數(shù)列的通項(xiàng)與求和一、單選題1、（2020·浙江鎮(zhèn)海中學(xué)高三3月模擬）已知公差不為零的等差數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則的值為（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)公差為，由得到，整理得到，因，故，，所以，故選A.2、已知等差數(shù)列的前項(xiàng)之和為，前項(xiàng)和為，則它的前項(xiàng)的和為（   ）A.             B.              C.               D.【答案】C【解析】由于等差數(shù)列中也成等差數(shù)列，即成等差數(shù)列，所以，故選C.3、設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則(　　)A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】是等差數(shù)列又，∴公差，，故選C．4、（2020屆山東省濰坊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）已知數(shù)列中，，()，則等于（    ）A． B． C． D．2【答案】A【解析】∵，()，
，
，
，
，
…，
∴數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，
，
，
故選：A.5．（2020·浙江鎮(zhèn)海中學(xué)高三3月模擬）已知數(shù)列滿足，則（  ）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題得，則有，，故選C． 6、（2020·浙江高三）等差數(shù)列{an}的公差為d，a1≠0，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則“d＝0”是“Z”的（　　）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】等差數(shù)列{an}的公差為d，a1≠0，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若d＝0，則{an}為常數(shù)列，故an=，即?“Z”，當(dāng)Z時(shí)，d不一定為0，例如，數(shù)列1，3，5，7，9，11中，4，d＝2，故d＝0是Z的充分不必要條件．故選：A．7、（2020屆山東省德州市高三上期末）對(duì)于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中，對(duì)自然數(shù)，規(guī)定為數(shù)列的階差分?jǐn)?shù)列，其中.若，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題中定義可得，即，即，等式兩邊同時(shí)除以，得，且，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，，因此，.故選：B.8、（2020屆浙江省嘉興市高三5月模擬）已知數(shù)列，滿足且設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由且，得，， 所以，，，又，所以，解得，故選：C.9、在數(shù)列中，已知，，則“”是“是單調(diào)遞增數(shù)列”的（    ）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若在數(shù)列中，已知，，，則，解得．若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則對(duì)任意的都滿足：，，即.因此，“”是“是單調(diào)遞增數(shù)列”的充分必要條件.故選：C.二、多選題10、已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，有下列四個(gè)命題，其中是真命題的是　A．公差 B．在所有中，最大 C． D．滿足的的個(gè)數(shù)有15個(gè)【答案】【解析】，且，，即，又，，，即，，故選項(xiàng)，為真命題；，，，即，又，，又，，又，，故選項(xiàng)為真命題，選項(xiàng)為假命題；故選：．11、（2019秋?濟(jì)寧期末）若Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＝2an+1，（n∈N*），則下列說(shuō)法正確的是（　?。?/span>A．a5＝﹣16 B．S5＝﹣63 C．?dāng)?shù)列{an}是等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列{Sn+1}是等比數(shù)列【答案】AC【解析】：∵Sn＝2an+1，（n∈N*），∴①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2a1+1，∴a1＝﹣1，②當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an+1﹣2an﹣1﹣1，∴2an﹣1＝an，∴，∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為﹣1，公比為2的等比數(shù)列，故選項(xiàng)C正確，∴，∴，，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，又∵，∴數(shù)列{Sn+1}不是等比數(shù)列，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：AC．12、（2019秋?寧陽(yáng)縣校級(jí)月考）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則　　A． B． C．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 D．【答案】【解析】：是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則，整理得（常數(shù)），所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．故正確所以，故：．所以當(dāng)時(shí)，（首項(xiàng)不符合通項(xiàng)），故故正確所以，故正確．故選：． 三、填空題13、（2020屆江蘇省南通市如皋中學(xué)高三下學(xué)期3月線上模擬）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和.若，則的通項(xiàng)公式_______【答案】【解析】設(shè)數(shù)列公差為，由已知得，解得．∴．故答案為：．14、（2020屆江蘇省海安中學(xué)、金陵中學(xué)、新海高級(jí)中學(xué)高三12月聯(lián)考）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若（），且，則的值為_(kāi)_____.【答案】1240【解析】當(dāng)時(shí)，，，可得，當(dāng)時(shí)，由，得，∴，即，∴數(shù)列是首項(xiàng)，公差為6的等差數(shù)列，∴，故答案為：1240. 15、（江蘇省南通市海安高級(jí)中學(xué)2019-2020學(xué)年高三9月月考）設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為.若存在，使得，且，則正整數(shù)的值為_(kāi)_____.【答案】【解析】，，得，，解得.由，可得，所以，，即，，，，解得，故答案為. 16、（2020屆山東師范大學(xué)附中高三月考）設(shè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和為．若，，則________，的最大值為_(kāi)_______．【答案】4    42    【解析】∵數(shù)列是等差數(shù)列，∵，∴，，又，，，，,∴當(dāng)或時(shí)，有最大值42.故答案為：（1）4；（2）42.17、（2020屆山東省九校高三上學(xué)期聯(lián)考）已知數(shù)列中，，其前項(xiàng)和滿足，則__________；__________.【答案】        【解析】（1）由題：，令，，得：，所以；（2）由題，，化簡(jiǎn)得：，，是一個(gè)以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，，，故答案為：(1).     (2). 18、（2020屆浙江省溫麗聯(lián)盟高三第一次聯(lián)考）數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則__________；若時(shí)，的最大值為_(kāi)_________.【答案】26    807    【解析】∵，，∴，，，，，……∴；由可知，，故時(shí)，的最大值為807；故答案為：26；807． 四、解答題19、（2020年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)）設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)．（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）設(shè)的公比為，由題設(shè)得 即.所以 解得（舍去），.故的公比為.（2）設(shè)為的前n項(xiàng)和.由（1）及題設(shè)可得，.所以，.可得 所以.20、（2020屆山東省濰坊市高三上期末）已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且是等比數(shù)列的前項(xiàng).(1)求;(2)設(shè)，求的前項(xiàng)和.【解析】 (1)設(shè)數(shù)列的公差為，由題意知:    ①又因?yàn)?/span>成等比數(shù)列，所以，，，又因?yàn)?/span>，所以.  ②由①②得，所以，， ，， .(2)因?yàn)?/span>，所以所以數(shù)列的前項(xiàng)和21、（2020年高考全國(guó)III卷理數(shù)）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，．（1）計(jì)算a2，a3，猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明；（2）求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn．【解析】（1） 猜想 由已知可得，，…….因?yàn)?/span>，所以（2）由（1）得，所以.  ①從而.② 得，所以 22、（2020屆山東省泰安市高三上期末）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿足為數(shù)列的前n項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)m，，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由得，解得，；（2），， ，若，則，整理得，又，，整理得，解得，又，，，∴存在滿足題意．23、（2020屆山東省九校高三上學(xué)期聯(lián)考）已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即：，解得：.∴，∴.（2），∴.24、（2020屆山東省煙臺(tái)市高三上期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）因?yàn)?/span>,,所以,,兩式相減得,整理得, 即,,所以為常數(shù)列,所以, 所以 （2）由（1）,,所以 兩式相減得：，   ，  化簡(jiǎn)得25、（2020屆山東省棗莊、滕州市高三上期末）已知等比數(shù)列滿足成等差數(shù)列，且；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.求：（1）；（2）數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）設(shè)的公比為q.因?yàn)?/span>成等差數(shù)列，所以，即.因?yàn)?/span>，所以.因?yàn)?/span>，所以.因此.由題意，.所以，，從而.所以的公差.所以.（2）令，則.因此.又兩式相減得.所以. 

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