一、單選題（本大題共8小題）
1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
2．正方體的棱長(zhǎng)為1，則（ ）
A．1B．0C．D．2
3．如圖，在空間四邊形中，，分別是，的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
4．已知直線與直線平行，則實(shí)數(shù)（ ）
A．B．1C．或1D．
5．已知直線的法向量為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則原點(diǎn)到的距離為（ ）
A．B．C．D．
6．已知，，平面的法向量為，若，則（ ）
A．B．3C．4D．5
7．已知直線與直線交于，則原點(diǎn)到直線距離的最大值為（ ）
A．2B．C．D．1
8．現(xiàn)有一段底面周長(zhǎng)為厘米和高為12厘米的圓柱形水管，是圓柱的母線，兩只蝸牛分別在水管內(nèi)壁爬行，一只從點(diǎn)沿上底部圓弧順時(shí)針?lè)较蚺佬欣迕缀笤傧蛳屡佬?厘米到達(dá)點(diǎn)，另一只從沿下底部圓弧逆時(shí)針?lè)较蚺佬欣迕缀笤傧蛏吓佬?厘米爬行到達(dá)點(diǎn)，則此時(shí)線段長(zhǎng)（單位：厘米）為（ ）
A．B．C．6D．12
二、多選題（本大題共3小題）
9．直線l過(guò)點(diǎn)且斜率為k，若直線l與線段AB有公共點(diǎn)，，，則k可以取（ ）
A．－8B．－5C．3D．4
10．設(shè)空間兩個(gè)單位向量與向量的夾角都等于，則（ ）
A．B．
C．D．
11．已知點(diǎn)，，且點(diǎn)在直線：上，則（ ）
A．存在點(diǎn)，使得B．若為等腰三角形，則點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3個(gè)
C．的最小值為D．最大值為3
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知空間向量，若共面，則 .
13．經(jīng)過(guò)兩條直線與的交點(diǎn)，且在軸上的截距是軸上的倍的直線方程為 .
14．在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)正方形框架ABCD，ABEF的邊長(zhǎng)都是1，且它們所在的平面互相垂直.活動(dòng)彈子M，N分別在正方形對(duì)角線AC和BF 上移動(dòng)，且CM和BN 的長(zhǎng)度保持相等，記，當(dāng)MN的長(zhǎng)最小時(shí)，平面MNA與平面MNB夾角的正弦值為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．計(jì)算：
(1)已知直線的傾斜角為，求的方向向量和法向量；
(2)已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，求直線的方向向量和法向量．
16．如圖，四面體中，，分別為，上的點(diǎn)，且，，設(shè)，，.
(1)以為基底表示；
(2)若，且，，，求.
17．已知兩條直線，
(1)當(dāng)為何值時(shí)，與相交;
(2)與是兩條不同直線，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)也經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，求的值.
18．已知空間四點(diǎn)，，，.
(1)若向量與互相垂直，求實(shí)數(shù)的值：
(2)求以，為鄰邊的平行四邊形的面積：
(3)若D點(diǎn)在平面上，求實(shí)數(shù)n的值.
19．在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點(diǎn)．若直線以為方向向量且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程可表示為；若平面以為法向量且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則平面的點(diǎn)法式方程可表示為，一般式方程可表示為．
(1)若平面，平面，直線為平面和平面的交線，求直線的單位方向向量（寫出一個(gè)即可）；
(2)若三棱柱的三個(gè)側(cè)面所在平面分別記為，其中平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，平面，平面，求實(shí)數(shù)m的值；
(3)若集合，記集合中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為，求幾何體的體積和相鄰兩個(gè)面（有公共棱）所成二面角的大?。?br>參考答案
1．【答案】C
【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為.
故選：C.
2．【答案】A
【詳解】,
故選：A
3．【答案】A
【詳解】.
故選：A.
4．【答案】C
【詳解】已知直線與直線平行，
則當(dāng)且僅當(dāng)，解得或.
故選：C.
5．【答案】D
【詳解】由題意可求得直線的方程為，所以原點(diǎn)O到l的距離為．
故選：D.
6．【答案】A
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，即，解得.
故選：A.
7．【答案】B
【詳解】因?yàn)閮芍本€交于，
則，即，且，則；
由原點(diǎn)到直線的距離
由，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí).
即兩直線重合時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離最大.
故選：B.
8．【答案】A
【詳解】應(yīng)用圓柱的特征取上下底面的圓心為軸，再過(guò)作的垂線為軸，如圖建系，
過(guò)向圓作垂線垂足為，，設(shè)圓半徑為，所以，
所以圓弧的長(zhǎng)度為：，，
則，
同理，過(guò)向圓O作垂線垂足為，則，
所以.
故選：A.
9．【答案】AD
【詳解】解：由于直線l過(guò)點(diǎn)且斜率為k，與連接兩點(diǎn)，的線段有公共點(diǎn)，則，，由圖可知，
時(shí)，直線與線段有交點(diǎn)，根據(jù)選項(xiàng)，可知AD符合．
故選：AD．
10．【答案】AC
【詳解】空間兩個(gè)單位向量，與向量的夾角都等于，
，，
，
又，，
又為單位向量，，
聯(lián)立，得或，
，，
.
故選：AC.
11．【答案】BCD
【詳解】對(duì)于A，設(shè)，當(dāng)PM斜率不存在時(shí)，，此時(shí)，
則，即與不垂直；
當(dāng)PN斜率不存在時(shí)，，此時(shí)，
則，即與不垂直；
當(dāng)且時(shí)，，，
若，則，即，
由于，方程無(wú)解，故與不垂直；
綜合可知不存在點(diǎn)，使得，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若等腰的頂點(diǎn)為P，此時(shí)P在的垂直平分線上，
則P點(diǎn)橫坐標(biāo)為，此時(shí)；
當(dāng)M為等腰的頂點(diǎn)時(shí)，由于點(diǎn)M到直線：的距離為，
故直線l上必存在兩點(diǎn)滿足，設(shè)這兩點(diǎn)為，
由于l上縱坐標(biāo)為1的點(diǎn)為，該點(diǎn)和M的距離為2，
故和M，N不共線，適合題意，

由于N點(diǎn)到直線：的距離為，
故以N點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰不存在，
綜合以上可知為等腰三角形，則點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3個(gè)，B正確；
對(duì)于C，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為，
則，解得，即，
故,
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線（P在之間）時(shí)取得等號(hào)，

即的最小值為，C正確；
對(duì)于D，如圖，，
當(dāng)且僅當(dāng)P為的延長(zhǎng)線與l的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，

即最大值為3，D正確，
故選：BCD
12．【答案】0
【詳解】因?yàn)楣裁?，所以，即?br>則.
故答案為：0.
13．【答案】或
【詳解】聯(lián)立，解得，
所以直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
由已知所求直線的斜率存在且不為，
故可設(shè)所求直線方程為，其中，
令，可得，即所求直線在軸上的截距為，
令，可得，即所求直線在軸上的截距為，
由已知可得，
所以，
所以或，
所以所求直線方程為或.
故答案為：或.
14．【答案】
【詳解】以原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
因?yàn)?，所以?br>所以，
當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，為中點(diǎn)，則，
取的中點(diǎn)，連接，則，
因?yàn)?，，所以，?br>所以是平面與平面的夾角或其補(bǔ)角，
因?yàn)?，?br>所以，
所以平面與平面夾角的余弦值是，
所以平面與平面夾角的正弦值是．
15．【答案】(1)方向向量為，法向量為
(2)方向向量為，法向量為
【詳解】（1）先證明結(jié)論：若直線的一個(gè)方向向量為，其中，則直線的一個(gè)法向量可為.
因?yàn)橹本€的一個(gè)方向向量為，其中，，則，
所以，直線的一個(gè)法向量可為.
本題中，因?yàn)橹本€的傾斜角為，則該直線的斜率為，
故直線的一個(gè)方向向量為，則直線的方向向量為，
直線的法向量為.
（2）因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，則直線的一個(gè)方向向量為，
所以，直線的方向向量為，法向量為.
16．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由圖可得，;
（2）由題意，，
則，
于是，由兩邊取平方，
，
故.
17．【答案】(1)，且，且
(2)
【詳解】（1）依題意，得，
得，
得，且，且．
（2），
得，得，
得過(guò)定點(diǎn)，又因?yàn)橐步?jīng)過(guò)點(diǎn)，
得，得．
當(dāng)時(shí)，與重合，故舍去，
故．
18．【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）因?yàn)?，，，?br>所以，，，
所以，，
因?yàn)橄蛄颗c互相垂直，所以，
化簡(jiǎn)得，解得，
（2）因?yàn)?，，且設(shè)夾角為，
所以，而恒成立，
所以，而，，
所以平行四邊形的面積為，
（3）因?yàn)镈點(diǎn)在平面上，所以四點(diǎn)共面，
所以共面，而由題意得，，，
故存在，使得，所以，，
，解得，故實(shí)數(shù)n的值為.
19．【答案】(1)
(2)
(3)體積為128，相鄰兩個(gè)面（有公共棱）所成二面角為
【詳解】（1）記平面，的法向量為，設(shè)直線的方向向量，
因?yàn)橹本€為平面和平面的交線，
所以，，即，取，則，
所以直線的單位方向向量為．
（2）設(shè)，
由平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，
所以，解得，即，
所以記平面的法向量為，
與（1）同理，與確定的交線方向向量為，
所以，即，解得．
（3）由集合知，由一個(gè)邊長(zhǎng)是4的正方體和6個(gè)高為2的正四棱錐構(gòu)成，如圖所示，
，，
設(shè)幾何體相鄰兩個(gè)面（有公共棱）所成二面角為，
平面，設(shè)平面法向量，
平面，設(shè)平面法向量，
所以，
所以幾何體相鄰兩個(gè)面（有公共棱）所成二面角為．

2024-2025學(xué)年河南省安陽(yáng)市林州市高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)
檢測(cè)試題（二）
一、單選題（本大題共8小題）
1．已知向量BC=2,1 ，AB=0,?1 ，則AC= （ ）
A．2B．3C．2 D．22
2．已知空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則的值為（ ）
A．B．4C．6D．
3．已知直線：與直線：，若，則（ ）
A．B．2C．2或D．5
4．已知圓過(guò)點(diǎn)，則圓心到原點(diǎn)距離的最小值為（ ）
A．B．C．1D．
5．如圖，已知正方體中，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)，E為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列四個(gè)結(jié)論正確的是（ ）

A．存在點(diǎn)E，使平面
B．三棱錐的體積隨動(dòng)點(diǎn)E變化而變化
C．直線與所成的角不可能等于
D．存在點(diǎn)E，使平面
6．已知正方體的棱長(zhǎng)為，是棱上的一條線段，且，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下面四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①與一定不垂直 ②二面角的正弦值是
③的面積是 ④點(diǎn)到平面的距離是常量
A．B．C．D．
7．若在圓上，總存在相異兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于1，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
8．已知點(diǎn)A在直線上，點(diǎn)在直線上，線段的中點(diǎn)為，且滿足，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，將，，分別沿DE，DF，EF折起，使A，B，C重合于點(diǎn)P，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．三棱錐的外接球的體積為
C．點(diǎn)P到平面DEF的距離為D．二面角的余弦值為
10．已知四面體中，，，兩兩垂直，則以下結(jié)論中一定成立的是（ ）
A．；B．
C．；D．
11．已知圓：和直線，則（ ）
A．直線與圓的位置關(guān)系無(wú)法判定
B．當(dāng)時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線的最遠(yuǎn)距離為
C．當(dāng)圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1時(shí)，
D．如果直線與圓相交于、兩點(diǎn)，則的中點(diǎn)的軌跡是圓的一部分
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知平面向量，滿足與的夾角為，且，則對(duì)一切實(shí)數(shù)的最小值是 ．
13．如圖，在正四棱錐中，二面角為60°，E為的中點(diǎn).已知F為直線上一點(diǎn)，且F與A不重合，若異面直線與所成角為60°，則= .
14．設(shè)直線2x－y－＝0與y軸的交點(diǎn)為P，點(diǎn)P把圓(x＋1)2＋y2＝25的直徑分為兩段，則這兩段之比為 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，其中點(diǎn)在直線上
(1)若，求的邊上的中線所在的直線方程：
(2)若，求實(shí)數(shù)的值．
16．在平面直角坐標(biāo)系中，橫?縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，對(duì)于任意相鄰三點(diǎn)都不共線的有序整點(diǎn)列與，其中，若同時(shí)滿足：①兩點(diǎn)列的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別相同：②，其中，則稱與互為正交點(diǎn)列.
(1)求的正交點(diǎn)列；
(2)判斷是否存在正交點(diǎn)列？并說(shuō)明理由.
17．如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長(zhǎng)為3的正方形，平面，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的一點(diǎn)，且.

(1)證明：平面平面；
(2)求平面和平面夾角的大小.
18．設(shè)直線的方程為.
(1)求證：不論a為何值，直線必過(guò)一定點(diǎn)P；
(2)若直線分別與x軸正半軸，y軸正半軸交于點(diǎn)A，B，當(dāng)面積最小時(shí)，求的周長(zhǎng)；
(3)當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均為整數(shù)時(shí)，求直線的方程.
19．已知四棱錐，底面為菱形，為上的點(diǎn)，過(guò)的平面分別交于點(diǎn)，且∥平面．

(1)證明：；
(2)當(dāng)為的中點(diǎn)，與平面所成的角為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．
參考答案
1．【答案】A
【分析】先利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示求得AC=2,0 ，再求其模.
【詳解】根據(jù)題意，AC=AB+BC=0,?1+2,1=2,0 ，
所以AC=22+02=2 .
故選A.
2．【答案】D
【詳解】因?yàn)殛P(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，所以，
所以，
故選：D.
3．【答案】A
【詳解】若 , 則，
所以 或 .
當(dāng) 時(shí), 重合, 不符合題意, 所以舍去;
當(dāng) 時(shí), 符合題意.
故選:.
4．【答案】D
【詳解】設(shè)圓心,由得，化簡(jiǎn)得，即圓心在直線運(yùn)動(dòng)，圓心到原點(diǎn)距離的最小值即原點(diǎn)到直線的距離，故最小值為，
故選：D
5．【答案】D
【詳解】在正方體中，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，
由在線段上運(yùn)動(dòng)，設(shè)（），則，
平面的法向量，顯然，則直線與平面不平行，A錯(cuò)誤；
，設(shè)直線與所成角為，則，
顯然當(dāng)時(shí)，，，即存在點(diǎn)E使得直線與所成的角為，C錯(cuò)誤；
設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，，
則，令，得，
當(dāng)時(shí)，，因此平面，D正確；
點(diǎn)在正方體的對(duì)角面矩形的邊上，則，
而平面平面，則，又，
可得平面，點(diǎn)到平面的距離為，則三棱錐的體積為定值，B錯(cuò)誤.
故選：D
6．【答案】C
【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)、，其中，設(shè)點(diǎn)，其中，
易知點(diǎn)，、、、、、
、、，
對(duì)于①，，，則，
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，即，此時(shí)，即，故①錯(cuò)；
對(duì)于②，因?yàn)椋?，故平面即平面?br>設(shè)平面的法向量為，，，
則，取，可得，
易知平面即為平面，，
設(shè)平面的法向量為，
則，取，則，
所以，，
則，
因此，二面角的正弦值是，故②對(duì)；
對(duì)于③，，，
所以，點(diǎn)到直線的距離為，
所以，，故③對(duì)；
對(duì)于④，由②知，平面的一個(gè)法向量為，
所以，點(diǎn)到平面的距離為，④對(duì).
故選：C.
7．【答案】C
【詳解】由題意可知，
若在圓上，總存在相異兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于1，等價(jià)于圓和圓相交，
則圓心與原點(diǎn)之間的距離為，
，即，解得或，
實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：C.
8．【答案】A
【詳解】∵直線與直線 平行，線段的中點(diǎn)為，
，化簡(jiǎn)可得
解得，
設(shè) ，
，即
故選：A
9．【答案】AC
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，作出圖形，
取EF中點(diǎn)H，連接PH，DH，由原圖知和均為等腰三角形，故，，又因?yàn)?，所以平面PDH，
又平面PDH，所以，A正確；
由PE，PF，PD三線兩兩垂直，如下圖構(gòu)造長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的外接球就是三棱錐的外接球，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是外接球的直徑，設(shè)為2R，則，則，所以所求外接球的體積為，B錯(cuò)誤；
根據(jù)題意，可知PE，PF，PD三線兩兩垂直，且，，在中，，，由等積法可得，得，C正確；
由題意如上圖，，，則，，所以∠PHD為二面角的一個(gè)平面角，因?yàn)?，，且，所以平面PEF，則，即，在中，，D不正確．
故選：AC.
10．【答案】ACD
【詳解】由題意可知，，，兩兩垂直，所以，
對(duì)于A選項(xiàng)，
，
，故，所以A選項(xiàng)正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，，
當(dāng)時(shí)，，否則不成立，所以選項(xiàng)B不正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，
，所以選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，，同理可得，，
所以，選項(xiàng)D正確，
故選：ACD
11．【答案】BCD
【詳解】圓：，即，圓心為，半徑為.
直線，即，
當(dāng)時(shí)，，所以直線過(guò)定點(diǎn).
，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓相交，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.
時(shí)，直線的方程為，圓心到直線的距離為，
所以圓上的點(diǎn)到直線的最遠(yuǎn)距離為，B選項(xiàng)正確.
若圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，則圓心到直線的距離為，
即，C選項(xiàng)正確.
對(duì)于D選項(xiàng)，直線與圓相交于、兩點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)Px,y，則，
則，即點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓.
由于直線的斜率存在，所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，且除去與直線的交點(diǎn)（以外的另一點(diǎn)），所以D選項(xiàng)正確.
故選：BCD

12．【答案】
【詳解】由題知，則，
則，故若使取最小值，
則只需向量與向量反向，
即
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
故答案為：
13．【答案】11
【詳解】取的中點(diǎn)G，與的交點(diǎn)為，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)
因?yàn)槎娼菫?0°，所以
則.
設(shè)，則
從而
整理得，解得(舍)，
故.
故答案為：
14．【答案】或
【詳解】依題意令x＝0,得P（0，﹣3），
（x+1）2+y2＝25圓心C（﹣1，0），
∴|CP|＝＝2，∵半徑為5，
∴其長(zhǎng)度之比＝＝或＝，
故答案為或．
15．【答案】(1)
(2)6
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，AB的中點(diǎn)為，
則，由直線的點(diǎn)斜式方程得MC的方程為
，即；
（2）設(shè)，，則，
當(dāng)時(shí)，，即，解得.
16．【答案】(1)
(2)不存在，理由見解析
【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)列的正交點(diǎn)列是，
由正交點(diǎn)列的定義可知，
設(shè)，
由正交點(diǎn)列的定義可知，
即，解得
所以點(diǎn)列的正交點(diǎn)列是.
（2）由題可得，
設(shè)點(diǎn)列是點(diǎn)列的正交點(diǎn)列，
則可設(shè)
因?yàn)榕c與相同，所以有
因?yàn)榈梅匠?，顯然不成立，
所以有序整點(diǎn)列不存在正交點(diǎn)列.
17．【答案】(1)證明見解析；(2).
【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，從而可證明.
（2）分別求出平面和平面的法向量，利用向量法可求解.
【詳解】（1）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

所以，設(shè)，
則，解得，即.
則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，即
令，解得，所以平面的一個(gè)法向量為.
因?yàn)椋O(shè)平面的一個(gè)法向量為，
所以即，令，解得，
所以平面的一個(gè)法向量為，
又，所以平面平面；
（2），
所以.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
所以，即
令，解得，
所以平面的一個(gè)法向量為.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，即
令，解得，所以平面的一個(gè)法向量為.
，
所以平面和平面夾角的大小為.
18．【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)見解析.
【詳解】（1）由得:
；
則，解得
所以不論為何值，直線必過(guò)一定點(diǎn)；
（2）由得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
又由，得，
∴
,
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)
∴，，
∴的周長(zhǎng)為；
（3）直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均為整數(shù)，
即，均為整數(shù)，
所以，均為整數(shù)，∴，，，，，0，，2，
又當(dāng)時(shí)，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均為零，也符合題意，
所以直線的方程為，，，，，，，.
19．【答案】(1)證明見詳解
(2)
【詳解】（1）設(shè)，則為的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)闉榱庑?，則，
又因?yàn)?，且為的中點(diǎn)，則，
，平面，所以平面，
且平面，則，
又因?yàn)椤纹矫?，平面，平面平面?br>可得∥，所以.
（2）因?yàn)?，且為的中點(diǎn)，則，
且，，平面，所以平面，
可知與平面所成的角為，即為等邊三角形，
設(shè)，則，且平面，平面，
可得平面，平面，
且平面平面，所以，即交于一點(diǎn)，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則為的重心，
且∥，則，
設(shè)，則，
如圖，以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
可得，
設(shè)平面的法向量，則，
令，則，可得，
設(shè)平面的法向量，則，
令，則，可得，
可得，
所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

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