考點鞏固卷13 數(shù)列綜合研究通項及求和（七大考點）-2025年高考數(shù)學二輪復習考點鞏固-試卷下載-教習網(wǎng)

考點01：已知通項公式與前項的和關(guān)系求通項問題
若已知數(shù)列的前項和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項可用公式構(gòu)造兩式作差求解．
用此公式時要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個表達，（要先分和兩種情況分別進行運算，然后驗證能否統(tǒng)一）．
1．數(shù)列的前n項和滿足，若，則的值是（）
A．B．C．6D．7
【答案】B
【分析】由已知結(jié)合化簡變形可得數(shù)列是以2為首項，為公比的等比數(shù)列，從而可求出，進而可求出答案.
【詳解】因為，所以，
所以，
所以，
因為，，所以，得，
所以數(shù)列是以2為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以，
所以.
故選：B
2．已知數(shù)列的前n項和為，若，，則（）
A．-3B．3C．-2D．2
【答案】B
【分析】根據(jù)遞推關(guān)系，賦值即可求解．
【詳解】若，，變形得到，，
當時，，解得；
當時，，解得；
當時，，解得；
故選：B.
3．設為數(shù)列的前項和，若，則（）
A．4B．8C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)的關(guān)系可得遞推公式，利用遞推公式可得.
【詳解】當時，，所以，
整理得，所以.
故選：B．
4．已知數(shù)列的前n項和滿足，則 .
【答案】
【分析】首先利用公式，判斷數(shù)列是等比數(shù)列，再代入公式，即可求解.
【詳解】令，得，得，
，當時，，兩式相減得，
，即，即，
所以數(shù)列是以首項，公比為2的等比數(shù)列，
所以.
故答案為：
5．已知數(shù)列的前三項依次為的前項和，則．
【答案】2024
【分析】根據(jù)題意列方程得到，然后根據(jù)求即可.
【詳解】由題意知，，，
解得，，，
所以，.
故答案為：2024.
6．已知數(shù)列的前n項和為，且，則數(shù)列的通項公式為．
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，利用前n項和與第n項的關(guān)系求出通項公式即得.
【詳解】數(shù)列中，，，
當時，，顯然滿足上式，
數(shù)列的通項公式為.
故答案為：
7．已知等比數(shù)列的前項和為，且.
(1)求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首項后可求通項；
（2）利用分組求和法即可求.
【詳解】（1）因為,故，
所以即故等比數(shù)列的公比為，
故，故，故.
（2）由等比數(shù)列求和公式得，
所以數(shù)列的前n項和
.
8．設數(shù)列的前n項和滿足且成等差數(shù)列
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設數(shù)列的前n項和為，求．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用的關(guān)系可知是等比數(shù)列，再求出首項，可得通項公式；
（2）利用錯位相減法可求答案.
【詳解】（1）當時，，，兩式相減可得，
因為成等差數(shù)列，所以，即，
解得，所以是首項為2，公比為2的等比數(shù)列；
所以.
（2），，
，
兩式相減可得
，
所以.
9．已知數(shù)列的前n項和為，且，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和為.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據(jù)，作差得到，從而得到，再由等差數(shù)列的定義及通項公式計算可得
（2）由（1）可得，利用分組求和法計算可得.
【詳解】（1）因為，
即，
當時，解得或（舍去），
當時，
所以，
即，
即，即，
又，所以，即，
所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，
所以.
（2）由（1）可得，
所以
.
10．數(shù)列的前n項和記為，已知．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求的和．
(3)若，則為__________（等差/等比）數(shù)列，并證明你的結(jié)論．
【答案】(1)(2)(3)等差，證明見解析
【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系即可作差得為等比數(shù)列，且公比為，即可利用等比通項求解，
（2）根據(jù)等比數(shù)列求和公式即可求解，
（3）根據(jù)等差數(shù)列的定義即可求解.
【詳解】（1）由可得，
兩式相減可得，進而可得，
又，解得，
故數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為，
所以
（2），
所以
（3），
為等差數(shù)列，證明如下：
為常數(shù)，
故為等差數(shù)列，且公差為
考點02：同除以指數(shù)求通項
遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）或（其中p，q，r均為常數(shù)）時，要先在原遞推公式兩邊同時除以，得：，引入輔助數(shù)列（其中），得：再應用類型Ⅴ㈠的方法解決．
11．數(shù)列{an}滿足，，則數(shù)列{an}的通項公式為 .
【答案】．
【分析】已知式兩邊同除以，構(gòu)造一個等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式可得結(jié)論．
【詳解】∵，所以，即，
∴是等差數(shù)列，而，
所以，
所以．
故答案為：．
12．已知數(shù)列滿足，若，，則；若，，則 .
【答案】 85
【分析】對于第一空，直接根據(jù)遞推公式代入計算可得；
對于第二空，依題意可得，即可得到，再根據(jù)，即可得到，從而求出數(shù)列的通項公式；
【詳解】解：因為，當，時，所以，，；
當，時，則，又，所以，即
故答案為：；；
13．各項均正的數(shù)列滿足，則等于
【答案】
【解析】根據(jù)可得，即可構(gòu)造出等差數(shù)列，由等差數(shù)列的性質(zhì)可求出，即可求得．
【詳解】將兩邊同除以，得，則是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，∴，則．
故答案為：．
14．數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為 .
【答案】
【分析】根據(jù)給定的遞推公式，利用構(gòu)造法，結(jié)合等比數(shù)列通項求解即得.
【詳解】數(shù)列中，由，得，即，
而，，于是數(shù)列是首項為3，公比為的等比數(shù)列，
因此，即，
所以數(shù)列的通項公式為.
故答案為：
15．記數(shù)列的前項和為，若，則 .
【答案】/0.5
【分析】構(gòu)造得，從而得到，則，再利用等比數(shù)列求和公式代入計算即可.
【詳解】由，得，
則，
又，則，則，
，，
，
故答案為：.
16．已知數(shù)列的前項的和為且滿足，數(shù)列是兩個等差數(shù)列與的公共項組成的新數(shù)列.求出數(shù)列，的通項公式；
【答案】，
【分析】利用，得，再變形為，根據(jù)數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，求出；根據(jù)兩個等差數(shù)列的第一個公共項為首項，兩個等差數(shù)列的公差的最小公倍數(shù)為公差，可求出通項公式.
【詳解】當時，，；
當時，，，即，
，數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，
，；
數(shù)列是兩個等差數(shù)列與的公共項組成的新數(shù)列，
數(shù)列的首項為，因為等差數(shù)列，的公差為，等差數(shù)列的公差為，所以數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為，
.
17．已知數(shù)列中，，求數(shù)列的通項公式；
【答案】．
【分析】由已知可得數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，求其通項公式，可得數(shù)列的通項公式；
【詳解】解：由，
得：，
∴，
即數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴，
得．
18．設數(shù)列的前項和為．
(1)設，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求及．
【答案】(1)證明見解析(2)，
【分析】（1），再由得的遞推關(guān)系式，進而得出，然后由等比數(shù)列的定義證明；
（2）由的遞推關(guān)系，構(gòu)造一個等比數(shù)列求出通項公式后可得，代入已知式得．
【詳解】（1）證明：當時，，解得，
，
化為，
所以，
可得，，
則數(shù)列是首項和公比均為2的等比數(shù)列；
（2）由，
可得，
則為公差為，首項為的等差數(shù)列，
可得，
則；
所以．
19．已知列滿足，且，．
（1）設，證明：數(shù)列為等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列的通項公式；
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）根據(jù)題設遞推式得，根據(jù)等差數(shù)列的定義，結(jié)論得證.
（2）由（1）直接寫出通項公式即可.
【詳解】（1）由題設知：，且，
∴是首項、公差均為1的等差數(shù)列，又，則數(shù)列為等差數(shù)列，得證.
（2）由（1）知：.
20．已知數(shù)列滿足，.求數(shù)列的通項公式.
【答案】
【分析】對變形可得，從而可得數(shù)列為等比數(shù)列，進而可求出.
【詳解】因為，所以，又，
所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以，
所以.
考點03：疊加法與疊乘法求通項
形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：
將上述個式子兩邊分別相加，可得：
= 1 \* GB3 ①若是關(guān)于的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；
= 2 \* GB3 ②若是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；
= 3 \* GB3 ③若是關(guān)于的二次函數(shù)，累加后可分組求和；
= 4 \* GB3 ④若是關(guān)于的分式函數(shù)，累加后可裂項求和．
形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：
將上述個式子兩邊分別相乘，可得：
有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解．
21．已知數(shù)列滿足：且，則數(shù)列的通項公式為．
【答案】
【分析】根據(jù)累乘法求數(shù)列通項公式即可.
【詳解】因為，
所以，
累乘可得，
即，所以，
當時，也成立，
所以.
故答案為：
22．已知數(shù)列滿足，，則， .
【答案】 0 2023
【分析】分別令可求出；由可得，再由累乘法即可求出，代入可求出.
【詳解】令可得：，所以，
令可得：，所以，
由可得：，
所以，
，
……，
，以上個式子相加可得：
，所以，
則.
故答案為：0；2023.
23．已知數(shù)列{an}滿足，a1＝1，則a2 023＝
【答案】4045
【詳解】
∵＝2n，∴ an＋1＋an＝2n(an＋1－an)，即(1－2n)an＋1＝(－2n－1)an，可得＝，∴ a2 023＝×××…×××a1＝××…×××1＝4 045.
24．數(shù)列中，若，，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式結(jié)合累乘法即可得.
【詳解】由題意，，可得，所以，
所以.
故答案為：.
25．數(shù)列滿足，則 .
【答案】
【分析】由累乘法求出，再由錯位相減法求出數(shù)列的前項和為，即可求出，代入求解即可.
【詳解】由可得：，
當時，
，，，……，，
所以上述式子相乘可得：，所以，
令，，所以滿足，所以.
設數(shù)列的前項和為，
①，
②，
①減②可得：
所以，
所以，
所以
.
故答案為：.
26．已知正項數(shù)列滿足，則 .
【答案】
【分析】由遞推公式可得，再由累乘法即可求得結(jié)果.
【詳解】由可得，
由累乘可得.
故答案為：
27．已知數(shù)列滿足，，，則．
【答案】128
【分析】由題意，根據(jù)等比數(shù)列的定義可知數(shù)列是首項為，公比為4的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式可得，利用累乘法求得，令，計算即可求解.
【詳解】由題意知，，即，又，
所以數(shù)列是首項為，公比為4的等比數(shù)列，
所以，
當時，，
所以.
故答案為：128
28．數(shù)列中，，且，則等于 .
【答案】
【分析】
先根據(jù)條件求首項，再利用累乘法求通項即可.
【詳解】由題意可知：，
顯然有，
由累乘法可得.
而符合，
故答案為：
29．在數(shù)列中，已知，且，則．
【答案】
【分析】由累加法和裂項相消法求通項即可得出答案.
【詳解】由可得：
，
．
故答案為：.
30．數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的前2024項和為 .
【答案】
【分析】由運用迭代法求出，則，利用裂項相消法即可求得的前2024項和.
【詳解】由可得，
則，
則，
故數(shù)列的前2024項和為.
故答案為：.
考點04：構(gòu)造數(shù)列法求通項
㈠形如（其中均為常數(shù)且）型的遞推式：
（1）若時，數(shù)列{}為等差數(shù)列；
（2）若時，數(shù)列{}為等比數(shù)列；
（3）若且時，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求．方法有如下兩種：
法一：設，展開移項整理得，與題設比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得，即構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列．再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得
法二：由得兩式相減并整理得即構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列．求出的通項再轉(zhuǎn)化為類型Ⅲ（累加法）便可求出
31．已知數(shù)列中，，，若，則數(shù)列的前項和 .
【答案】
【分析】根據(jù)條件，先構(gòu)造等比數(shù)列求出，再由得，從而可求和.
【詳解】由，有，
，兩式相除得到，
所以是以為公比，為首項的等比數(shù)列，
所以，則，
所以，
所以.
故答案為：.
32．已知數(shù)列的首項,且,則滿足條件的最大整數(shù) .
【答案】2024
【分析】將已知條件遞推公式,取倒數(shù),變換為,則有是等比數(shù)列,從而得,分組求和求出新數(shù)列,根據(jù)的單調(diào)性,即可得答案.
【詳解】因為，所以，所以，
所以數(shù)列是等比數(shù)列，首項為,公比為，
所以,即，
所以
，
而當時，單調(diào)遞增，
又因為,且，
所以滿足條件的最大整數(shù).
故答案為：2024.
33．已知數(shù)列，其中，滿足，設為數(shù)列的前n項和，當不等式成立時，正整數(shù)n的最小值為 .
【答案】9
【分析】利用遞推關(guān)系式得，由此可證得是等比數(shù)列；由等比數(shù)列通項公式推導可得，進而可求得的表達式，代入解不等式即可求解.
【詳解】因為由得：，
又，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以，所以.
所以，
所以等價，
由知，滿足正整數(shù)n的最小值為9.
故答案為：9.
34．在數(shù)列的首項為，且滿足，設數(shù)列的前項和，則，．
【答案】
【分析】借助所給條件可構(gòu)造，即可得數(shù)列為等比數(shù)列，即可得，借助等比數(shù)列前項和公式即可得.
【詳解】由，即，
則，又，
故數(shù)列是以為公比、為首項的等比數(shù)列，
即，則，
.
故答案為：；.
35．已知數(shù)列的首項，且，則 .
【答案】2022
【分析】利用構(gòu)造法求出數(shù)列的通項公式，則，結(jié)合等差數(shù)列前n項求和公式計算即可求解.
【詳解】由，得，又，
所以數(shù)列是以4為公比、以4為首項的等比數(shù)列，
所以，得.
所以，
則.
故答案為：2022
36．在數(shù)列中，，且，則的通項公式為．
【答案】
【分析】利用待定系數(shù)法，設，變形得出，對比題干中的等式，求出、的值，可知數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，即可求得數(shù)列的通項公式.
【詳解】因為，設，其中、，
整理可得，
所以，，解得，所以，，
且，所以，數(shù)列是首項為，公比也為的等比數(shù)列，
所以，，解得.
故答案為：.
37．在數(shù)列中，，若對任意的恒成立，則實數(shù)的最小值 .
【答案】
【分析】首先利用數(shù)列的遞推關(guān)系式的應用求出數(shù)列的通項公式，進一步利用函數(shù)的恒成立問題和數(shù)列的單調(diào)性的應用求出結(jié)果．
【詳解】由整理得，即，又，
故數(shù)列是以4為首項，4為公比的等比數(shù)列，可得,
不等式，可化為，
令，當時，；
當時，，，
故當時，單調(diào)遞減，故，
綜上，，
所以，故最小值為．
故答案為：
38．記數(shù)列的前項和為，若，則 .
【答案】
【分析】由與的關(guān)系即可求出，進而求.
【詳解】由題意當時，，解得，
當時，由可得，
兩式相減得，
所以，即，
所以，
所以是首項為，公比為2的等比數(shù)列，
所以，
所以，故.
故答案為：
39．已知數(shù)列的前項和為，滿足，則．
【答案】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合與之間的關(guān)系整理可得，進而結(jié)合等比數(shù)列的定義與通項公式分析求解.
【詳解】因為，則，
整理得，且，
可知數(shù)列是以首項為3，公比為2的等比數(shù)列，
可得，所以.
故答案為：.
40．已知數(shù)列滿足，，為數(shù)列的前n項和，則滿足不等式的n的最大值為 .
【答案】8
【分析】已知遞推關(guān)系湊配一個等比數(shù)列，從而可得通項公式，再由分組求得法及等比數(shù)列的前項和公式求得，化簡不等式后求解即得．
【詳解】由得，又，從而，
所以是等比數(shù)列，所以，
，所以，
，由得（因為是正整數(shù)），
所以的最大值是8.
故答案為：8.
考點05：錯位相減求和
錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構(gòu)成的，那么求這個數(shù)列的前項和即可用錯位相減法求解．
41．已知數(shù)列的通項公式為：，，則數(shù)列的前100項之和為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，利用錯位相減法求和作答.
【詳解】令數(shù)列的前n項和為，因為，
則，
則有
兩式相減得：，
因此，有，
所以數(shù)列的前100項之和為.
故選：B
42．（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】觀察數(shù)列屬于等差乘等比模型，按照錯位相減法求和即可.
【詳解】由，
得，
兩式相減得
.
所以.
故選：B.
43．數(shù)列的前n項和等于（）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)錯位相減法求解即可得答案.
【詳解】解：設的前n項和為，
則， ①
所以， ②
①－②，得，
所以．
故選:B．
44．已知數(shù)列中，，.
(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求；
(2)求的前項和.
【答案】(1)證明見解析，(2).
【分析】（1）依題意可得，結(jié)合等差數(shù)列的定義證明即可，再由等差數(shù)列的通項公式計算可得；
（2）利用錯位相減法計算可得.
【詳解】（1）因為，
所以，故，
即數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，
又，所以，
故，
所以.
（2）依題意可得，
，
兩式相減可得，
所以.
45．已知數(shù)列的首項為，且滿足.
(1)求證為等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；
(2)設數(shù)列的前n項和為，求.
【答案】(1)證明見解析，(2)
【分析】（1）利用等差數(shù)列的定義證明為等差數(shù)列，由數(shù)列的通項公式求的通項公式；
（2）利用錯位相減法求和.
【詳解】（1）證明：數(shù)列的首項為，且滿足，
則有，又，
所以數(shù)列是以2為首項，公差為3的等差數(shù)列；
則有，
所以.
（2）由（1）得，，
所以，①
，②
由①②得，
所以.
46．數(shù)列滿足，（）．
(1)計算，，猜想數(shù)列的通項公式并證明；
(2)求數(shù)列的前n項和；
【答案】(1)，，猜測，證明見解析
(2)
【分析】（1）直接通過遞推公式計算，然后猜測并證明；
（2）使用錯位相減法即可.
【詳解】（1），.
猜測，下面用數(shù)學歸納法證明：
當時，由知結(jié)論成立；
假設結(jié)論對成立，即，則，故結(jié)論對成立.
綜上，有成立.
（2）設數(shù)列的前項和為，則.
所以.
故.
47．已知數(shù)列滿足，，且對，都有．
(1)設，證明數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的通項公式．
(3)求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)證明見解析(2)，(3)
【分析】（1）由得，根據(jù)等差數(shù)列的定義可得；
（2）由（1）可得時，，利用累加法可得，驗證即可；
（3）利用錯位相減法求和可得.
【詳解】（1）證明：，，
，即，則數(shù)列為等差數(shù)列；
（2），，，，
，又，
當時，，，，，
累加有，則．
也符合上式，所以數(shù)列的通項公式為，.
（3），
①，
②，
①②得
，
．
48．已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前n項和為，且滿足，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)(2)．
【分析】（1）設等比數(shù)列的公比為，由已知條件和等比數(shù)列基本量的計算，求出數(shù)列首項和公比，得通項公式；
（2）利用錯位相減法可得數(shù)列的前n項和．
【詳解】（1）設數(shù)列的公比為，
∵，，
∴，
即，∴（舍去），
∴，即，
∴．
（2）∵，∴．
∴，
，
兩式相減得，
∴．
49．已知數(shù)列.
(1)求；
(2)令為數(shù)列的前項和，求.
【答案】(1)(2).
【分析】（1）利用得到，再用兩式相減可得，由于此時，所以需要對第一項和第二項進行檢驗，，最后可判斷是等比數(shù)列，并求出通項；
（2）先求出，再利用錯位相減法來求出它的前項和.
【詳解】（1）由，
所以當時，有，兩式相減得：，
即.
又有，
所以是以為首項，公比為2的等比數(shù)列，所以.
（2）由（1）知：，
所以，
則，
上面兩式相減得：，
所以.
50．已知數(shù)列的前項和為.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)令，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由的關(guān)系分是否等于1進行討論即可求解；
（2）首先得，進一步結(jié)合錯位相減法以及等比數(shù)列求和公式即可得解.
【詳解】（1）
當時，
當時，，兩式相減得，
，
數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
（2）由（1）可知，記，
，
，
兩式相減得
.
考點06：裂項相消求和
裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得前n項和．
積累裂項模型：等差型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
51．若數(shù)列滿足（且），，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】將數(shù)列遞推式整理裂項，運用累加法和裂項相消法求和，得到數(shù)列通項即得.
【詳解】由可得，
則有，
.
故.
故選：C.
52．數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項和為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式得到，從而得到，再由裂項相消法計算可得.
【詳解】因為，
所以，
設數(shù)列的前項和為，
則.
故選：B
53．數(shù)列的前n項和為，若，則（）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)給定的通項公式，利用裂項相法求和即得.
【詳解】依題意，，
則，
所以.
故選：D
54．已知數(shù)列滿足，若，則的前2024項和為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由數(shù)列的遞推式推得，從而得到，再由裂項相消法求和即可．
【詳解】因為，
當時；
當時，，
兩式相減可得，
所以，經(jīng)檢驗當時也成立，
所以，所以，
設的前項和為，
則
．
故選：B．
55．數(shù)列的前n項和為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
先將化為，再利用裂項相消法求出它的前項和．
【詳解】
由題意得，，
所以數(shù)列的前項和
，
故選：A．
56．已知數(shù)列1，，，…，，…，其前n項和為，則正整數(shù)n的值為（）．
A．6B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】先求出數(shù)列的通項公式，再裂項相消求和列方程求n的值.
【詳解】，
所以前n項和為，
解得.
故選：C.
57．三角形數(shù)由古希臘畢達哥拉斯學派提出，是由一列點等距排列表示的數(shù)，其前五個數(shù)如圖所示.記三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為，則使數(shù)列的前n項和的最小正整數(shù)n為（）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】由題意可得，則，然后累加求和即可.
【詳解】由題意可得，
則，
則，
又，
則，
則，
則使數(shù)列的前n項和的最小正整數(shù)n為7
故選：C.
58．數(shù)列中，，，則（）
A．51B．40C．41D．50
【答案】B
【分析】化簡得到，利用裂項相消法求和，得到方程，求出答案.
【詳解】，
故
，
故，解得.
故選：B
59．已知是等差數(shù)列，且，，則（）
A．15B．26C．28D．32
【答案】C
【分析】設出公差為，進而裂項相消法求和得到，從而得到方程，求出公差，進而求出答案.
【詳解】設公差為，若，則，不滿足題意，所以，
則，
則，
所以
，
故，解得，
故.
故選：C
60．在各項均不相等的等差數(shù)列中，，且等比數(shù)列，數(shù)列的前項和滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）設數(shù)列的公差為，由已知可得，解得（舍去）或，可求數(shù)列的通項公式，利用與的關(guān)系可求得的通項公式；
（2）利用，可求數(shù)列的前項和.
【詳解】（1）設數(shù)列的公差為，則，
成等比數(shù)列，，即，
整理得，解得（舍去）或，
，
當時，，
當時，滿足上式，
所以數(shù)列的通項公式為.
（2），
則數(shù)列的前項和
.
考點07：分組求和
分組轉(zhuǎn)化求和法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．
61．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，，，，則（）
A．511B．61C．93D．125
【答案】D
【分析】由條件推得，故按照分類得到和兩種首項不同，但公比相同的等比數(shù)列，利用分組求和即得.
【詳解】由可得，①，當時，，②
由可得：（*），由代入解得，
由（*）知數(shù)列,組成首項為1，公比為2的等比數(shù)列，
數(shù)列,組成首項為2，公比為2的等比數(shù)列.
故
.
故選：D.
62．記數(shù)列的前n項和為，若，則（）
A．301B．101C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，利用分組求和法計算即得.
【詳解】數(shù)列中，，則，
所以
故選：C
63．在數(shù)列中，，且，則其前項的和為（）
A．841B．421C．840D．420
【答案】A
【分析】設數(shù)列的前項和為，則，利用等差數(shù)列求和公式計算可得.
【詳解】設數(shù)列的前項和為，因為，且，
則
.
故選：A
64．記數(shù)列的前項和為，若，則（）
A．590B．602C．630D．650
【答案】A
【分析】根據(jù)作差得到，再計算出，即可得到，再利用并項求和法計算可得.
【詳解】因為，
所以，
兩式相減可得.
由，，解得，
所以，滿足上式，故，
所以
.
故選：A
65．設數(shù)列滿足．設為數(shù)列的前項的和，則（）
A．110B．120C．288D．306
【答案】A
【分析】利用分組求和法，結(jié)合已知，可得答案.
【詳解】
.
故選：A.
66．設數(shù)列是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，則（）
A．1011B．1022C．1033D．1044
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，分別求出和的通項公式，再求出的通項，并利用分組求和法求解即得.
【詳解】由數(shù)列是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，得，
由是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，得，
因此，所以.
故選：C
67．在數(shù)列中，已知，，則的前11項的和為（）
A．2045B．2046C．4093D．4094
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，求出，再利用并項求和法，即可計算得解.
【詳解】由，得，而，解得，
所以的前11項的和
.
故選：C
68．已知數(shù)列滿足，則其前9項和 .
【答案】
【分析】借助，結(jié)合代入計算即可得.
【詳解】
.
故答案為：.
69．已知數(shù)列滿足，且前12項和為134，則．
【答案】1
【分析】由數(shù)列的遞推式，討論n為奇數(shù)和偶數(shù)時，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式，解方程可得所求值．
【詳解】因為，
當n為奇數(shù)時，，
即，
，
可得；
當n為偶數(shù)，
即，
可得，
則前12項和為，解得．
故答案為：1
70．已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前n項和為，，且，，成等比數(shù)列．
(1)求的通項公式；
(2)若數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，且，求的前n項和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）設公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式與等比中項公式列出關(guān)于和d的方程，求解即可得的通項公式；
（2）由（1）可得等比數(shù)列的第三項，進而得，從而得到的通項公式，利用等差和等比數(shù)列前n項和公式分組求和即可求出.
【詳解】（1）因為為等差數(shù)列，設公差為d，
由，得，即，
由，，成等比數(shù)列得，，
化簡得，因為，所以．
所以．
綜上．
（2）由知，，
又為公比是3的等比數(shù)列，，
所以，即，
所以，，
所以
.
綜上.

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