1．據《乾陵百迷》記載：乾陵是陜西關中地區(qū)唐十八陵之一，位于乾縣縣城北部的梁山上，是唐高宗李治和武則天的合葬墓．乾陵是目前保存最完好的一座帝王陵墓．1961年3月被國務院公布為第一批全國重點文物保護單位．乾陵氣勢雄偉，規(guī)模宏大．登乾陵需要通過一段石階路，如圖所示，石階路共526級臺階（各臺階高度相同）和18座平臺，寬11米，全路用32000塊富平墨玉石砌成．右階有許多象征意義．比如第一道平臺的34級臺階，象征唐高宗李治在位執(zhí)政34年，第二道平臺的21級臺階，象征武則天執(zhí)政21年……第九道平臺的108級臺階，象征有108個“吉祥”現(xiàn)已知這108級臺階落差高度為17.69米，那么乾陵石階路526級臺階的落差高度約為（ ）
A．86.2米B．83.6米C．84.8米D．85.8米
2．一對夫婦為了給他們的獨生孩子支付將來上大學的費用，從孩子一周歲生日開始，每年到銀行儲蓄元一年定期，若年利率為保持不變，且每年到期時存款（含利息）自動轉為新的一年定期，當孩子18歲生日時不再存入，將所有存款（含利息）全部取回，則取回的錢的總數為（ ）
A．B．
C．D．
3．復利是指一筆資金產生利息外，在下一個計息周期內，以前各計息周期內產生的利息也計算利息的計息方法，單利是指一筆資金只有本金計取利息，而以前各計息周期內產生的利息在下一個計息周期內不計算利息的計息方法.小闖同學一月初在某網貸平臺貸款10000元，約定月利率為1.5%，按復利計算，從一月開始每月月底等額本息還款，共還款12次，直到十二月月底還清貸款，把還款總額記為x元.如果前十一個月因故不還貸款，到十二月月底一次還清，則每月按照貸款金額的1.525%，并且按照單利計算利息，這樣的還款總額記為y元.則y-x的值為（ ）(參考數據：1.01512≈1.2)
A．0B．1200C．1030D．900
4．已知數列中的前項和為，對任意，，且恒成立，則實數的取值范圍是
A．B．
C．D．
5．在數列中, 當時,其前項和為滿足,設,數列的前項和為,則滿足的最小正整數是
A．12B．11C．10D．9
6．已知數列的前項和為，且，，若對任意的，恒成立，則實數的取值范圍為
A．B．C．D．
7．公元前世紀，古希臘哲學家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論：他提出讓烏龜在跑步英雄阿基里斯前面米處開始與阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜的倍.當比賽開始后，若阿基里斯跑了米，此時烏龜便領先他米，當阿基里斯跑完下一個米時，烏龜先他米，當阿基里斯跑完下一個米時，烏龜先他米所以，阿基里斯永遠追不上烏龜.按照這樣的規(guī)律，若阿基里斯和烏龜的距離恰好為米時，烏龜爬行的總距離為（ ）
A．米B．米
C．米D．米
8．朱世杰是元代著名數學家，他所著的《算學啟蒙》是一部在中國乃至世界最早的科學普及著作.《算學啟蒙》中涉及一些“堆垛”問題，主要利用“堆垛”研究數列以及數列的求和問題.現(xiàn)有132根相同的圓形鉛筆，小明模仿“堆垛”問題，將它們全部堆放成縱斷面為等腰梯形的“垛”，要求層數不小于2，且從最下面一層開始，每一層比上一層多1根，則該“等腰梯形垛”應堆放的層數可以是（ ）
A．5B．6C．7D．8
9．刪去正整數數列 中的所有完全平方數，得到一個新數列，這個數列的第2018項是
A．B．C．D．
10．設數列的前項和為，，且，若，則的最大值為
A．B．C．D．
二、填空題（本大題共4小題，共20分）
11．設數列滿足，且對任意的，滿足，,則_________
12．數列滿足，且，.若，則實數__________．
13．1967年，法國數學家蒙德爾布羅的文章《英國的海岸線有多長？》標志著幾何概念從整數維到分數維的飛躍.1977年他正式將具有分數維的圖形成為“分形”，并建立了以這類圖形為對象的數學分支——分形幾何．分形幾何不只是扮演著計算機藝術家的角色，事實表明它們是描述和探索自然界大量存在的不規(guī)則現(xiàn)象的工具．下面我們用分形的方法來得到一系列圖形，如圖1，線段AB的長度為1，在線段AB上取兩個點C，D，使得，以CD為一邊在線段AB的上方做一個正三角形，然后去掉線段CD，得到圖2中的圖形；對圖2中的線段EC、ED作相同的操作，得到圖3中的圖形；依此類推，我們就得到了以下一系列圖形：
記第n個圖形（圖1為第一個圖形）中的所有線段長的和為，對任意的正整數n，都有，則a的最小值為__________．
14．對于實數x，[x]表示不超過x的最大整數，已知正數列{an}滿足Sn=（an），n∈N*，其中Sn為數列{an}的前n項的和，則[]=______．
三、解答題（本大題共3小題，共30分）
15．已知等比數列的前項和為成等差數列，且.
（1）求數列的通項公式；
（2）若，求數列的前項和.
16．設數列的前n項和為，
（1）求證：數列是等比數列；
（2）若，是否存在q的某些取值，使數列中某一項能表示為另外三項之和？若能求出q的全部取值集合，若不能說明理由．
（3）若，是否存在，使數列中，某一項可以表示為另外三項之和？若存在指出q的一個取值，若不存在，說明理由．
17．已知無窮數列與無窮數列滿足下列條件：①；② .記數列的前項積為 .
（1）若，求；
（2）是否存在，使得成等差數列？若存在，請寫出一組;若不存在，請說明理由；
（3）若，求的最大值.
專題23 數列的通項公式與求和
一、單選題（本大題共10小題，共50分）
1．據《乾陵百迷》記載：乾陵是陜西關中地區(qū)唐十八陵之一，位于乾縣縣城北部的梁山上，是唐高宗李治和武則天的合葬墓．乾陵是目前保存最完好的一座帝王陵墓．1961年3月被國務院公布為第一批全國重點文物保護單位．乾陵氣勢雄偉，規(guī)模宏大．登乾陵需要通過一段石階路，如圖所示，石階路共526級臺階（各臺階高度相同）和18座平臺，寬11米，全路用32000塊富平墨玉石砌成．右階有許多象征意義．比如第一道平臺的34級臺階，象征唐高宗李治在位執(zhí)政34年，第二道平臺的21級臺階，象征武則天執(zhí)政21年……第九道平臺的108級臺階，象征有108個“吉祥”現(xiàn)已知這108級臺階落差高度為17.69米，那么乾陵石階路526級臺階的落差高度約為（ ）
A．86.2米B．83.6米C．84.8米D．85.8米
【答案】A
【解析】解：由題意可知所求高度為
，
所以乾陵石階路526級臺階的落差高度約為86.2米，
故選：A
2．一對夫婦為了給他們的獨生孩子支付將來上大學的費用，從孩子一周歲生日開始，每年到銀行儲蓄元一年定期，若年利率為保持不變，且每年到期時存款（含利息）自動轉為新的一年定期，當孩子18歲生日時不再存入，將所有存款（含利息）全部取回，則取回的錢的總數為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根據題意，當孩子18歲生日時，孩子在一周歲生日時存入的元產生的本利合計為，
同理：孩子在2周歲生日時存入的元產生的本利合計為，
孩子在3周歲生日時存入的元產生的本利合計為，
孩子在17周歲生日時存入的元產生的本利合計為，
可以看成是以為首項，為公比的等比數列的前17項的和，
此時將存款（含利息）全部取回，則取回的錢的總數：
故選：D
3．復利是指一筆資金產生利息外，在下一個計息周期內，以前各計息周期內產生的利息也計算利息的計息方法，單利是指一筆資金只有本金計取利息，而以前各計息周期內產生的利息在下一個計息周期內不計算利息的計息方法.小闖同學一月初在某網貸平臺貸款10000元，約定月利率為1.5%，按復利計算，從一月開始每月月底等額本息還款，共還款12次，直到十二月月底還清貸款，把還款總額記為x元.如果前十一個月因故不還貸款，到十二月月底一次還清，則每月按照貸款金額的1.525%，并且按照單利計算利息，這樣的還款總額記為y元.則y-x的值為（ ）(參考數據：1.01512≈1.2)
A．0B．1200C．1030D．900
【答案】C
【解析】解：由題意知，按復利計算，設小闖同學每個月還款元，則小闖同學第一次還款元后，還欠本金及利息為元，
第二次還款元后，還欠本金及利息為，
第三次還款元后，還欠本金及利息為，
依次類推，直到第十二次還款后，全部還清，即
，
即，解得，
故元，
按照單利算利息，12月后，所結利息共元，
故元，
所以，
故選：C
4．已知數列中的前項和為，對任意，，且恒成立，則實數的取值范圍是
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由有, 當時,,求得,當時,,化簡得,當,,所以,當,,所以,因為恒成立,所以當當,,即,當,,,綜上兩種情況,有．
5．在數列中, 當時,其前項和為滿足,設,數列的前項和為,則滿足的最小正整數是
A．12B．11C．10D．9
【答案】C
【解析】由可得，即，所以數列是等差數列，首項為，公差為，則，解得，所以，數列的前n項和 ．由可得，即，令，可得函數在上單調遞增，而，，若，則，則滿足的最小正整數是．故選C．
6．已知數列的前項和為，且，，若對任意的，恒成立，則實數的取值范圍為
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由數列的遞推公式可得 ：，
則數列是首項為，公比為的等比數列，
，
分組求和可得：，
題中的不等式即恒成立，
結合恒成立的條件可得實數的取值范圍為
本題選擇B選項.
7．公元前世紀，古希臘哲學家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論：他提出讓烏龜在跑步英雄阿基里斯前面米處開始與阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜的倍.當比賽開始后，若阿基里斯跑了米，此時烏龜便領先他米，當阿基里斯跑完下一個米時，烏龜先他米，當阿基里斯跑完下一個米時，烏龜先他米所以，阿基里斯永遠追不上烏龜.按照這樣的規(guī)律，若阿基里斯和烏龜的距離恰好為米時，烏龜爬行的總距離為（ ）
A．米B．米
C．米D．米
【答案】D
【解析】根據題意，這是一個等比數列模型，
設，
所以，
解得，
所以.
故選：D.
8．朱世杰是元代著名數學家，他所著的《算學啟蒙》是一部在中國乃至世界最早的科學普及著作.《算學啟蒙》中涉及一些“堆垛”問題，主要利用“堆垛”研究數列以及數列的求和問題.現(xiàn)有132根相同的圓形鉛筆，小明模仿“堆垛”問題，將它們全部堆放成縱斷面為等腰梯形的“垛”，要求層數不小于2，且從最下面一層開始，每一層比上一層多1根，則該“等腰梯形垛”應堆放的層數可以是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【解析】設最上面一層放根，一共放n（n≥2）層，則最下一層放根，
由等差數列前n項和公式得：，
∴，
∵,∴n為264 的因數，且為偶數，
把各個選項分別代入，驗證，可得：n=8滿足題意.
故選：D
9．刪去正整數數列 中的所有完全平方數，得到一個新數列，這個數列的第2018項是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意可得，這些數可以寫為：，第個平方數與第個平方數之間有個正整數，而數列共有項，去掉個平方數后，還剩余個數，所以去掉平方數后第項應在后的第個數，即是原來數列的第項，即為，故選B.
10．設數列的前項和為，，且，若，則的最大值為
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，，
是以為公比的等比數列，
，
當n為偶數時，無解，當n為奇數時，，
，又，，即，
即，又n為奇數，故n的最大值為
故選A
二、填空題（本大題共4小題，共20分）
11．設數列滿足，且對任意的，滿足，,則_________
【答案】
【解析】∵對任意的，滿足，，
∴，
∴．
∴
．
答案：
12．數列滿足，且，.若，則實數__________．
【答案】
【解析】由題意，數列滿足且，，
令，可得，即，解得，
令，可得，即，解得，
同理可得 ，可得數列的周期為3，
又由，所以，所以，即，
又由，解得，
所以.
13．1967年，法國數學家蒙德爾布羅的文章《英國的海岸線有多長？》標志著幾何概念從整數維到分數維的飛躍.1977年他正式將具有分數維的圖形成為“分形”，并建立了以這類圖形為對象的數學分支——分形幾何．分形幾何不只是扮演著計算機藝術家的角色，事實表明它們是描述和探索自然界大量存在的不規(guī)則現(xiàn)象的工具．下面我們用分形的方法來得到一系列圖形，如圖1，線段AB的長度為1，在線段AB上取兩個點C，D，使得，以CD為一邊在線段AB的上方做一個正三角形，然后去掉線段CD，得到圖2中的圖形；對圖2中的線段EC、ED作相同的操作，得到圖3中的圖形；依此類推，我們就得到了以下一系列圖形：
記第n個圖形（圖1為第一個圖形）中的所有線段長的和為，對任意的正整數n，都有，則a的最小值為__________．
【答案】2．
【解析】設第個圖形中新出現(xiàn)的等邊三角形的邊長為，則當時，，
設第個圖形中新增加的等邊三角形的個數為，則當時，，
故，其中，
由累加法可得
，
時，也符合該式，故，
故對任意的恒成立，故即a的最小值為2.
故答案為：2.
14．對于實數x，[x]表示不超過x的最大整數，已知正數列{an}滿足Sn=（an），n∈N*，其中Sn為數列{an}的前n項的和，則[]=______．
【答案】20
【解析】由題可知，當時，化簡可得，當
所以數列是以首項和公差都是1的等差數列，即
又時，
記
一方面
另一方面
所以
即
故答案為20
三、解答題（本大題共3小題，共30分）
15．已知等比數列的前項和為成等差數列，且.
（1）求數列的通項公式；
（2）若，求數列的前項和.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）設等比數列的公比為，
由成等差數列知，，
所以，即.
又，所以，所以，
所以等比數列的通項公式.
（2）由（1）知 ，
所以
所以數列的前 項和：
所以數列的前項和
16．設數列的前n項和為，
（1）求證：數列是等比數列；
（2）若，是否存在q的某些取值，使數列中某一項能表示為另外三項之和？若能求出q的全部取值集合，若不能說明理由．
（3）若，是否存在，使數列中，某一項可以表示為另外三項之和？若存在指出q的一個取值，若不存在，說明理由．
【答案】解：（1）見詳解；（2）不存在；（3）不存在
【解析】（1）n=1時，，
時，（n=1也符合）
，，即數列是等比數列．
（2）若則
可設，兩邊同除以得：
因為左邊能被q整除，右邊不能被q整除，因此滿足條件的q不存在．
（3）若則
可設，，， 不成立．
17．已知無窮數列與無窮數列滿足下列條件：①；② .記數列的前項積為 .
（1）若，求；
（2）是否存在，使得成等差數列？若存在，請寫出一組;若不存在，請說明理由；
（3）若，求的最大值.
【答案】（1）；（2）不存在，理由見解析；（3）.
【解析】（1），，

∴
（2）不存在，假設存在，設公差為
若，則，公差，矛盾；
若，則，公差，矛盾.
∴假設不成立，故不存在.
（3）由題意， 且
設，，
得，進一步得
顯然的值從大到小依次為
（?。┤?，則，則不可能
（ⅱ）若，則或，
則或不可能
（ⅲ）若，則，則不可能
∴（當或取得）
從而，
∴.
∴

（當：取得）
又 ，∴

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