方程為（ ）
A．B．
C．D．
6．已知圓錐的母線長為2，表面積為，O為底面圓心，為底面圓直徑，C為底面圓周上一點，，M為中點，則的面積為（ ）．
A．B．C．D．
7．如圖，在棱長為2的正方體中，已知，，分別是棱，，的中點，為平面上的動點，且直線與直線的夾角為，則點的軌跡長度為（ ）
A．B．C．D．
8．在四棱錐中，平面，底面為矩形，.若邊上有且只有一個點，使得，此時二面角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知平面與平面平行，若是平面的一個法向量，則平面的法向量可能為（ ）．
A．B．C．D．
10．在空間直角坐標系中，有以下兩條公認事實：
（1）過點，且以為方向向量的空間直線l的方程為；
（2）過點，且為法向量的平面的方程為．
現(xiàn)已知平面，，，，則（ ）．
A．B．C．D．
11．如圖，正方體的棱長為1，則下列四個命題中正確的是（ ）
A．兩條異面直線和所成的角為
B．直線與平面所成的角等于
C．點到面的距離為
D．四面體的體積是
三、填空題（本大題共3小題）
12．如圖，四棱柱為正方體．
①直線的一個方向向量為； ②直線的一個方向向量為；
③平面的一個法向量為； ④平面的一個法向量為1,1,1．
則上述結(jié)論正確的是 .（填序號）
13．已知空間向量，，，若，，共面，則的最小值為 ．
14．設空間向量是一組單位正交基底，若空間向量滿足對任意的的最小值是2，則的最小值是 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．如圖，在直四棱柱中，，，，E，F(xiàn)，G分別為棱，，的中點，建立如圖所示的空間直角坐標系.

(1)求的值；
(2)證明：C，E，F(xiàn)，G四點共面.
16．如圖，已知平行六面體中，底面是邊長為1的菱形，，
(1)求線段的長；
(2)求證：．
17．已知空間中三點，，．
(1)若向量與平行，且，求的坐標；
(2)求向量在向量上的投影向量；
(3)求以，為鄰邊的平行四邊形的面積．
18．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面內(nèi)過作，交于，連.
(1)求證：平面；
(2)求二面角的正弦值；
(3)在線段上存在一點，使直線與平面所成的角的正弦值為，求的長.
19．將菱形繞直線旋轉(zhuǎn)到的位置，使得二面角的大小為，連接，得到幾何體.已知分別為上的動點且.
(1)證明：平面；
(2)求的長；
(3)當?shù)拈L度最小時，求直線到平面的距離.
參考答案
1．【答案】D
【詳解】零向量是大小為的向量，零向量的方向是任意的，命題①正確；
方向相同，大小相等的空間向量相等，它們的起點不一定相同，終點也不一定相同，命題②錯誤；
若空間向量，滿足，但由于它們的方向不一定相同，故不一定相等，③錯誤；
空間中任意兩個單位向量由于它們的方向不一定相同，故它們不一定相等，④錯誤；
所以正確的命題只有個；
故選：D.
2．【答案】A
【詳解】由題意可得
.
故選：A.
3．【答案】B
【詳解】對于A，若，，則或，故A錯誤；
對于B，由數(shù)量積的運算律可知，故B正確；
對于C，若，則，的夾角是鈍角或反向共線，故C錯誤；
對于D，由數(shù)量積的運算律可知，等號左面與共線，等號右面與，兩邊不一定相等，故D錯誤；
故選：B.
4．【答案】D
【詳解】因為，，，
所以，所以，
因為，，，所以，所以，
所以，
所以.
故選：D.
5．【答案】B
【詳解】根據(jù)題意進行類比，在空間任取一點，則，
平面的法向量為，，
所以該平面的方程為.
故選：B.
6．【答案】A
【詳解】
設，
由題意可得，
即，解得或（舍去），
連接，
因為M為中點，所以，
過作于，連接，則，
在中，，
即，解得，
又在中，，
所以，
所以，
所以的面積為，
故選：A.
7．【答案】C
【詳解】解：以為坐標原點，，，所在直線分別為、、軸，
建立空間直角坐標系，，，，，，
故，，
，設平面的法向量為m=x,y,z，
則，
令得，，故，
因為，故平面，
為平面上的動點，直線與直線的夾角為30°，
平面，設垂足為，以為圓心，為半徑作圓，
即為點的軌跡，其中，
由對稱性可知，，故半徑，
故點的軌跡長度為.
故選：C.
8．【答案】C
【詳解】平面，平面，，
又，，平面，平面，
又平面，；
設，，，
，，，
，即，
關于的方程有且僅有一個范圍內(nèi)的解，對稱軸為，
，解得：，，
以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，
則，，，，，
軸平面，平面的一個法向量；
設平面的法向量，
則，令，解得：，，，
，
由圖形可知：二面角為銳二面角，二面角的余弦值為.
故選：C.
9．【答案】AD
【詳解】設平面的法向量為，
因為平面與平面平行，是平面的一個法向量，
所以，且，
所以平面的法向量可能為，，
故選：AD.
10．【答案】AC
【詳解】平面的法向量為，
對于，則，即：，
故經(jīng)過點，方向向量為，則，即，
故，即A正確，D錯誤；
對于，即，故經(jīng)過點，方向向量為，
因點滿足平面，即與有公共點，故B錯誤；
對于，可知經(jīng)過點，方向向量為，
因，可得，即或，
但點不滿足平面，即，故，故C正確.
故選：AC.
11．【答案】BCD
【詳解】建立如圖所示空間直角坐標系，
對A：、、、，
則、，故，
故，即異面直線和所成的角為，故A錯誤；
對B：，由軸平面，故平面法向量可為，
則，故直線與平面所成的角為，故B正確；
對C：，，，
設平面的法向量為，則有，
令，則，故，故C正確；
對D：易得四面體為正四面體，
則，故D正確.
故選：BCD.
12．【答案】①②③
【詳解】不妨設正方體的棱長為1，則按照圖中坐標系可知，
于是，,故① ，② 正確；
因平面，而，
故 可作為平面的法向量，即③正確；
在正方體中，因平面,平面，
則，易得，又，故平面，
而，即可作為平面的法向量，故④錯誤.
故答案為：①②③.
13．【答案】
【詳解】因為，，共面，
所以，
即，
即，解得，
所以，
所以，
所以最小值為，
故答案為：.
14．【答案】
【詳解】以方向為軸建立空間直角坐標系，則，，
設 則，
當時的最小值是，

取 則

又因為是任意值，所以的最小值是.
取 則

又因為是任意值，所以的最小值是.
故答案為：.
15．【答案】(1)6
(2)證明見解析
【詳解】（1）∵，
∴，，，，
∴，，
∴.
（2）證明：由（1）得：，
令，即，解得
∴.
故C，E，F(xiàn)，G四點共面.
16．【答案】(1)
(2)證明見解析
【詳解】（1）設，則，
∵，則.
∵，∴.
故線段的長為.
（2）證明：∵，∴.
故.
17．【答案】(1)的坐標為或；
(2)；
(3).
【詳解】（1）因為，，
所以，
因為向量與平行，
所以可設，，
所以，因為，
所以，
所以，
所以或，
所以的坐標為或；
（2）因為，，，
所以，，
所以，
所以向量在向量上的投影向量，
所以；
（3）因為，，，
所以，，
所以，
即，又，
所以，
所以的面積，
所以以，為鄰邊的平行四邊形的面積為．
18．【答案】(1)證明見解析
(2).
(3).
【詳解】（1）因為，因為，，
所以四邊形為矩形，
在中，，，，
則，
，，
且平面平面，平面
平面平面，
平面；
（2）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，
，，可得，
則，，，，C?1,3,0，
設平面的法向量為，，，
由，取.
設平面的法向量為，，
由，取，
.
二面角是鈍角，
二面角的正弦值為.
（3）設，則，
又平面的法向量為，
直線與平面所成的角的正弦值為，
解得，.
19．【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【詳解】（1）證明：在上取點，使得，連接，
如圖1.
因為，所以.
因為平面平面，所以平面.
因為，所以，又，所以.
因為平面平面，所以平面.
因為且都在面內(nèi)，所以平面平面.
因為平面，所以平面.
（2）取的中點，連接，如圖2.
由題意可得是邊長為4的正三角形，則，
且，所以為二面角的平面角，即，則為正三角形，
所以.
（3）取的中點，連接，則，且.
由（2）得，，平面，
所以平面，因為平面，所以.
又因為，，平面，
所以平面.
以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，建立如圖2所示的空間直角坐標系，
則，
.
又，所以.
連接，則，
，
所以.
當時，取得最小值，且最小值為3，則的最小值為
此時，則.
設平面的法向量為n=x,y,z，
則即取，得.
因為平面，所以直線到平面的距離就是點到平面的距離，
則點到平面的距離.
故直線到平面的距離為.

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