1．（2021·上海市青浦區(qū)第一中學(xué)高一階段練習(xí)）被3除余2的所有正整數(shù)組成的集合為___________.
【答案】
【分析】應(yīng)用描述法寫出集合即可.
【解析】設(shè)正整數(shù)為，則，故.
故答案為：
2．（2021·上海市洋涇中學(xué)高一階段練習(xí)）己知集合，若，則實數(shù)a的值為____________．
【答案】
【分析】根據(jù)集合中元素的特征，用集合元素互異性分析即可.
【解析】由集合中元素的互異性得，故，則，又，所以，解得．
故答案為：
3．（2021·上海市行知中學(xué)高三開學(xué)考試）集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是________．
【答案】
【分析】先化簡集合，再根據(jù)集合間的基本關(guān)系，與集合進行集合包含關(guān)系運算即可，注意討論子集中的空集的情況.
【解析】，若，則是的子集，
當(dāng)時，，所以，
當(dāng)時，，所以，
綜上，實數(shù)的取值范圍是．
故答案為: .
4．（2021·上海交大附中高一期中）已知集合，，則＝___．
【答案】
【分析】求出集合A,B,利用并集的運算直接求解．
【解析】解不等式即，解得 ，
故，
解，即，解得 ，
故，
則，
故答案為：．
5．（2021·上海市洋涇中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)，若是的充分非必要條件，則實數(shù)的取值范圍是__________．
【答案】
【分析】由題知是的真子集，再根據(jù)集合關(guān)系求解即可.
【解析】解：因為是的充分非必要條件，是的真子集，
所以，當(dāng)時，，解得，
當(dāng)時，，解得．
綜上，實數(shù)的取值范圍是
故答案為：
6．（2022·上?！とA東師范大學(xué)附屬東昌中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)全集，集合，，且，則實數(shù)______．
【答案】3或-1##-1或3
【分析】根據(jù)集合相等得到，解出m即可得到答案.
【解析】由題意，或m=-1.
故答案為：3或-1.
7．（2021·上海市青浦區(qū)第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知命題或，命題或，若是的充分條件，則實數(shù)的取值范圍是___________.
【答案】
【分析】由充分條件列不等式組求參數(shù)范圍.
【解析】由題意，所以.
故答案為：
8．（2021·上海市楊浦高級中學(xué)高一期中）已知集合，記集合中的元素個數(shù)為，若，則實數(shù)______.
【答案】或或
【分析】由，得或，分、討論集合中的解，結(jié)合判別式可得答案.
【解析】因為，，解得或者，
時，即只有一個元素，
當(dāng)只有一個解而無解時，
即，解得，
當(dāng)只有一個解而無解時，
即，不存在，
時，有三個元素，
當(dāng)只有一個解而有2個不同解時，
即，不存在，
當(dāng)只有一個解而有2個不同解時，
即，解得或者，
綜上所述， 或或.
故答案為：或或.
9．（2021·上海市延安中學(xué)高一期中）已知條件：，條件：，若是的必要條件，則實數(shù)的取值范圍為___________.
【答案】
【分析】根據(jù)必要條件的定義可得到兩集合的包含關(guān)系，由包含關(guān)系可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.
【解析】是的必要條件
，解得：，
即的取值范圍為.
故答案為：
10．（2022·上海市七寶中學(xué)高三期中）設(shè)均為實數(shù)，若集合的所有非空真子集的元素之和為，則__________
【答案】
【分析】列舉出集合的所有非空真子集，根據(jù)題意可求得的值.
【解析】集合的所有非空真子集為：、、、、、，
由題意可得，解得.
故答案為：.
11．（2021·上海市奉賢中學(xué)高一階段練習(xí)）對于命題“若且是有理數(shù)，則是無理數(shù)”，用反證法證明時，假設(shè)是有理數(shù)后下面到處矛盾的方法：
①因為是有理數(shù)，是無理數(shù)，所以是無理數(shù)，這與是有理數(shù)矛盾；
②因為有理數(shù)，是無理數(shù)，所以是無理數(shù)，這與是有理數(shù)矛盾；
③因為是有理數(shù)，是有理數(shù)，所以是有理數(shù)，這與是無理數(shù)矛盾；
其中，推理正確的序號是___________.
【答案】①③
【分析】根據(jù)反證法概念，從是有理數(shù)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，結(jié)合題意，分析即可得答案.
【解析】①從是有理數(shù)出發(fā)，經(jīng)過推理，得到是無理數(shù)，和題干矛盾，故①正確；
②沒有從是有理數(shù)出發(fā)，推出矛盾，不是反證法，故②不正確；
③從是有理數(shù)出發(fā)，經(jīng)過推理，推出是無理數(shù)，結(jié)論錯誤，從而證明原命題正確，故③正確.
故答案為：①③
12．（2021·上海市洋涇中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)集合，其中m為實數(shù)，令，若C的所有元素之和為5，則C的所有元素之積為____________．
【答案】
【分析】根據(jù)集合C中的元素和為5可得集合B的元素，從而可求集合C中的元素，進而得到各元素的積.
【解析】由題意得（允許有重復(fù)）為集合C的全部元素．
注意到，當(dāng)m為實數(shù)時，，
故只可能是集合，且，于是（經(jīng)檢驗符合題意），
此時集合C的所有元素之積為．
故答案為：
13．（2021·上海師大附中高一期中）如果，那么“”是“”成立的_________條件（選填“充分非必要”“必要非充分”“充要”、“非充分非必要”）
【答案】充分非必要
【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)，與充要條件的定義，即可得到答案．
【解析】若“”，則x，y同號，則“”成立
即“”是“”成立的充分條件
但“”成立時，x，y不異號，“”，“”不一定成立，
即“”是“”成立的不必要條件
即“”是“”成立的充分非必要條件
故答案為：充分非必要
14．（2021·上海市進才中學(xué)高三期中）進才中學(xué)1996年建校至今，有一同學(xué)選取其中8個年份組成集合，設(shè)，，若方程至少有六組不同的解，則實數(shù)k的所有可能取值是_________.
【答案】
【分析】根據(jù)，用列舉法列舉出集合A中，從小到大8個數(shù)中（設(shè)兩數(shù)的差為正），相鄰兩數(shù)，間隔一個數(shù)，間隔二個數(shù)，間隔三個數(shù)，間隔四個數(shù)，間隔五個數(shù)，間隔六個數(shù)的兩數(shù)差，從中找出差數(shù)出現(xiàn)次數(shù)不低于3的差數(shù)即可.
【解析】集合A中，從小到大8個數(shù)中，設(shè)兩數(shù)的差為正：
則相鄰兩數(shù)的差：1，3，2，6，2，1，3；
間隔一個數(shù)的兩數(shù)差：4，5，8，8，3，4；
間隔二個數(shù)的兩數(shù)差：6，11，10，9，6；
間隔三個數(shù)的兩數(shù)差：12，13，11，12；
間隔四個數(shù)的兩數(shù)差：14，14，14；
間隔五個數(shù)的兩數(shù)差：15，17；
間隔六個數(shù)的兩數(shù)差：18；
這28個差數(shù)中，3出現(xiàn)3次，6出現(xiàn)3次，14出現(xiàn)3次，其余都不超過2次，
故k取值為：3，6，14時，方程至少有六組不同的解，
所以k的可能取值為：，
故答案為：
15．（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）設(shè)集合，，集合，則中元素的個數(shù)為___________.
【答案】46
【分析】分，列舉出集合對應(yīng)的元素，除去重復(fù)的計算即得解
【解析】由題意，集合
當(dāng)時，，故對應(yīng)，有7個數(shù)；
當(dāng)時，，故對應(yīng)，有7個數(shù)；
當(dāng)時，，故對應(yīng)，有7個數(shù)；
當(dāng)時，，對應(yīng)，其中有3個數(shù)1，2，3與時重復(fù)；
當(dāng)時，，故對應(yīng)，有7個數(shù)；
當(dāng)時，，故對應(yīng)，有7個數(shù)；
當(dāng)時，，故對應(yīng)，有7個數(shù)；
故中元素的個數(shù)為
故答案為：46
16．（2021·上海市行知中學(xué)高一階段練習(xí)）以集合的子集中選出兩個不同的子集，需同時滿足以下兩個條件：（1）、都至少屬于其中一個集合；（2）對選出的兩個子集，其中一個集合為另一個的子集，那么共有_________種不同的選法.
【答案】32
【分析】根據(jù)題意，集合A,B可以互換，不妨設(shè)元素少的為A，多的為B，則B必包含{a,b}，A為B的真子集，從而解得答案.
【解析】由題意，不妨設(shè)元素少的為A，多的為B，則B必含有a,b，A為B的真子集，
若，A為B的真子集，則有種，
若，A為B的真子集，則有種，
若，A為B的真子集，則有種，
若，A為B的真子集，則有種，
共有3+7+7+15=32種.
故答案為：32.
17．（2021·上?！の挥袑W(xué)高一階段練習(xí)）已知，集合，設(shè)關(guān)于的不等式的解集為B，若，則實數(shù)的取值范圍為_____________
【答案】
【分析】求出集合B，根據(jù)建立不等式求解即可.
【解析】由可得，
當(dāng)時，不等式無解，即,不符合.
當(dāng)時，由不等式解得，即，
由則需，解得，
所以，
當(dāng)時，由不等式解得，即
由則需，解得.
綜上，或.
故答案為：
18．（2021·上?！の挥袑W(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)為實數(shù)，關(guān)于的不等式組的解集為A，若，則的取值范圍是_____________
【答案】
【分析】根據(jù)，建立不等式求解即可求解.
【解析】由題意，，
則或
解得或.
故答案為：
19．（2020·上海市新川中學(xué)高一期中）若規(guī)定的子集為E的第個子集，其中，則E的第211個子集為_________________．
【答案】
【分析】分別討論的取值，通過討論計算n的可能取值即可得到.
【解析】因為E的第211個子集包含，,此時211-128=83；
因為，所以E的第211個子集包含，此時83-64=19；
因為，所以E的第211個子集包含，此時19-16=3.；
E的第211個子集包含，此時3-2=1，
E的第211個子集包含.
所以E的第211個子集是
故答案為：.
20．（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）設(shè)集合，集合，若的子集中任意兩個元素之和不是整數(shù)的平方，則稱為“稀疏集”.那么使能分成兩個不相交的稀疏集的并集時，的最大值是___________.
【答案】
【分析】先由反證法證明當(dāng)時，不能分成兩個不相交的稀疏集的并集，再證時，能分成兩個不相交的稀疏集的并集，即可得的最大值.
【解析】先證當(dāng)時，不能分成兩個不相交的稀疏集的并集，
假設(shè)當(dāng)時，能分成兩個不相交的稀疏集的并集，設(shè)和為兩個不相交的稀疏集，
使，
不妨設(shè)，則由于，所以，即，
同理可得：，，可推出，當(dāng)，這與為稀疏集矛盾，
所以時，不能分成兩個不相交的稀疏集的并集，
再證明時，能分成兩個不相交的稀疏集的并集，
時，能分成兩個不相交的稀疏集的并集，
取，，則和都是稀疏集，
且，
當(dāng)時，集合中，除整數(shù)外，剩下的數(shù)組成集合，
可以分成下列稀疏集的并集：
，，
當(dāng)時，集合中，除整數(shù)外，剩下的數(shù)組成集合，
可分為下列稀疏集的并集：
，，
最后集合且中的數(shù)的分母都是無理數(shù)，它與中的任何其它數(shù)之和都不是整數(shù)，
因此令，，則和為兩個不相交的稀疏集，且，
綜上所述：的最大值是，
故答案為：.
21．（2021·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）對于定義在上的函數(shù)，點是圖像的一個對稱中心的充要條件是：對任意都有，判斷下列函數(shù)具有對稱中心的有_____.
（1）；
（2）.
【答案】（1）（2）
【分析】借助于進行判斷：
（1）首先判斷定義域?qū)ΨQ的，然后通過取特殊值找到對稱中心，利用進行證明；
（2）先通過取特殊值找到對稱中心，利用進行證明；
【解析】（1）
，定義域有空點，
，使得定義域?qū)ΨQ的，中間的是，
故若存在對稱中心，其橫坐標(biāo)必為，
特值法取，
得，即對稱中心縱坐標(biāo)為，
利用中心對稱等價形式檢驗是否為的對稱中心：
，
故的圖像存在對稱中心.
（2）
，定義域為，故若存在對稱中心，其橫坐標(biāo)必為2，
特值法取得，即對稱中心縱坐標(biāo)為0，
利用中心對稱等價形式檢驗是否為的對稱中心：
，
故的圖像存在對稱中心.
22．（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）用表示非空集合A中元素的個數(shù)：定義，若，，且，設(shè)實數(shù)a的所有可能取值構(gòu)成集合S，__________；
【答案】
【分析】根據(jù)新定義得出集合中元素個數(shù)，再由方程根的個數(shù)分析求解．
【解析】由已知，而，則或3，
顯然的一個解是，
若，則，滿足題意；
若，則，方程已有兩個根和，有兩個相等的實根且不為0和，
，，時，的解為．
時，的解為．均滿足題意．
綜上．
故答案為：．
二、單選題
23．（2021·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）設(shè)集合．若，則實數(shù)的值為（ ）
A．1B．C．1或D．0或1或
【答案】D
【分析】對進行分類討論，結(jié)合求得的值.
【解析】由題可得，，
當(dāng)時，，滿足；
當(dāng)時， ，則或，即.
綜上所述，或.
故選：D.
24．（2022·上海普陀·二模）“”是“”的（ ）
A．充分非必要條件B．必要非充分條件
C．充要條件D．既非充分也非必要條件
【答案】A
【分析】應(yīng)用作差法，結(jié)合充分、必要性定義判斷條件間的推出關(guān)系即可.
【解析】由，又，
所以，即，充分性成立；
當(dāng)時，即，顯然時成立，必要性不成立.
故“”是“”的充分非必要條件.
故選：A
25．（2022·上?！じ呷A段練習(xí)）已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則“”是數(shù)列為等差數(shù)列的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】由充分條件和必要條件的定義結(jié)合數(shù)列的知識判斷即可.
【解析】當(dāng)時，若，則，于是無意義，充分性不成立；當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時，，則，即“”是數(shù)列為等差數(shù)列的必要不充分條件.
故選：B
26．（2022·上海閔行·高一期末）已知為實數(shù)，若，則是的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)充分性和必要性的判斷方法來判斷即可．
【解析】當(dāng)時，若，不能推出，不滿足充分性；
當(dāng)，則，有，滿足必要性；
所以是的必要不充分條件．
故選:B．
27．（2022·上海金山·高一期末）用反證法證明命題：“對于三個實數(shù)a、b、c，若，則或”時，提出的假設(shè)正確的是（ ）
A．且B．或
C．D．
【答案】C
【分析】用反證法證明時，假設(shè)結(jié)論的反面成立，從而可得答案.
【解析】用反證法證明時，假設(shè)結(jié)論的反面成立：即假設(shè)且成立.
故選：C
28．（2021·上海市崇明中學(xué)高一期中）若、是全集的真子集，則下列四個命題：①；②；③；④；⑤是的必要不充分條件其中與命題等價的有（ ）
A．個B．個C．個D．個
【答案】B
【分析】根據(jù)韋恩圖和集合的交、并、補運算的定義逐一判斷可得選項.
【解析】解：由得韋恩圖：
對于①，等價于，故①正確；
對于②，等價于，故②不正確；
對于③，等價于，故③正確；
對于④，與、是全集的真子集相矛盾，故④不正確；
對于⑤，是的必要不充分條件等價于B?A，故⑤不正確，
所以與命題等價的有①③，共2個，
故選：B.
29．（2019·上海市亭林中學(xué)高一期中）命題“若，則”的逆否命題是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】C
【分析】根據(jù)逆否命題的定義，易求出命題的逆否命題.
【解析】解：將命題的條件與結(jié)論交換，并且否定可得逆否命題，即命題“若，則”的逆否命題是若“，則”.
故選：C．
30．（2020·上?！?fù)旦附中青浦分校高一階段練習(xí)）已知a1，a2，b1，b2均為非零實數(shù)，集合A={x|a1x+b1>0}，B={x|a2x+b2>0}，則“”是“A=B”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義即可求解.
【解析】∵
∴取a1=1，a2=-1，b1=-1，b2=1，A≠B
而
∴“”是“A=B”的必要不充分條件
故選：B.
31．（2022·湖南·株洲二中高一開學(xué)考試）如果甲是乙的充要條件，丙是乙的充分不必要條件，那么甲是丙的（ ）.
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.
【解析】由題意，甲是乙的充要條件，可得甲與乙等價，即甲乙，
又由丙是乙的充分不必要條件，即丙乙，
所以丙甲，所以甲是丙的必要不充分條件.
故選：B.
32．（2021·上?！らh行中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)是平面外的兩條直線，且，那么是的（ ）條件
A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要
【答案】A
【分析】判斷由能否得到，再判斷由能否得到即可．
【解析】充分性：若，結(jié)合，且在平面外，可得，是充分條件；
必要性：若，結(jié)合，且，是平面外，則，可以平行，也可以相交或者異面，所以不是必要條件．
故是的充分非必要條件．
故選：A．
33．（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）對于集合、，定義集合運算且，給出下列三個結(jié)論：（1）；（2）；（3）若，則；則其中所有正確結(jié)論的序號是（ ）
A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）
【答案】D
【分析】由韋恩圖分別表示集合，，，再逐一判斷（1）（2）（3）即可得正確選項.
【解析】如圖：若，不具有包含關(guān)系，由韋恩圖分別表示集合，，，
若，具有包含關(guān)系，不妨設(shè)是的真子集，
對于（1）: 圖中，，圖中，所以，
故（1）正確；
對于（2）：圖中，成立，
圖中，，，
所以成立，故（2）正確；
對于（3）：若，則；故（3）正確；
所以其中所有正確結(jié)論的序號是（1）（2）（3），
故選：D.
34．（2020·上海市大同中學(xué)高一階段練習(xí)）若?分別為集合?的元素個數(shù)，定義，若，且.設(shè)實數(shù)所有可能構(gòu)成集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由題設(shè)可得或，分類討論研究集合T中方程解的情況，即可確定實數(shù)所有可能，進而可得.
【解析】由題意，，，及方程的解.
由，，
∴或；
當(dāng)時，只能為，則；
當(dāng)時，分三種情況討論：
或是方程的其中一個解，方程還有另外一解，把?代入驗證，不符合題意；
當(dāng)方程有兩個相等的實數(shù)根時，即，解得，符合題意.
綜上所述，??.
故選：C
三、解答題
35．（2022·上海市大同中學(xué)高一期末）已知集合，集合．
(1)當(dāng)時，求；
(2)若，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）當(dāng)時，代入集合中，寫出集合，再解出集合，取交集即取公共的部分即可.
（2）由題意知，分為兩種情況與，分別求出a的取值范圍再取并集即可.
（1）
當(dāng)時，，，故.
（2）
由知，①當(dāng)時，. ②當(dāng)時，.綜上.
36．（2021·上海市新場中學(xué)高一階段練習(xí)）已知命題α：1≤x≤2，命題β：1≤x≤a．
(1)若α是β必要非充分條件，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)求證：a≥2是α?β成立的充要條件．
【答案】(1){a|a＜2}
(2)證明見解析
【分析】（1）設(shè)A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}，由α是β必要非充分條件，得到B是A的真子集，分類討論，求出實數(shù)a的取值范圍；
（2）分別證明充分性和必要性即可．
【解析】解：（1）設(shè)A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}，
若α是β必要非充分條件，則B是A的真子集，
當(dāng)B＝?時，a＜1，此時滿足B是A的真子集，符合題意，
當(dāng)B≠?時，若B是A的真子集，則，解得1≤a＜2，
綜上所述實數(shù)a的取值范圍為{a|a＜2}，
證明：（2）充分性（若a≥2，則α?β）．
若a≥2，則{x|1≤x≤2}?{x|1≤x≤a}，
所以命題α：1≤x≤2可得出命題β：1≤x≤a，故充分性成立，
必要性（若α?β，則a≥2）．
若命題α：1≤x≤2可得出命題β：1≤x≤a，
則{x|1≤x≤2}?{x|1≤x≤a}，所以a≥2，故必要性成立，
綜上所述：a≥2是α?β成立的充要條件．
37．（2019·上海市亭林中學(xué)高一期中）已知集合，
(1)若是空集，求的取值范圍；
(2)若中至多有一個元素，求的值，并寫出此時的集合；
(3)若中至少有一個元素，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)當(dāng)時，；當(dāng)，；當(dāng)，
(3)
【分析】（1）利用判別式研究方程根的個數(shù)即可；
（2）當(dāng)時，符合，當(dāng)時，利用判別式研究方程根的個數(shù)即可；
（3）當(dāng)時，符合，當(dāng)時，利用判別式研究方程根的個數(shù)即可；
(1)
若是空集，則，解得；
(2)
若中至多有一個元素
當(dāng)時，，符合
當(dāng)時，若，解得，此時
若，得，此時.
綜合得：當(dāng)時，；當(dāng)，；當(dāng)，.
(3)
若中至少有一個元素
當(dāng)時，，符合
當(dāng)時，若，解得且
綜合得.
38．（2021·上海市桃浦中學(xué)高一階段練習(xí)）已知集合，.若的充分非必要條件為，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】或．
【分析】解絕對值不等式確定集合，然后由充分非必要條件的定義得集合包含關(guān)系，然后可求解．
【解析】由已知，
的充分非必要條件為，則是的真子集．
當(dāng)即時，滿足題意，
當(dāng)時，由題意，等號不同時取得，解得，
綜上的取值范圍是或．
39．（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）已知命題：關(guān)于方程有兩個不相等的負(fù)根，命題：關(guān)于的方程無實數(shù)根.
（1）若命題是真命題，求的取值范圍；
（2）若命題，中有且僅有一個是真命題，求的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根據(jù)命題為真，得到方程有兩不等負(fù)根，由此列出不等式求解，即可得出結(jié)果；
（2）先求出為真命題時，的范圍，再由題中條件，得到，一真一假，由此可求出結(jié)果.
【解析】（1）若命題是真命題，則關(guān)于方程有兩個不相等的負(fù)根，
所以只需，解得，
即的取值范圍為；
（2）若為真命題，即關(guān)于的方程無實數(shù)根，
則，即，解得：或；
若為假命題，則；
由（1）知，是真命題時，；所以為假命題時，或；
因為命題，中有且僅有一個是真命題，
當(dāng)為真命題，為假命題時，由，可得；
當(dāng)為真命題，為假命題時，只需求與的交集，即；
綜上，的取值范圍為.
40．（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）命題：關(guān)于的方程有實數(shù)解；
命題：，關(guān)于的不等式都成立；
若命題和命題都是真命題，則實數(shù)的取值范圍．
【答案】
【解析】對于命題，討論和時，結(jié)合判別式求出范圍；對于命題，根據(jù)的單調(diào)性求出最值即可得出范圍，聯(lián)立兩個命題即可得出答案.
【解析】命題：關(guān)于的方程有實數(shù)解，
討論如下：①顯然成立；
②時，，整理的
解得：，且；
∴命題為真命題時，；
命題：，關(guān)于的不等式都成立
令，
函數(shù)在單調(diào)遞減，
不等式恒成立，∴；
因為命題和命題都是真命題，所以的范圍．
【點睛】方法點睛：解決此類問題一般先求出命題為真時對應(yīng)的參數(shù)范圍，再結(jié)合命題的真假或復(fù)合命題的真假列出對應(yīng)的不等式求解.
41．（2022·上海市奉賢中學(xué)高一期中）對于函數(shù)，若在其定義域內(nèi)存在實數(shù)，t，使得成立，稱是“t躍點”函數(shù)，并稱是函數(shù)的“t躍點”．
(1)若函數(shù)，x∈R是“躍點”函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；
(2)若函數(shù)，x∈R，求證：“”是“對任意t∈R，為‘t躍點’函數(shù)”的充要條件；
(3)是否同時存在實數(shù)m和正整數(shù)n使得函數(shù)在上有2021個“躍點”？若存在，請求出所有符合條件的m和n的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)存在，或或.
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式計算，，，根據(jù)“躍點”函數(shù)的定義，利用輔助角公式和三角函數(shù)的性質(zhì)求得實數(shù)的取值范圍；
（2）先將“對任意t∈R，為‘t躍點’函數(shù)”等價轉(zhuǎn)化為“對于任意實數(shù)，關(guān)于的方程都有解”，然后利用取特值證明“”的必要性，利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式證明充分性；
（3）代入計算，化簡得，根據(jù)正弦函數(shù)的周期性和圖象，討論可得答案.
（1）
由已知得存在實數(shù)，使得，
∴，
∴實數(shù)m的取值范圍是.
（2）
由題意得“對任意t∈R，為‘t躍點’函數(shù)”等價于：
對是任意實數(shù)，關(guān)于的方程都有解，
則對于時有解，即,∴；
反之，當(dāng)時，,等價于
，顯然，是此方程的解，故此方程對于任意實數(shù)都有實數(shù)解.
綜上所述，“”是“對任意t∈R，為‘t躍點’函數(shù)”的充要條件；
（3）
由已知得，，
化簡得，的最小正周期為；
根據(jù)函數(shù)在上的圖象可知：
①當(dāng)時，在有個“躍點”，故不可能有2021個“躍點”；
②當(dāng)時，在有個“躍點”，此時；
③當(dāng)或時，在上有個“躍點”，故；
綜上：或或.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查函數(shù)的新定義，關(guān)鍵在于緊抓函數(shù)的新定義，綜合運用函數(shù)的單調(diào)性、周期性、值域等性質(zhì)，運用參變分離等方法得以解決.
42．（2022·上海市建平中學(xué)高一期末）記項數(shù)為10且每一項均為正整數(shù)的有窮數(shù)列{}所構(gòu)成的集合為A，若對于任意p、，當(dāng)時都有，則稱集合A為“子列封閉集合”．
(1)若，判斷集合A是否為“子列封閉集合”，并說明理由；
(2)若數(shù)列{}的最大項為，且，證明：集合A不為“子列封閉集合”；
(3)若數(shù)列{}嚴(yán)格增，且集合A為“子列封閉集合”，求數(shù)列{}的通項公式．
【答案】(1)集合A為“子列封閉集合”，理由見解析
(2)證明見解析
(3)或
【分析】（1）按照定義直接判斷；
（2）利用反證法證明集合A不為“子列封閉集合”．
（3）先判斷出或{21，22}，分類討論：①，由題意求出；②，求出即可得到答案.
(1)
對于任意p，，當(dāng)時，，故集合A為“子列封閉集合”；
(2)
假設(shè)集合A為“子列封閉集合”，，故存在正整數(shù)使得，易知，由于，故，顯然，這與為集合A中的最大元素矛盾，故集合A不為“子列封閉集合”．
(3)
根據(jù)（2）中證明可知，集合A為“子列封閉集合”，則，
由于數(shù)列嚴(yán)格增，，故或{21，22}，
①，則，
假設(shè)，此時，由于，故，由于，這與矛盾；
故，又由于，故，此時，經(jīng)檢驗符合題意；
②，則，
假設(shè)，此時，由于，故，由于，這與矛盾；
假設(shè)，此時，由于，故，由于，這與矛盾；
故，又由于，故，此時，經(jīng)檢驗符合題意；
綜上所述，或．

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