1．（2022·上海市建平中學(xué)高二期末）若，，則___________.
【答案】
【分析】由題設(shè)條件可解得，而，故由平方關(guān)系解得，代入即得所求
【解析】
又
所以
故答案為：
2．（2022·上海中學(xué)高一期末）已知是第四象限角，，則______．
【答案】
【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值，在利用誘導(dǎo)公式可求得結(jié)果.
【解析】因?yàn)槭堑谒南笙藿牵?，則，
所以，.
故答案為：.
3．（2022·上海·華東師范大學(xué)附屬東昌中學(xué)高三階段練習(xí)）已知，若，則______．
【答案】
【分析】由化簡(jiǎn)可得，根據(jù)判斷，即可求得答案.
【解析】由得，，
即，則，
因?yàn)椋瑒t，
所以，
故答案為：
4．（2022·上?！とA東師范大學(xué)附屬東昌中學(xué)高三階段練習(xí)）已知，則__________.
【答案】##
【分析】首先根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，最后代入計(jì)算可得；
【解析】解：因?yàn)?，所以，所?br>故答案為：
5．（2021·上海市行知中學(xué)高三階段練習(xí)）若，則_________．
【答案】
【分析】先進(jìn)行弦化切，再直接代入計(jì)算.
【解析】，
因?yàn)椋栽?
故答案為：
6．（2022·上海中學(xué)高一期末）若，記，，，則P、Q、R的大小關(guān)系為______．
【答案】
【分析】利用平方差公式和同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得P、R的關(guān)系，然后作差，因式分解，結(jié)合已知可判斷P、Q的大小關(guān)系.
【解析】
又
因?yàn)?，所?br>所以，即
所以P、Q、R的大小關(guān)系為.
故答案為：
7．（2022·上海市松江二中高三開學(xué)考試）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值為___________.
【答案】
【分析】由正弦函數(shù)的性質(zhì)，令可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，結(jié)合題設(shè)給定遞增區(qū)間求參數(shù)m的最大值即可.
【解析】由正弦函數(shù)的性質(zhì)知：在上遞增，在上遞減，
對(duì)于，有，可得；有，可得，
所以題設(shè)函數(shù)在上遞增，在上遞減，要使其在上單調(diào)遞增，則，
故的最大值為.
故答案為：.
8．（2022·上?！つM預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則滿足條的最大負(fù)整數(shù)x為_________．
【答案】
【分析】由函數(shù)圖象求得函數(shù)解析式，解不等式得的范圍，然后結(jié)合周期性分析出最大負(fù)整數(shù)解．
【解析】由題意，，
，不妨取，所以，
，
，
不等式即為，則，
，則或，，
即或，，
注意到最靠近邊的負(fù)數(shù)解為或，
即或，由于函數(shù)的最小正周期是，
把區(qū)間和依次向左移動(dòng)若干個(gè)3.14個(gè)單位，得到含有最大負(fù)整數(shù)的區(qū)間是，所以最大的負(fù)整數(shù)．
故答案為：．
9．（2022·上海市松江二中高三開學(xué)考試）若關(guān)于的三元一次方程組有唯一組解，則的集合是___________.
【答案】
【分析】由方程組得，要使方程組有唯一組解可得，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求的集合.
【解析】由題設(shè)，，則，
所以，即，.
故的集合是.
故答案為：.
10．（2021·上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高三階段練習(xí)）已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)的周期為2，且時(shí)，.若函數(shù)在區(qū)間（且）上至少有5個(gè)零點(diǎn)，則的最小值為_________.
【答案】2
【分析】先根據(jù)條件分析函數(shù)的性質(zhì)，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)和 的圖象交點(diǎn)問題，再根據(jù)圖象求解出的最小值.
【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，又因?yàn)楹瘮?shù) 的周期為2，
所以，
在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)和的圖象（如圖），
觀察圖象可知和的圖象在 上有五個(gè)交點(diǎn)，
而函數(shù)在區(qū)間 （且）上有至少有5個(gè)零點(diǎn)，
所以，所以的最小值為.
故答案為：2.
11．（2021·上海市七寶中學(xué)高三期中）已知函數(shù)的最大值為2，則使函數(shù)在區(qū)間上至少取得兩次最大值，則取值范圍是_______
【答案】##
【分析】結(jié)合輔助角公式先求出，函數(shù)化簡(jiǎn)為，取得最值時(shí)由整體法得，要滿足題設(shè)條件，只需滿足當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)取值即可.
【解析】，因?yàn)?，，故，原式為，?dāng)取到最大值時(shí)，，當(dāng)，取得前兩次最大值時(shí)，分別為0和1，時(shí)，，，此時(shí)需滿足，解得.
故答案為：
12．（2021·上海市進(jìn)才中學(xué)高三階段練習(xí)）已知，滿足，，且在上有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則此函數(shù)解析式為_____________．
【答案】
【分析】利用換元法將題意中的兩個(gè)等式分別變形，得到和分別是圖像的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸，進(jìn)而得到，令求出，結(jié)合題意得到，求出的值，進(jìn)而求出的值，從而得出答案.
【解析】因?yàn)?，令?br>則，即，
所以是圖像的對(duì)稱中心，
又，令，
則，即，
所以是圖像的對(duì)稱軸，
所以，得，
令，則，所以，
因?yàn)樵谏嫌星抑挥?個(gè)零點(diǎn)，所以，又，
即，所以，得，代入上式，得，
又，所以，所以.
故答案為：
13．（2022·上海民辦南模中學(xué)高三階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上恰有14個(gè)零點(diǎn)，則符合條件的所有的取值范圍是______．
【答案】
【分析】先求出零點(diǎn)的一般形式，從而可求的取值范圍.
【解析】由可得，故或，其中.
連續(xù)的14個(gè)零點(diǎn)為：
，；，；，
，，
若，則，
此時(shí).
若，則，
此時(shí)，
故.
故答案為：.
14．（2016·上海市晉元高級(jí)中學(xué)高三期中）已知函數(shù)，為的零點(diǎn)，為圖象的對(duì)稱軸，且在上單調(diào)，則的最大值為________.
【答案】
【分析】利用正弦函數(shù)的性質(zhì)及條件可求得ω的表達(dá)式，再根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)可知－＝≤＝，求得ω≤12，經(jīng)驗(yàn)證ω＝11不滿足題意，ω＝9滿足條件，得解.
【解析】因?yàn)閤＝－為f(x)的零點(diǎn)，x＝為f(x)的圖象的對(duì)稱軸，
所以－＝＋，即＝T＝· (k∈Z)，
所以ω＝2k＋1(k∈Z)，
又因?yàn)閒(x)在上單調(diào)，所以－＝≤＝，解得ω≤12，
ω＝11時(shí)f(x)＝sin在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不成立，
ω＝9時(shí)滿足條件，由此得ω的最大值為9.
故答案為：9
15．（2022·上海·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．
【答案】
【分析】由題設(shè)知有，要使在上的值域?yàn)?，則上討論、判斷的值域，進(jìn)而求參數(shù)的范圍.
【解析】由解析式知：時(shí)，，而函數(shù)在上的值域?yàn)椋?br>∴在上，
若，則，不合題意；
若，則，即，可得.
∴的范圍為.
故答案為：
16．（2022·上海·高三專題練習(xí)）函數(shù)()的值域有6個(gè)實(shí)數(shù)組成，則非零整數(shù)的值是_________.
【答案】，
【分析】由題設(shè)可得最小正周期為，又且值域有6個(gè)實(shí)數(shù)組成，即上一定存在6個(gè)整數(shù)點(diǎn)，討論為奇數(shù)或偶數(shù)，求值即可.
【解析】由題設(shè)知：的最小正周期為，又，
∴為非零整數(shù)，在上的值域有6個(gè)實(shí)數(shù)組成，即的圖象在以上區(qū)間內(nèi)為6個(gè)離散點(diǎn)，且各點(diǎn)橫坐標(biāo)為整數(shù)，
∴當(dāng)為偶數(shù)，有，即；
當(dāng)為奇數(shù)，有，即；
故答案為：，
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)可求最小正周期為，結(jié)合已知有內(nèi)有6個(gè)整數(shù)點(diǎn)，討論的奇偶性求值.
17．（2022·上海·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，若恰有個(gè)零點(diǎn)，則下述結(jié)論中：①恒成立，則的值有且僅有2個(gè)；②存在，使得在上單調(diào)遞增；③方程一定有個(gè)實(shí)數(shù)根，其中真命題的序號(hào)為_________.
【答案】①②③
【分析】用整體代換的思想，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.
【解析】由于恰有4個(gè)零點(diǎn)，令，因?yàn)椋?br>所以，
由有4個(gè)解，則，解得，
①即，由上述知，
故的值有且僅有個(gè)，正確；
②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得，
又，故存在，使得在上單調(diào)遞增，正確；
③，而，
所以可取，
綜上，真命題的序號(hào)是①②③.
故答案為：①②③.
18．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知函數(shù).若存在，對(duì)任意，都有成立.給出下列兩個(gè)命題：
（1）對(duì)任意，不等式都成立.
（2）存在，使得在上單調(diào)遞減.
則其中真命題的序號(hào)是__________.（寫出所有真命題的序號(hào)）
【答案】（1）（2）
【分析】由輔助角公式可得，由題意可得是的最小值點(diǎn)，關(guān)于對(duì)稱，由三角函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)分析各個(gè)選項(xiàng)，即可求得結(jié)論．
【解析】解：函數(shù)，其中為銳角，且，
由題意，是的最小值點(diǎn)，所以關(guān)于對(duì)稱，
因?yàn)榈淖钚≌芷?，所以為最大值，所以任意，，故?）正確；
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，
取，則，所以即在內(nèi)單調(diào)遞減，故（2）正確；
故答案為：（1）（2）
19．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)的所有零點(diǎn)依次記為且，，若，則__________.
【答案】
【解析】由題意，令，解得.
∵函數(shù)的最小正周期為，，
∴當(dāng)時(shí)，可得第一個(gè)對(duì)稱軸，當(dāng)時(shí)，可得.
∴函數(shù)在上有條對(duì)稱軸
根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知：函數(shù)與的交點(diǎn)有9個(gè)點(diǎn)，即關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱，…，即，，…，.
∵
∴
∴
故答案為.
點(diǎn)睛：本題考查了三角函數(shù)的零點(diǎn)問題，三角函數(shù)的考查重點(diǎn)是性質(zhì)的考查，比如周期性，單調(diào)性，對(duì)稱性等，處理抽象的性質(zhì)最好的方法結(jié)合函數(shù)的圖象，本題解答的關(guān)鍵是根據(jù)對(duì)稱性找到與的數(shù)量關(guān)系，本題有一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)是，會(huì)算錯(cuò)定義域內(nèi)的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，這就需結(jié)合對(duì)稱軸和數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，防止出錯(cuò).
二、單選題
20．（2021·上海市建平中學(xué)高三階段練習(xí)）“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】由已知，充分性成立；
由不能得出，如也滿足．
故選：A.
21．（2020·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)在內(nèi)是嚴(yán)格減函數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，列出不等式組，即可求解.
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)存在減區(qū)間，則
由，可得，
由題意函數(shù)在內(nèi)是嚴(yán)格減函數(shù)，
可得且滿足，解得.
故選：B.
22．（2016·上?！じ呷A段練習(xí)（理））如圖是集合P={（x，y）|（x﹣csθ）2+（y﹣sinθ）2=4，0≤θ≤π}中的點(diǎn)在平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)留下的陰影，中間形如“水滴”部分的平面面積為
A．B．
C．D．π+2
【答案】A
【解析】試題分析：“水滴”部分由一個(gè)半圓加一個(gè)等邊三角形ABC加兩個(gè)弓形和構(gòu)成，利用公式，即可得出結(jié)論．
解：如圖，
“水滴”部分由一個(gè)半圓加一個(gè)等邊三角形ABC加兩個(gè)弓形和構(gòu)成，
∴“水滴”部分的面積
=S半圓+S△ABC+2S弓形AmB
=+2（﹣）
=．
故選A．
考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；集合的表示法．
23．（2021·上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬大境中學(xué)高三階段練習(xí)）已知．在內(nèi)的值域?yàn)?，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意作出余弦函數(shù)圖象，分析值域?yàn)闀r(shí)對(duì)應(yīng)的定義域，由此得到關(guān)于的不等式并求解出結(jié)果.
【解析】因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，結(jié)合余弦函數(shù)圖象（如下圖）：
可知，所以解得，
故選：D.
24．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)，的圖象上所有的點(diǎn)（ ）
A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）
B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）
C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）
D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）
【答案】C
【分析】按照平移變換和周期變換的結(jié)論，分別求出四個(gè)選項(xiàng)中得到的函數(shù)解析式可得答案.
【解析】對(duì)于，把函數(shù)，的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)的圖象，故不正確；
對(duì)于，把函數(shù)，的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)的圖象，故不正確；
對(duì)于，把函數(shù)，的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)的圖象，故正確；
對(duì)于，把函數(shù)，的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)的圖象，故不正確.
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的平移變換與周期變換，屬于基礎(chǔ)題.
25．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）設(shè)函數(shù)，其中，，若對(duì)任意的恒成立，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱
C．在上單調(diào)遞增D．過(guò)點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖像必有公共點(diǎn)
【答案】D
【分析】利用輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)在處取得最大值求出參數(shù)，然后結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷答案.
【解析】由題意，，，而函數(shù)在處取得最大值，所以，所以，，則.
對(duì)A，因?yàn)?，即，A錯(cuò)誤；
對(duì)B，因?yàn)?，所以B錯(cuò)誤；
對(duì)C，因?yàn)?，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)D，因?yàn)榈淖畲笾禐?，而，所以過(guò)點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象必有公共點(diǎn)，D正確.
故選：D.
26．（2021·上海市建平中學(xué)高三期中）將函數(shù)的圖像上的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，再沿著x軸向右平移個(gè)單位，得到的函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】把函數(shù)的圖象變換后得到函數(shù)的圖象，故所得函數(shù)的對(duì)稱中心為，由此可得結(jié)果.
【解析】解： 將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍，得函數(shù)的圖象，向右平移個(gè)單位，
得到函數(shù)的圖象，
令，可得，
故所得函數(shù)的對(duì)稱中心為，
令，可得函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，
故選：D.
27．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知，對(duì)任意，都存在使得成立，則下列取值可能的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】依題意可得，首先求出的值域，從而得到所以是函數(shù)的值域的子集，由的取值范圍求出，再根據(jù)選項(xiàng)一一代入驗(yàn)證即可；
【解析】解：因?yàn)槿我猓即嬖谑沟贸闪?，所以，?br>因?yàn)?，，所以，所以，所以是函?shù)的值域的子集，因?yàn)?，則，
當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，，所以，故不滿足條件；
當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，，所以，故真包含于，故滿足條件；
當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，，所以，故不滿足條件；
當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，故不滿足條件；
故選：B
28．（2020·上海市浦東中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，則在區(qū)間上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)，畫出圖像即可觀察出答案.
【解析】由已知在區(qū)間上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為函數(shù)與函數(shù)的圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
兩個(gè)函數(shù)在同一坐標(biāo)系下的圖像如下：
明顯函數(shù)與函數(shù)的圖像在上有2個(gè)交點(diǎn)
故選：B.
29．（2021·上海市第三女子中學(xué)高三期中）若不等式對(duì)恒成立，則的值等于（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】設(shè)，得出的符號(hào)變化情況，根據(jù)的單調(diào)性和對(duì)稱性即可得出，的值．
【解析】解：當(dāng)或時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
，
，即，又，故．
．
故選：B．
30．（2021·上海市建平中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，，，則的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出在的對(duì)稱軸和，根據(jù)圖像判斷出，關(guān)于對(duì)稱，，關(guān)于對(duì)稱，即可求得.
【解析】函數(shù)
令，可得：，.
∵
∴令，可得一條對(duì)稱軸方程.
∴令，可得一條對(duì)稱軸方程.
函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，
可知，關(guān)于其中一條對(duì)稱是對(duì)稱的，即
，關(guān)于其中一條對(duì)稱是對(duì)稱的.即
那么.
故選：B.
【點(diǎn)睛】求幾個(gè)零點(diǎn)的和通常利用對(duì)稱軸即可求解.
31．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則以下說(shuō)法中正確的是（ ）
①；②；
③的圖像存在對(duì)稱軸；④的圖像存在對(duì)稱中心；
A．①②④B．①②③C．①④D．②③④
【答案】B
【分析】利用分子分母的最值可求函數(shù)的最值，可判斷①的正誤，再利用的最值判斷②的正誤，由函數(shù)的分子分母的對(duì)稱軸，可判斷③的正誤，由函數(shù)的對(duì)稱軸可判斷④的正誤．
【解析】解：對(duì)于①：，，，
則當(dāng)時(shí)，取到最大值1，取到最小值，此時(shí)的值最大，最大值為，而不存在最小值，
所以，故①正確，
對(duì)于②：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，
所以，故②正確，
對(duì)于③：，分子分母所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的圖像的對(duì)稱軸都為直線，
所以的圖象的對(duì)稱軸為，故③正確，
對(duì)于④：假設(shè)曲線存在對(duì)稱中心，又由③選項(xiàng)知曲線存在對(duì)稱軸，
則函數(shù)必是周期函數(shù)，而不是周期函數(shù)，故④錯(cuò)誤，
所以正確的是①②③．
故選：．
32．（2022·上海·高三專題練習(xí)）設(shè)，函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由最多有2個(gè)根，可得至少有4個(gè)根，分別討論當(dāng)和時(shí)兩個(gè)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)情況，再結(jié)合考慮即可得出.
【解析】最多有2個(gè)根，所以至少有4個(gè)根，
由可得，
由可得，
（1）時(shí)，當(dāng)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)，即；
當(dāng)，有5個(gè)零點(diǎn)，即；
當(dāng)，有6個(gè)零點(diǎn)，即；
（2）當(dāng)時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，，無(wú)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，有1個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，令，則，此時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)；
所以若時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn).
綜上，要使在區(qū)間內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則應(yīng)滿足
或或，
則可解得a的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是分成和兩種情況分別討論兩個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)情況.
33．（2022·上海交大附中高三開學(xué)考試）已知，給出下述四個(gè)結(jié)論:
①是偶函數(shù); ②在上為減函數(shù);
③在上為增函數(shù); ④的最大值為.
其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（ ）
A．①②④B．①③④C．①②③D．①④
【答案】D
【分析】利用偶函數(shù)的定義即可判斷①；利用舉反例即可判斷②和③；分四個(gè)范圍對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求值域，即可得到時(shí)的最值，結(jié)合偶函數(shù)即可判斷
【解析】解：對(duì)于①，易得的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
因?yàn)椋允桥己瘮?shù)，故正確；
對(duì)于②和③，因?yàn)椋?br>，
且，所以在不是減函數(shù)，在也不是增函數(shù)，故②，③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，所以?br>所以，所以；
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋?br>所以，所以；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋?br>所以，所以，
所以，綜上所述，當(dāng)時(shí)，的最大值為，由于為偶函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，的最大值也為，故的最大值為，故④正確；
故選：D
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用四個(gè)象限對(duì)進(jìn)行討論，根據(jù)三角函數(shù)符號(hào)去掉絕對(duì)值，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解值域
三、解答題
34．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1），結(jié)合角的范圍解方程即可
（2）利用二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用弦化切，將（1）的值代入進(jìn)行求解
【解析】解：（1）∵，
∴，解得，或，
∵，可得，
∴.
（2）
.
35．（2021·上海市七寶中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
(1)求的解析式；
(2)求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間.
【答案】(1)
(2)單調(diào)遞增區(qū)間是和
【分析】（1）設(shè)點(diǎn)是函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，所以，點(diǎn)在的圖象上，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式，可得出函數(shù)的解析式；
（2）化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為，利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可求得函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間，將區(qū)間與區(qū)間取交集可得結(jié)果.
(1)
解：設(shè)點(diǎn)是函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，
由題意可知，點(diǎn)在的圖象上，
于是有，
所以，.
(2)
解：由（1）可知，，，
記，由，解得，
記，則，
于是，函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間是和.
36．（2022·上海市莘莊中學(xué)高三期中）已知（）.
(1)的周期是，求當(dāng)，方程的解集；
(2)已知，，，求的值域.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）由題意得后整體代換法求解
（2）由三角恒等變換公式化簡(jiǎn)，根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求解
(1)
的周期是，故，原方程為，
則，解得或，
故原方程的解集為或
(2)
，
，
時(shí)，，
則，
37．（2022·上海寶山·一模）吳淞口燈塔采用世界先進(jìn)的北斗衛(wèi)星導(dǎo)航遙測(cè)遙控系統(tǒng)，某校數(shù)學(xué)建模小組測(cè)量其高度（單位：，如示意圖，垂直放置的標(biāo)桿的高度，使，，在同一直線上，也在同一水平面上，仰角，.（本題的距離精確到
(1)該小組測(cè)得?的一組值為，，請(qǐng)據(jù)此計(jì)算的值；
(2)該小組分析若干測(cè)得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到燈塔的距離（單位：，使與之差較大，可以提高測(cè)量精確度.若燈塔的實(shí)際高度為，試問為多少時(shí)，最大？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)，解直角三角形并利用建立方程即可求解；
（2）由兩角差的正切公式，結(jié)合均值不等式求出的最值，再根據(jù)角的范圍即可求得何時(shí)有最大值.
(1)
由可得：，
同理可得，
因?yàn)椋?br>所以，
可得.
(2)
由題意可得，
則，
所以，
而，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
故當(dāng)時(shí)，取最大值，
因?yàn)?，所以?br>所以時(shí)，最大.
38．（2022·上海奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試）設(shè)．
（1）若，求的值；
（2）設(shè)，若方程有兩個(gè)解，求的取值范圍．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）化簡(jiǎn)函數(shù)由正余弦二倍角公式，結(jié)合已知條件即可求解函數(shù)值；
（2）化簡(jiǎn)，根據(jù)的范圍得，又因?yàn)橐驗(yàn)樵趦?nèi)有兩解，列出不等式組即可求解參數(shù)范圍．
【解析】解：（1），
因?yàn)椋遥?br>所以，
所以，
，
所以；
（2），
因?yàn)椋?br>，
因?yàn)樵趦?nèi)的解為
所以解得
故的取值范圍為
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵在于用整體法代換求解角的取值范圍從而求得參數(shù)范圍．
39．（2021·上海市風(fēng)華中學(xué)高三期中）設(shè)函數(shù)，且是最大值.
(1)求的最小值；
(2)在（1）的條件下，如果在區(qū)間上的最小值為，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，根據(jù)是最大值，求得的值.
（2）由題意根據(jù)，根據(jù)的最小值為，求出a的值.
(1)
解：∵函數(shù)
，且是最大值，
∴，.
解得，，故的最小值為，
故.
(2)
解：如果在區(qū)間上的最小值為，
因?yàn)?，所以?br>∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值為，
解得.
40．（2022·上海交大附中模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中
(1)若且直線是的一條對(duì)稱軸，求的遞減區(qū)間和周期；
(2)若，求函數(shù)在上的最小值；
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根據(jù)題設(shè)中的對(duì)稱軸可得，根據(jù)其范圍可求其值，再根據(jù)公式和整體法可求周期及減區(qū)間.
（2）利用三角變換和整體法可求函數(shù)的最小值.
(1)
可知，
因?yàn)橹本€是圖象的一條對(duì)稱軸，故，
解得，而，故，則，
則周期，
再令，則，
故的遞減區(qū)間為.
(2)
可知
因?yàn)?，故?br>則在即取最小值，其最小值為.
41．（2018·上海市南洋模范中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)
（I）求函數(shù)的最小正周期；
（II）設(shè)函數(shù)對(duì)任意，有，且當(dāng)時(shí)，；求函數(shù)在上的解析式．
【答案】（I）；（II）
【解析】
（I）函數(shù)的最小正周期
（2）當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
得：函數(shù)在上的解析式為
42．（2021·上海師大附中高三期中）設(shè)函數(shù)，.
(1)求解關(guān)于x的不等式：；
(2)若方程在上有根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)設(shè)，若對(duì)任意的，，都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)
(2)a＜1．
(3)
【分析】（1）利用絕對(duì)值不等式的解法即可求解.
（2）由題意可得函數(shù)h（x）＝f（x）﹣3x＝x2+|x﹣1|﹣3x+2a 在上有零點(diǎn)，
h（0）h（1）＝（2a+1）?（2a﹣2）＜0，由此求得a的范圍；
（3）對(duì)任意的，都有，即，分別求兩邊函數(shù)的最值即可.
(1)
由題意可得，
即，
即，
兩邊同時(shí)平方可得，
解得，
所以不等式的解集為.
(2)
∵方程f（x）＝3x在上有根，
∴函數(shù)h（x）＝f（x）﹣3x＝x2+|x﹣1|﹣3x+2a 在上有零點(diǎn)．
由于在上，h（x）＝f（x）﹣3x＝x2﹣4x+2a+1是減函數(shù)，
故有h（0）h（1）＝（2a+1）?（2a﹣2）＜0，
求得a＜1．
(3)
對(duì)任意的，都有，
即
，
時(shí)，的最小值為，
時(shí)，的最小值為
故在上的最小值為
（x）＝cs2x+2asinx＝﹣sin2x+2asinx+1
令t＝sinx，因?yàn)椋冤?≤t≤1且y＝﹣t2+2at+1，其對(duì)稱軸為t＝a，
故a≤﹣1時(shí)，y＝﹣t2+2at+1在[﹣1，1]上是減函數(shù)，最大值為﹣4a，
此時(shí)﹣4a＜1，a＞，無(wú)解；
當(dāng)﹣1＜a＜1時(shí)，當(dāng)t＝a時(shí)y有最大值a2 +1，
此時(shí)a2 +1＜1，即，又﹣1＜a＜1，∴0＜a＜1
當(dāng)a≥1時(shí)，y＝﹣t2+2at+1在[﹣1，1]上是增函數(shù)，最大值為0
此時(shí)0＜1，顯然恒成立，
綜上：a的范圍
43．（2022·上海·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（其中，，）的圖象與x軸的交于A，B兩點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)的最小距離為，且該函數(shù)的圖象上的一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）求證：存在大于的正實(shí)數(shù)，使得不等式在區(qū)間有解.（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）由題可得，周期為，則可求出，由可解得；
（2）問題可化為在區(qū)間有解，再求解不等式即可.
【解析】解：（1）由題意可知，，，故函數(shù)的周期為，故，
故，
，
則，即，
，，
；
（2）證明：因?yàn)椋十?dāng)時(shí)，，
原不等式可化為，
又因?yàn)?，則，
要使得在有解，只需在區(qū)間有解，
代入得：，
當(dāng)解得，即，時(shí)，
此時(shí)與區(qū)間與區(qū)間的交集為空集，
當(dāng)，即，時(shí)，
令得時(shí)，滿足，
又因?yàn)?，故只需，原不等式在區(qū)間有解.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)不等式有解問題，解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間有解，從而求解.
44．（2021·上海市青浦高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中常數(shù).
（1）若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
（2）令，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，區(qū)間（且）滿足：在上至少含有30個(gè)零點(diǎn)，在所有滿足上述條件的中，求的最小值.
【答案】（1）；（2）
【解析】(1)因?yàn)?，根?jù)題意有
(2) ，
或，
即的零點(diǎn)相離間隔依次為和，
故若在上至少含有30個(gè)零點(diǎn)，則的最小值為．
【考點(diǎn)定位】考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角函數(shù)圖象的平移變換，屬中檔題
45．（2021·上海楊浦·高三期中）若實(shí)數(shù)，，且滿足，則稱x?y是“余弦相關(guān)”的.
(1)若，求出所有與之“余弦相關(guān)”的實(shí)數(shù)；
(2)若實(shí)數(shù)x?y是“余弦相關(guān)”的，求x的取值范圍；
(3)若不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)x?y是“余弦相關(guān)”的，求證：存在實(shí)數(shù)z，使得x?z為“余弦相關(guān)”的，y?z也為“余弦相關(guān)”的.
【答案】(1)或
(2)
(3)見詳解.
【分析】（1）代入，解三角方程即可.
（2）左邊打開，整理成的方程，用輔助角公式后，再由三角函數(shù)的最值建立不等式關(guān)系求解.
（3）探求的范圍，構(gòu)造z，再運(yùn)用“余弦相關(guān)”的性質(zhì)證明.
(1)
代入得，，，
，又，或
(2)
由得
，
，
，
故，
，，
(3)
證明：先證明，
反證法，假設(shè)，
則由余弦函數(shù)的單調(diào)性可知，
，，
同理，相加得，與假設(shè)矛盾，故.
，且
故也是余弦相關(guān)的，
，即.
記則.
,
，故x?z為“余弦相關(guān)”的；
同理y?z也為“余弦相關(guān)”的
【點(diǎn)睛】新定義題解題思路：
（1）緊扣新定義，運(yùn)用已有相關(guān)知識(shí)，尋找新概念的性質(zhì)，一般完成好1、2問就會(huì)有新的認(rèn)識(shí)理解；
（2）充分理解的基礎(chǔ)上，構(gòu)造對(duì)象“”是解題的關(guān)鍵.
46．（2020·上海·復(fù)旦附中模擬預(yù)測(cè)）（1）已知實(shí)數(shù)，若函數(shù)滿足，問：這樣的函數(shù)是否存在? 若存在，寫出一個(gè)；若不存在，說(shuō)明理由；
（2）寫出三次函數(shù)，使得，對(duì)一切實(shí)數(shù)成立，求時(shí)，的最大值和取最大值時(shí)的值；
（3）設(shè)，函數(shù)，記M為在區(qū)間[t，t+2]上的最大值，當(dāng)變化時(shí)，記m(t)為M的最小值.
①證明：m(t)的值是與t無(wú)關(guān)的常數(shù)（記為m）
②求m的值.
【答案】（1）不存在，理由見解析；（2）當(dāng)時(shí)，取最大值；（3）①證明見解析；②
【分析】（1）若這樣的函數(shù)存在，則不恒為0，由已知，在區(qū)間，，，，，上均有實(shí)根，與已知相矛盾，所以這樣的函數(shù)不存在．
（2），對(duì)任意，，設(shè)，，，則，由三角函數(shù)的性質(zhì)可知，時(shí)，取最大值．
（3）①對(duì)任意，，記，則也是首項(xiàng)系數(shù)為1的三次多項(xiàng)式，根據(jù)題意可得且，所以，即的值是與無(wú)關(guān)的常數(shù)．②由①，只需在求的最小值即可，由（2）知存在首項(xiàng)系數(shù)為1的三次多項(xiàng)式，使得在，上最大值，用反證法證明即可．
【解析】解：（1）不存在，
若這樣的函數(shù)存在，則不恒為0，
由已知，在區(qū)間，，，，，上均有實(shí)根，
這與是次數(shù)小于3的非零多項(xiàng)式矛盾，
所以這樣的函數(shù)不存在．
（2）因?yàn)?br>因?yàn)椋?br>所以，
對(duì)任意，，設(shè)，，，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，1，2，3，時(shí)，等號(hào)成立，
，1，2，3，，即，時(shí)，取最大值．
（3）①對(duì)任意，，記，則也是首項(xiàng)系數(shù)為1的三次多項(xiàng)式，
且，，
由對(duì)稱性，同理可得，
，即的值是與無(wú)關(guān)的常數(shù)．
②由①，只需在求的最小值即可，
由（2）知存在首項(xiàng)系數(shù)為1的三次多項(xiàng)式，使得在，上最大值，
下證：，用反證法，
若不然，存在函數(shù)，在，上最大值，
記，，2，3，則，，，1，2，3，
，
記，則是次數(shù)小于3的多項(xiàng)式，
，對(duì)任意，，，
所以，，而，，
由（1），這樣的函數(shù)不存在，矛盾，說(shuō)明．

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(上海專用)新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)專題03 函數(shù)的概念與性質(zhì)(練習(xí))（2份，原卷版+解析版）：

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