一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）
1．（5分）（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）給出下列命題：
①零向量沒有方向；
②若兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；
③若空間向量滿足，則；
④若空間向量滿足，則；
⑤空間中任意兩個(gè)單位向量必相等．
其中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A．4B．3
C．2D．1
【解題思路】根據(jù)空間向量的有關(guān)定義判斷可得答案.
【解答過(guò)程】零向量的方向是任意的，但并不是沒有方向，故①錯(cuò)誤；
當(dāng)兩個(gè)空間向量的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同時(shí)，這兩個(gè)向量必相等．但兩個(gè)向量相等，起點(diǎn)和終點(diǎn)不一定相同，故②錯(cuò)誤；
根據(jù)相等向量的定義，要保證兩個(gè)向量相等，不僅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量與的方向不一定相同，故③錯(cuò)誤；
命題④顯然正確；
對(duì)于命題⑤，空間中任意兩個(gè)單位向量的模均為1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤錯(cuò)誤．
故選：D.
2．（5分）（2023秋·高一單元測(cè)試）在正四面體中，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
【解題思路】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算，即可求解.
【解答過(guò)程】由題知，在正四面體中，
因?yàn)槠矫妫?br>所以是的中心，
連接，則，
所以
.

故選：B.
3．（5分）（2023春·上海徐匯·高二?？计谀┮阎?，則方程所表示的曲線為，則以下命題中正確的是（ ）
A．當(dāng)曲線表示雙曲線時(shí)，的取值范圍是
B．當(dāng)時(shí)，曲線表示一條直線
C．當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓
D．存在，使得曲線為等軸雙曲線
【解題思路】根據(jù)直線、橢圓以及雙曲線方程的特征逐項(xiàng)分析判斷.
【解答過(guò)程】對(duì)于選項(xiàng)A：曲線表示雙曲線時(shí)，則，解得或，
所以的取值范圍是，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，則，解得，
所以曲線表示兩條直線，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，則，
即，可得，
曲線：表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：若曲線為等軸雙曲線，且方程可整理為，
可得，則，無(wú)解，
所以不存在，使得曲線為等軸雙曲線，故D錯(cuò)誤；
故選：C.
4．（5分）（2023春·廣西南寧·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）直線過(guò)點(diǎn)且與直線垂直，則的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【解題思路】求出直線的斜率，然后利用點(diǎn)斜式可寫出直線的方程，化為一般式可得出答案.
【解答過(guò)程】直線的斜率為，則直線的斜率為，
因此，直線的方程為，即.
故選：C.
5．（5分）（2023春·江西九江·高二?？计谥校┰O(shè)直線被圓：所截得弦的中點(diǎn)為，則直線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】求出圓心坐標(biāo)，根據(jù)圓的性質(zhì)得到，利用垂直求出直線的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式可得結(jié)果.
【解答過(guò)程】圓的圓心為，
設(shè)直線的斜率為，
由已知直線與垂直，又，
所以，解得：，
所以的方程為，即.
故選：D.
6．（5分）（2023·河南新鄉(xiāng)·?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn).若直線的斜率之積為，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【解題思路】設(shè)，則，得到，由橢圓的方程，得到，結(jié)合，即可求解.
【解答過(guò)程】由題意，橢圓的左頂點(diǎn)為，
因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，可設(shè)，則，
所以，可得，
又因?yàn)椋矗?br>代入可得，所以離心率為.
故選：D.

7．（5分）（2023·吉林通化·?？寄M預(yù)測(cè)）直三棱柱如圖所示，為棱的中點(diǎn)，三棱柱的各頂點(diǎn)在同一球面上，且球的表面積為，則異面直線和所成的角的余弦值為（ ）

A．B．C．D．
【解題思路】先根據(jù)已知條件求出側(cè)棱長(zhǎng)，然后建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線和的方向向量，從而可求解.
【解答過(guò)程】因?yàn)樵谥比庵校郧蛐牡降酌娴木嚯x，
又因?yàn)椋?，所以，所以底面外接圓半徑，
又因?yàn)榍虻谋砻娣e為，所以，
而，所以，

以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則
，，，，
，
，
設(shè)直線和所成的角為，則
.
故選：A.
8．（5分）（2023秋·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過(guò)焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對(duì)稱軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線的焦點(diǎn)為，一條平行于軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)射出，則的面積為（ ）
A．4B．C．D．
【解題思路】由題意求出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線過(guò)焦點(diǎn)的直線，聯(lián)立拋物線方程求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)公式求解即可.
【解答過(guò)程】因?yàn)椋?，所以?br>所以，又，所以4），
即，又，
所以，解得或，所以，
又因?yàn)椋?br>點(diǎn)到直線的距離，
所以的面積.

故選：.
二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）
9．（5分）（2023秋·高一單元測(cè)試）已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．的最小值為2D．的最大值為4
【解題思路】根據(jù)空間向量共線定理即可判斷A；根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示即可判斷B；根據(jù)向量的模的坐標(biāo)表示結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷CD.
【解答過(guò)程】對(duì)于A，若，且，，
則存在唯一實(shí)數(shù)使得，即，
則，解得，故A正確；
對(duì)于B，若，則，
即，解得，故B正確；
，
故當(dāng)時(shí)，取得最小值，無(wú)最大值，故C正確，D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
10．（5分）（2023秋·高一單元測(cè)試）點(diǎn)在圓：上，點(diǎn)在圓：上，則（ ）
A．的最小值為
B．的最大值為
C．兩個(gè)圓心所在的直線斜率為
D．兩個(gè)圓公共弦所在直線的方程為
【解題思路】根據(jù)圓心距結(jié)合兩圓半徑可判斷兩圓的位置關(guān)系，故可判斷D的正誤，求出的最值后可判斷AB的正誤，利用公式可求連心線的斜率，故可判斷C的正誤.
【解答過(guò)程】根據(jù)題意，圓：，其圓心，半徑，
圓：，即，其圓心，半徑，
則圓心距，兩圓外離，不存在公共弦，故D不正確；
的最小值為，最大值為，
故A正確，B不正確；
對(duì)于C，圓心，圓心，
則兩個(gè)圓心所在直線斜率，故C正確，
故選：AC.
11．（5分）（2023春·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為坐標(biāo)原點(diǎn)，以下說(shuō)法正確的是（ ）
A．橢圓的離心率為
B．過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為
C．橢圓上存在點(diǎn)，使得的面積為
D．為橢圓上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，則的最大值為
【解題思路】求出橢圓的離心率，可判斷A選項(xiàng)；利用橢圓的定義可判斷B選項(xiàng)；求出的取值范圍，可判斷C選項(xiàng)；利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合圓的幾何性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).
【解答過(guò)程】在橢圓中，，，則，
對(duì)于A選項(xiàng)，橢圓的離心率為，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，的周長(zhǎng)為，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)為橢圓短軸的端點(diǎn)時(shí)，的面積取最大值，且最大值為，
所以，，故橢圓上不存在點(diǎn)，使得的面積為，B錯(cuò)；
對(duì)于D選項(xiàng)，圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，該圓的半徑為，
設(shè)點(diǎn)，則，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線，且為線段上的點(diǎn)，以及點(diǎn)為橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，
取最大值，D對(duì).
故選：BD.
12．（5分）（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)·芬奇方磚在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案，如圖1，把三片這樣的達(dá)·芬奇方磚拼成圖2的組合，這個(gè)組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的空間幾何體.若圖3中每個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．點(diǎn)到直線的距離是
B．
C．平面與平面的夾角余弦值為
D．異面直線與所成角的正切值為
【解題思路】通過(guò)空間向量的基底運(yùn)算可得B的正誤，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得A、C、D的正誤.
【解答過(guò)程】依題意，所以選項(xiàng)B正確；
如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
，，，，
對(duì)于A：，，設(shè)，
則點(diǎn)到直線CQ的距離，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B： ,；
設(shè)平面的法向量的一個(gè)法向量為，則，
令可得為，
設(shè)平面的法向量為，則，則
所以，即平面與平面的夾角余弦值為，所以C正確；
對(duì)于D，因?yàn)椋?br>所以，所以，
所以異面直線與所成角的正切值為，所以D正確．
故選：BCD.
三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）
13．（5分）（2023·湖南長(zhǎng)沙·周南中學(xué)?？级＃┤魣A上有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．
【解題思路】由題意得，圓心到直線的距離，列式求解即可．
【解答過(guò)程】圓的圓心為，半徑為，
因?yàn)閳A上有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，
所以圓心到直線的距離，
所以，解得．
故答案為：．
14．（5分）（2023春·上海奉賢·高二校考階段練習(xí)）已知兩點(diǎn)，，直線過(guò)點(diǎn)且與線段相交，則直線斜率的取值范圍是 .
【解題思路】數(shù)形結(jié)合法，討論直線過(guò)A、B時(shí)對(duì)應(yīng)的斜率，進(jìn)而判斷率的范圍.
【解答過(guò)程】如下圖示，
當(dāng)直線過(guò)A時(shí)，，
當(dāng)直線過(guò)B時(shí)，，
由圖知：.
故答案為：.
15．（5分）（2023春·四川涼山·高二校聯(lián)考期末）已知雙曲線，（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)作一條斜率為的直線與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)M，且，則雙曲線C的離心率為 .
【解題思路】由雙曲線的焦半徑公式結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)計(jì)算即可.
【解答過(guò)程】
如圖所示，設(shè)，則，
所以，
又M在第一象限，即，故，
因?yàn)椋^(guò)M作軸于D，，
故，
即，故，
解之得（負(fù)值舍去）.
故答案為：.
16．（5分）（2023春·四川成都·高二校聯(lián)考期中）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，若空間中的動(dòng)點(diǎn)滿足，，則下列命題正確的是 ② ．（請(qǐng)用正確命題的序號(hào)作答）
①若，則點(diǎn)到平面的距離為；
②若，則二面角的平面角為；
③若，則三棱錐的體積為．
【解題思路】分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，對(duì)于①：直接應(yīng)用點(diǎn)到平面距離的向量公式，即可判斷；對(duì)于②：直接應(yīng)用面面角的向量公式，即可判斷；對(duì)于③：先求出點(diǎn)到平面的距離，即可計(jì)算出，得出判斷．
【解答過(guò)程】對(duì)于①：由空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示可建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
所以，，，，，
向量，設(shè)平面的法向量，
由，，
則即，取則，
則點(diǎn)與平面的距離為，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②：設(shè)平面的法向量，
又，，
即，取，則，
易得平面的一個(gè)法向量，
設(shè)二面角的平面角為，
則，
是銳角，
二面角的平面角為，故②正確；
對(duì)于③：，，，，
，則，
設(shè)平面的法向量為，
由，，
則，取則，
則點(diǎn)到平面的距離為，
由得
易知，
則三棱錐，故③錯(cuò)誤；
故答案為：②．
四．解答題（共6小題，滿分70分）
17．（10分）（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）根據(jù)條件寫出下列直線的斜截式方程：
(1)斜率為2，在y軸上的截距是5；
(2)傾斜角為150°，在y軸上的截距是－2；
(3)傾斜角為60°，與y軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為3.
【解題思路】（1）由直線的斜截式可得直線方程；
（2）由已知求得直線的斜率，再由直線的斜截式可得直線方程．
（3）由已知求得直線的斜率和直線在y軸上的截距，再由直線的斜截式求得直線的方程.
【解答過(guò)程】（1）由直線方程的斜截式可知，所求直線的斜截式方程為y＝2x＋5.
（2）由于直線的傾斜角為150°，所以斜率k＝tan 150°＝－，
故所求直線的斜截式方程為y＝－x－2.
（3）因?yàn)橹本€的傾斜角為60°，所以斜率k＝tan 60°＝．
因?yàn)橹本€與y軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為3，
所以直線在y軸上的截距b＝3或b＝－3，
故所求直線的斜截式方程為y＝x＋3或y＝x－3.
18．（12分）（2023春·四川成都·高二校聯(lián)考期中）如圖，在平行六面體中，E，F(xiàn)分別為棱，CD的中點(diǎn)，記，，，滿足，，，.
(1)用，，表示；
(2)計(jì)算.
【解題思路】（1）根據(jù)空間向量對(duì)應(yīng)線段的位置關(guān)系，用表示出；
（2）應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律得 ，結(jié)合已知即可求數(shù)量積.
【解答過(guò)程】（1） ；
（2）
.
19．（12分）（2023秋·高一單元測(cè)試）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的圓心在直線上，且圓與直線相切于點(diǎn).
(1)求圓的方程；
(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程.
【解題思路】（1）求出過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程，與聯(lián)立求出圓心，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離求出半徑，即可得圓的方程；
（2）分類討論，利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合過(guò)原點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程.
【解答過(guò)程】（1）過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為，
聯(lián)立，解得，所以,
所以圓的半徑為,
所以圓的方程為.

（2）由（1）可知圓的方程為，
因?yàn)橹本€被圓截得的弦長(zhǎng)為，
所以到直線的距離為，
若直線的斜率不存在，則方程為，此時(shí)圓心到直線的距離為，不符合題意；
若直線的斜率存在，設(shè)方程為，
則,即,解得或,
所以直線的方程為或.

20．（12分）（2023春·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，垂直于x軸的直線與該橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，且．
(1)求該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率；
(2)求的面積及弦長(zhǎng)的值．
【解題思路】（1）由橢圓的方程可得答案；
（2）由、橢圓定義、三角形的面積公式計(jì)算可得答案.
【解答過(guò)程】（1）由橢圓的方程，可得，，
∴該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，短軸長(zhǎng)為6，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率；
（2）∵，
∴，
即，
∴，即．
∴的面積為，
設(shè)點(diǎn)，則的面積為，可得，
∴．
21．（12分）（2023春·廣東湛江·高一?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在三棱錐中，已知平面ABC，平面平面，點(diǎn)D為線段上一點(diǎn)，且，

(1)證明：平面；
(2)若，，且三棱錐的體積為18，求二面角的正切值．
【解題思路】（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由面面垂直、線面垂直的性質(zhì)定理可得，，再由線面垂直的判定定理可得答案；
（2）由體積求出，以為原點(diǎn)，分別以為軸、軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面、平面的一個(gè)法向量，由二面角的向量求法可得答案．
【解答過(guò)程】（1）證明：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示，

因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面?br>所以平面，又平面，所以，
又平面，平面，則，
又因?yàn)?，，平面?br>所以平面；
（2）由（1）知平面，平面，得，
又，，，
所以，解得，
以為原點(diǎn)，分別以為軸、軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，
又因?yàn)?，所以?br>則有，，
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，
則，令，則，，
所以可取，
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，
則，令，則，，，所以可取，
則，所以二面角的余弦值為，
可得二面角的正切值為．
22．（12分）（2023春·貴州遵義·高二統(tǒng)考期中）已知雙曲線：的左、右頂點(diǎn)分別為，，且頂點(diǎn)到漸近線的距離為，點(diǎn)是雙曲線右支上一動(dòng)點(diǎn)（不與重合），且滿足，的斜率之積為.
(1)求雙曲線的方程.
(2)過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于軸上方的，兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷直線，的斜率之積是否為定值．若為定值，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解題思路】（1）由頂點(diǎn)到漸近線的距離為，得，設(shè)，則，從而得到，解得，，，即可得出答案．
（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得，，進(jìn)而可得點(diǎn)坐標(biāo)，則，進(jìn)而可得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出答案．
【解答過(guò)程】（1）雙曲線的漸近線方程為，即，
因?yàn)轫旤c(diǎn)到漸近線的距離為，
所以，
設(shè) ，，，則，
所以，
因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，所以，
所以，
又
所以，，，
所以雙曲線的方程為．
（2）設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立，得，
則，
所以，，
因?yàn)橹本€與雙曲線交于軸上方的，兩點(diǎn)，
所以，即，解得，
所以，，即，
所以，
又，所以，
所以，
所以，所以，所以，
所以，即直線，的斜率之積為定值．

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