?考點19 數(shù)列通項與求和與通項
考綱要求



1. 掌握數(shù)列通項的幾種常用方法:歸納法、累加法、累積法、轉化法等方法來求數(shù)列的通項公式 .
2. 掌握數(shù)列求和的幾種常用方法:公式法、分組求和法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法,能熟練地應用這些方法來求數(shù)列的和
近三年高考情況分析



數(shù)列的求和是高考重點考查的內(nèi)容之一，考查的形式往往是體現(xiàn)在綜合題型中，作為考查的內(nèi)容之一。近幾年主要考察了運用錯位相減法求數(shù)列的和。

考點總結




數(shù)列的通項公式是數(shù)列的本質屬性之一,它是研究數(shù)列的相關性質的一個重要支撐點,因此,學習數(shù)列首要的就是要能根據(jù)不同的條件求數(shù)列的通項公式;數(shù)列的前 n 項和既是數(shù)列的基本問題之一,同時,也與數(shù)列的通項存在著必然的聯(lián)系,也是學習數(shù)列時,必須要掌握的重要知識點 .關于數(shù)列的通項公式,學習中要緊緊圍繞著求通項的方法進行,求數(shù)列的通項,大致可有以下四類:
1. 應用不完全歸納法,即根據(jù)數(shù)列的前幾項來尋找規(guī)律,歸納通項或其中某項;
2. 應用 S n 與 a n 的關系,求解通項;
3. 應用“累加法”“累積法”等課本上常見方法求解通項;
4. 構造新數(shù)列,即把其他數(shù)列轉化為等差、等比數(shù)列來加以解決,此種方法在很多考題中都有所體現(xiàn) 關于數(shù)列的前 n 項和的求解,要緊緊抓住通項,分析其特征,由此來選擇適當?shù)那蠛头椒?把問題轉化成最基本的數(shù)列求和 . ?？嫉那蠛头椒ㄓ?等差數(shù)列和等比數(shù)列的公式法、倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法等
三年高考真題





1、【2020年北京卷】在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列（ ）．
A. 有最大項，有最小項 B. 有最大項，無最小項
C. 無最大項，有最小項 D. 無最大項，無最小項
【答案】B
【解析】由題意可知，等差數(shù)列的公差，
則其通項公式為：，
注意到，
且由可知，
由可知數(shù)列不存在最小項，
由于，
故數(shù)列中的正項只有有限項：，.
故數(shù)列中存在最大項，且最大項為.
故選：B.
2、【2020年全國2卷】數(shù)列中，，，若，則（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】在等式中，令，可得，，
所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，則，
，
，則，解得.
故選：C.
3、【2020年山東卷】將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項和為________．
【答案】
【解析】因為數(shù)列是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，
數(shù)列是以1首項，以3為公差的等差數(shù)列，
所以這兩個數(shù)列的公共項所構成的新數(shù)列是以1為首項，以6為公差的等差數(shù)列，
所以的前項和為，
故答案為：.
4、【2019年高考全國I卷理數(shù)】記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若，則S5=___________．
【答案】
【解析】設等比數(shù)列的公比為，由已知，所以又，
所以所以．
【名師點睛】準確計算，是解答此類問題的基本要求．本題由于涉及冪的乘方運算、繁分式的計算，部分考生易出現(xiàn)運算錯誤．
5、【2019年高考全國III卷理數(shù)】記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，，則___________．
【答案】4
【解析】設等差數(shù)列{an}的公差為d,
因，所以，即，
所以．
6、【2018年高考全國I卷理數(shù)】記為數(shù)列的前項和，若，則___________．
【答案】
【解析】根據(jù)，可得，兩式相減得，即，當時，，解得，所以數(shù)列是以?1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，所以，故答案是.
7、【2018年高考江蘇卷】已知集合，．將的所有元素從小到大依次排列構成一個數(shù)列．記為數(shù)列的前n項和，則使得成立的n的最小值為___________．
【答案】27
【解析】所有的正奇數(shù)和按照從小到大的順序排列構成，在數(shù)列|中，25前面有16個正奇數(shù)，即.當n=1時，，不符合題意；當n=2時，，不符合題意；當n=3時，，不符合題意；當n=4時，，不符合題意；……；當n=26時，，不符合題意；當n=27時，,符合題意.故使得成立的n的最小值為27.
8、【2020年全國1卷】.設是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項．
（1）求的公比；
（2）若，求數(shù)列的前項和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）設的公比為，為的等差中項，
，
；
（2）設前項和為，，
，①
，②
①②得，
，
.
9、【2020年全國3卷】設數(shù)列{an}滿足a1=3，．
（1）計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明；
（2）求數(shù)列{2nan}的前n項和Sn．
【答案】（1），，，證明見解析；（2）.
【解析】（1）由題意可得，，
由數(shù)列的前三項可猜想數(shù)列是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，即，
證明如下：
當時，成立；
假設時，成立.
那么時，也成立.
則對任意的，都有成立；
（2）由（1）可知，
，①
，②
由①②得：
，
即.
10、【2020年天津卷】已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．
（Ⅰ）求和的通項公式；
（Ⅱ）記的前項和為，求證：；
（Ⅲ）對任意的正整數(shù)，設求數(shù)列的前項和．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.
【解析】(Ⅰ)設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為q.
由，，可得d=1.
從而的通項公式為.
由，
又q≠0，可得，解得q=2，
從而的通項公式為.
(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可得，
故，，
從而，
所以.
(Ⅲ)當n奇數(shù)時，，
當n為偶數(shù)時，，
對任意的正整數(shù)n，有，
和 ①
由①得 ②
由①②得，
由于，
從而得：.
因此，.
所以，數(shù)列的前2n項和為.
11、【2020年山東卷】已知公比大于的等比數(shù)列滿足．
（1）求的通項公式；
（2）記為在區(qū)間中的項的個數(shù)，求數(shù)列的前項和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由于數(shù)列是公比大于的等比數(shù)列，設首項為，公比為，依題意有，解得解得，或(舍)，
所以，所以數(shù)列的通項公式為.
（2）由于，所以
對應的區(qū)間為：，則；
對應的區(qū)間分別為：，則，即有個；
對應的區(qū)間分別為：，則，即有個；
對應的區(qū)間分別為：，則，即有個；
對應的區(qū)間分別為：，則，即有個；
對應的區(qū)間分別為：，則，即有個；
對應的區(qū)間分別為：，則，即有個.
所以.
12、【2019年高考全國II卷理數(shù)】已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，，.
（1）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列；
（2）求{an}和{bn}的通項公式.
【答案】（1）見解析；（2），.
【解析】（1）由題設得，即．
又因為a1+b1=l，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列．
由題設得，即．
又因為a1–b1=l，所以是首項為1，公差為2的等差數(shù)列．
（2）由（1）知，，．
所以，
．
13、【2019年高考天津卷理數(shù)】設是等差數(shù)列，是等比數(shù)列．已知．
（Ⅰ）求和的通項公式；
（Ⅱ）設數(shù)列滿足其中．
（i）求數(shù)列的通項公式；
（ii）求．
【答案】（1）；（2）（i）（ii）
【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為．依題意得解得故．
所以，的通項公式為的通項公式為．
（2）（i）．
所以，數(shù)列的通項公式為．
（ii）


．
14、【2019年高考浙江卷】設等差數(shù)列的前n項和為，，，數(shù)列滿足：對每個成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）記 證明：
【答案】（1），；（2）證明見解析.
【解析】（1）設數(shù)列的公差為d，由題意得
，
解得．
從而．
所以，
由成等比數(shù)列得
．
解得．
所以．
（2）．
我們用數(shù)學歸納法證明．
（i）當n=1時，c1=01，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中項．數(shù)列{bn}滿足b1=1，數(shù)列{（bn+1?bn）an}的前n項和為2n2+n．
（1）求q的值；
（2）求數(shù)列{bn}的通項公式．
【答案】（1）；（2）.
【解析】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和等基礎知識，同時考查運算求解能力和綜合應用能力.
（1）由是的等差中項得，
所以，
解得.
由得，
因為，所以.
（2）設，數(shù)列前n項和為.
由解得.
由（1）可知，
所以，
故，
.
設，
所以，
因此，
又，所以.

二年模擬試題




題型一、數(shù)列的通項
1、（2020屆山東省德州市高三上期末）對于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分數(shù)列，其中，對自然數(shù)，規(guī)定為數(shù)列的階差分數(shù)列，其中.若，且，則數(shù)列的通項公式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
根據(jù)題中定義可得，
即，即，
等式兩邊同時除以，得，且，
所以，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，，
因此，.
故選：B.
2、（2020·浙江學軍中學高三3月月考）已知函數(shù)，數(shù)列的前n項和為，且滿足，，則下列有關數(shù)列的敘述正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由知，，故為非負數(shù)列，又，即
，所以，設，則，
易知在單調遞減，且，又，所以，
，從而，所以為遞減數(shù)列，且，故B、C錯誤；
又，故當時，有，所以
，故D錯誤；又，而
，故A正確.
故選：A.

3、（2020屆江蘇省南通市如皋中學高三下學期3月線上模擬）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項和.若，則的通項公式_______
【答案】
【解析】設數(shù)列公差為，由已知得，解得．
∴．
故答案為：．

4、（2020屆山東師范大學附中高三月考）設等差數(shù)列前項和為，滿足，.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式
【答案】(1) ．(2)
【解析】
（1）設等差數(shù)列首項為，公差為．
由已知得，解得．
于是．
（2）當時，．
當時，，
當時上式也成立．
于是．
故．
5、（2020屆山東省棗莊、滕州市高三上期末）已知等比數(shù)列滿足成等差數(shù)列，且；等差數(shù)列的前n項和.求：
（1）；
（2）數(shù)列的前項和.
【答案】（1） ， （2）
【解析】
（1）設的公比為q.
因為成等差數(shù)列，
所以，即.
因為，所以.
因為，所以.
因此.
由題意，.
所以，
，從而.
所以的公差.
所以.
（2）令，則.
因此.
又
兩式相減得


.
所以.
6、（2020屆浙江省溫州市高三4月二模）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足：
(I)求數(shù)列和的通項公式；
(II)求數(shù)列的前項和.
【答案】(I) ，；(II)
【解析】
(I) ，故，
解得，故，.
(II)
，故.
7、（2020屆江蘇省海安中學、金陵中學、新海高級中學高三12月聯(lián)考）已知數(shù)列滿足：（常數(shù)），（，）.數(shù)列滿足：（）.
（1）求，的值；
（2）求數(shù)列的通項公式；
（3）是否存在k，使得數(shù)列的每一項均為整數(shù)？若存在，求出k的所有可能值；若不存在，請說明理由.
【答案】（1），；（2）；（3）
【解析】（1）由已知得，，
所以，.
（2）由條件可知：（），①
所以（）.②
①②得.
即：.
因此：，
故（），又因為，，
所以.
（3）假設存在k，使得數(shù)列的每一項均為整數(shù)，則k為正整數(shù).
由（2）知（，2，3…）③
由，，所以或2，
檢驗：當時，為整數(shù)，
利用，，結合③，各項均為整數(shù)；
當時③變成（，2，3…）
消去，得：（）
由，，所以偶數(shù)項均為整數(shù)，
而，所以為偶數(shù)，故，故數(shù)列是整數(shù)列.
綜上所述，k的取值集合是.

題型二、數(shù)列的求和
1、（北京市房山區(qū)2019-2020學年高三上學期期末數(shù)學試題）等差數(shù)列中，若，為的前項和，則（ ）
A．28 B．21 C．14 D．7
【答案】C
【解析】
等差數(shù)列中，若，則則
故選：C
2、（北京市北京師范大學附屬實驗中學2019-2020學年上學期期中）已知是等差數(shù)列( )的前項和，且,以下有四個命題：
①數(shù)列中的最大項為 ②數(shù)列的公差
③ ④
其中正確的序號是（ ）
A．②③ B．②③④ C．②④ D．①③④
【答案】B
【解析】
∵，∴，∴
∴數(shù)列中的最大項為，
，
∴正確的序號是②③④
故選B
3、（北京市西城區(qū)第八中學2019-2020學年上學期期中）設等差數(shù)列的前n項和為，若，則(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】是等差數(shù)列


又，
∴公差，
，故選C．
4、（2020屆山東省濟寧市高三上期末）設等比數(shù)列的公比為q,其前n項和為,前n項積為,并滿足條件,,下列結論正確的是( )
A．S2019

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