(上海專用)新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測專題15 立體幾何(練習(xí))（2份，原卷版+解析版）

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1．（2022·上海市浦東復(fù)旦附中分校高一階段練習(xí)）下列說法中，正確的個數(shù)為________．
（1）有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；
（2）有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺；
（3）底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；
（4）棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是正六棱錐．
【答案】0
【分析】根據(jù)棱錐的概念可判斷（1）；根據(jù)棱臺的概念可判斷（2）；根據(jù)正三棱錐的概念可判斷（3）；根據(jù)正六棱錐的側(cè)棱長一定大于底面邊長可判斷（4）.
【解析】對于（1），棱錐的定義是：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐，故錯誤；
對于（2），有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體不一定是棱臺，只有當(dāng)四個等腰梯形的腰延長后交于一點(diǎn)時，這個六面體才是棱臺，如圖1，側(cè)棱延長線可能不交于一點(diǎn)，故錯誤；
對于（3），底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐不一定是正三棱錐，只有當(dāng)三棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影是底面中心時，才是正三棱錐，不一定是正三棱錐，故錯誤；
對于（4），因為正六棱錐的底面是正六邊形，側(cè)棱在底面內(nèi)的射影與底面邊長相等，所以正六棱錐的側(cè)棱長一定大于底面邊長，故錯誤.
故答案為：0.
2．（2022·上海交大附中高三階段練習(xí)）已知圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為4，圓心角等于的扇形，則這個圓錐的體積是________．
【答案】
【分析】由圓錐的定義與體積公式求解
【解析】由題意得圓錐母線長，底面圓周長，得，
故
故答案為：
3．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）若A，，三點(diǎn)都是兩個不重合的平面的公共點(diǎn)，則A，，三點(diǎn)的位置關(guān)系是__________.
【答案】共線
【分析】根據(jù)A，，三點(diǎn)都是兩個不重合的平面的公共點(diǎn)，則這兩個平面相交，則根據(jù)平面的基本性質(zhì)即可得出答案.
【解析】解：因為A，，三點(diǎn)都是兩個不重合的平面的公共點(diǎn)，
所以這兩個平面相交，
所以A，，三點(diǎn)都交線上，
所以A，，三點(diǎn)共線.
故答案為：共線.
4．（2022·上海·高三專題練習(xí)）互相平行的四條直線，每兩條確定一個平面，最多可確定____________個平面；
【答案】6
【分析】當(dāng)4條直線中任意三條直線都不共面時，每兩條確定一個平面，平面最多，結(jié)合正方體，即可得出答案.
【解析】解：當(dāng)4條直線中任意三條直線都不共面時，每兩條確定一個平面，平面最多，
如圖正方體的四條側(cè)棱，
所以最多可確定6個面.
故答案為：6.
5．（2022·上?！つM預(yù)測）下列說法正確的是___________.
①兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)；
②過空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個平面；
③若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行；
④若直線平面，直線平面，則.
【答案】①④
【分析】根據(jù)空間中直線之間的位置關(guān)系可判斷①、②、③，再由線面垂直的性質(zhì)可判斷④.
【解析】解：對于①，如圖，
兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)，故①正確；
對于②，過空間中不在同一直線上的三點(diǎn)有且僅有一個平面，故②錯誤；
對于③，若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行或異面，故③錯誤；
對于④，若直線平面，直線平面，則，故④正確.
∴正確的是①④.
故答案為：①④.
6．（2022·上海奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級中學(xué)高一期末）給出下列命題：
①若兩條不同的直線同時垂直于第三條直線，則這兩條直線互相平行；
②若兩個不同的平面同時垂直于同一條直線，則這兩個平面互相平行；
③若兩個不同的平面同時垂直于第三個平面，則這兩個平面互相垂直；
④若兩條不同的直線同時垂直于同一個平面，則這兩條直線互相平行；
其中所有錯誤命題的序號為________.
【答案】①③
【分析】根據(jù)空間直線、平面間的位置關(guān)系判斷．
【解析】垂直于同一條直線的兩條直線可能相交、可能平行、也可能異面，①錯；
垂直于同一條直線的兩個平面平行，②正確；
垂直于同一平面的兩個平面可能平行也可能相交，③錯；
垂直于同一平面的兩條直線平行，④正確．
故答案為：①③．
7．（2022·上?！つM預(yù)測）如圖，是圓錐底面中心O到母線的垂線，繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面將圓錐分成體積相等的兩部分，則母線與軸的夾角為_________．
【答案】
【分析】旋轉(zhuǎn)形成兩個圓錐，用體積公式求出體積，再計算出大圓錐的體積，根據(jù)兩體積的關(guān)系可獲解.
【解析】設(shè)過點(diǎn)的一條母線為，其中為頂點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交于，
令圓錐的體積為，，，母線與軸線的夾角為，
則，
將看作是底面積相同的兩個圓錐，
則有，
，
從而可得，，，，
于是有，（由于為銳角）
所以.
故答案為：
8．（2021·上海市西南位育中學(xué)高二期中）在北緯60°圈上有兩地，之間的球面距離為（為地球半徑），則兩地在此緯度圈上的弧長等于__________.
【答案】
【分析】本題目要將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為球面的問題，緯度指的是地面上某點(diǎn)與地心的連線與赤道面所成的線面角；球面距離是指經(jīng)過兩點(diǎn)以及球心這三點(diǎn)的圓上的一段劣弧長
【解析】設(shè)地球的球心為，球心角，因為球面距離為，根據(jù)球面距離的定義可得：，所以，所以是等邊三角形，弦長；設(shè)北緯60°所在的圓的半徑為，根據(jù)緯度的定義，則有，所以在北緯60°所在的圓中，,，所以為直徑，
故答案為：
9．（2022·上海市南洋模范中學(xué)高三開學(xué)考試）甲?乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和體積分別為和.若，則___________.
【答案】
【分析】由題意知甲，乙兩個圓錐的側(cè)而展開圖剛好拼成個圓，設(shè)圓的半徑（即圓錐母線）為3，結(jié)合，即可求出，再利用勾股定理可得，由此即可求出答案.
【解析】由題意知甲，乙兩個圓錐的側(cè)而展開圖剛好拼成個圓，
設(shè)圓的半徑（即圓錐母線）為3，
甲?乙兩個圓錐的底面半徑分別為，高分別為，
由，則，
解得，
由勾股定理得，
所以，
故答案為：.
10．（2022·上?！じ呷_學(xué)考試）祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”.即：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．有一個球形瓷碗，它可以看成半球的一部分，若瓷碗的直徑為8，高為2，利用祖暅原理可求得該球形瓷碗的體積為______．
【答案】
【分析】根據(jù)祖暅原理構(gòu)造一個圓柱挖去一個圓錐的模型即可.
【解析】設(shè)瓷碗所在球的半徑為R，則有，得，
設(shè)從瓷碗截面圓心處任意豎直距離（也可在下方，此時）如圖1所示，
則瓷碗的截面圓半徑，面積為，
圖2中,在以過球心的截面圓為底面圓，以為高的圓柱中挖去一個等底等高的圓錐，
易知，故圓環(huán)面積也為，
即在求瓷碗體積時，符合祖暅原理，（備注：瓷碗是圖3中上方倒扣的部分）
當(dāng)時，如圖4所示：
此時：
由祖暅原理得：圖3中與之間部分幾何體的體積：
圓柱的體積圓錐的體積，
所以瓷碗的體積（注：半球體積）
故答案為：.
11．（2021·上海·復(fù)旦附中高二期中）二面角是，其內(nèi)一點(diǎn)P到的距離分別為和，則點(diǎn)P到棱l的距離為_________．
【答案】##
【分析】過分別作，設(shè)點(diǎn)P到棱l的垂足為，可得在以為直徑的圓上，利用余弦定理求出，再由正弦定理即可求出.
【解析】如圖，過分別作，則，
設(shè)點(diǎn)P到棱l的垂足為，則可得平面，則，
所以，則，
在中由余弦定理可得，所以，
由題意可得在以為直徑的圓上，
所以由正弦定理可得.
故答案為：.
12．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知，，則與的位置關(guān)系是__________.
【答案】平行或異面或相交或重合
【分析】利用長方體，結(jié)合題設(shè)條件在不同的頂點(diǎn)標(biāo)上，即可判斷與的位置關(guān)系.
【解析】由題設(shè)可得如下四種情況：
∴與的位置關(guān)系是平行、異面、相交、重合都有可能.
故答案為：平行或異面或相交或重合
13．（2022·上海市南洋模范中學(xué)高二開學(xué)考試）已知是兩個相交平面，空間兩條直線在上的射影是直線在上的射影是直線.用與，與的位置關(guān)系，寫出一個總能確定與是異面直線的充分條件：___________.
【答案】
，并且與相交
【分析】由異面直線的定義、充要條件的判斷結(jié)合空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系即可得出答案.
【解析】當(dāng)異面時，在上的射影是直線，可能平行或相交：
過上的射影是直線，可能平行或相交：
但當(dāng)直線與直線，同時成立時，則：
而當(dāng)直線與?直線與，均相交時，則與可能相交；
故能確定與是異面直線的充分條件是，并且與相交
（或，并且與相交）.
故答案為：，并且與相交.
14．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）空間給定不共面的A，B，C，D四個點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)間的距離都不相同，考慮具有如下性質(zhì)的平面：A，B，C，D中有三個點(diǎn)到的距離相同，另一個點(diǎn)到的距離是前三個點(diǎn)到的距離的2倍，這樣的平面的個數(shù)是___________個
【答案】32
【分析】按照四個點(diǎn)的位置不同分類討論，即可求解
【解析】首先取3個點(diǎn)相等，不相等的那個點(diǎn)由4種取法；
然后分3分個點(diǎn)到平面的距離相等，有以下兩種可能性：
（1）全同側(cè)，這樣的平面有2個；
（2）不同側(cè)，必然2個點(diǎn)在一側(cè)，另一個點(diǎn)在一側(cè)，
1個點(diǎn)的取法有3種，并且平面過三角形兩個點(diǎn)邊上的中位線，
考慮不相等的點(diǎn)與單側(cè)點(diǎn)是否同側(cè)有兩種可能，每種情況下都唯一確定一個平面，
故共有6個，
所有這兩種情況共有8個，綜上滿足條件的這樣的平面共有個，
故答案為：32
15．（2022·上海市七寶中學(xué)高二開學(xué)考試）已知四面體中，、、分別為、、的中點(diǎn)，且異面直線與所成的角為，則_________.
【答案】或
【分析】根據(jù)，，結(jié)合異面直線夾角的定義求解即可.
【解析】如圖，因為、、分別為、、的中點(diǎn)，故，，故與所成的角即與所成的角為，且與相等或者互補(bǔ)，故或.
故答案為：或
16．（2022·上海市七寶中學(xué)高二開學(xué)考試）正方體中，過作直線，若直線與平面中的直線所成角的最小值為，且直線與直線所成角為，則滿足條件的直線的條數(shù)為_________.
【答案】2
【分析】作出輔助線，得到為軸的圓錐母線（母線與成）是直線的運(yùn)動軌跡，為軸的圓錐母線（母線與成）是直線的運(yùn)動軌跡，兩個圓錐的交線即為滿足條件的直線的條數(shù).
【解析】設(shè)立方體的棱長為1，過作直線，
若直線與平面中的直線所成角的最小值為，
即與平面所成角為，
為軸的圓錐母線（母線與成）是直線的運(yùn)動軌跡，
連接，由題意得，直線與直線所成角為，
直線與直線所成角為.
此時為軸的圓錐母線（母線與成）是直線的運(yùn)動軌跡，
兩個圓錐相交得到兩條交線.
故答案為：2
17．（2022·上海市控江中學(xué)高三階段練習(xí)）三棱錐中，底面是銳角三角形，垂直平面，若其三視圖中主視圖和左視圖如圖所示，則棱的長為______
【答案】
【分析】根據(jù)三視圖，求得的長度，再利用勾股定理即可求得.
【解析】根據(jù)主視圖可知，點(diǎn)在的投影位于的中點(diǎn)，不妨設(shè)其為，
故可得，
根據(jù)左視圖可知：，則，
又面面，故可得，則.
故答案為：.
18．（2022·上海長寧·高二期末）如圖是一個邊長為2的正方體的平面展開圖，在這個正方體中，則下列說法中正確的序號是___________.
①直線與直線垂直；
②直線與直線相交；
③直線與直線平行；
④直線與直線異面；
【答案】①④
【分析】畫出正方體，，，故，① 正確，根據(jù)相交推出矛盾得到② 錯誤，根據(jù)，與相交得到③ 錯誤，排除共面的情況得到④ 正確，得到答案.
【解析】如圖所示的正方體中，，，故，① 正確；
若直線與直線相交，則四點(diǎn)共面，即在平面內(nèi)，不成立，② 錯誤；
，與相交，故直線與直線不平行，③ 錯誤；
，與不平行，故與不平行，若與相交，則四點(diǎn)共面，在平面內(nèi)，不成立，故直線與直線異面，④ 正確；
故答案為：① ④.
19．（2022·上海市吳淞中學(xué)高一期末）如圖，平面平面，，，．平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，記直線OP與平面OAB所成角為，則的最大值是_________．
【答案】
【分析】作出圖形，找出直線與平面所成的角，證出平面，得出，得出點(diǎn)的軌跡就是平面內(nèi)以線段為直徑的圓點(diǎn)除外，轉(zhuǎn)化成與圓有關(guān)的最值問題，即可求出結(jié)果
【解析】如圖，
過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，連接，，
取的中點(diǎn)為，連接，過點(diǎn)作，垂足為，
平面平面，且平面平面，平面，，
，平面，在平面上的射影就是直線，
故就是直線與平面所成的角，即，
，，
又，，，平面，
平面，平面，，
故點(diǎn)的軌跡就是平面內(nèi)以線段為直徑的圓點(diǎn)除外，
，且，，
設(shè)，則，從而，
，如圖，
當(dāng)且僅當(dāng)，即是圓的切線時，角有最大值，有最大值，
取得最大值為：．
故答案為：.
20．（2021·上海師范大學(xué)第二附屬中學(xué)高二期中）在長方體中，，，，那么到平面的距離為______.
【答案】4
【分析】由題可分析即為到平面的距離.
【解析】在長方體中，平面，故點(diǎn)到平面的距離即為到平面的距離，
因為平面，且，所以到平面的距離為為4.
故答案為：4.
21．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）設(shè)為隨機(jī)變量，從邊長為1的正方體12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時，；當(dāng)兩條棱異面時，；當(dāng)兩條棱平行時，的值為兩條棱之間的距離，則數(shù)學(xué)期望=________.
【答案】
【分析】先求出的所有可能取值，然后計算出現(xiàn)的概率，得分布列，再由期望公式計算出期望．
【解析】由題意正方體中兩條平行的棱間的距離為1或．
正方體共12條棱中任取兩條，共有種取法，
其中相交的有，平行且距離為的有種，
其余的是異面或距離為1的平行線，共有36種，
∴，，，
分布列為：
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)變量的期望，考查空間直線的位置關(guān)系，考查古典概型概率．綜合度較大，屬于難題．
22．（2021·上海大學(xué)附屬南翔高級中學(xué)高二期中）如果二面角的平面角是銳角，空間一點(diǎn)Р到平面、和棱的距離分別為、4和，則二面角的大小為_______________.
【答案】或
【分析】分點(diǎn)P在二面角的內(nèi)部和外部，利用二面角的定義求解.
【解析】當(dāng)點(diǎn)P在二面角的內(nèi)部，如圖所示：
， A，C，B，P四點(diǎn)共面，
是二面角的平面角，
因為Р到平面、和棱的距離分別為、4和，
所以，
所以，
則；
當(dāng)點(diǎn)P在二面角的外部，如圖所示：
， A，C，B，P四點(diǎn)共面，
是二面角的平面角，
因為Р到平面、和棱的距離分別為、4和，
所以所以，
所以，
，
則.
故答案為：或
23．（2022·上海市洋涇中學(xué)高二階段練習(xí)）已知二面角的大小為，A為平面上的一點(diǎn)，且的面積為2，過A點(diǎn)的直線交平面于B點(diǎn)，，且與成角，當(dāng)變化時，的面積最大為___________.
【答案】
【分析】當(dāng)于點(diǎn)A時，的面積取得最大值，然后把二面角的平面角轉(zhuǎn)化為面積之比進(jìn)行求解即可
【解析】
過點(diǎn)A作，連接BO
平面
是二面角的平面角，
是與所成的角，
設(shè)，在中有正弦定理可知：
，
當(dāng)，即時的最大值為，
的最大值為
故答案為：
24．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）如圖正方體中，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為線段上一動點(diǎn)(不含)，過與正方體的截面為，則下列說法正確的是___________.
①當(dāng)時，為五邊形
②截面為四邊形時，為等腰梯形
③截面過時，
④為六邊形時在底面投影面積為五邊形時在底面投影面積，則
【答案】②③
【解析】分的延長線過，以及與重合三種情況進(jìn)行討論，分別求出截面，即可判斷四個命題是否正確.
【解析】解：作的中點(diǎn)，則平面平面，設(shè)與交點(diǎn)為，
連接，由面面平行性質(zhì)可知，，作，
由三角形的中位線定理可得，則共面，又面面 ，
所以，即是平行四邊形，，所以，，
當(dāng)?shù)难娱L線過時，則，所以，③正確；
當(dāng)時，即此時重合，截面如圖所示，此時截面為六邊形，在底面投影如圖，
當(dāng)截面為五邊形時，在底面投影如圖，則，故①、④不正確;
當(dāng)與重合時，為平面，因為，不妨設(shè)正方體棱長為，
則，所以為等腰梯形，則②正確.
故答案為: ②③.

【點(diǎn)睛】本題考查了面面平行的性質(zhì)定理，考查了截面問題，考查了空間想象能力，屬于難題.本題的難點(diǎn)在于求各個情況的截面形狀.
25．（2021·上海市控江中學(xué)高二期中）已知，矩形中，，，，分別為邊，上的定點(diǎn)，且，，分別將，沿著，向矩形所在平面的同一側(cè)翻折至與處，且滿足，分別將銳二面角與銳二面角記為與，則的最小值為______．
【答案】
【解析】根據(jù)題意，作在底面的射影，在底面的射影，找到兩個銳二面角的平面角，從而得到，由，得到，進(jìn)一步得到，并設(shè)，并所求式子表示成關(guān)于的二次函數(shù)，求二次函數(shù)的最小值，即可得到答案.
【解析】如圖所示，作在底面的射影，在底面的射影，
垂直于，垂直于，則，
因為，所以，則，
因為，所以，同理，所以，
作，，則
設(shè)，則，
所以，
所以，
當(dāng)時，的最小值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中的翻折問題、二面角的概念、函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想、函數(shù)與方程思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解的關(guān)鍵是利用平行條件進(jìn)行問題的轉(zhuǎn)化.
26．（2021·上海·高二專題練習(xí)）如圖，在四面體中，分別為的中點(diǎn)，過任作一個平面分別與直線相交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是___________．①對于任意的平面，都有直線，，相交于同一點(diǎn)；②存在一個平面，使得點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段的延長線上； ③對于任意的平面，都有；④對于任意的平面，當(dāng)在線段上時，幾何體的體積是一個定值.
【答案】③④
【分析】當(dāng)分別為中點(diǎn)時，可知三線互相平行，排除①；若三線相交，交點(diǎn)必在上，可排除②；取中點(diǎn)，利用線面平行判定定理可證得平面，平面，再結(jié)合為中點(diǎn)可得到平面的距離相等，進(jìn)一步得到到直線的距離相等，從而證得面積相等，③正確；首先通過臨界狀態(tài)與重合，與重合時，求得所求體積為四面體體積一半；當(dāng)不位于臨界狀態(tài)時，根據(jù)③的結(jié)論可證得，從而可知所求體積為四面體體積一半，進(jìn)而可知為定值，④正確.
【解析】當(dāng)分別為中點(diǎn)時，，則①錯誤
若三線相交，則交點(diǎn)
不存在在線段上，在線段延長線上的情況，則②錯誤
取中點(diǎn)，如圖所示：
分別為中點(diǎn)
又平面，平面 平面
同理可得：平面
到平面的距離相等；到平面的距離相等
又為中點(diǎn) 到平面的距離相等
到平面的距離相等
連接交于，則為中點(diǎn) 到距離相等
，則③正確
當(dāng)與重合，與重合時，此時幾何體體積為三棱錐的體積
為中點(diǎn) 三棱錐的體積為四面體體積的一半
當(dāng)如圖所示時，由③可知
又為中點(diǎn) 到截面的距離相等
綜上所述，幾何體的體積為四面體體積的一半，為定值，則④正確
本題正確結(jié)果：③④
【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中的截面問題，涉及到幾何體體積的求解、點(diǎn)到面的距離、直線交點(diǎn)問題等知識；要求學(xué)生對于空間中的直線、平面位置關(guān)系等知識有較好的理解，對學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力有較高的要求，屬于難題.
二、單選題
27．（2022·上海·高三專題練習(xí)）下列推斷中，錯誤的是（ ）
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈αl
B．A∈，A∈β，B∈，B∈β∩β=AB．
C．
D．A，B，C∈，A，B，C∈β，且A、B、C不共線，β重合．
【答案】C
【分析】由平面的基本事實(shí)可判斷A，B，D，當(dāng)時，可判斷C
【解析】對于A，直線上有兩個不同的點(diǎn)在平面內(nèi)，故l，A對；
對于B，A∈，A∈β，B∈，B∈β，故直線AB，ABβ，即∩β=AB，B對；
對于C，若，則有，但，C錯；
對于D，有三個不共線的點(diǎn)在平面，β中，故，β重合，D對
故選：C
28．（2022·上海市行知中學(xué)高二期中）已知是兩個不同平面，是兩不同直線，下列命題中不正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，則
C．若，，則
D．若，，則
【答案】B
【分析】由線面垂直、面面平行和垂直的判定與性質(zhì)依次判斷各個選項即可.
【解析】對于A，兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于該平面，A正確；
對于B，若，，則與可能平行或相交，B錯誤；
對于C，若一條直線垂直于兩個平面，則兩個平面平行，C正確；
對于D，若一個平面包含另一個平面的垂線，則兩平面垂直，D正確.
故選：B.
29．（2022·上海交大附中高三期中）下面是關(guān)于三棱錐的四個命題，其中真命題的編號是（ ）
①底面是等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐．
②底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐．
③底面是等邊三角形，側(cè)面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐．
④側(cè)棱與底面所成的角相等，且側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐．
A．①②B．①④C．②③D．①③
【答案】B
【分析】根據(jù)正三棱錐的定義，結(jié)合二面角判斷①的正誤；側(cè)棱與底面所成的角判斷④的正誤；找出反例否定②，找出反例對選項③否定可得正確結(jié)論．
【解析】①底面是等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐，可推出底面中心是棱錐頂點(diǎn)在底面的射影，所以是正確的．
②顯然不對，比如三條側(cè)棱中僅有一條不與底面邊長相等的情況，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐不是正三棱錐．
③底面是等邊三角形，側(cè)面的面積都相等，說明頂點(diǎn)到底面三邊的距離（斜高）相等，
根據(jù)射影長的關(guān)系，可以得到頂點(diǎn)在底面的射影（垂足）到底面三邊所在直線的距離也相等，由于在底面所在的平面內(nèi)，到底面三邊所在直線的距離相等的點(diǎn)有4個：內(nèi)心（本題的中心）1個、旁心3個，因此不能保證三棱錐是正三棱錐．
④側(cè)棱與底面所成的角相等，且側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐，可得底面中心是棱錐頂點(diǎn)在底面的射影，是正確的．所以正確的為：①④
故選：B
30．（2022·上海·高三專題練習(xí)）若一個水平放置的圖形的斜二測直觀圖是一個底角為45°且腰和上底均為1的等腰梯形，則原平面圖形的面積是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先計算出等腰梯形的面積為，再利用計算得到答案.
【解析】等腰梯形的面積
則原平面圖形的面積.
故選：C.
31．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）平面與球相交于周長為的，，為上兩點(diǎn)，若，且，的球面距離為，則的長度為（ ）．
A．1B．C．D．2
【答案】A
【分析】首先根據(jù)題意，畫出對應(yīng)的圖形，根據(jù)題中的條件，求得，，根據(jù)球的截面圓性質(zhì)，勾股定理求得結(jié)果.
【解析】因為為球心，，
所以設(shè)球半徑，可得，的球面距離為，
所以，
又因為的周長為，
所以，
根據(jù)球的截面圓性質(zhì)，可得中，，
故選：A.
【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)球的問題，涉及到的知識點(diǎn)有球面距離，球的截面圓的性質(zhì)，屬于簡單題目.
32．（2021·上海市市西中學(xué)高二期中）把由曲線和圍成的圖形，繞軸旋轉(zhuǎn)，所得旋轉(zhuǎn)體的體積是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作出圖形，分析可知旋轉(zhuǎn)體為圓錐，確定圓錐的底面半徑以及高，利用錐體的體積公式可得結(jié)果.
【解析】如下圖所示：
直線與曲線交于點(diǎn)、，
將繞軸旋轉(zhuǎn)，形成的幾何體為圓柱中挖去兩個全等的圓錐，
圓柱的底面半徑為，高為，兩個圓錐的底面半徑為，高也為，
因此，旋轉(zhuǎn)體的體積為.
故選：C.
33．（2022·上海·高三專題練習(xí)）如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD為矩形，AB＝AD，E，F(xiàn)分別為BB1，AB的中點(diǎn)，則（ ）
A．AC1//平面DEF且A1C1⊥DF
B．A1C1//平面DEF且A1C1與DF不垂直
C．A1C1與平面DEF相交且A1C1⊥DF
D．A1C1與平面DEF相交且A1C1與DF不垂直
【答案】C
【分析】延長DF、CB相交于點(diǎn)M，連接ME并延長，根據(jù)平面幾何性質(zhì)可證得M、E、C1三點(diǎn)共線，可判斷AC1與平面DEF的位置關(guān)系，連接AC與FD相交于點(diǎn)O，根據(jù)三角形相似的判定可證得，證得，由此可得選項.
【解析】延長DF、CB相交于點(diǎn)M，連接ME并延長，因為點(diǎn)E、F分別是BB1，AB的中點(diǎn)，所以，
所以M、E、C1三點(diǎn)共線，所以AC1與平面DEF相交不平行，A1C1與平面DEF相交不平行，故A、B選項不正確；
對于C、D：連接AC與FD相交于點(diǎn)O，因為AB＝AD，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，所以，
又，所以，
所以，，又，所以，
所以，所以，又，所以，故C正確，D不正確，
故選：C.
34．（2022·上海市復(fù)興高級中學(xué)高三階段練習(xí)）過正四面體的頂點(diǎn)P做平面，若與直線，，所成角都相等，則這樣的平面的個數(shù)為（ ）個
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】如圖補(bǔ)全四棱柱，易得平面與直線，，所成角都相等，即可得一個平面，說明，，與平面所成的角相等，同理可得直線，，與平面、平面所成角都相等，從而可得出答案.
【解析】解：如圖，將正四面體看成四棱柱的左下角一部分，
由正四面體可知，
平面與直線，，所成角都相等，
故過點(diǎn)P做平面平面，
則此時的平面與直線，，所成角都相等，
因為，
則與平面所成的角相等，
又因，
所以直線，，與平面所成的角相等，
故過點(diǎn)P做平面平面，
則此時的平面與直線，，所成角都相等，
同理，直線，，與平面、平面所成角都相等，
即平面平面時，平面與直線，，所成角都相等，
平面平面時，平面與直線，，所成角都相等，
綜上所述，這樣的平面的個數(shù)為4個.
故選：B.
35．（2021·上?！?fù)旦附中高二期中）已知菱形的邊長為a，．將菱形沿對角線折成二面角，若，則異面直線與距離的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】按沿對角線BD和沿對角線AC折成二面角分別推理計算異面直線與距離的最大值，再比較大小得解.
【解析】如圖，在菱形中，，，，
當(dāng)沿對角線BD折成二面角時，顯然，于是得，取AC中點(diǎn)E，連OE，如圖，
則，而平面AOC，平面AOC，即有，因此，線段OE長為異面直線與距離，
，而，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
于是當(dāng)時，，
當(dāng)沿對角線AC折成二面角時，顯然，于是得，取BD中點(diǎn)M，連OM，如圖，
同理，當(dāng)時，，而，
所以異面直線與距離的最大值為.
故選：C
36．（2022·上?！?fù)旦附中高二期末）小明同學(xué)用兩個全等的六邊形木板和六根長度相同的木棍搭成一個直六棱柱，由于木棍和木板之間沒有固定好，第二天他發(fā)現(xiàn)這個直六棱柱變成了斜六棱柱，如圖所示.設(shè)直棱柱的體積和側(cè)面積分別為和，斜棱柱的體積和側(cè)面積分別為和，則（ ）.
A．B．C．D．與的大小關(guān)系無法確定
【答案】A
【分析】根據(jù)柱體體積、表面積的求法，分別表示出和，分析即可得答案.
【解析】設(shè)底面面積為S，底面周長為C，
則，，所以，
設(shè)斜棱柱的高為，則，
,
所以.
故選：A
37．（2021·上?！じ裰轮袑W(xué)高二期中）從正方體八個頂點(diǎn)的兩兩連線中任取兩條直線a，b，且a，b是異面直線，則a，b所成角的余弦值的所有可能取值構(gòu)成的集合是（ ）
A．；B．
C．；D．．
【答案】D
【分析】利用異面直線的定義，從正方體的八個頂點(diǎn)兩兩連線中任取兩條異面直線，可以分類討論其夾角可能取值，進(jìn)而得解.
【解析】利用異面直線的夾角范圍為，故其余弦值范圍為，可以分為以下幾類：
兩條棱所在直線異面時，所成角的度數(shù)是，其余弦值為0；
面對角線與棱所在直線異面時，所成角的度數(shù)是或，其余弦值為或0；
兩條面對角線異面時，所成角的度數(shù)是或，其余弦值為或0；
體對角線與棱所在直線異面時，所成角的余弦值為；
體對角線與面對角線異面時，所成角的度數(shù)是，其余弦值為0；
所以從正方體八個頂點(diǎn)的兩兩連線中任取兩條直線a，b，且a，b是異面直線，則a，b所成角的余弦值的所有可能取值構(gòu)成的集合是
故選：D
38．（2021·上海·位育中學(xué)高二階段練習(xí)）已知菱形，，為邊上的點(diǎn)（不包括），將沿對角線翻折，在翻折過程中，記直線與所成角的最小值為，最大值為（ ）
A．均與位置有關(guān)B．與位置有關(guān)，與位置無關(guān)
C．與位置無關(guān)，與位置有關(guān)D．均與位置無關(guān)
【答案】C
【分析】數(shù)形結(jié)合，作//，利用線面垂直得到，然后找到異面直線所成角，并表示，通過討論點(diǎn)位置得到結(jié)果.
【解析】作//交于點(diǎn)，分別取的中點(diǎn)
連接，如圖，
由翻折前該四邊形為菱形，且，所以為等邊三角形
同時點(diǎn)在上，由平面
所以平面,又//，所以平面，所以
直線與所成角即直線與所成角，該角為
所以,由點(diǎn)不與重合，
所以當(dāng)點(diǎn)翻折到與點(diǎn)重合時，最小，為最小與點(diǎn)位置無關(guān)；
當(dāng)沒有翻折時，最大，最大，則最大，與點(diǎn)位置有關(guān)
故選：C
39．（2021·上海市寶山中學(xué)高二期中）如圖，水平桌面上放置一個棱長為4的正方體水槽，水面高度恰為正方體棱長的一半，在該正方體側(cè)面上有一個小孔，點(diǎn)到的距離為3，若該正方體水槽繞傾斜（始終在桌面上），則當(dāng)水恰好流出時，側(cè)面與桌面所成角的正切值為（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【解析】根據(jù)題意，當(dāng)水恰好流出時，即由水的等體積可求出正方體傾斜后，水面N到底面B的距離，再由邊長關(guān)系可得四邊形是平行四邊形，從而側(cè)面與桌面所轉(zhuǎn)化成側(cè)面與平面所成的角,進(jìn)而在直角三角形中求出其正切值.
【解析】由題意知，水的體積為，如圖所示，
設(shè)正方體水槽繞傾斜后，水面分別與棱交于
由題意知，水的體積為
，即，
在平面內(nèi)，過點(diǎn)作交于，
則四邊形是平行四邊形，且
又側(cè)面與桌面所成的角即側(cè)面與水面所成的角，即側(cè)面與平面所成的角,其平面角為,
在直角三角形中，.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查了利用定義法求二面角，在棱上任取一點(diǎn)，過這點(diǎn)在兩個平面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條垂線所成的角即為二面角的平面角.
40．（2021·上?！とA師大二附中高二期末）設(shè)三棱錐的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，P是棱上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），記直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角是則三個角，，中最小的角是（ ）
A．B．C．D．不能確定
【答案】B
【分析】根據(jù)異面直線夾角，直線與平面的夾角，平面與平面的夾角的定義分別做PB與AC，PB與平面ABC，平面PAC與平面ABC的夾角，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)比較幾個角的大小.
【解析】如圖，取BC的中點(diǎn) D，作VO⊥平面ABC于點(diǎn)O，
由題意知點(diǎn)O在AD上，且AO=2OD.
作PE//AC，PE交VC于點(diǎn)E，作PF⊥AD于點(diǎn)F，連接BF，則PF⊥平面ABC
取AC的中點(diǎn)M，連接BM，VM，VM交 PE于點(diǎn)H，
連接BH，易知BH⊥PE，
作于點(diǎn)G，連接FG，
由PG⊥AC，PF⊥AC，PGPF=P，
由線面垂直判定定理可得AC⊥平面PGF，又平面PGF
∴ FG⊥AC,
作FN⊥BM于點(diǎn)N.
∵ PG∥VM，PF∥VN
∴ 平面PGF∥平面VMB， 又 PH∥FN,
四邊形PFNH為平行四邊形，
所以PH=FN
因此，直線PB 與直線AC所成的角，
直線PB與平面ABC所成的角，
二面角P-AC-B的平面角，
又
又，
∴
因為
∴
綜上所述，中最小角為，故選 B.
【點(diǎn)睛】(1)求直線與平面所成的角的一般步驟：
①找直線與平面所成的角，即通過找直線在平面上的射影來完成；
②計算，要把直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一個三角形中求解．
(2)作二面角的平面角可以通過垂線法進(jìn)行，在一個半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
三、解答題
41．（2022·上海市復(fù)興高級中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，在直四棱柱中，底面為等腰梯形，，，，，E、F、G分別是棱、、的中點(diǎn).
(1)證明：直線平面；
(2)求二面角的大小.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，，，推導(dǎo)出，，由此能證明平面．
（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過在平面內(nèi)作，垂足為，連接．說明為二面角的平面角，然后通過三角形相似，轉(zhuǎn)化求解即可．
（1）
證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，，，
在直四棱柱中，平面，平面，所以，
又底面為等腰梯形，且，，，，，，分別是棱，，的中點(diǎn)．可得四邊形與四邊形均為菱形，且，，
且，且，所以且，所以為平行四邊形，所以，
，
，平面，平面．
（2）
解：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過在平面內(nèi)作，垂足為，連接．因為，，，平面
所以面，面，所以，且與相交于點(diǎn)，所以平面，所以且，
則為二面角的平面角，
在為正三角形中，，
在中，，
，
，
在中，，，
所以二面角的余弦值為，顯然二面角為銳二面角，所以二面角為．
42．（2021·上海市進(jìn)才中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，在正四棱柱中，，直線與平面所成角為．
(1)求異面直線與所成角的大??；
(2)求到平面的距離．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）連接，由題意先求出，由，知為異面直線與所成的角，求出即可；
（2）利用等積法求解即可
(1)
連接，由題意易知為直線與平面所的角，
則，所以，
因為，
所以為異面直線與所成的角，
因為，
所以異面直線與所成的角的大小為；
(2)
連接，
因為，
所以,
即，
所以，
所以到平面的距離為
43．（2022·上海·高三專題練習(xí)）如圖，圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，線段AB和線段CD都是底面圓的直徑，且AB⊥CD，取劣弧BC上一點(diǎn)E，使，連結(jié)PE.已知，.
(1)求該圓錐的體積；
(2)求異面直線PE、BD所成角的大小.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用勾股定理和圓錐體積公式進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)異面直線所成角的定義，結(jié)合正弦定理和余弦定理進(jìn)行求解即可.
(1)
由勾股定理可知：，
所以圓錐的體積為：；
(2)
過做，所以是異面直線PE、BD所成的角（或其補(bǔ)角），
因為線段AB和線段CD都是底面圓的直徑，且AB⊥CD，
所以，即，而，所以，
因此，
在中，由正弦定理可知：
，
，
由余弦定理可知：，
所以，即異面直線PE、BD所成角的大小為.
44．（2022·上海市楊浦高級中學(xué)高二期末）如圖，正四棱錐底面的四個頂點(diǎn)在球的同一個大圓上，點(diǎn)在球面上，且正四棱錐的體積為.
(1)該正四棱錐的表面積的大?。?br>(2)二面角的大小.(結(jié)果用反三角表示)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求出球的半徑，即可得到四棱錐的棱長，再根據(jù)錐體的表面積公式計算可得；
（2）取中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，即可得到，從而得到為二面角的平面角，再利用余弦定理計算可得.
(1)
解：設(shè)球的半徑為，則
解得，所以所有棱長均為，
因此
(2)
解：取中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，因為均為正三角形，
因此，即為二面角的平面角.
，
因此二面角的大小為.
45．（2022·上海黃浦·模擬預(yù)測）已知正方體.
(1)G是的重心，求證：直線平面；
(2)若，動點(diǎn)E?F在線段?上，且，M為的中點(diǎn)，異面直線與所成的角為，求a的值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)空間向量，以為基底，用基底向量表示其他向量，根據(jù)向量的數(shù)量積為0判斷線線垂直，進(jìn)而證明線面垂直.
（2）以空間直角坐標(biāo)系，寫成點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)向量的夾角與異面直線夾角間的關(guān)系，列出方程即可求解.
(1)
證明：設(shè)，
顯然，，，
因為G是的重心，所以,故
；，得，
同理，得.
因為不平行于，所以直線平面.
(2)
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線分別是x軸?y軸?z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，于是，則.
于是，解得，所以a的值為.
46．（2022·上海市七寶中學(xué)高三期中）如圖，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，△PAB是邊長為2的等邊三角形，PD⊥AB，PD＝．
(1)設(shè)AB中點(diǎn)M， 求證：DM⊥平面PAB；
(2)求平面PAB和平面PCD所成銳二面角的大小．
【答案】(1)證明見解析；
(2)
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理、勾股定理進(jìn)行證明即可；
（2）證明即為面PAB和平面PCD所成二面角的平面角，再解三角形即可.
（1）
取中點(diǎn)為，連接，，
則在等邊三角形中，，
又因為，，?面，
所以面，因為面，
所以，又，，
所以，，，
所以，即，
又，?面，
所以面；
（2）
設(shè)平面平面，又,平面,
平面,所以平面,又平面,所以，
所以，又，所以，又,所以，
所以即為面PAB和平面PCD所成二面角的平面角，
由（1）知，,所以為等腰直角三角形，
故面PAB和平面PCD所成銳二面角為.
47．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)在圓柱的底面圓上，，圓的直徑，圓柱的高.
（1）求點(diǎn)到平面的距離；
（2）求二面角的余弦值大小.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)等體積法，由即可求出點(diǎn)到平面的距離；
（2）先證明，，由線面垂直的判定定理可得面，進(jìn)而可得即為所求二面角的平面角，在中，計算即可求解.
【解析】（1）因為，，
所以，
在中，由余弦定理可得：，
所以，，
在中，由余弦定理可得，
所，
所以，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
由，得，
即，
解得：，
所以點(diǎn)到平面的距離為；
（2）二面角即二面角，
因為是圓的直徑，點(diǎn)在圓柱的底面圓上，所以，
因為面，面，可得，
因為，所以面，
因為面，面，所以，，
所以即為二面角的平面角，
在中，，，
所以，
所以二面角的余弦值為.
48．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知正方形的邊長為，為兩條對角線的交點(diǎn)，如圖所示，將Rt△BED沿BD所在的直線折起，使得點(diǎn)E移至點(diǎn)C，滿足．
（1）求四面體的體積；
（2）請計算：
①直線與所成角的大小；
②直線與平面所成的角的大小．
【答案】（1）；（2）①；②（或）．
【分析】（1）利用勾股定理證明，結(jié)合，證明平面，從而是三棱錐的高，由錐體的體積公式求解即可；
（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)．
①利用異面直線所成角的計算公式求解即可；
②利用待定系數(shù)法求出平面的法向量，然后由線面角的計算公式求解即可．
【解析】（1）由已知，有，，
又由已知，有
因為，所以平面，即是三棱錐的高，
所以
（2）分別以、、為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系．
則有，，，，
，，
①設(shè)與所成角的大小為，
則．
故，與所成角的大小為．
②設(shè)為平面的一個法向量，
則即
令，得．
故與平面所成的角為（或）．
49．（2021·上海師范大學(xué)附屬外國語中學(xué)高二階段練習(xí)）在中，，，，D、E分別是AC、AB上的點(diǎn)，滿足且DE經(jīng)過的重心，將沿DE折起到的位置，使，M是的中點(diǎn)，如圖所示.
(1)求證：平面BCDE；
(2)求CM與平面所成角的大小；
(3)在線段上是否存在點(diǎn)N（N不與端點(diǎn)、B重合），使平面CMN與平面DEN垂直?若存在，求出與BN的比值；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)存在；2
【分析】（1）結(jié)合線面垂直判定定理和折疊性質(zhì)可證；
（2）通過建系法求出和平面的法向量，設(shè)線面角為，結(jié)合公式求解即可；
（3）在（2）的坐標(biāo)系基礎(chǔ)上，寫出坐標(biāo)，設(shè)，，表示出點(diǎn)N，分別求出平面CMN與平面DEN的法向量，令數(shù)量積為0，求出參數(shù)即可.
（1）
因為在中，，，所以，
因為折疊前后對應(yīng)角相等，所以，所以平面，，
又，，所以平面BCDE；
（2）
因為DE經(jīng)過的重心，故，由（1）知平面BCDE，以為軸，為軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由幾何關(guān)系可知，，
故，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，設(shè)CM與平面所成角的大小為，則有，故，即CM與平面所成角的大小為；
（3）
設(shè)，，即，
即，，，
，設(shè)平面CMN的法向量為，則有，
即，令則，，，
同理，設(shè)平面DEN的法向量為，，
則，即，令，則，故，
若平面CMN與平面DEN垂直，則滿足，即，，故存在這樣的點(diǎn)，，所以
50．（2022·上海金山·高二期末）如圖，是底面邊長為1的正三棱錐，分別為棱上的點(diǎn)，截面底面，且棱臺與棱錐的棱長和相等.(棱長和是指多面體中所有棱的長度之和)
(1)求證：為正四面體；
(2)若，求二面角的大??；
(3)設(shè)棱臺的體積為，是否存在體積為且各棱長均相等的直四棱柱，使得它與棱臺有相同的棱長和? 若存在，請具體構(gòu)造出這樣的一個直四棱柱，并給出證明；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析；
(2)；
(3)存在，構(gòu)造棱長均為，底面相鄰兩邊的夾角為的直四棱柱即滿足條件.
【分析】（1）由棱臺、棱錐的棱長和相等可得，再由面面平行有，結(jié)合正四面體的結(jié)構(gòu)特征即可證結(jié)論.
（2）取BC的中點(diǎn)M，連接PM、DM、AM，由線面垂直的判定可證平面PAM，即是二面角的平面角，進(jìn)而求其大小.
（3）設(shè)直四棱柱的棱長均為，底面相鄰兩邊的夾角為，結(jié)合已知條件用表示出即可確定直四棱柱.
(1)
由棱臺與棱錐的棱長和相等，
∴，
故.
又截面底面ABC，則，，
∴，從而，故為正四面體.
(2)
取BC的中點(diǎn)M，連接PM、DM、AM，
由，，得：平面PAM，
而平面PAM，故，
從而是二面角的平面角.
由（1）知，三棱錐的各棱長均為1，所以.
由D是PA的中點(diǎn)，得.
在Rt△ADM中，，
故二面角的大小為.
(3)
存在滿足條件的直四棱柱.
棱臺的棱長和為定值6，體積為V.
設(shè)直四棱柱的棱長均為，底面相鄰兩邊的夾角為，則該四棱柱的棱長和為6，體積為.
因為正四面體的體積是，
所以，，從而，
故構(gòu)造棱長均為，底面相鄰兩邊的夾角為的直四棱柱，即滿足條件.
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