考點(diǎn)01：正余弦定理的應(yīng)用條件
《正弦定理》
①正弦定理：
②變形：
③變形：
④變形：
⑤變形：
《余弦定理》
①余弦定理：
②變形：
核心問(wèn)題：什么情況下角化邊?什么情況下邊化角?
⑴當(dāng)每一項(xiàng)都有邊且次數(shù)一樣時(shí)，采用邊化角
⑵當(dāng)每一項(xiàng)都有角《》且次數(shù)一樣時(shí)，采用角化邊
⑶當(dāng)每一項(xiàng)都是邊時(shí)，直接采用邊處理問(wèn)題
⑷當(dāng)每一項(xiàng)都有角《》及邊且次數(shù)一樣時(shí)，采用角化邊或變化角均可
1．在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若，，且，則（ ）
A．B．4C．D．5
【答案】B
【分析】根據(jù)正弦定理角化邊，由三角形面積公式求，再結(jié)合余弦定理，即可求解.
【詳解】由正弦定理角化邊，可知，，且
則，，則，
則，①
由余弦定理，②
由①②得，，即.
故選：B
2．在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若，且，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合條件由余弦定理可得，再由，結(jié)合正切函數(shù)的和差角公式以及基本不等式代入計(jì)算可得，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，且，則，
由余弦定理可得，所以，
即，由正弦定理可得，
其中，則，所以，
又，
化簡(jiǎn)可得，
且為銳角三角形，則，
所以，
即，
解得或（舍），
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
則的最大值為.
故選：B
3．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則的值為（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用正、余弦定理邊角轉(zhuǎn)化可得，再利用正弦定理解得，根據(jù)大邊對(duì)大角結(jié)合同角三角關(guān)系分析求解.
【詳解】因?yàn)?，則，
由正弦定理可得，整理可得，
則，且，所以.
由正弦定理可得，
且，則，所以.
故選：A.
4．在銳角中，，，分別為三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊，且，則角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意利用正弦定理邊化角，化簡(jiǎn)整理即可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫?br>且角為銳角，則，可得，即，
且角為銳角，所以角為.
故選：D.
5．已知內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由正弦定理可得，結(jié)合，可求，可求.
【詳解】由，由正弦定理得，
所以，所以，
因?yàn)椋钥傻茫?br>所以，所以，
因?yàn)?，所?
故選：D.
6．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則是（ ）
A．等腰三角形B．等邊三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】根據(jù)正弦定理和三角恒等變換的化簡(jiǎn)可得，即可求解.
【詳解】，
由正弦定理得，
又，所以，
又，所以，
因?yàn)?，所以?br>即，得，故，則，
所以為正三角形.
故選：B
7．在中，角的對(duì)邊分別是，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理求解即得.
【詳解】在中，由正弦定理及，得，
設(shè)，，，所以.
故選：A
8．若的內(nèi)角，，對(duì)邊分別是，，，，且，則（ ）
A．外接圓的半徑為B．的周長(zhǎng)的最小值為
C．的面積的最大值為D．邊的中線(xiàn)的最小值為
【答案】ACD
【分析】對(duì)于A，由正弦定理進(jìn)行邊角互化可得B，再利用正弦定理可得外接圓的半徑；對(duì)于BC，利用余弦定理結(jié)合基本不等式可得的最值及的最值；對(duì)于D，根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算，可表示中線(xiàn)，進(jìn)而可得其長(zhǎng)度最值.
【詳解】對(duì)于A：，由正弦定理得，
即，即，
因?yàn)?，所以，所以，?br>因?yàn)椋瑒t， 令外接圓的半徑為,
根據(jù)正弦定理可得，即，故A正確；
對(duì)于C：由余弦定理知，，
因?yàn)?，，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
因?yàn)椋缘淖畲笾禐?，故C正確；
對(duì)于B：由C知，則，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以的最大值為，故B錯(cuò)；
對(duì)于D：因?yàn)闉檫吷系闹芯€(xiàn)，
所以，，
得，因?yàn)椋缘淖钚≈禐?，故D正確；
故選：ACD.
9．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，，則的最大值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題目所給的條件，利用正弦定理化簡(jiǎn)后得到，利用正弦定理“邊化角”化簡(jiǎn)得到，因此最大值即.
【詳解】中，，，
所以，所以，
根據(jù)正弦定理，，
即，
因?yàn)椋裕?br>由為三角形內(nèi)角可知，，
根據(jù)正弦定理，，
所以
，
其中，，
當(dāng)時(shí)取得最大值，所以的最大值為.
故答案為：
10．已知的內(nèi)角，，所對(duì)邊分別為，，，且，，則的最小值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到，求得，且，結(jié)合三角形的性質(zhì)，得到，再由正弦定理得到，進(jìn)而求得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】因?yàn)?，由正弦定理得?br>所以，
可得，
因?yàn)闉榈膬?nèi)角，所以，則，
又因?yàn)?，可得，所以?br>因?yàn)?，由正弦定理得?br>又因?yàn)椋?br>所以，
則，
所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值.
故答案為：.
考點(diǎn)02：三角形的多解問(wèn)題
在中，已知和A時(shí)，解的情況主要有以下幾類(lèi)：
①若A為銳角時(shí)：


一解一解


兩解無(wú)解
②若A為直角或鈍角時(shí)：
11．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知，若角有兩解，則的值可以是（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】C
【分析】由正弦定理先計(jì)算出，而角有兩解，則需要滿(mǎn)足且是最大邊進(jìn)而求出的范圍.
【詳解】角有兩解，即角有兩解，由正弦定理可知：，
角要有兩解，則需滿(mǎn)足且，解得：.
故選：C
12．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，下列與有關(guān)的結(jié)論，正確的是（ ）
A．若是邊長(zhǎng)為1的正三角形，則
B．若，則為等腰直角三角形
C．若，，，則這樣的三角形有且只有兩個(gè)
D．若，，為外心，則
【答案】CD
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義即可判斷A，由正弦定理及二倍角公式可判斷B，根據(jù)已知兩邊及一邊對(duì)角三角形解的個(gè)數(shù)的判斷方法判斷C，根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算律判斷D.
【詳解】對(duì)A，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B，由正弦定理可得，即，
由，所以或，即或，
所以三角形為等腰或直角三角形，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C，因?yàn)椋匀切斡袃山?，故C正確；
對(duì)D，如圖，取的中點(diǎn)，連接，則，

所以，
又，
所以，故D正確；
故選： CD
13．在，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則為等腰三角形
B．若，則必有兩解
C．若是銳角三角形，則
D．若,則為銳角三角形
【答案】BC
【分析】利用正弦定理結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷A；根據(jù)邊角關(guān)系判斷三角形解的個(gè)數(shù)可判斷B； 由已知得，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可判斷C；利用二倍角的余弦公結(jié)合余弦定理可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，由正弦定理可得，，或即，為等腰或直角三角形，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，即，必有兩解，故B正確；
對(duì)于C，是銳角三角形，，即，由正弦函數(shù)性質(zhì)結(jié)合誘導(dǎo)公式得，故C正確；
對(duì)于D，利用二倍角的余弦公式知，即，即，，
即C為銳角，不能說(shuō)明為銳角三角形，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
14．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，，，則符合條件的恰有兩個(gè)
B．若，則是等腰三角形
C．若，則是等腰三角形
D．若，則是直角三角形
【答案】ABD
【分析】對(duì)于A，求出與比較即可，對(duì)于B，利用正弦定理統(tǒng)一成角的形式再結(jié)合三角恒等變換公式化簡(jiǎn)判斷，對(duì)于C，利用余弦定理統(tǒng)一成邊的形式化簡(jiǎn)進(jìn)行判斷，對(duì)于D，利用三角函數(shù)恒等變換公式化簡(jiǎn)進(jìn)行判斷.
【詳解】對(duì)于A，設(shè)邊上的高為，則，
因?yàn)?，?br>所以，所以符合條件的恰有兩個(gè)，故A正確；
對(duì)于B,若，由正弦定理得，
所以，
因?yàn)?，所以，或（舍去）?br>所以是等腰三角形，故B正確；
對(duì)于C,若，由余弦定理得，
所以，化簡(jiǎn)得，
所以或，
所以是等腰三角形或直角三角形，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D,若，所以，
所以
，
所以，
因?yàn)?，所以?br>所以．
所以或，
因?yàn)?，所以或?br>所以是直角三角形，故D正確．
故選：ABD．
15．已知內(nèi)角對(duì)邊分別為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則為等腰三角形
C．若，則為銳角三角形
D．若的三角形有兩解
【答案】ABD
【分析】對(duì)于A，根據(jù)正弦定理結(jié)合已知條件即可；對(duì)于B，由余弦定理得，即可判斷三角形為等腰三角形；對(duì)于C，根據(jù)余弦定理只能得，即為銳角，無(wú)法判斷的情況；對(duì)于D，利用正弦定理得，即可判斷三角形解的個(gè)數(shù).
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，則由正弦定理可得，
，所以，即，故A正確；
對(duì)于B，由余弦定理得，
化簡(jiǎn)得，故為等腰三角形，故B正確；
對(duì)于C，由余弦定理，
因?yàn)椋?，故只能判斷為銳角，無(wú)法判斷，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若，則由正弦定理得，
因?yàn)?，所以三角形有兩解，故D正確；
故選：ABD.
16．在中，角所對(duì)的邊分別為，，，以下判斷正確的是（ ）
A．若，則的面積為B．若，則
C．若，則D．若有兩解，則
【答案】ACD
【分析】根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可判斷A；根據(jù)正弦定理計(jì)算即可判斷B；根據(jù)余弦定理計(jì)算即可判斷C；根據(jù)正弦定理和且即可判斷D.
【詳解】A：若，則，故A正確；
B：若，由正弦定理得，
即，解得，故B錯(cuò)誤；
C：若，由余弦定理得，
即，整理得，由解得，故C正確；
D：由正弦定理得，則，
由得，若有兩個(gè)解，則且，
所以，即，解得，故D正確.
故選：ACD
17．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則
B．當(dāng)時(shí)，最小值為
C．當(dāng)有兩個(gè)解時(shí)，的取值范圍是
D．當(dāng)為銳角三角形時(shí)，的取值范圍是
【答案】BCD
【分析】對(duì)于A，利用數(shù)量積的定義計(jì)算即得；對(duì)于B，結(jié)合圖形，化簡(jiǎn)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最小值問(wèn)題；對(duì)于C，利用正弦定理和三角函數(shù)的值域，結(jié)合圖形即得；對(duì)于D，利用正弦定理，求得由題意求出，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象即得范圍.
【詳解】對(duì)于A，因，故，即A錯(cuò)誤；

對(duì)于B， 如圖，因當(dāng)時(shí)，與共線(xiàn)，故可設(shè),
則,故，
由圖知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最小值，
此時(shí)，即B正確；
對(duì)于C，由正弦定理，，，
當(dāng)有兩個(gè)解時(shí)，須使且，的取值范圍是，故C正確；
對(duì)于D，因，,
當(dāng)為銳角三角形時(shí)，,解得，,則，,
由正弦定理，故的取值范圍是，故D正確.
故選：BCD.
18．已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則為鈍角三角形
C．若，則為等腰三角形
D．若，的三角形有兩解，則的取值范圍為
【答案】AB
【分析】利用正弦定理判斷A、D，利用余弦定理判斷B，利用正弦定理將邊化角，再由二倍角公式判斷C.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，由正弦定理可得，所以，故A正確；
對(duì)于B，由余弦定理，可知為鈍角，即為鈍角三角形，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)?，所以，即?br>又，所以，所以或，即或，
即為等腰三角形或直角三角形，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)槿切斡袃山猓?，即，即的取值范圍為，故D錯(cuò)誤．
故選：AB．
19．已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，下列四個(gè)命題中正確的命題是（ ）
A．若，，，則符合條件的有兩個(gè)
B．若，，，則符合條件的有且只有一個(gè)
C．若，則一定是銳角三角形
D．若，則一定是等腰三角形
【答案】AB
【分析】對(duì)于A，解出可能的即可；對(duì)于B，求出可能的即可；對(duì)于C，給出反例即可；對(duì)于D，給出反例即可.
【詳解】對(duì)于A，由余弦定理可知，即.
所以或，經(jīng)驗(yàn)證和均滿(mǎn)足條件，從而的三邊共有兩種可能的取值情況，所以A正確；
對(duì)于B，由余弦定理可知，即，且經(jīng)驗(yàn)證符合條件，從而的三邊有唯一的取值情況，所以B正確；
對(duì)于C，若，則是直角三角形，但，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若，則不是等腰三角形，但此時(shí)由可知，故，所以D錯(cuò)誤.
故選：AB.
20．在中，，，若存在且唯一，則的一個(gè)取值為 ．
【答案】5（答案不唯一）
【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理列式求解即可.
【詳解】在中，，，由正弦定理，得，
由存在且唯一，知或且，解得或，而，
所以的一個(gè)取值為5.
故答案為：5
考點(diǎn)03：判斷三角形形狀問(wèn)題
Ⅰ：特殊三角形的判定：
（1）直角三角形
勾股定理：，
互余關(guān)系：，，；
（2）等腰三角形
，；
Ⅱ：用余弦定理判定三角形的形狀（最大角的余弦值的符號(hào)）
（1）在中，；
（2）在中，；
（3）在中，；
21．在中，，，的對(duì)邊分別為，，，若，則的形狀是（ ）
A．等腰直角三角形B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形D．等腰三角形
【答案】B
【分析】由正弦定理將邊化角，再由二倍角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>由正弦定理可得，所以，
又，則，
所以或，
所以或，
所以為等腰三角形或直角三角形.
故選：B
22．在△ABC中，若c＝2a cs B，則△ABC的形狀為（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等邊三角形D．非等邊三角形
【答案】B
【分析】利用正弦定理邊化角，再用內(nèi)角和為，化，再通過(guò)三角恒等變形，即可得證.
【詳解】由正弦定理知 (R為三角形外接圓的半徑)，
故，
所以，即，
因?yàn)?，所?
所以，即．故為等腰三角形．
故選：B.
23．若三角形的三邊長(zhǎng)分別為20，30，40，則該三角形的形狀一定是（ ）
A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形
【答案】C
【分析】求出該三角形最大角的余弦值，根據(jù)余弦值的正負(fù)得到答案
【詳解】設(shè)，該三角形的最大角為，
由余弦定理得，
故為鈍角，三角形形狀為鈍角三角形.
故選：C
24．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，為直角三角形
B．當(dāng)時(shí)，最大角與最小角之和為
C．當(dāng).時(shí)，
D．當(dāng)時(shí)，為銳角三角形
【答案】ABC
【分析】根據(jù)余弦定理求解長(zhǎng)度，即可判斷A，根據(jù)余弦定理求解中間角，即可求解B，根據(jù)正弦定理即可求解C，利用正弦定理邊角互化，結(jié)合三角恒等變換即可求解D.
【詳解】對(duì)于A,由余弦定理可得,
由于，故為直角三角形，A正確，
對(duì)于B，三角形的三邊長(zhǎng)分別為，
，，，故,
則該三角形最大角與最小角之和為,B正確，
對(duì)于C，由正弦定理可得,由于，故，C正確，
對(duì)于D，由可得,
所以，由于,所以，進(jìn)而,故，因此三角形為鈍角三角形，D錯(cuò)誤，
故選：ABC
25．在中，下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．若，則
B．若為銳角三角形，則
C．若，則一定是等腰三角形
D．若為鈍角三角形，且，則的面積為或
【答案】ABD
【分析】對(duì)于A，可以根據(jù)大角對(duì)大邊知道，再用正弦定理即可．
對(duì)于B, 根據(jù)銳角三角形，知道，即，因?yàn)榍?br>結(jié)合在區(qū)間單調(diào)遞增，得到，再用誘導(dǎo)公式即可．
對(duì)于C，切化弦，再用二倍角公式轉(zhuǎn)化即可．
對(duì)于D，用余弦定理求出，再分類(lèi)討論即可．
【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，所以，所以，A正確；
對(duì)于B：因?yàn)槭卿J角三角形，所以，即，
因?yàn)榍遥趨^(qū)間單調(diào)遞增，
所以，B正確；
對(duì)于C：，
即，即，
所以，而A,B為三角形內(nèi)角，
所以或者，
所以是等腰三角形或者直角三角形，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：易求出 ，而，所以，
化簡(jiǎn)可得，解得或者，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是最大角且，
所以滿(mǎn)足鈍角三角形，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為最大角且，
所以滿(mǎn)足鈍角三角形，，此時(shí)D正確．
故選：ABD.
26．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．若為銳角三角形，則
B．若，則為等腰或直角三角形
C．若，則不一定為直角三角形
D．若，則解的個(gè)數(shù)為1
【答案】ABD
【分析】對(duì)于A，利用結(jié)合誘導(dǎo)公式判斷，對(duì)于B，利用二倍角公式化簡(jiǎn)后，再利用正余弦定理統(tǒng)一成邊的形式，化簡(jiǎn)可判斷，對(duì)于C，先利用二倍角公式化簡(jiǎn)已知等式，再結(jié)合正余弦定理化角為邊，化簡(jiǎn)運(yùn)算即可判斷，對(duì)于D，利用余弦定理求出的值，即可判斷.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，
所以，所以，所以A正確，
對(duì)于B，因?yàn)椋裕?br>所以，化簡(jiǎn)得，
所以，所以或，
所以為等腰或直角三角形，所以B正確，
對(duì)于C，因?yàn)椋裕?br>所以，
所以，
所以，
所以或，
所以或，
所以一定是直角三角形，所以C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，由余弦定理得，
所以只有一個(gè)解，所以解的個(gè)數(shù)為1，所以D正確，
故選：ABD
27．已知a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，下面四個(gè)結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則為等腰三角形
B．在銳角中，不等式恒成立
C．若，，且有唯一解，則或
D．若，的平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)D，，則的最大值為9.
【答案】BC
【分析】用余弦定理統(tǒng)一成邊形式化簡(jiǎn)判斷出A的真假；由為銳角三角形，與正弦函數(shù)的單調(diào)性可得B選項(xiàng)的真假；根據(jù)邊角的關(guān)系與解的數(shù)量判斷C的真假；根據(jù)三角形面積可得到，將變?yōu)?，展開(kāi)后利用基本不等式，即可求得答案，判斷出D的真假．
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜傻茫海?br>所以有，整理可得，
所以或，故為等腰三角形或直角三角形，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若為銳角三角形，所以，故，
由正弦函數(shù)在單調(diào)遞增，則，故B正確．
對(duì)于C，若有一個(gè)解，則或，所以或，故C正確．
選項(xiàng)D，的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，，
由，由角平分線(xiàn)性質(zhì)和三角形面積公式得，
得，即，得，
得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，故D錯(cuò)誤．

故選：BC．
28．在中，角，，所對(duì)的邊依次為，，，已知，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．
B．為鈍角三角形
C．若，則的面積是
D．若的外接圓半徑是，內(nèi)切圓半徑為，則
【答案】BCD
【分析】由正弦定理可得，設(shè)，，，即可判斷A，利用余弦定理求出，即可判斷B，結(jié)合A求出邊，再結(jié)合B求出，最后由面積公式判斷C，首先由正弦定理求出，利用等面積法求出，即可判斷D.
【詳解】因?yàn)椋?br>由正弦定理，可得，
設(shè)，，，
則，故A錯(cuò)誤；
由題意可知，為最大角，
因?yàn)椋蕿殁g角，故B正確；
若，則，，，
又，所以，
所以的面積，故C正確；
由正弦定理得，，即，
由面積公式可得，
即，
所以，
所以，故，故D正確．
故選：BCD．
29．已知 的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．若 ，則 有兩解
C．當(dāng)時(shí)， 為直角三角形
D．若 為銳角三角形，則 的取值范圍是
【答案】ACD
【分析】通過(guò)正弦定理、誘導(dǎo)公式、二倍角公式及輔助角公式即可判斷A；通過(guò)余弦定理即可判斷B；通過(guò)余弦定理及可得或，即可判斷C；通過(guò)求的取值范圍，并將即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?br>所以由及正弦定理得，，
由誘導(dǎo)公式得，，
因?yàn)椋?，所以?br>化解得，即，
所以或，即（舍）或，故A正確；
對(duì)于B，由余弦定理得，即，得，
由，所以(負(fù)值舍)，即有一解，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)?，兩邊平方得?br>由余弦定理得，
由兩式消得，，解得或，
由解得，
由解得;
故為直角三角形，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)闉殇J角三角形，且，
所以，
即，
所以，所以，故D正確.
故選：ACD.
30．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，下列敘述正確的是（ ）
A．若，，，則滿(mǎn)足條件的三角形有且只有一個(gè)
B．若，則為鈍角三角形
C．若不是直角三角形，則
D．若，則為等腰三角形
【答案】ABC
【分析】利用正弦定理及三角形的性質(zhì)可判定A，由正弦定理及余弦定理可判定B，由正切的和角公式可判定C，由正弦定理及二倍角公式可判定D.
【詳解】對(duì)于A，可知，而，則，，
即滿(mǎn)足條件的C只有一個(gè)，故A正確；
對(duì)于B，若，所以，
則，故B正確；
對(duì)于C，易知，
整理得，故C正確；
對(duì)于D，若，即，
又，且的余弦值同號(hào)，則，即，
所以或，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC
考點(diǎn)04：三角形面積定值問(wèn)題
三角形面積公式
①
②其中分別為內(nèi)切圓半徑及的周長(zhǎng)
推導(dǎo)：將分為三個(gè)分別以的邊長(zhǎng)為底，內(nèi)切圓與邊相交的半徑為高的三角形，利用等面積法即可得到上述公式
③（為外接圓的半徑）
推導(dǎo)：將代入可得
將代入
可得
④
⑤海倫公式（其中）
推導(dǎo)：根據(jù)余弦定理的推論
令，整理得
31．在中，，，，則的面積為 .
【答案】/
【分析】利用余弦定理求出，再求,即可由面積公式求解.．
【詳解】中，，，，
由余弦定理得 ,
由于，所以，
所以的面積為：
故答案為：
32．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則的面積為 ．
【答案】
【分析】因?yàn)?，，，利用余弦定理求出，由三角形的面積公式，即可求得.
【詳解】由余弦定理，，
代入，，，
得，即，
解得或（舍去），
則的面積為.
故答案為：.
33．已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且滿(mǎn)足．
(1)求角的大?。?br>(2)若，，求的面積．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由余弦定理可得答案；
（2）由正弦定理得，結(jié)合求出，再由三角形的面積公式可得答案.
【詳解】（1）由，
，
由，；
（2），由正弦定理得①，
又②，
聯(lián)立①②解得，，
．
34．已知銳角的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，向量，且．
(1)求；
(2)若的面積為，求．
【答案】(1)．
(2)．
【分析】（1）根據(jù)向量垂直結(jié)論得到三角函數(shù)式子，后運(yùn)用正弦定理進(jìn)行邊角互化即可；
（2）運(yùn)用面積公式得到方程，結(jié)合條件,求出,再用余弦定理求即可.
【詳解】（1）由題意得，
由正弦定理得，
又，所以，則，即．
因?yàn)?，所以?br>（2）由，
得，結(jié)合，得．
由余弦定理得，
得．
35．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.
(1)求；
(2)若，的面積為，求的周長(zhǎng).
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，再利用余弦定理可得角；
（2）根據(jù)余弦定理，結(jié)合三角形面積，可得，進(jìn)而可得周長(zhǎng).
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>由正弦定理得，
由余弦定理得，
又，
則；
（2）由已知，即，
又，即，
所以，
所以的周長(zhǎng)為.
36．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知
(1)求A；
(2)若D為上一點(diǎn)，平分，且，，求的面積.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）用二倍角公式將化為，再邊角互化，三角恒等變換化解即可；
（2）用等面積法和用余弦定理結(jié)合即可求解．
【詳解】（1）因?yàn)?br>由正弦定理得
化簡(jiǎn)得
又因?yàn)?br>所以
由于，所以
則，即
（2）如圖所示，
因?yàn)?br>所以，即
由余弦定理知.即
所以，解得或（舍去）
所以．
37．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，.
(1)求;
(2)若的面積為，求和.
【答案】(1)(2)，
【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行邊換角得到，則；
（2）根據(jù)三角形面積公式即可得值，再利用余弦定理即可得到值.
【詳解】（1）由正弦定理：，那么，由于，
則，則，且，故.
（2）由于，則，
根據(jù)余弦定理：，
那么.
38．在中，．
(1)求；
(2)若的面積是，求的最小值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）用余弦定理進(jìn)行邊角互化可解；
（2）由面積公式得到，再用余弦定理和基本不等式可解.
【詳解】（1），用余弦定理得到，，化簡(jiǎn)得到，則，,則.
（2）由于,．
由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.
39．記的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面積為，求c．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由余弦定理、平方關(guān)系依次求出，最后結(jié)合已知得的值即可；
（2）首先求出，然后由正弦定理可將均用含有的式子表示，結(jié)合三角形面積公式即可列方程求解.
【詳解】（1）由余弦定理有，對(duì)比已知，
可得，
因?yàn)?，所以?br>從而，
又因?yàn)?，即?br>注意到，
所以.
（2）由（1）可得，，，從而，，
而，
由正弦定理有，
從而，
由三角形面積公式可知，的面積可表示為
，
由已知的面積為，可得，
所以.
40．平面四邊形中，，，，．
(1)求；
(2)求四邊形周長(zhǎng)的取值范圍；
(3)若為邊上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，，求的面積．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）首先求出，再由余弦定理計(jì)算可得；
（2）在中利用余弦定理及基本不等式求出的取值范圍，即可求出的范圍，即可求出四邊形周長(zhǎng)的取值范圍；
（3）依題意可得，即可求出、、，再由余弦定理求出，最后由面積公式計(jì)算可得.
【詳解】（1）因?yàn)?，，所以?br>在中由余弦定理
；
（2）在中，
即，
所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
又，
則，即，所以，
所以，
即四邊形周長(zhǎng)的取值范圍為；
（3）因?yàn)?，所以，又?br>所以，，又，所以，
在中由余弦定理，
即
在中由余弦定理，
即，
又，所以，
所以，
又，所以，
即，所以，
所以，所以，
所以.
.
考點(diǎn)05：三角形面積最值問(wèn)題
正規(guī)方法：面積公式+基本不等式
①
②
③

41．已知三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，且滿(mǎn)足，則面積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，由余弦定理以及三角形的面積公式可得，再利用兩次基本不等式得到，從而得解.
【詳解】因?yàn)?，則，，即，
由余弦定理可得，又，
所以①，②，
①②可得，
又，即，
則
，
即，即，
解得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，時(shí)，等號(hào)成立，
所以面積的最大值為.
故選：B.
42．在△ABC中，已知角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．
B．若，，則滿(mǎn)足條件的△ABC有兩個(gè)
C．若D是邊BC上一點(diǎn)，滿(mǎn)足，且，則△ABC面積的最大值為
D．若△ABC為銳角三角形，D是邊BC上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），滿(mǎn)足，則的取值范圍是
【答案】ACD
【分析】A根據(jù)面積公式和余弦定理得即可判斷；B根據(jù)正弦定理結(jié)合和角正弦公式可得，根據(jù)正弦定理得，結(jié)合角的范圍即可判斷；C根據(jù)題意，平方后得，結(jié)合基本不等式得，根據(jù)面積公式即可判斷；D令，則，根據(jù)正弦定理得，弦化切后分離常數(shù)，結(jié)合角的范圍即可判斷.
【詳解】對(duì)于A，，則，
根據(jù)余弦定理得，即，
由，故A正確；
對(duì)于B，根據(jù)正弦定理可得，,
即，
由，，
根據(jù)正弦定理得，，
由，故只有一解，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，
，即，
，，即，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以，即△ABC面積的最大值為，故C正確；
對(duì)于D，令，則，
在中，根據(jù)正弦定理得，
，
在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，有最大值，
當(dāng)時(shí)，有最小值，
所以的取值范圍是，故D正確.
故選：ACD.
43．在中，已知點(diǎn)滿(mǎn)足.
(1)若，求的長(zhǎng)度；
(2)若，求面積的取值范圍.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）在，中，由正弦定理得，從而確定，再由兩邊同時(shí)平方，即可得.
（2）根據(jù)題意得，在中，由余弦定理得，則代入即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋?
即,
所以，
在，中，由正弦定理得
,
又因?yàn)椋?br>所以，即，
又因?yàn)?所以，故，
所以，
即
所以，故.
（2）因?yàn)?，且?br>所以.
在中，由余弦定理得
，
故，
即，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，
所以,
所以的面積取值范圍為.
44．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，向量，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求面積的最大值；
(3)求的值域
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）由向量垂直的坐標(biāo)表示、余弦定理可得答案；
（2）由余弦定理、基本不等式可得答案；
（3）由的范圍求出的范圍，再根據(jù)的取值范圍可得答案．
【詳解】（1），，
由正弦定理得，，，
，且，；
（2），根據(jù)余弦定理得，
即，，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，即面積的最大值為；
（3），，，
，的取值范圍是．
45．已知在中，，在線(xiàn)段上，且.
(1)若是的中點(diǎn)，求面積的最大值；
(2)若，求面積的最小值.
【答案】(1)2(2)1
【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，由是的中點(diǎn)，得，兩邊平方化簡(jiǎn)后結(jié)合基本不等式可求得，再利用三角形的面積公式可求得其最大值；
（2）利用兩角差的正弦公式表示出，由結(jié)合基本不等式可求得，再利用三角形的面積公式可求得其最小值.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，
所以，
所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以面積的最大值為2；
（2）由（1）知，，
，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以面積的最小值為1.
46．在中，為角對(duì)應(yīng)的邊，為的面積.且.
(1)求；
(2)若，求內(nèi)切圓半徑的最大值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據(jù)三角形得面積公式結(jié)合正弦定理化角為邊，再根據(jù)余弦定理即可得解；
（2）根據(jù)，可得，再根據(jù)余弦定理將用表示，再化簡(jiǎn)，再結(jié)合基本不等式即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，
由正弦定理得，
整理得，
由余弦定理得，
又，所以；
（2）設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，
則，
所以，
又，所以，
則，
由，得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，
即內(nèi)切圓半徑的最大值為.
47．已知a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且.
(1)求；
(2)若，求面積的最大值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由余弦定理將化為，再利用余弦定理可求,則得到；
（2）由，利用基本不等式可得，又，則利用三角形的面積公式，即可求出面積的最大值.
【詳解】（1）由余弦定理得，
化簡(jiǎn)得，
所以在中由余弦定理可得，
又因?yàn)?，所?
（2）由（1）知，由，，，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，
所以，
故面積的最大值為.
48．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且.
(1)若，且的面積為，求的長(zhǎng)度；
(2)若為銳角三角形，，求的面積的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由正弦定理進(jìn)行邊化角運(yùn)算，根據(jù)展開(kāi)化簡(jiǎn)，再由輔助角公式計(jì)算可求出的值，再由三角形面積公式和邊的等量關(guān)系，可求出邊，從而求出相應(yīng)邊長(zhǎng)，余弦定理即可求出長(zhǎng)；
（2）法一：根據(jù)題意，由余弦定理可求出等量關(guān)系，由三角形為銳角三角形建立邊的不等式組，求解可解出邊的范圍，三角形面積公式即可求出結(jié)果；法二：正弦定理求解邊的范圍，代入三角形面積公式可求出結(jié)果.
【詳解】（1）由及正弦定理，得，
因?yàn)?，且?br>所以，即，
因?yàn)椋?，即?br>由的面積為，得，
，，
又因?yàn)椋?，，，，?br>在中，由余弦定理，得，
所以．
（2）法一：由余弦定理，得，
將代入，整理，得，
因?yàn)闉殇J角三角形，
，即，解得：，
.
法二：，
因?yàn)闉殇J角三角形，
，，，
，.
49．如圖，已知平面四邊形中，.
(1)若四點(diǎn)共圓，求；
(2)求四邊形面積的最大值.
【答案】(1)(2).
【分析】（1）在、中分別利用余弦定理表示出，再由四點(diǎn)共圓得到，即可求出；；
（2）由（1）可得，再由面積公式得到，將兩式平方再相加得到，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.
【詳解】（1）在中，由余弦定理得：
，
在中，由余弦定理得：
，
因?yàn)樗狞c(diǎn)共圓，所以，因此，
上述兩式相加得：，所以（負(fù)值已舍去）.
（2）由（1）得：，
化簡(jiǎn)得，
則①，
四邊形的面積
，
整理得，
則②
①②相加得：，
即，
由于，
所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，
此時(shí)四邊形的面積最大，由，解得，
故四邊形面積的最大值為.
50．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，，.
(1)求角的大小；
(2)設(shè)的平分線(xiàn)與交于點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的長(zhǎng).
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據(jù)正弦定理和三角恒等變換的化簡(jiǎn)計(jì)算即可求解；
（2）由（1），根據(jù)余弦定理可得，利用基本不等式和三角形面積公式知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)滿(mǎn)足題意，結(jié)合正弦定理計(jì)算即可求解.
【詳解】（1），
所以，
由正弦定理得，
即，
得，又，
所以，即，又，
所以；
（2）由余弦定理得
即，而，
，即，
.當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)
此時(shí)，則，
在中，由正弦定理得，
即，解得.
考點(diǎn)06： 三角形周長(zhǎng)定值問(wèn)題
類(lèi)型一：已知一角與兩邊乘積模型
第一步：求兩邊乘積
第二步：利用余弦定理求出兩邊之和
類(lèi)型二：已知一角與三角等量模型
第一步：求三角各自的大小
第二步：利用正弦定理求出三邊的長(zhǎng)度
51．在中，角所對(duì)的邊為，已知.
(1)求；
(2)若，，求的周長(zhǎng).
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由正弦定理及兩角和差正弦公式計(jì)算求出正切值求角即可；
（2）由正弦定理結(jié)合和比定理求出進(jìn)而得出周長(zhǎng)即可.
【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得?br>在中，，
，，
.
（2），
，
所以的周長(zhǎng)為.
52．在條件①，②，③中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中的橫線(xiàn)上，并解答相應(yīng)的問(wèn)題.
已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且滿(mǎn)足______.
(1)求；
(2)的內(nèi)角平分線(xiàn)交于點(diǎn)，若的面積為，，求的周長(zhǎng).
【答案】(1)(2)
【分析】（1）應(yīng)用正弦定理邊角關(guān)系及三角恒等變換求出三角函數(shù)值，再結(jié)合角的范圍求教即可；
（2）把三角形面積結(jié)合角平分線(xiàn)得出邊長(zhǎng)，再應(yīng)用余弦定理得出,即可得出邊長(zhǎng).
【詳解】（1）若選①，
，
，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
，解得.
，
.
若選②，
由正弦定理得，
即，
，
.
，，
，，
.
若選③，
由正弦定理得，，
即，
所以，
即，
，，整理得，
即，，，
，即.
（2），
，即.
又，
.
.
，
的周長(zhǎng)為.
53．在中，，在邊上，且.
(1)若，求的周長(zhǎng);
(2)求周長(zhǎng)的最大值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由余弦定理求出，，從而求出三角形的周長(zhǎng)；
（2）設(shè)，則，由三角形三邊關(guān)系求出，由余弦定理得到，表達(dá)出的周長(zhǎng)為，，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，從而求出最大值.
【詳解】（1）若，則，
又，，
所以，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得
，
故，
故的周長(zhǎng)為；
（2）由（1）知，，
設(shè)，則，
由三邊關(guān)系可得，解得，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得
故，
所以的周長(zhǎng)為，
令，，
則，
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，
故在處取得極大值，也是最大值，
最大值為.
54．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，．
(1)證明：是銳角三角形；
(2)若，求的周長(zhǎng)．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)
【分析】（1）先根據(jù)正弦定理以及余弦定理求解出的值，然后根據(jù)的值分析出的范圍，從而確定出的范圍，由此可完成證明；
（2）先求解出的值，然后根據(jù)正弦定理求解出的值，由此可求的周長(zhǎng).
【詳解】（1），
由正弦定理得，
整理得．
由余弦定理得．
，．
，，，
，均小于，
是銳角三角形．
（2），，
又，，
在中，由正弦定理得，
即，，，
的周長(zhǎng)為．
55．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，且．
(1)求A；
(2)已知角A的平分線(xiàn)交于點(diǎn)M，若，求的周長(zhǎng)．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，利用正弦定理化簡(jiǎn)求得，得到，即可求解；
（2）根據(jù)題意，利用，化簡(jiǎn)得到，再由余弦定理，列出方程求得的值，即可求解.
【詳解】（1）解：因?yàn)?，由正弦定理得?br>所以，
又因?yàn)椋?br>所以，
可得，
因?yàn)?，可得，所以，所以?br>又因?yàn)椋?
（2）解：因?yàn)?，交的?nèi)角平分線(xiàn)交于點(diǎn)，且，
，
又因?yàn)椋?br>所以，可得，
由余弦定理得：
，
整理得，解得或（舍去），
所以，即的周長(zhǎng)為.
56．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.
(1)求角的大?。?br>(2)若的面積為，，求的周長(zhǎng).
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由，余弦定理邊化角，利用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)，再由正弦定理邊化角，得，可得角的大小；
（2）由的面積求出，再由余弦定理求出，可得的周長(zhǎng).
【詳解】（1）中，由，得，
由余弦定理得，
即，
由正弦定理得，
，，得，
，則.
（2）若的面積為，則，得，
，由余弦定理，得，
解得，
的周長(zhǎng)為.
57．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c， 且 .
(1)求角A的大小;
(2)若，且的面積為，求的周長(zhǎng).
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用正弦定理角化邊化簡(jiǎn)，再結(jié)合余弦定理即可求得答案；
（2）根據(jù)三角形面積求得，再利用余弦定理求出的值，即可得答案.
【詳解】（1）因?yàn)?，故?br>而，即，即，
所以，
因?yàn)椋剩?br>（2）由（1）可知，
的面積為，即，故；
又，即，
則，
故的周長(zhǎng)為.
58．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿(mǎn)足
(1)求；
(2)若的面積，求的周長(zhǎng).
【答案】(1)；(2)9.
【分析】（1）利用正余弦定理計(jì)算即可；
（2）利用余弦定理及三角形面積公式計(jì)算即可.
【詳解】（1）由正弦定理可知，
因?yàn)橹校?，所以?br>（2）由三角形面積公式及（1）可知：，
由余弦定理，
所以的周長(zhǎng)為.
59．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
(1)求角A；
(2)若，求的周長(zhǎng)．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）已知利用正弦定理邊化角，再利用三角恒等變換化簡(jiǎn)得，可得角A；
（2）利用向量數(shù)量積的運(yùn)算，求出，得為等邊三角形，可求周長(zhǎng).
【詳解】（1）∵中，，
由正弦定理知，，
由，得，
則有，
得，又，
則有，由，解得．
（2），由，則，得，
由，有，
得，解得，
又，為等邊三角形，，
所以的周長(zhǎng)為.
60．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，，.
(1)求的面積；
(2)若，求的周長(zhǎng).
【答案】(1)(2)3
【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的真想公司化簡(jiǎn)，可得，利用三角形面積公式即可求得答案；
（2）由余弦定理推出，繼而求出的值，即可得答案.
【詳解】（1）由已知，在中有，故，
即，
即，而，所以，
又，故的面積為.
（2）由余弦定理，得，可得，
所以，
所以，即，
所以的周長(zhǎng)為3.
考點(diǎn)07： 三角形周長(zhǎng)最值問(wèn)題
高端結(jié)論：在中，已知,
其中 分別是的系數(shù)，其中
周長(zhǎng)往往求
則 其中
61．在中，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則有兩解B．面積有最大值
C．若是鈍角三角形，則BC邊上的高AD的范圍為D．周長(zhǎng)最大值為6
【答案】ABC
【分析】對(duì)于A，根據(jù)判斷即可；對(duì)于BCD，均可先由正弦定理邊化角得，，再依次由、、結(jié)合三角恒等變換公式以及三角函數(shù)值的范圍即可研究面積、高和周長(zhǎng)的取值范圍.
【詳解】對(duì)于A，由正弦定理得，所以，
故有兩解，故A正確；
對(duì)于B，由題及正弦定理得，，
所以
，
又，所以，所以，
所以，
所以，
所以面積最大值為.故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)椋?br>所以對(duì)于BC邊上的高AD，角或角為鈍角的情況是等價(jià)的，不妨令角C為鈍角，
因?yàn)椋?br>所以由選項(xiàng)B有，
則由得，所以，
所以，所以，
所以若是鈍角三角形，則BC邊上的高AD的范圍為.
對(duì)于D，由選項(xiàng)B得周長(zhǎng)為
，
又，所以，所以，
所以最大值為，
即周長(zhǎng)最大值為.故D錯(cuò)誤；
故選：ABC.
62．已知在銳角中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，，若的面積為，，則（ ）
A．B．邊的取值范圍是
C．面積取值范圍是D．周長(zhǎng)取值范圍是
【答案】ABC
【分析】A選項(xiàng)，由余弦定理得到，得到；B選項(xiàng)，由正弦定理得到，根據(jù)為銳角三角形，得到，從而得到；C選項(xiàng)，在B選項(xiàng)基礎(chǔ)上得到；D選項(xiàng)，由正弦定理得到，結(jié)合B選項(xiàng)，得到周長(zhǎng)的取值范圍.
【詳解】A選項(xiàng)，由題意得，即，
因?yàn)椋?，A正確；
B選項(xiàng)，由正弦定理得，
故，
因?yàn)殇J角中，，所以，
解得，故，
，B正確；
C選項(xiàng)，由B可知，，故，
面積取值范圍是，C正確；
D選項(xiàng)，由正弦定理得，故，
因?yàn)?，所以?br>故，
所以周長(zhǎng)取值范圍是，D錯(cuò)誤.
故選：ABC
63．在中，角所對(duì)的邊分別為，已知，則下列判斷中正確的是（ ）
A．若，則B．若，則該三角形有兩解
C．周長(zhǎng)有最大值12D．面積有最小值
【答案】ABC
【分析】對(duì)于ABC，根據(jù)正、余弦定理結(jié)合基本不等式即可解決；對(duì)于D，由正弦定理得，根據(jù)三角恒等變換解決即可.
【詳解】對(duì)于A，，，由正弦定理得，
所以，故A正確；
對(duì)于B，由正弦定理得得，所以，
因?yàn)?，則有兩個(gè)解，所以該三角形有兩解，故B正確；
對(duì)于C，由，得
，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)三角形為等邊三角形，周長(zhǎng)最大，周長(zhǎng)為12，故C正確；
對(duì)于D，由得,
故
由于，無(wú)最小值，
所以面積無(wú)最小值，有最大值為，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
64．在中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若，求的周長(zhǎng)l的取值范圍．
【答案】(1)(2)．
【分析】（1）由正弦定理化邊為角化簡(jiǎn)求解即得；（2）由正弦定理，根據(jù)邊及角得， 再將周長(zhǎng)化邊為角，結(jié)合輔助角公式求解范圍可得.
【詳解】（1）由正弦定理，得，
∵，，
∴，即，
又∵，則，
，則；
（2）由（1）及正弦定理可知，，
，
，
∴，
又，，∴，
∴，
∴，即，
∴的周長(zhǎng)l的取值范圍為．
65．已知，，，函數(shù)，且在區(qū)間上的最大值為.
(1)求m的值；
(2)銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若且，求的周長(zhǎng)l的取值范圍.
【答案】(1)1(2)
【分析】
（1）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可求實(shí)數(shù)的值；
（2）根據(jù)正弦定理結(jié)合三角恒等變換及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行求解．
【詳解】（1）
，
， ，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取得最大值，
則．
（2）
，
，由于為銳角，所以，則，
由，得，
，
，
，
，則，
的周長(zhǎng)的取值范圍是．
66．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．
(1)求角B的大?。?br>(2)設(shè)，的面積為S，周長(zhǎng)為L(zhǎng)，求的最大值．
【答案】(1)(2)
【分析】
（1）先根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊化角，然后再根據(jù)弦化切求解出的值，則可知；
（2）先根據(jù)正弦定理將表示為角的正弦形式，然后表示出三角形面積和周長(zhǎng)，利用二倍角公式以及輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)可求的最大值.
【詳解】（1）因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)?，所以，所以?br>所以，
又因?yàn)椋?
（2）因?yàn)?，所以?br>所以，
所以，
又因?yàn)椋裕?br>所以
，
又因?yàn)椋?，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)有最大值為，
綜上所述，的最大值為.
67．記的內(nèi)角，A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知．
(1)求a；
(2)若，求的周長(zhǎng)l的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）結(jié)合二倍角公式與正弦定理，化簡(jiǎn)已知等式，即可得解；
（2）解法一：由余弦定理得，結(jié)合基本不等式與完全平方公式可得，再由三角形三邊關(guān)系可得周長(zhǎng)取值范圍；解法二：由正弦定理可得，，再利用三角恒等變換公式推出，然后根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解．
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，
又，，所以，
根據(jù)正弦定理可得，所以．
（2）解法一：因?yàn)椋?br>所以由余弦定理可得，即．
因?yàn)椋裕?br>所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最值
又，所以，即周長(zhǎng)l的取值范圍為．
解法二：由正弦定理知，，
所以，，
所以
，
因?yàn)椋?，所?，
所以,，
所以,，
故的周長(zhǎng)的取值范圍為,．
68．設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊分別為，若．
(1)求的值;
(2)若且三個(gè)內(nèi)角中最大角是最小角的兩倍，當(dāng)周長(zhǎng)取最小值時(shí)，求的面積．
【答案】(1)2(2)
【分析】（1）變形得到，由正弦定理得到，得到答案；
（2）由題意得到，由正弦定理和余弦定理得到，求出，由，求出當(dāng)時(shí)，周長(zhǎng)最小，進(jìn)而由三角形面積求出答案.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?br>所以，
所以，由正弦定理，得，即．
（2）由可得：，故，于是，
由正弦定理及余弦定理可得：
，
解得：(舍)或者，故，
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，周長(zhǎng)最小，此時(shí)，
所以，所以的面積為．
69．記內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．
(1)求C；
(2)若為銳角三角形，，求周長(zhǎng)范圍．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）應(yīng)用正弦定理及余弦定理解三角形即可；
（2）先應(yīng)用正弦定理用角表示邊長(zhǎng)，再根據(jù)銳角三角形求角的范圍，最后求三角函數(shù)的值域即得.
【詳解】（1）在中，由射影定理得，
則題述條件化簡(jiǎn)為，
由余弦定理得．
可得
所以.
（2）在中，
由正弦定理得，
則周長(zhǎng)，
因?yàn)?，則，
因?yàn)闉殇J角三角形，，
則得，
故．
70．設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知向量，，且．
(1)求角的大?。?br>(2)若，求的周長(zhǎng)取值范圍．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和正弦定理邊化角可化簡(jiǎn)已知等式求得，由的范圍可求得；
（2）利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換知識(shí)可化簡(jiǎn)得到，根據(jù)正弦型函數(shù)值域的求法可求得的取值范圍，進(jìn)而得到周長(zhǎng)的取值范圍.
【詳解】（1），，
，，，即，
，.
（2）由正弦定理得：，，，
；
，，，
，，
即周長(zhǎng)的取值范圍為.

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