(上海專用)新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測專題05 二次函數(shù)(講義)（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1.二次函數(shù)解析式的三種形式
(1)一般式：f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)頂點(diǎn)式：f (x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
(3)零點(diǎn)式：f (x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
2．二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
提醒：二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的系數(shù)特征
(1)二次項(xiàng)系數(shù)a的正負(fù)決定圖象的開口方向．
(2)－eq \f (b,2a)的值決定圖象對(duì)稱軸的位置．
(3)c的取值決定圖象與y軸的交點(diǎn)．
(4)Δ＝b2－4ac的正負(fù)決定圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
常用結(jié)論：
1．冪函數(shù)y＝xα在(0，＋∞)上的三個(gè)重要結(jié)論
(1)當(dāng)α＞0時(shí)，函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．
(2)當(dāng)α＜0時(shí)，函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．
(3)當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，α越大，函數(shù)值越小，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，α越大，函數(shù)值越大．
2．根與系數(shù)的關(guān)系
二次函數(shù)f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，當(dāng)Δ＝b2－4ac＞0時(shí)，其圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)M1(x1,0)，M2(x2,0)，這里的x1，x2是方程f (x)＝0的兩個(gè)根，且eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝－\f (b,a)，,x1·x2＝\f (c,a)，))|M1M2|＝|x1－x2|＝eq \f (\r(Δ),|a|).
題型技巧1 二次函數(shù)圖象的識(shí)別
識(shí)別二次函數(shù)圖象應(yīng)學(xué)會(huì)“三看”
題型技巧2 二次函數(shù)的單調(diào)性
二次函數(shù)單調(diào)性問題的求解策略
(1)對(duì)于二次函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是開口方向與對(duì)稱軸的位置，若開口方向或?qū)ΨQ軸的位置不確定，則需要分類討論求解．
(2)利用二次函數(shù)的單調(diào)性比較大小，一定要將待比較的兩數(shù)通過二次函數(shù)的對(duì)稱性轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上比較．
題型技巧3 二次函數(shù)的最值問題
二次函數(shù)最值問題的類型及解題思路
(1)類型：
①對(duì)稱軸、區(qū)間都是給定的；
②對(duì)稱軸動(dòng)、區(qū)間固定；
③對(duì)稱軸定、區(qū)間變動(dòng)．
(2)解決這類問題的思路：抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合，“三點(diǎn)”是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn)，“一軸”指的是對(duì)稱軸，結(jié)合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想解決問題．
題型技巧4 與二次函數(shù)有關(guān)的恒成立問題
1．由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關(guān)鍵
(1)一般有兩個(gè)解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)．
(2)兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離．這兩個(gè)思路的依據(jù)是：a≥f (x)恒成立?a≥f (x)max，a≤f (x)恒成立?a≤f (x)min.
2．a(chǎn)x2＋bx＋c＜0(a＞0)在區(qū)間[m，n]上恒成立的條件．設(shè)f (x)＝ax2＋bx＋c，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f ?m?＜0，,f ?n?＜0.))
一、單選題
1．若函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱軸和單調(diào)性求得的取值范圍.
【解析】函數(shù)的對(duì)稱軸為，
由于在上是減函數(shù)，所以.
故選：B
2．函數(shù)的減區(qū)間為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先氣的函數(shù)的定義域?yàn)?，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，即可求解.
【解析】由題意，函數(shù)有意義，則滿足，
即，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>令，可得其開口向下，對(duì)稱軸的方程為，
所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，
即的減區(qū)間為.
故選：D.
3．已知函數(shù)的定義域和值域都為，則（）
A．7B．6C．5D．4
【答案】C
【分析】求出得對(duì)稱軸為，可得在上單調(diào)遞減，解方程組即可求解.
【解析】的對(duì)稱軸為，開口向上，
所以在上單調(diào)遞減，
因?yàn)樵谏系闹涤驗(yàn)椋?br>所以，整理可得：，
解得或（舍），
將代入可得，解得，
故選：C.
4．定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由二次函數(shù)的性質(zhì)知開口向上且頂點(diǎn)為，且，結(jié)合閉區(qū)間對(duì)應(yīng)值域即可確定m的范圍.
【解析】由，其開口向上且頂點(diǎn)為，
當(dāng)時(shí)，可得或，
因?yàn)槎x域?yàn)閷?duì)應(yīng)值域?yàn)椋?br>所以.
故選：C.
5．已知圖象開口向上的二次函數(shù)，對(duì)任意，都滿足，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，可知函數(shù)的對(duì)稱性，并明確其對(duì)稱軸，根據(jù)二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，可得答案.
【解析】由，得函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線，
又二次函數(shù)圖象開口向上，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，
則，解得．
故選：B.
6．已知在上單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性即可得到或，解不等式即可求出結(jié)果.
【解析】因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，所以在上單調(diào)需滿足或，即或，
故選：D.
7．已知函數(shù)在區(qū)間[0，2]上的最大值是1，則a的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】將函數(shù)左移，函數(shù)變得簡單，使得解的過程也變得簡單；再分類討論去絕對(duì)值，最后根據(jù)函數(shù)的值域算出實(shí)屬a的取值范圍.
【解析】將函數(shù)的圖象向左平移一個(gè)單位，得到函數(shù).則在區(qū)間[0，2]上的最大值是1，只需函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上的最大值是1.
由，，
當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)函數(shù)的最小值為1，不合題意；
當(dāng)，時(shí)，，符合題意；
當(dāng)，時(shí)，，化簡得
又由當(dāng)時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，的值域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，必有，可得.
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故選：B.
8．函數(shù)的最小值是（）．
A．10B．1C．11D．
【答案】B
【分析】利用換元法，令，則，先求出的范圍，從而可求出函數(shù)的最小值
【解析】設(shè)，則，
因?yàn)椋?br>所以，所以的最小值為1，
故選：B
9．函數(shù)的最大值為（）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】利用三角函數(shù)的平方關(guān)系將化為，配方后結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)，求得答案.
【解析】，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，且最大值為3,
故選：B
10．已知函數(shù)在上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中b的可能取值為（）
A．0B．C．D．4
【答案】C
【分析】先由題意得，在上有且只有一個(gè)解，再根據(jù)，的值域得到關(guān)于b的不等式，進(jìn)而得到b的取值范圍
【解析】令，，
由函數(shù)在上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，
則方程，其中，有且只有一個(gè)解，
從而的值域?yàn)橛邢迏^(qū)間，故必有，
從而有的值域?yàn)椋?br>所以，即，從而可以選，故選項(xiàng)C正確．
故選：C．
11．若函數(shù)在區(qū)間上的最大值是M，最小值m，則（）
A．與a無關(guān)，且與b有關(guān)B．與a有關(guān)，且與b無關(guān)
C．與a有關(guān)，且與b有關(guān)D．與a無關(guān)，且與b無關(guān)
【答案】A
【分析】討論、、，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求的最值，結(jié)合已知求，即可判斷與參數(shù)a、b是否有關(guān).
【解析】函數(shù)的圖象開口朝上，且對(duì)稱軸為直線，
①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，則，，
此時(shí)，故的值與a無關(guān)，與b有關(guān)，
②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則，，
此時(shí)，故的值與a無關(guān)，與b有關(guān)，
③當(dāng)時(shí)，，
若時(shí)，，有，
，故的值與a無關(guān)，與b有關(guān)，
若時(shí)，，有，
，故的值與a無關(guān)，與b有關(guān)，
綜上：的值與a無關(guān)，與b有關(guān).
故選：A.
12．已知函數(shù)，則使得不等式成立的t的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】判斷函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸以及函數(shù)的單調(diào)性，由此列出相應(yīng)的不等式，解得答案.
【解析】函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，函數(shù) 的圖象也關(guān)于直線對(duì)稱，
故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù) 單調(diào)遞增，故單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
故由不等式成立可得：，
整理得：且，
故且，
故選：D
【點(diǎn)睛】本題綜合考查了函數(shù)的對(duì)稱性以及單調(diào)性的應(yīng)用，解答時(shí)不能直接代入求解不等式，而是要判斷函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性，由此將
轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的不等式求解.
13．已知函數(shù)，若函數(shù)有13個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)與函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，再畫出圖形，數(shù)形結(jié)合即可解決.
【解析】解：函數(shù)有13個(gè)零點(diǎn)，
令，有，
設(shè)，
可知恒過定點(diǎn)，
畫出函數(shù)，的圖象，如圖所示：
則函數(shù)與函數(shù)的圖象有13個(gè)交點(diǎn)，
由圖象可得：，則，
即，解得：.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍問題，考查化歸轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.
14．定義在R上的偶函數(shù)滿足對(duì)任意，有，且當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)在上至少有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)偶函數(shù)滿足，推知是最小正周期為2的偶函數(shù)，由時(shí)，，得到其圖象，然后將在上至少有三個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為的圖象和的圖象至少有3個(gè)交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合求解.
【解析】∵，且是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，
令可得，
又，∴，則有，
∴是最小正周期為2的偶函數(shù).
當(dāng)時(shí)，，開口向下，頂點(diǎn)為的拋物線.
∵函數(shù)在上至少有三個(gè)零點(diǎn)，
令，則的圖象和的圖象至少有3個(gè)交點(diǎn).
∵，當(dāng)時(shí)，的圖象和的圖象只有1個(gè)交點(diǎn)，故，
要使函數(shù)在上至少有三個(gè)零點(diǎn)，如圖：
則有，可得，
即，∴，又，∴.
故選：C
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：此題主要考查函數(shù)奇偶性、周期性及其應(yīng)用，解題的過程中用到了數(shù)形結(jié)合的方法，同時(shí)考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，正確賦值是迅速解題的關(guān)鍵．其二是考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題和圖像的交點(diǎn)問題的轉(zhuǎn)化．
15．已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，若對(duì)任意，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】是周期為4的函數(shù)，且是奇函數(shù)，0在函數(shù)定義域內(nèi)，故，得，先得到一個(gè)周期內(nèi)的解析式，求出該周期內(nèi)使成立的的范圍，從而推出的范圍，再分的范圍討論即可.
【解析】解：由題意，為周期為4的函數(shù)，且是奇函數(shù)0在函數(shù)定義域內(nèi)，故，得，
所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
又知道，所以以為對(duì)稱軸，
且當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí)，令，得，或，
所以在內(nèi)當(dāng)時(shí)，
設(shè)，
若對(duì)于都有，
所以
因?yàn)椋?br>①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，故
得，無解.
②時(shí)，，此時(shí)最大，最小，即
得.
③當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)最小，最大，即
得，
④當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故
解得，，
綜上.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)合函數(shù)的值域、對(duì)稱區(qū)間上函數(shù)解析式的求法、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值、函數(shù)的對(duì)稱性、周期性、恒成立等知識(shí)屬于難題.
16．若關(guān)于的方程（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）有且僅有6個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由題設(shè)有，令，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性、極值、值域，再畫出的圖象，結(jié)合圖象討論有不同個(gè)解時(shí)的取值范圍，最后根據(jù)二次復(fù)合型函數(shù)解的個(gè)數(shù)確定對(duì)應(yīng)的區(qū)間及解的個(gè)數(shù)，應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式組求的范圍.
【解析】由題設(shè)，，令，
∴，故，
∴1、當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
2、極大值，
3、上；上；上；
∴的圖象如下：
∴，則無解；，則有3個(gè)解；或，則有1個(gè)解；，則有2個(gè)解；
∴題設(shè)方程有6個(gè)解，即在上有2個(gè)解，
∴，解得.
故選：D
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)并畫出圖象，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合討論不同值域范圍對(duì)應(yīng)解的個(gè)數(shù)，再由關(guān)于的二次函數(shù)的性質(zhì)，判斷符合題設(shè)條件的范圍以及對(duì)應(yīng)解的個(gè)數(shù).
二、填空題
17．函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
【答案】
【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)即得.
【解析】根據(jù)題意，函數(shù)為二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為，
若在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則有或，
解可得：或，
即的取值范圍為.
故答案為：.
18．若時(shí)，二次函數(shù)的最大值為31，則的值為_____．
【答案】或
【分析】對(duì)的取值進(jìn)行分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的最大值來求得的值.
【解析】∵二次函數(shù)解析式為y＝2x2+4x+1，
∴該二次函數(shù)的對(duì)稱軸是直線，開口向上，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，y在時(shí)取得最大值31．
∴．
解得，（舍）．
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，y在時(shí)取得最大值31．
∴．
解得（舍），．
綜上所述，的值為或.
故答案為：或
19．已知函數(shù)．若的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，則__________．
【答案】
【分析】由題意知函數(shù)為開口向下，且對(duì)稱軸為的二次函數(shù)，討論與的大小關(guān)系，即可得出在區(qū)間上的單調(diào)性，則可列出等式，即解出的值，則可求出答案.
【解析】因?yàn)?，?duì)稱軸為，
當(dāng)時(shí)：在上單調(diào)遞減，所以，無解；
當(dāng)時(shí)：在上單調(diào)遞增，所以，
解得：或，或，又，所以，;
當(dāng)時(shí)：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
此時(shí)，與矛盾；
綜上所述：，，此時(shí)
故答案為：.
20．要使函數(shù)在時(shí)恒大于0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.
【答案】
【分析】利用分離參數(shù)法得到在時(shí)恒成立，令，求出的值域，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)恒大于0，
所以在時(shí)恒成立.
令，則.
因?yàn)椋?
令.
因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，所以，即
因?yàn)楹愠闪?所以.
故答案為：
21．已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
【答案】
【分析】利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷法則，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)單調(diào)性列出不等式組，求解即可得答案.
【解析】解：令，，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，而函數(shù)在上是增函數(shù)，
所以在上單調(diào)遞減，且恒成立，
所以，即，解得，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故答案為：.
22．已知函數(shù)在，上存在零點(diǎn)，且對(duì)任意的，，，則的取值范圍為__.
【答案】
【分析】采用轉(zhuǎn)化法，令，變形得，將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點(diǎn)問題，采用數(shù)形結(jié)合法，令，相當(dāng)于，結(jié)合解析法可求的取值范圍.
【解析】令，得，令，
問題轉(zhuǎn)化為和在，上有交點(diǎn)，
令，則過點(diǎn)，其中滿足，
如圖示：
當(dāng)直線為時(shí)，最小，當(dāng)直線在位置時(shí)，最大，
由直線過得，，則直線方程為；，此時(shí)；
由直線過得，可設(shè)，聯(lián)立，
得：，由，解得：，
此時(shí)：，
故的取值范圍是，
故答案為：
23．已知函數(shù)，若方程有8個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________________________ ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，作出函數(shù)的圖像，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合，將問題轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，再結(jié)合二次函數(shù)零點(diǎn)分布求解即可.
【解析】解：根據(jù)題意，作出函數(shù)的圖像，如圖：
令，因?yàn)榉匠逃?個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，
所以方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
故令，則函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的零點(diǎn).
所以，即，解得.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
24．已知函數(shù)，若對(duì)于任意，均有，則的最大值是___________.
【答案】
【分析】首先討論、時(shí)的最值情況，由不等式恒成立求的范圍，再討論并結(jié)合的單調(diào)情況求的范圍，最后取它們的并集即可知的最大值.
【解析】當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
令，則
∴當(dāng)時(shí)，有；有；
由有，有，故；
當(dāng)時(shí)，有；有；
由有，有，故，即；
當(dāng)時(shí)，，
∴：在上遞減，上遞減，上遞增；
：在上遞減，上遞增；
：在上遞減，上遞增，上遞增；
∴綜上，在上先減后增，則，可得
∴恒成立，即的最大值是-1.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：分類討論參數(shù)的取值范圍，根據(jù)函數(shù)不等式恒成立求代數(shù)式范圍，其中綜合應(yīng)用二次函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)研究復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定代數(shù)式的最大值.
三、解答題
25．已知函數(shù)．若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，求a的值．
【答案】
【分析】根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系展開討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值，列方程求a的值．
【解析】對(duì)稱軸為，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，，舍去；
當(dāng)，即時(shí)，，
解得：或（舍去）；
當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，，
解得：（舍去）；
綜上：
26．已知是對(duì)數(shù)函數(shù)，并且它的圖像過點(diǎn)，，其中．
(1)當(dāng)時(shí)，求在上的最大值與最小值；
(2)求在上的最小值．
【答案】(1)最大值為3，最小值為．
(2)
【分析】（1）由題知，進(jìn)而令，再根據(jù)換元法求解即可；
（2）設(shè)，由（1）知，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)“軸動(dòng)區(qū)間定”，根據(jù)對(duì)稱軸相對(duì)于給定區(qū)間的位置進(jìn)行分類討論求解即可.
（1）
解：設(shè)（，且），
∵的圖像過點(diǎn)，
∴，即，
∴，即，∴．
∵，∴，即．
設(shè)，則，，
∴，
又，，
∴．
∴當(dāng)時(shí)，在上的最大值為3，最小值為．
（2）
解：設(shè)，則，
由（1）知，對(duì)稱軸為直線．
①當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)．
；
②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，；
③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，．
綜上所述，．
27．已知拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn)．
(1)求拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)．
(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，最小值為，若，求的值．
【答案】(1)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）
(2)
【分析】（1）方法一：由題意可得拋物線經(jīng)過（2，c）和（0，c），則可得對(duì)稱軸為直線，然后利用對(duì)稱關(guān)系可求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，方法二：將（－1，0），（2，c）分別代入可求出，然后令可求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，
（2）由題意可得當(dāng)時(shí)取得最大值4，即，當(dāng)或時(shí)取得最小值N，則可得，令代入函數(shù)中可求出的值．
（1）
方法一：∵拋物線經(jīng)過（2，c）和（0，c），
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，
∴（－1，0）的對(duì)稱點(diǎn)為（3，0），
即拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）；
方法二：將（－1，0），（2，c）分別代入得
，解得，
∴拋物線的表達(dá)式為，
令得，，解得，，
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）．
（2）
∵，∴，，
∴當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)取得最大值4，即，當(dāng)或時(shí)取得最小值N，
∵，∴，
令得，，解得（舍去），，
∴．
28．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，解關(guān)于x的不等式；
(2)函數(shù)在上的最大值為0，最小值是，求實(shí)數(shù)a和t的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）代入解不等式組可得答案；
（2）由題意，結(jié)合最大值為0最小值是分、數(shù)形結(jié)合可得答案.
（1）
當(dāng)時(shí)，不等式，
即為，
即，所以，
所以或，
所以原不等式的解集為．
（2）
，
由題意或，這時(shí)解得，
若，則，所以；
若，即，
所以，則，
綜上，或．
29．設(shè)函數(shù)，其中為任意常數(shù).
(1)若，且函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)如果不等式在上恒成立，求的最大值.
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸在區(qū)間上列不等式，由此求得的取值范圍.
（2）令，將不等式轉(zhuǎn)化為，對(duì)進(jìn)行分類討論，結(jié)合絕對(duì)值不等式的解法、轉(zhuǎn)換主參變量、一元一次不等式恒成立等知識(shí)求得的最大值.
（1）
若，
此時(shí)二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，
由題意知，解得.
（2）
.
令，依題意，
則.
①當(dāng)時(shí)，上式.
（i），
記在時(shí)恒成立，
則.
（ii）.
記在時(shí)恒成立，
則，解得.
②當(dāng)時(shí)，
（i）.
記在時(shí)恒成立，則
（ii）.
記在時(shí)恒成立，
則
綜上，恒成立的充要條件是，
即的最大值是2.
30．已知冪函數(shù)滿足.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若函數(shù)，，且的最小值為0，求實(shí)數(shù)的值.
（3）若函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)在上的值域?yàn)?？若存在，求出?shí)數(shù)的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在；實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）根據(jù)為冪函數(shù)，由求得p，再由確定.
（2）由（1）得，令，轉(zhuǎn)化為，，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解.
（3），易知在上單調(diào)遞減，由，得到，令，轉(zhuǎn)化為，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.
【解析】（1）∵為冪函數(shù)，
∴，∴或.
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，故不符合題意.
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
故，符合題意.
∴.
（2），
令.
∵，
∴，
∴，.
①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，則當(dāng)時(shí)，有最小值，
∴，.
②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，則當(dāng)時(shí)，有最小值.
∴，（舍）.
③當(dāng)時(shí)，即時(shí)，則當(dāng)時(shí)，有最小值，
∴，（舍）.
綜上所述.
（3），易知在上單調(diào)遞減，
∴，即，
兩式相減，
又，
∴，
故有.
因?yàn)榍?，?br>所以，解得，
令，∴，
∴，，
所以，
故實(shí)數(shù)的取值范圍.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛；(1)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動(dòng)區(qū)間定、軸定區(qū)間動(dòng)，不論哪種類型，解決的關(guān)鍵是考查對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，當(dāng)含有參數(shù)時(shí)，要依據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論．(2)二次函數(shù)的單調(diào)性問題則主要依據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸進(jìn)行分析討論求解．
31．已知函數(shù).
(1)解關(guān)于x的不等式；
(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)?，都有恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
(3)當(dāng)時(shí)，對(duì)?，都有恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
【答案】(1)詳見解析；
(2)；
(3)
【分析】（1）按照參數(shù)a分類討論并利用一元二次不等式解法去求解，即可得到不等式的解集；
（2）先求得的解集，再利用集合間的包含關(guān)系，即可求得實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（3）先按照參數(shù)t分類討論，分別求得函數(shù)在區(qū)間上的值域，再構(gòu)造關(guān)于實(shí)數(shù)t的不等式組，解之即可求得實(shí)數(shù)t的取值范圍.
(1)
由，可得，即
當(dāng)時(shí)，由，可得或
當(dāng)時(shí)，由，可得
當(dāng)時(shí)，由，可得或
綜上，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為或；
當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為或
(2)
當(dāng)時(shí)，，若對(duì)?，都有恒成立，
即對(duì)?，都有恒成立，
又由可得
則有，且成立，解之得，
故實(shí)數(shù)t的取值范圍為
(3)
當(dāng)時(shí)，，
①當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，
在區(qū)間上的值域?yàn)椋?br>若對(duì)?，都有恒成立，
則有，解之得
②當(dāng)時(shí)，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
在區(qū)間上的值域?yàn)椋?br>若對(duì)?，都有恒成立，
則有，解之得
③當(dāng)時(shí)，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
在區(qū)間上的值域?yàn)椋?br>若對(duì)?，都有恒成立，
則有，解之得；
④當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，
在區(qū)間上的值域?yàn)椋?br>若對(duì)?，都有恒成立，
則有，解之得
綜上，實(shí)數(shù)t的取值范圍為
解析式
f (x)＝ax2＋bx＋c
(a＞0)
f (x)＝ax2＋bx＋c
(a＜0)
圖象
定義域
R
R
值域
eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (4ac－b2,4a)，＋∞))
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f (4ac－b2,4a)))
單調(diào)性
在x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f (b,2a)))上單調(diào)遞減；
在x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (b,2a)，＋∞))上單調(diào)遞增
在x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f (b,2a)))上單調(diào)遞增；
在x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (b,2a)，＋∞))上單調(diào)遞減
對(duì)稱性
函數(shù)的圖象關(guān)于直線x＝－eq \f (b,2a)對(duì)稱

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