一、任意角和弧度制及三角函數(shù)的概念
1.角的概念的推廣
(1)定義：角可以看成一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)所形成的圖形.
(2)分類eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負角、零角.,按終邊位置不同分為象限角和軸線角.))
(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定義和公式
(1)定義：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，記作1 rad.
(2)公式
3.任意角的三角函數(shù)
(1)定義
(2)定義的推廣
設P(x，y)是角α終邊上異于原點的任一點，它到原點的距離為r(r>0)，那么sin α＝eq \f(y,r)；cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0).
常用結(jié)論：
1.三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
2.角度制與弧度制可利用180°＝π rad進行互化，在同一個式子中，采用的度量制必須一致，不可混用.
3.象限角
4.軸線角
二、誘導公式及三角恒等變換
1.同角三角函數(shù)的基本關系
(1)平方關系：sin2α＋cs2α＝1.
(2)商數(shù)關系：eq \f(sin α,cs α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
2.三角函數(shù)的誘導公式
常用結(jié)論：
1.同角三角函數(shù)關系式的常用變形
(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α；sin α＝tan α·cs α.
2.誘導公式的記憶口訣
“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指eq \f(π,2)的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化.
3.在利用同角三角函數(shù)的平方關系時，若開方，要特別注意判斷符號.
1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin__αcs__β±cs__αsin__β.
cs(α?β)＝cs__αcs__β±sin__αsin__β.
tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β,1?tan αtan β).
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin__αcs__α.
cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
3.函數(shù)f(α)＝asin α＋bcs α(a，b為常數(shù))，可以化為f(α)＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(b,a)))或f(α)＝eq \r(a2＋b2)·cs(α－φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(a,b))).
常用結(jié)論：
1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β).
2.降冪公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2).
3.1＋sin 2α＝(sin α＋cs α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cs α)2，
sin α±cs α＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α±\f(π,4))).
三、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)
1.用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖
(1)正弦函數(shù)y＝sin x，x∈[0，2π]的圖象中，五個關鍵點是：(0，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0).
(2)余弦函數(shù)y＝cs x，x∈[0，2π]的圖象中，五個關鍵點是：(0，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z)
常用結(jié)論：
1.正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是半個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是eq \f(1,4)個周期.正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半個周期.
2.三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，偶函數(shù)一般可化為y＝Acs ωx＋b的形式.
3.對于y＝tan x不能認為其在定義域上為增函數(shù)，而是在每個區(qū)間eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)內(nèi)為增函數(shù).
四、函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應用
1.用“五點法”畫y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|0，φ>0)的變換：向左平移eq \f(φ,ω)個單位長度而非φ個單位長度.
一、單選題
1．將化為的形式是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列命題中，真命題為（ ）
A．若點為角終邊上一點，則
B．同時滿足，的角有且只有一個
C．如果角滿足，那么角是第二象限的角
D．的解集為
3．已知，則（ ）
A．B．C．D．
4．集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是（ ）
A．B．C．D．
5．已知為第一象限角，，則（ ）
A．B．C．D．
6．已知，則的值為（ ）
A．B．C．D．
7．已知，則（ ）
A．B．C．D．
8．已知，則＝（ ）
A．B．
C．D．
9．若，則的值為（ ）．
A．B．C．D．
10．若，，則（ ）
A．B．C．D．
11．若，則（ ）
A．B．C．D．
12．已知有恒等式，則（ ）
A．1B．C．2D．
13．已知，且，則的最小值為（ ）
A．2B．C．4D．
14．函數(shù)在上的增區(qū)間是（ ）
A．B．
C．D．
15．若函數(shù)對任意的x都有，則等于（ ）
A．3或0B．或0C．0D．或3
16．關于函數(shù)，有下述四個結(jié)論：
①的一個周期為； ②的圖象關于直線對稱；
③的一個零點為； ④在上單調(diào)遞增．
其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．③④
17．已知函數(shù)的圖象關于點中心對稱，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
18．函數(shù)的最小正周期為，則的值為（ ）．
A．2B．4C．1D．
19．已知函數(shù)的最小正周期為，且其圖象關于直線對稱，則函數(shù)圖象的一個對稱中心是（ ）
A．B．
C．D．
20．函數(shù)的大致圖象為（ ）
A．B．
C．D．
21．已知函數(shù)，圖象向左平移個單位后關于直線對稱，則下列說法正確的是（ ）
A．在區(qū)間上有一個零點B．關于對稱
C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．在區(qū)間上的最大值為2
22．已知函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，且的圖象關于y軸對稱，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
23．已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞1，0≤φ≤π）是R上的偶函數(shù)，其圖象關于點M對稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則ω和φ的值分別為（ ）
A．，B．2，C．2，D．，
24．已知，給出下述四個結(jié)論:
①是偶函數(shù); ②在上為減函數(shù);
③在上為增函數(shù); ④的最大值為.
其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）
A．①②④B．①③④C．①②③D．①④
25．已知同時滿足下列三個條件：
①時，的最小值為
②是偶函數(shù)
③
若在有最小值，則實數(shù)t的取值范圍可以是（ ）
A．（0，]B．（0，]C．（，]D．（，]
26．已知函數(shù)，且，則下列陳述不正確的是（ ）
A．若函數(shù)的相鄰對稱軸之間的距離為，則函數(shù)的最小正周期為
B．若函數(shù)的相鄰對稱軸之間的距離為，則為的一個對稱軸
C．若函數(shù)在區(qū)間上有三個零點，則的取值范圍為
D．若函數(shù)在區(qū)間上有三個最值，則的取值范圍為
二、填空題
27．若與關于軸對稱，寫出一個符合題意的值______．
28．已知，則______．
29．的值為__________．
30．已知角的終邊經(jīng)過點，且，則____．
31．已知為三角形的內(nèi)角，且，則___________.
32．已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx＋φ） （A>0，|φ|0）的圖象的一部分圖如圖所示，則f（x）取最小值時x的取值集合為________.
33．記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點，則的最小值為____________．
34．將函數(shù)的圖像向左平移（）個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖像，若，則的最小值是___．
35．已知函數(shù)的圖象關于點對稱，且，則實數(shù)的值為___________.
36．已知函數(shù)，對任意的實數(shù)a，在上既能取得最大值，也能取得最小值，則整數(shù)的最小值是______.
37．已知函數(shù)，當時，的最小值是，則函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間為______.
38．設函數(shù)，其中，，若對任意的恒成立，有下述四個結(jié)論
①；
②對任意的有成立；
③的單調(diào)減區(qū)間是，；
④存在經(jīng)過點的直線與函數(shù)的圖象不相交．
其中所有正確結(jié)論的編號為________．
三、解答題
39．化簡：
(1)；
(2).
40．已知函數(shù)的最小正周期為.
（1）求的值及函數(shù)的定義域；
（2）若，求的值.
41．已知函數(shù)．
(1)用五點法畫出函數(shù)的大致圖像，并寫出的最小正周期；
(2)寫出函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間；
(3)將圖像上所有的點向右平移個單位長度，縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮玫降膱D像，求在區(qū)間上的最值．
42．已知.
(1)若函數(shù)的最小正周期為，求的值及的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)若時，方程恰好有三個解，求實數(shù)的取值范圍
43．已知函數(shù)．
(1)若不等式對任意恒成立，求整數(shù)m的最大值；
(2)若函數(shù)，將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），再向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，若關于x的方程在上有2個不同實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍．
44．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)將函數(shù)的圖象上所有的點向右平移個單位，再將所得圖象上每一個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象．當時，方程恰有三個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍和的值．
45．設O為坐標原點，定義非零向量的“相伴函數(shù)”為，向量稱為函數(shù)的“相伴向量”.
(1)設函數(shù)，求的“相伴向量”；
(2)記的“相伴函數(shù)”為，若函數(shù)，與直線有且僅有四個不同的交點，求實數(shù)k的取值范圍；
(3)已知點滿足，向量的“相伴函數(shù)”在處取得最大值.當點M運動時，求的取值范圍.
46．已知函數(shù)的最小正周期為，且直線是其圖象的一條對稱軸.將函數(shù)的圖象向右平移個單位，再將所得的圖象上每一點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍所得的圖象對應函數(shù)記作，令函數(shù).
(1)求函數(shù)的函數(shù)解析式；
(2)求函數(shù)的最大值及相對應的的值；
(3)若函數(shù)在內(nèi)恰有2021個零點，其中常數(shù)，，求常數(shù)與的值.
角α的弧度數(shù)公式
|α|＝eq \f(l,r)(弧長用l表示)
角度與弧度的換算
1°＝eq \f(π,180) rad；1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))
弧長公式
弧長l＝|α|r
扇形面積公式
S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2
前提
如圖，設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)
定義
正弦
y叫做α的正弦函數(shù)，記作sin α，即sin α＝y(tǒng)
余弦
x叫做α的余弦函數(shù)，記作cs α，即cs α＝x
正切
eq \f(y,x)叫做α的正切函數(shù)，記作tan α，即tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)
三角函數(shù)
正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上的點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)，將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin α
－sin__α
－sin__α
sin__α
cs__α
cs__α
余弦
cs α
－cs__α
cs__α
－cs__α
sin__α
－sin__α
正切
tan α
tan__α
－tan__α
－tan__α
口訣
奇變偶不變，符號看象限
函數(shù)
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
圖象
定義域
R
R
{xeq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x∈R，且)) x≠kπ＋eq \f(π,2)}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
最小正周期
2π
2π
π
奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
遞增區(qū)間
eq \b\lc\[(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，))eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)))
[2kπ－π，2kπ]
eq \b\lc\((\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，))eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)))
遞減區(qū)間
eq \b\lc\[(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，))eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(3π,2)))
[2kπ，2kπ＋π]
無
對稱中心
(kπ，0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))
對稱軸方程
x＝kπ＋eq \f(π,2)
x＝kπ
無
x
－eq \f(φ,ω)
－eq \f(φ,ω)＋eq \f(π,2ω)
eq \f(π－φ,ω)
eq \f(3π,2ω)－eq \f(φ,ω)
eq \f(2π－φ,ω)
ωx＋φ
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
y＝Asin
(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一個振動量時
振幅
周期
頻率
相位
初相
A
T＝eq \f(2π,ω)
f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π)
ωx＋φ
φ

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