1．（2022·上海·華師大二附中高三開(kāi)學(xué)考試）有2男2女共4名學(xué)生被分派去三個(gè)公司實(shí)習(xí)，每個(gè)公司至少1人，且公司只收女生，則不同的分派方法數(shù)為_(kāi)__________.
【答案】
【分析】利用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理將該問(wèn)題分成兩類(lèi)，對(duì)公司進(jìn)行分類(lèi)討論，每一類(lèi)中用分步乘法計(jì)數(shù)原理及排列組合的綜合應(yīng)用進(jìn)行解答即可．
【解析】由題意，第一類(lèi)，公司只有1個(gè)女生，有種分派方案，
則公司分派人數(shù)可以為1，2或者2，1共2種分派方案，共種，所以一共有種分派方案，
第二類(lèi)，公司有2個(gè)女生，只有1種分派方案，
則公司的分派人數(shù)只能是1，1，則有種，
根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理共有種，
故答案為：14．
2．（2022·上海市向明中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）某醫(yī)院從7名男醫(yī)生（含一名主任醫(yī)師），6名女醫(yī)生（含一名主任醫(yī)師）中選派4名男醫(yī)生和3名女醫(yī)生支援抗疫工作，若要求選派的醫(yī)生中有主任醫(yī)師，則不同的選派方案數(shù)為_(kāi)________________．
【答案】550
【分析】分選派的主任醫(yī)師只有一名男主任，只有一名女主任，男，女主任醫(yī)師均選派，三種情況，結(jié)合組合知識(shí)進(jìn)行求解，再相加即可.
【解析】若選派的主任醫(yī)師只有一名男主任，此時(shí)再?gòu)氖Ｓ嗟?名男醫(yī)生選派3名男醫(yī)生，從5名女醫(yī)生（主任醫(yī)師除外）選派3名醫(yī)生，有種，
若選派的主任醫(yī)師只有一名女主任，此時(shí)再?gòu)氖Ｓ嗟?名男醫(yī)生（主任醫(yī)師除外）中選派4名男醫(yī)生，從5名女醫(yī)生中選派2名醫(yī)生，有種，
若男，女主任醫(yī)師均選派，此時(shí)再?gòu)氖Ｓ嗟?名男醫(yī)生中選派3名，5名女醫(yī)生中選派2名，有種，
綜上：不同的選派方案有200+150+200=550種.
故答案為：550
3．（2022·上海市延安中學(xué)高三階段練習(xí)）展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是__________.
【答案】7
【分析】由二項(xiàng)式通項(xiàng)公式即可求得常數(shù)項(xiàng).
【解析】二項(xiàng)式的通項(xiàng)為，
令，解得，
所以常數(shù)項(xiàng)為.
故答案為：7
4．（2021·上?！じ裰轮袑W(xué)高三期中）如果，則______.
【答案】127
【分析】依題意可得，計(jì)算，然后計(jì)算即可.
【解析】由題可知: ，所以
所以，由，所以結(jié)果為127
故答案為：127
5．（2020·上?！?fù)旦附中青浦分校高三開(kāi)學(xué)考試）代數(shù)式的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是__________(用數(shù)字作答)
【答案】3
【分析】寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，令的指數(shù)為零，求出參數(shù)值，再代入通項(xiàng)即可得解.
【解析】，
的展開(kāi)式通項(xiàng)為，
所以，的展開(kāi)式通項(xiàng)為，
由，可得，
因此，的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為.
故答案為：.
6．（2022·上海市吳淞中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則所有項(xiàng)的系數(shù)和等于______
【答案】
【分析】由二項(xiàng)式系數(shù)和可求得的值，然后在二項(xiàng)式中令，可求得所有項(xiàng)的系數(shù)和.
【解析】的二項(xiàng)式系數(shù)和為，可得，
所以，的所有項(xiàng)的系數(shù)和為.
故答案為：.
7．（2022·上?！つM預(yù)測(cè)）為了檢測(cè)學(xué)生的身體素質(zhì)指標(biāo)，從游泳類(lèi)1項(xiàng)，球類(lèi)3項(xiàng)，田徑類(lèi)4項(xiàng)共8項(xiàng)項(xiàng)目中隨機(jī)抽取4項(xiàng)進(jìn)行檢則，則每一類(lèi)都被抽到的概率為_(kāi)__________；
【答案】
【分析】由題意，利用古典概型的計(jì)算公式，計(jì)算求得結(jié)果．
【解析】解：從游泳類(lèi)1項(xiàng)，球類(lèi)3項(xiàng)，田徑類(lèi)4項(xiàng)共8項(xiàng)項(xiàng)目中隨機(jī)抽取4項(xiàng)進(jìn)行檢測(cè)，
則每一類(lèi)都被抽到的方法共有種，
而所有的抽取方法共有種，
故每一類(lèi)都被抽到的概率為＝＝，
故答案為：．
8．（2022·上海市南洋模范中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）將編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)小球放到三個(gè)不同的盒子里，每個(gè)盒子至少放一個(gè)小球且編號(hào)為1，2的兩個(gè)小球不能放到同一個(gè)盒子里，則不同放法的種數(shù)有___________.（用數(shù)字作答）.
【答案】
【分析】利用先分組后排序的方法求出總的情況數(shù)，然后求出對(duì)立面編號(hào)為1，2號(hào)小球放在同一個(gè)盒子的情況數(shù)，總的減去對(duì)立面的情況數(shù)即可.
【解析】由題意得4個(gè)小球有2個(gè)放在一個(gè)盒了里的種數(shù)是，
把這兩個(gè)作為一個(gè)元素同另外兩個(gè)元素在三個(gè)位置排列，有種結(jié)果，
而編號(hào)為1，2號(hào)小球放在同一個(gè)盒子里有種結(jié)果，
所以編號(hào)為1，2的小球不放到同一個(gè)盒子里的種數(shù)是.
故答案為：30.
9．（2020·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）乘積（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）展開(kāi)后共有_____項(xiàng)．
【答案】60
【分析】展開(kāi)后的每一項(xiàng)都是由三個(gè)式子中任取一項(xiàng)相乘得到的,因而根據(jù)分步乘法原理即可得出結(jié)論.
【解析】根據(jù)多項(xiàng)式的乘法法則,
可知展開(kāi)后的每一項(xiàng)都是由??這三個(gè)式子,
每一個(gè)中任取一項(xiàng)相乘后得到的,
而在中有3種取法,
在中有4種取法,
在中有5種取法,
由分步乘法原理可得,總共有種情況,
故答案為:60.
【點(diǎn)睛】本題考查分步計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用,屬于簡(jiǎn)單題.
10．（2020·上海市大同中學(xué)高三階段練習(xí)）在報(bào)名的名男教師和名女教師中，選取人參加義務(wù)獻(xiàn)血，要求男、女教師都有，則不同的選取方式的種數(shù)為_(kāi)_______（結(jié)果用數(shù)值表示）.
【答案】
【分析】分兩種情況討論，兩男一女和兩女一男，然后利用分類(lèi)計(jì)算原理可得出選取的方法種數(shù).
【解析】由題意可知，所選的人中應(yīng)為兩男一女和兩女一男，由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理可知，不同的選取方式的種數(shù)為.
故答案為.
【點(diǎn)睛】本題考分類(lèi)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，對(duì)問(wèn)題合理進(jìn)行分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵，考查分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，屬于中等題.
11．（2021·上?！つM預(yù)測(cè)）甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中任想一個(gè)數(shù)字，記為a，再由乙猜甲剛才想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為b，且.若，則稱(chēng)甲乙“心有靈犀”.現(xiàn)任意找兩人玩這個(gè)游戲，則這兩人“心有靈犀”的概率為_(kāi)_____.
【答案】
【分析】由題意知本題是一個(gè)古典概型，從0~9中任意取兩個(gè)數(shù)（可重復(fù)）共有100種取法，列出滿(mǎn)足所有可能情況，代入公式得到結(jié)果．
【解析】從0~9中任意取兩個(gè)數(shù)（可重復(fù)）共有100種取法，則的情況有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有28種，所以.
【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的概率計(jì)算問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．
12．（2022·上海市七寶中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）從5名志愿者中選出3名，分別從事翻譯、導(dǎo)游、保潔三項(xiàng)不同的工作，每人承擔(dān)一項(xiàng)，其中甲不能從事翻譯工作，則不同的選派方案共有_____種.
【答案】48
【分析】應(yīng)用排列數(shù)求出所有可能方案數(shù)、選出3名且甲從事翻譯工作方案數(shù)，由間接法求結(jié)果.
【解析】從5名志愿者中選出3名任意安排有種，
若選出3名且甲從事翻譯工作，則種，
所以5名志愿者中選出3名且甲不能從事翻譯工作的選派方案有種.
故答案為：48
13．（2022·上海·模擬預(yù)測(cè)）小明給朋友發(fā)拼手氣紅包，1毛錢(qián)分成三份（不定額數(shù)，每份是1分的正整數(shù)倍），若這三個(gè)紅包被甲、乙、丙三位同學(xué)搶到，則甲同學(xué)搶到5分錢(qián)的概率為_(kāi)_______．
【答案】
【分析】隔板法求出1毛錢(qián)分成三份的種數(shù)，列舉出甲搶到5分錢(qián)的可能情況，即可求結(jié)果.
【解析】將1毛錢(qián)按10個(gè)1分排成一列，有9個(gè)空，
任選2個(gè)空插入隔板可將1毛錢(qián)分成三份的種數(shù)有種，
甲搶到5分錢(qián)，則乙丙搶到余下兩份有共4種，
所以1毛錢(qián)分成三份，甲搶到5分錢(qián)的概率為，
故答案為：
14．（2021·上海市延安中學(xué)高二期末）四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面點(diǎn)，不同取法有________種.
【答案】141
【分析】用排除法，先考慮任取4點(diǎn)的方法數(shù)為，然后求出共面的四點(diǎn)的方法，對(duì)共面四點(diǎn)分類(lèi)：一類(lèi)是四面體六個(gè)面上的四點(diǎn)，二類(lèi)是每條棱上三點(diǎn)與對(duì)棱中點(diǎn)，三類(lèi)是棱的中點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形（正好與對(duì)棱平行），由此可得結(jié)論．
【解析】任取4個(gè)點(diǎn)共有種，再考慮不滿(mǎn)足條件的取法，①每個(gè)表面六個(gè)點(diǎn)中任取四個(gè)點(diǎn)共面，即；②每一條棱與對(duì)棱中點(diǎn)四個(gè)點(diǎn)共面，有6種；③與對(duì)棱平行的平行四邊形共面，有3種，共有210-60-6-3=141種.
故答案為：141．
【點(diǎn)睛】本題考查組合的應(yīng)用，掌握四點(diǎn)共面是解題關(guān)鍵．解題方法是排除法．
15．（2020·上海·模擬預(yù)測(cè)）已知，若數(shù)列是個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列，則的最大值為_(kāi)____
【答案】17
【分析】利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)項(xiàng)的通項(xiàng)得出數(shù)列的通項(xiàng)，由，解關(guān)于的不等式，即可得出結(jié)論.
【解析】因?yàn)椋?br>所以,由，
得，即，
解得的最大值為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式，考查數(shù)列的單調(diào)性問(wèn)題，難度一般，二項(xiàng)式展開(kāi)項(xiàng)的通項(xiàng)公式運(yùn)用是關(guān)鍵.
16．（2022·上海奉賢·二模）設(shè)項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列滿(mǎn)足：，且對(duì)任意，，都有，則這樣的數(shù)列共有_____個(gè).
【答案】31
【分析】根據(jù)列舉出所有可能的數(shù)列，再結(jié)合、、、、同時(shí)成立，排除不滿(mǎn)足條件的，即可得答案.
【解析】當(dāng)，時(shí)，，
所以可能情況如下：
1、{一個(gè)1，三個(gè)0}：、、、，4個(gè)；
2、{兩個(gè)1，一個(gè)和0 }：、、、、、、、、、、、，12個(gè)；
3、{一個(gè)，三個(gè)0}：、、、，4個(gè)；
4、{兩個(gè)，一個(gè)1和0}：、、、、、、、、、、、，12個(gè)；
5、{四個(gè)0}：，1個(gè)；
6、{兩個(gè)，兩個(gè)1 }：、、、、、，6個(gè)；
7、{兩個(gè)0，一個(gè)1 和}：、、、、、、、、、、、，12個(gè)；
綜上，數(shù)列共有51個(gè).
當(dāng)，時(shí)，，
當(dāng)，時(shí)，，
當(dāng)，時(shí)，，
當(dāng)，時(shí)，，
當(dāng)，時(shí)，，
所以、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，20個(gè)不滿(mǎn)足；
綜上，滿(mǎn)足要求的數(shù)列有31個(gè).
故答案為：31
二、單選題
17．（2022·上海市市西中學(xué)高二期中）從30名兒童中選3名扮演三種小動(dòng)物，則不同的編排方法有（ ）種
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用排列組合的意義逐一檢查選項(xiàng)即可.
【解析】對(duì)于A，從30名兒童中選3名扮演三種小動(dòng)物，相當(dāng)于從30個(gè)元素中挑選出3個(gè)元素進(jìn)行排列，是一個(gè)排列問(wèn)題，故不同的編排方法為，故A正確；
對(duì)于B，表示的意思是從相當(dāng)于從30個(gè)元素中挑選出3個(gè)元素，沒(méi)有排列，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，，由A選項(xiàng)可知其錯(cuò)誤，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，由B選項(xiàng)可知其錯(cuò)誤，故D錯(cuò)誤.
故選：A.
18．（2022·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）已知直線的斜率大于零，其系數(shù)a、b、c是取自集合中的3個(gè)不同元素，那么這樣的不重合直線的條數(shù)是（ ）
A．11B．12C．13D．14
【答案】A
【分析】根據(jù)直線的斜率大于零，得到，再分，，三種情況分類(lèi)求解.
【解析】因?yàn)橹本€的斜率大于零，
所以，
當(dāng)，a有2種選法，b有2種選法，c有1種選法；
因?yàn)橹本€與直線重合，
所以這樣的直線有條；
當(dāng)時(shí)，a有1種選法，b有2種選法， c有2種選法；
所以這樣的直線有條，
當(dāng)時(shí)，a有2種選法，b有1種選法， c有2種選法；
所以這樣的直線有條，
綜上：這樣的不重合直線的條數(shù)是3+8=11條，
故選：A
19．（2022·上海·華東師范大學(xué)附屬東昌中學(xué)高三階段練習(xí)）在的展開(kāi)式中的系數(shù)為20，則常數(shù)（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式，求得的項(xiàng)數(shù)后，由系數(shù)為20可得參數(shù)值．
【解析】由題意得二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，依題意，令，則，，解得．
故選：A．
20．（2022·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二期末）公安部新修訂的《機(jī)動(dòng)車(chē)登記規(guī)定》正式實(shí)施后，小型汽車(chē)的號(hào)牌已經(jīng)可以采用“自主編排”的方式進(jìn)行編排.某人欲選由A?B?C?D?E中的兩個(gè)不同字母，和0?1?2?3?4?5?6?7?8?9中的3個(gè)不同數(shù)字，組成的三個(gè)數(shù)字都相鄰的一個(gè)號(hào)牌，則他選擇號(hào)牌的方法種數(shù)最多有（ ）種.
A．7200B．14400C．21600D．43200
【答案】D
【分析】先計(jì)算挑選出兩個(gè)不同字母和3個(gè)不同數(shù)字的情況數(shù)，再求解三個(gè)數(shù)字都相鄰的情況即可
【解析】由題意，選取A?B?C?D?E中的兩個(gè)不同字母，和0?1?2?3?4?5?6?7?8?9中的3個(gè)不同數(shù)字共有種情況，當(dāng)兩個(gè)字母和3個(gè)數(shù)字確定后，再組成的三個(gè)數(shù)字都相鄰的一個(gè)號(hào)牌總共有種情況，根據(jù)分步計(jì)數(shù)的乘法原理可得，選擇號(hào)牌的方法種數(shù)最多有種
故選：D
21．（2022·上海市延安中學(xué)高二期末）的展開(kāi)式為多項(xiàng)式，其展開(kāi)式經(jīng)過(guò)合并同類(lèi)項(xiàng)后的項(xiàng)數(shù)一共有（ ）
A．72項(xiàng)B．75項(xiàng)C．78項(xiàng)D．81項(xiàng)
【答案】C
【分析】由多項(xiàng)式展開(kāi)式中的項(xiàng)為，即，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為將2個(gè)隔板和11個(gè)小球分成三組，應(yīng)用組合數(shù)求項(xiàng)數(shù)即可.
【解析】由題設(shè)，多項(xiàng)式展開(kāi)式各項(xiàng)形式為且，
故問(wèn)題等價(jià)于將2個(gè)隔板和11個(gè)小球分成三組，即.
故選：C
22．（2022·上海海洋大學(xué)附屬大團(tuán)高級(jí)中學(xué)一模）電視臺(tái)在電視劇開(kāi)播前連續(xù)播放6個(gè)不同的廣告，其中4個(gè)商業(yè)廣告2個(gè)公益廣告，現(xiàn)要求2個(gè)公益廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式共有（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由題意，利用插空法，可得答案.
【解析】先排4個(gè)商業(yè)廣告，則，即存在5個(gè)空，再排2個(gè)公益廣告，則，故總排法：，
故選：A.
23．（2021·上?！じ裰轮袑W(xué)高二階段練習(xí)）考察正方體6個(gè)面的中心，甲從這6個(gè)點(diǎn)中任意選兩個(gè)點(diǎn)連成直線，乙也從這6個(gè)點(diǎn)中任意選兩個(gè)點(diǎn)連成直線，則所得的兩條直線互相平行但不重合的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先用組合數(shù)的公式求得甲乙從這6個(gè)點(diǎn)中任意選兩點(diǎn)連成直線的條數(shù)，再用分步計(jì)數(shù)原理求出甲乙從中各任選一條共有種，結(jié)合正八面體的性質(zhì)，求得平行且不重合的共有12對(duì)，根據(jù)古典摡型的概率計(jì)算公式，即可求解.
【解析】由題意，甲從這6個(gè)點(diǎn)中任意選兩個(gè)點(diǎn)連成直線，共有條，
乙從這6個(gè)點(diǎn)中任意選兩點(diǎn)連成直線，共有條，
甲乙從任選一條，共有種不同的取法，
因?yàn)檎襟w6個(gè)面的中心構(gòu)成一個(gè)正八面體，有六對(duì)互相平行但不重合的直線，
則甲乙兩人所得的直線互相平行但不重合的共有12對(duì)，
根據(jù)古典摡型的概率計(jì)算公式，可得概率為.
故選：A.
24．（2021·上海交大附中高三開(kāi)學(xué)考試）已知，其中為展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)，，則下列說(shuō)法不正確的有（ ）
A．，B．
C．D．是中的最大項(xiàng)
【答案】C
【分析】依題意，寫(xiě)出的展開(kāi)式，再一一判斷即可；
【解析】解：依題意
所以
由上式可知，選項(xiàng)，正確；
展開(kāi)式中，，的的系數(shù)和為：
，而，
故，故正確；
由式子可得，，故選項(xiàng)不正確．
故選：．
三、解答題
25．（2021·上海市奉賢中學(xué)高二階段練習(xí)）用0，1，2，3，4這5個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)滿(mǎn)足下列條件的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字五位數(shù)？
(1)偶數(shù)：
(2)左起第二?四位是奇數(shù)的偶數(shù)；
(3)比21034大的偶數(shù).
【答案】(1)個(gè)
(2)個(gè)
(3)個(gè)
【分析】（1）先考慮特殊位置、特殊元素，再利用分類(lèi)加法原理、分步乘法原理進(jìn)行計(jì)算.
（2）先考慮特殊位置、特殊元素，再利用分類(lèi)加法原理、分步乘法原理進(jìn)行計(jì)算.
（3）先考慮特殊位置、特殊元素，再利用分類(lèi)加法原理、分步乘法原理進(jìn)行計(jì)算.
（1）
末位是0，有個(gè)，
末位是2或4，有個(gè)，
故滿(mǎn)足條件的五位數(shù)共有個(gè).
（2）
法一：可分兩類(lèi)，0是末位數(shù)，有個(gè)，
2或4是末位數(shù)，則個(gè).
故共在個(gè).
法二：四位從奇數(shù)1，3中取，有；
首位從2，4中取，有個(gè)：余下的排在剩下的兩位，有個(gè)；
故共有個(gè).
（3）
法一：可分五類(lèi)，當(dāng)末位數(shù)是0，而首位數(shù)是2時(shí)，有個(gè)；
當(dāng)末位數(shù)字是0，而首位數(shù)字是3或4時(shí)，有個(gè)；
當(dāng)末位數(shù)字是2，而首位數(shù)字是3或4時(shí)，有個(gè)；
當(dāng)末位數(shù)字是4，而首位數(shù)字是2時(shí)，有個(gè)；
當(dāng)末位數(shù)字是4，而首位數(shù)字是3吋，有個(gè).
故有個(gè).
法二：不大于21034的偶數(shù)可分為三類(lèi)：
萬(wàn)位數(shù)字為1的偶數(shù)，有個(gè)；
萬(wàn)位數(shù)字為2，而千位數(shù)字是0的偶數(shù)，有個(gè)：還有21034本身.
而由組成的五位偶數(shù)有個(gè).
故滿(mǎn)足條件的五位偶數(shù)共有個(gè).
26．（2022·上海市虹口高級(jí)中學(xué)高二期末）已知5名同學(xué)站成一排，要求甲、乙兩人站在兩端，記滿(mǎn)足條件的所有不同的排法種數(shù)為m.
(1)求m的值；
(2)求二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的的系數(shù).
【答案】(1)12
(2)66
【分析】（1）先安排甲、乙兩人，再安排其他人員，結(jié)合排列數(shù)可得答案；
（2）利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解.
(1)
先安排甲、乙兩人，共有種方法，再排其余3人，共有種方法，所以.
(2)
由（1）知，的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，
令可得，，所以二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的的系數(shù)為.
27．（2020·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）分別從集合和集合中各取兩個(gè)數(shù)字，問(wèn)：
（1）可組成多少個(gè)四位數(shù)？
（2）可組成多少個(gè)四位偶數(shù)？
【答案】（1）1296個(gè)（2）672個(gè)
【分析】（1）分兩種情況討論，集合B中所取的兩個(gè)數(shù)不含0和集合B中所取的數(shù)含0，即得解；
（2）分兩種情況討論，集合B中所取的兩個(gè)數(shù)不含0和集合B中所取的數(shù)含0，當(dāng)集合B中所取的數(shù)含0再分0在個(gè)位和0不在個(gè)位兩種情況討論，即得解.
【解析】（1）若集合B中所取的兩個(gè)數(shù)不含0，則組成的四位數(shù)有個(gè)；
若集合B中所取的數(shù)含0，則組成的四位數(shù)有個(gè)..
所以，共可組成的四位數(shù)有（個(gè)）.
（2）若集合B中所取的兩個(gè)數(shù)不含0，則組成的四位偶數(shù)有個(gè)；
若集合B中所取的數(shù)含0，若0在個(gè)位，則可組成的四位偶數(shù)有個(gè)，
若0不在個(gè)位，則可組成的四位偶數(shù)有個(gè).
所以，共可組成的四位偶數(shù)有（個(gè)）.
【點(diǎn)睛】本題主要考查排列組合的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.
28．（2022·上海市楊浦高級(jí)中學(xué)高二期末）已知的二項(xiàng)展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，
(1)求的值；
(2)求展開(kāi)式的所有有理項(xiàng)(指數(shù)為整數(shù))，并指明是第幾項(xiàng)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由二項(xiàng)式系數(shù)和公式可得答案；
（2）求出的通項(xiàng)，利用的指數(shù)為整數(shù)可得答案.
（1）
的二項(xiàng)展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和，
所以.
（2）
，
因此時(shí)，有理項(xiàng)為，
有理項(xiàng)是第一項(xiàng)和第七項(xiàng).
29．（2022·上海嘉定·高三階段練習(xí)）將的二項(xiàng)展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)依次列為：.
(1)依據(jù)二頂式定理，將展開(kāi)，并求證：；
(2)研究所列二項(xiàng)式系數(shù)的單調(diào)性，并求證：其最大值為.
【答案】(1)，證明見(jiàn)解析；
(2)答案見(jiàn)解析．
【分析】（1）由二項(xiàng)式定理得展開(kāi)式，在展開(kāi)式中令可證結(jié)論成立；
（2）用作差法可得出二項(xiàng)式系數(shù)的單調(diào)性，從而得出最大值．
（1）
由已知，
令得；
（2）
，，
當(dāng)，，即時(shí)，，，
當(dāng)，即時(shí)，，，
所以中，從到遞增，從到遞減，
所以是最大值．
30．（2022·上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)高二期末）已知（n為正整數(shù)）.
(1)若，求n的值；
(2)若，，，求和的值（結(jié)果用指數(shù)冪的形式表示）.
【答案】(1)
(2)，，
【分析】（1）先求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，然后由列方程可求出n的值，
（2）分別令，求出，，進(jìn)而可求出的值，
（1）
二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，則
，
因?yàn)椋?br>所以，化簡(jiǎn)得，
，
得或（舍去），
（2）
當(dāng)時(shí)，，
令，得，
令，得，
因?yàn)椋?br>所以，
，
所以，
31．（2021·上海交大附中高二期中）在的展開(kāi)式中，把，，，…，叫做三項(xiàng)式的次系數(shù)列．
（1）寫(xiě)出三項(xiàng)式的2次系數(shù)列和3次系數(shù)列；
（2）列出楊輝三角形類(lèi)似的表（，），用三項(xiàng)式的次系數(shù)表示，，；
（3）用二項(xiàng)式系數(shù)表示．
【答案】（1），，，，，，，，，，，；（2），，；（3）.
【分析】（1）先求出三項(xiàng)式的展開(kāi)式，即可求出；
（2）列出楊輝三角形類(lèi)似的表，即可得出結(jié)果；
（3）根據(jù)三項(xiàng)式的次系數(shù)列定義展開(kāi)求解即可得出.
【解析】（1）寫(xiě)出三項(xiàng)式的2次系數(shù)列和3次系數(shù)列：
∵，
∴，，，，，
∵
，
∴，，，，，，．
（2）列出楊輝三角形類(lèi)似的表（，），
用三項(xiàng)式的次系數(shù)表示，，，
，，，
（3）用二項(xiàng)式系數(shù)表示，
，，，
，…，，
∵，
∴，
∵，，…，，
∴
，
∴．
32．（2021·上海師大附中高二期中）某品牌設(shè)計(jì)了編號(hào)依次為1?2?3?…?的n種不同款式的時(shí)裝，由甲?乙兩位模特分別從中隨機(jī)選擇i?j（，且i，）種款式用來(lái)拍攝廣告.
(1)若，求甲在1到5號(hào)且乙在6到10號(hào)選擇時(shí)裝的概率；
(2)若，且甲在1到m（m為給定的正整數(shù)，且）號(hào)中選擇，乙在號(hào)到n號(hào)中選擇.記為款式（編號(hào)）s和t同時(shí)被選中的概率，求﹔
(3)求至少有一種款式為甲和乙共同選擇的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)先求出甲在1到5號(hào)且乙在6到10號(hào)任選兩款的所有等可能基本事件數(shù)，利用古典概型概率計(jì)算公式求解即可；
(2)求出甲從1到m(m為給定的正整數(shù)，且)號(hào)中任選兩款，且乙從(m+1)到n號(hào)中任選兩款的所有等可能基本事件數(shù)，款式s和t()同時(shí)被選中包含的基本事件數(shù)，再利用古典概型概率計(jì)算公式求解即可；
(3)求出甲、乙從n種不同款式的服裝中任選服裝的所有可能事件數(shù)，確定“沒(méi)有一個(gè)款式為甲和乙共同認(rèn)可”包含的基本事件數(shù)，利用對(duì)立事件的概率公式求解即可.
（1）
當(dāng)時(shí)，
甲從1到5號(hào)中任選兩款，且乙從6到10號(hào)中任選兩款的所有等可能基本事件的種數(shù)為：
，所有P(甲在1到5號(hào)且乙在6到10號(hào)選擇服裝)=；
（2）
甲從1到m(m為給定的正整數(shù)，且)號(hào)中任選兩款，且乙從(m+1)到n號(hào)中任選兩款的所有等可能基本事件的種數(shù)為：，
記“款式s和t()同時(shí)被選中”為事件B，則事件B包含的基本事件的種數(shù)為：，
所有；
（3）
甲從n種不同款式的服裝中任選服裝的所有可能種數(shù)為：
，
同理，乙從n種不同款式的服裝中任選服裝的所有可能種數(shù)為：，
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得，所有等可能的基本事件的種數(shù)為：，
記“至少有一款為甲和乙共同認(rèn)可”為事件A，
則事件A的對(duì)立事件為“沒(méi)有一個(gè)款式為甲和乙共同認(rèn)可”，
而事件包含的基本事件種數(shù)為：
，
所以，故.

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