考點鞏固卷14 空間幾何體的表面積和體積（六大考點）-2025年高考數(shù)學二輪復習考點鞏固-試卷下載-教習網(wǎng)

考點01：斜二測畫法及應(yīng)用
1、畫空間圖形的直觀圖，一般先用斜二測畫法畫出水平放置的平面圖形，再畫z軸，
并確定豎直方向上的相關(guān)的點，最后連點成圖便可；
2、直觀圖畫法口訣可以總結(jié)為：“橫長不變，縱長減半，豎長不變，平行關(guān)系不變”；
3、當幾何體的形狀確定后，用斜二測畫法畫出相應(yīng)幾何體的直觀圖.注意用實線表示看得見的部分，用虛線表示看不見的部分，畫完直觀圖后還應(yīng)注意檢驗；
結(jié)論：直觀圖與原圖面積之間的關(guān)系：若一個平面多邊形的面積為S，其直觀圖的面積為S′，
則有S′＝eq \f(\r(2),4)S或S＝2eq \r(2)S′；利用這一公式可由原圖形面積求其直觀圖面積或由直觀圖面積求原圖形面積；
1．一水平放置的平面四邊形的直觀圖如圖所示，其中，軸，軸，軸，則四邊形的面積為（）
A．18B．C．D．12
2．如圖,直角梯形滿足,它是水平放置的平面圖形的直觀圖,則該平面圖形的周長是（）
A．B．
C．D．
3．如圖所示，正方形的邊長為，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原平面圖形的周長是（）
A．B．C．D．
4．用斜二測畫法畫出的水平放置的的直觀圖如圖所示，其中是的中點，且軸，軸，，那么（）
A．B．2C．D．4
5．如圖，是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，若，且，則原圖形中邊上的高為（）
A．B．C．D．
6．已知梯形按斜二測畫法得到的直觀圖為如圖所示的梯形，且，，，現(xiàn)將梯形繞?轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體，則該幾何體的側(cè)面積為（）
A．B．C．D．
7．如圖，是水平放置的用斜二測畫法畫出的直觀圖（圖中虛線分別與軸和軸平行），，，則的面積為（）

A．B．C．24D．48
8．水平放置的的直觀圖如圖，其中，，那么原是一個（）

A．等邊三角形B．直角三角形
C．三邊中只有兩邊相等的等腰三角形D．三邊互不相等的三角形
9．一個水平放置的平面圖形的直觀圖是一個底角為，腰和上底長均為1的等腰梯形，則該平面圖形的面積等于（）．
A．B．C．D．
10．如圖所示，一個水平放置的四邊形OABC的斜二測畫法的直觀圖是邊長為2的正方形，則原四邊形的面積是（）
A．B．C．16D．8
考點02：空間幾何體的表面積
側(cè)面積和表面積
11．蒙古包是我國蒙古族牧民居住的房子，適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活．如圖所示的蒙古包由圓柱和圓錐組合而成，其中圓柱的高為，底面半徑為是圓柱下底面的圓心．若圓錐的側(cè)面與以為球心，半徑為的球相切，則圓錐的側(cè)面積為（）

A．B．C．D．
12．某圓臺的下底面周長是上底面周長的4倍，母線長為10，該圓臺的側(cè)面積為，則該圓臺的體積為（）
A．B．C．D．
13．已知正三棱臺的上底面積為，下底面積為，高為2，則該三棱臺的表面積為（）
A．B．C．D．18
14．在正四棱臺中，，若正四棱臺的高為，則其表面積為（）
A．B．C．D．
15．已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，為底面直徑，，，點C在底面圓周上，且二面角為，則（）
A．該圓錐的側(cè)面積為B．該圓錐的體積為
C．的面積為D．
16．已知圓錐的底面半徑為2，其側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇形，則該圓錐的側(cè)面積為（）
A．B．C．D．
17．在一個圓錐中，為圓錐的頂點，為圓錐底面圓的圓心，為線段的中點，為底面圓的直徑，是底面圓的內(nèi)接正三角形，
①平面；
②平面；
③圓錐的側(cè)面積為；
④三棱錐的內(nèi)切球表面積為．
其中正確的結(jié)論個數(shù)為（）
A．1B．2C．3D．4
18．已知圓錐的頂點為，母線所成角的余弦值為，且該圓錐的母線是底面半徑的倍，若的面積為，則該圓錐的表面積為（）
A．B．C．D．
19．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學專著，是“算經(jīng)十書”（漢唐之間出現(xiàn)的十部古算書）中非常重要的一部．在《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”．已知“塹堵”的所有頂點都在球的球面上，且．若球的表面積為，則這個三棱柱的表面積是（）
A．B．C．D．
20．如圖，為球形物品設(shè)計制作正四面體、正六面體、正八面體形狀的包裝盒，最少用料分別記為，則它們的大小關(guān)系為（）
A．B．
C．D．
考點03：空間幾何體的體積
21．某小區(qū)花園內(nèi)現(xiàn)有一個圓臺型的石碑底座，經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)該石碑底座上底面圓的半徑為1，且上底面圓直徑的一端點的投影為下底面圓半徑的中點，高為3，則這個圓臺的體積為（）
A．B．C．D．
22．如圖，是圓錐底面中心到母線的垂線，繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面將圓錐分成體積相等的兩部分，則母線與軸的夾角余弦值為（）
A．B．C．D．
23．中國載人航天技術(shù)發(fā)展日新月異.目前，世界上只有3個國家能夠獨立開展載人航天活動.從神話“嫦娥奔月”到古代“萬戶飛天”，從詩詞“九天攬月”到壁畫“仕女飛天”……千百年來，中國人以不同的方式表達著對未知領(lǐng)域的探索與創(chuàng)新.如圖，可視為類似火箭整流罩的一個容器，其內(nèi)部可以看成由一個圓錐和一個圓柱組合而成的幾何體.圓柱和圓錐的底面半徑均為2，圓柱的高為6，圓錐的高為4.若將其內(nèi)部注入液體，已知液面高度為7，則該容器中液體的體積為（）
A．B．C．D．
24．設(shè)四棱臺的上、下底面積分別為，，側(cè)面積為，若一個小球與該四棱臺的每個面都相切，則（）
A．B．
C．D．
25．最早的測雨器記載見于南宋數(shù)學家秦九韶所著的《數(shù)書九章》（1247年）.該書第二章為“天時類”，收錄了有關(guān)降水量計算的例子，其中“天池測雨”法是下雨時用一個圓臺形的天池盆收集雨水來測量平地降雨量（盆中水的體積與盆口面積之比）已知天池盆盆口直徑為一尺四寸，盆底直徑為六寸，盆深一尺二寸.當盆中積水深六寸（注：1尺寸）時，平地降雨量是（）
A．1寸B．2寸C．3寸D．4寸
26．菏澤市博物館里，有一條深埋600多年的元代沉船，對于研究元代的發(fā)展提供了不可多得的實物資料.沉船出土了豐富的元代瓷器，其中的白地褐彩龍風紋罐（如圖）的高約為，把該瓷器看作兩個相同的圓臺拼接而成（如圖），圓臺的上底直徑約為，下底直徑約為，忽略其壁厚，則該瓷器的容積約為（）
A．B．C．D．
27．如圖，圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為的水，若放入3個相同的鐵球（球的半徑與圓柱底面半徑相等）后，水恰好淹沒最上面的鐵球，則一個鐵球的表面積為（）
A．B．C．D．
28．已知是圓錐的軸截面，點C在SA上，且.若過點C且平行于SB的平面恰過點，且該平面與圓錐底面所成的二面角等于，則該圓錐的體積為（）
A．B．C．D．
29．若一個多面體的各面都與一個球的球面相切，則稱這個球是這個多面體的內(nèi)切球．在四棱錐中，側(cè)面是邊長為1的等邊三角形，底面為矩形，且平面平面．若四棱錐存在一個內(nèi)切球，設(shè)球的體積為，該四棱錐的體積為，則的值為（）
A．B．C．D．
30．泉州花燈技藝源于唐朝中期從形式上有人物燈、宮物燈、宮燈，繡房燈、走馬燈、拉提燈、錫雕元宵燈等多種款式．在2024年元宵節(jié)，小明制做了一個半正多面體形狀的花燈，他將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共截去八個三棱錐，得到一個有十四個面的半正多面體，如圖所示．已知該半正多面體的體積為，M為的中心，過M截該半正多面體的外接球的截面面積為S，則S的最大值與最小值之比（）
A．B．C．3D．9
考點04：空間幾何體的外接球
球的外接問題
1、公式法
正方體或長方體的外接球的球心為其體對角線的中點
2、補形法（補長方體或正方體）
①墻角模型（三條線兩個垂直）
題設(shè)：三條棱兩兩垂直（重點考察三視圖）

②對棱相等模型（補形為長方體）
題設(shè)：三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等，求外接球半徑（，，）
3、單面定球心法（定+算）
步驟：①定一個面外接圓圓心：選中一個面如圖：在三棱錐中，選中底面，確定其外接圓圓心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜邊中點上，普通三角形用正弦定理定外心）；
②過外心做（找）底面的垂線，如圖中面,則球心一定在直線（注意不一定在線段上）上；
③計算求半徑:在直線上任取一點如圖：則，利用公式可計算出球半徑.
4、雙面定球心法（兩次單面定球心）
如圖：在三棱錐中：
①選定底面，定外接圓圓心
②選定面，定外接圓圓心
③分別過做面的垂線，和做面的垂線，兩垂線交點即為外接球球心.
31．如圖，已知在四棱錐中，底面四邊形為等腰梯形，，，底面積為，且，則四棱錐外接球的表面積為（）
A．B．C．D．
32．若某圓錐的內(nèi)切球與外接球的球心重合，且內(nèi)切球表面積為，則該圓錐的體積為（）
A．B．C．D．
33．已知圓錐的軸截面是一個正三角形，其中是圓錐頂點，AB是底面直徑．若C是底面圓O上一點，P是母線SC上一點，，，則三棱錐外接球的表面積是（）
A．B．C．D．
34．在棱長為2的正方體中，，分別為，的中點，則三棱錐外接球的表面積為（）
A．B．C．D．
35．已知在直三棱柱中，，，為線段的中點，點在線段上，若平面，則三棱錐外接球的體積為（）
A．B．C．D．
36．在梯形中, ，且，沿對角線將三角形折起，所得四面體外接球的表面積為，則異面直線與所成角為（）
A．B．C．D．
37．在直三棱柱中，為等邊三角形，，則三棱柱的外接球的體積為（）
A．B．C．D．
38．“阿基米德多面體”也稱半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美．如圖是以正方體的各條棱的中點為頂點的多面體，這是一個有八個面為正三角形，六個面為正方形的“阿基米德多面體”，若該多面體的棱長為，則該多面體外接球的表面積為（）
A．B．
C．D．
39．榫卯結(jié)構(gòu)是中國古代建筑文化的瑰寶，在連接部分通過緊密的拼接，使得整個結(jié)構(gòu)能夠承受大量的重量，并且具有較高的抗震能力.這其中木楔子的運用，使得榫卯配合的牢度得到最大化滿足，木楔子是一種簡單的機械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛?木片等.如圖為一個木楔子的直觀圖，其中四邊形是邊長為2的正方形，且均為正三角形，，則該木楔子的外接球的體積為（）

A．B．C．D．
40．如圖，在矩形中，，，，分別在線段，上，，將沿折起，使到達的位置，且平面平面，則四面體的外接球的表面積為（）
A．B．C．D．
考點05：空間幾何體的內(nèi)切球
球的內(nèi)切問題（等體積法）
例如：在四棱錐中，內(nèi)切球為球，求球半徑.方法如下：
即：，可求出.
41．六氟化硫，化學式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個面都是正三角形，可以看作是將兩個棱長均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體）．如圖所示，正八面體的棱長為，此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為（）
A．B．C．D．
42．已知球內(nèi)切于圓臺（即球與該圓臺的上、下底面以及側(cè)面均相切），且圓臺的上、下底面半徑分別為，，且，則圓臺的體積與球的體積之比為（）
A．B．C．D．
43．已知圓錐PO的頂點為P，其三條母線PA，PB，PC兩兩垂直，且母線長為6，則圓錐PO的內(nèi)切球表面職與圓錐側(cè)面積之和為（）
A．B．C．D．
44．六氟化硫，化學式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個面都是正三角形，可以看作是將兩個棱長均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體）.如圖所示，正八面體的棱長為，下列說法中正確的個數(shù)有（）
①異面直線與所成的角為45°；
②此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為；
③若點為棱上的動點，則的最小值為；
④若點為四邊形的中心，點為此八面體表面上動點，且，則動點的軌跡長度為.
A．1個B．2個C．3個D．4個
45．已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱長都等于2，則該四棱錐的內(nèi)切球的表面積為（）
A．B．C．D．
46．已知圓臺存在內(nèi)切球（與圓臺的上、下底面及側(cè)面都相切的球），若圓臺的上、下底面面積之和與它的側(cè)面積之比為，設(shè)圓臺與球的體積分別為，則（）
A．B．C．D．
47．六氟化硫，化學式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個氟原子分別位于正八面體的6個頂點，若相鄰兩個氟原子之間的距離為，則下列錯誤的是（）
A．該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積為
B．該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為
C．該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積為
D．該正八面體結(jié)構(gòu)的體積為
48．如圖，已知四棱錐的底面是邊長為2的菱形，為的交點，平面，，則四棱錐的內(nèi)切球的體積為（）

A．B．C．D．
49．已知一圓臺內(nèi)切球與圓臺各個面均相切，記圓臺上、下底面半徑為，若，則圓臺的體積與球的體積之比為（）
A．B．C．2D．
50．如圖，該幾何體為兩個底面半徑為1，高為1的相同的圓錐形成的組合體，設(shè)它的體積為，它的內(nèi)切球的體積為，則（）
A．B．
C．D．
考點06：空間幾何體的截面問題
在立體幾何中，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，歷來是立體幾何的一個基本問題.過已知不共線三點，作幾何體的截面，既是轉(zhuǎn)化為平面問題一個方法，也是深化理解空間點、線、面關(guān)系的一個很好的途徑.
1、確定截面的主要依據(jù)有
（1）平面的四個公理及推論．（2）直線和平面平行的判定和性質(zhì)．
（3）兩個平面平行的性質(zhì)．（4）球的截面的性質(zhì)．
2、作截面的幾種方法
（1）直接法：有兩點在幾何體的同一個面上，連接該兩點即為幾何體與截面的交線，找截面實際就是找交線的過程。
（2）延長線法：同一個平面有兩個點，可以連線并延長至與其他平面相交找到交點。
（3）平行線法：過直線與直線外一點作截面，拖直線所在的面與點
51．已知直四棱柱的側(cè)棱長為3，底面是邊長為2的菱形，為棱上的一點，且為底面內(nèi)一動點（含邊界），則下列命題正確的是（）
A．若與平面所成的角為，則點的軌跡與直四棱柱的交線長為
B．若點到平面的距離為，則三棱錐體積的最大值為
C．若以為球心的球經(jīng)過點，則該球與直四棱柱的公共部分的體積為
D．經(jīng)過三點的平面截直四棱柱所得的截面面積為4
52．正方體的棱長為6，，分別是棱，的中點，過，，作正方體的截面，則（）
A．該截面是五邊形
B．四面體外接球的球心在該截面上
C．該截面與底面夾角的正切值為
D．該截面將正方體分成兩部分，則較小部分的體積為75
53．已知一圓錐的底面半徑為，該圓錐的母線長為2，A，B為底面圓的一條直徑上的兩個端點，則下列說法正確的是（）
A．其側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形
B．該圓錐的體積為π
C．從A點經(jīng)過圓錐的側(cè)面到達B點的最短距離為
D．過該圓錐的頂點作圓錐的截面，則截面面積的最大值為2
54．已知正方體的棱長為2，棱的中點為，過點作正方體的截面，且，若點在截面內(nèi)運動（包含邊界），則（）
A．當最大時，與所成的角為
B．三棱錐的體積為定值
C．若，則點的軌跡長度為
D．若平面，則的最小值為
55．已知正方體的棱長為3，點是線段上靠近點的三等分點，是中點，則（）
A．該正方體外接球的表面積為
B．直線與所成角的余弦值為
C．平面截正方體所得截面為等腰梯形
D．點到平面的距離為
56．如圖，在棱長為的正方體中，，分別是棱，的中點，為底面上的動點，則下列說法正確的是（）
A．當為的中點時，
B．若在線段上運動，三棱錐的體積為定值
C．存在點，使得平面截正方體所得的截面面積為
D．當為的中點時，三棱錐的外接球表面積為
57．在棱長為1的正方體中，E為的中點，則（）
A．
B．平面
C．平面截正方體所得截面面積為
D．四棱錐與四棱錐的體積相等
58．在三棱錐中，已知，棱AC，BC，AD的中點分別是E，F(xiàn)，G，，則（）
A．過點的平面截三棱錐所得截面是菱形
B．平面平面
C．異面直線互相垂直
D．三棱錐外接球的半徑為
59．與那些英雄們的墓志銘相比，大概只有數(shù)學家的墓志銘最為言簡意賅．他們的墓碑上往往只是刻著一個圖形或?qū)懼粋€數(shù)，這些形和數(shù)，展現(xiàn)著他們一生的執(zhí)著追求和閃光的業(yè)績．古希臘數(shù)學家阿基米德就是這樣，他的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱里內(nèi)切著一個球．這個球的直徑恰與圓柱的高相等．這個稱為“等邊圓柱”的圖形如圖所示，記內(nèi)切球的球心為，圓柱上、下底面的圓心分別為，，四邊形是圓柱的一個軸截面，為底面圓的一條直徑，若圓柱的高為4，則（）

A．內(nèi)切球的表面積與圓柱的表面積之比為2：3
B．圓柱的外接球的體積與圓柱的體積之比為4：3
C．四面體的體積的最大值為
D．平面截得球的截面面積的取值范圍為
60．如圖，透明塑料制成的直三棱柱容器內(nèi)灌進一些水，，，若水的體積恰好是該容器體積的一半，容器厚度忽略不計，則（）
A．當?shù)酌嫠椒胖煤?，固定容器底面一邊于水平地面上，將容器繞著轉(zhuǎn)動，則沒有水的部分一定是棱柱
B．轉(zhuǎn)動容器，當平面水平放置時，容器內(nèi)水面形成的截面與各棱的交點都是所在棱的中點
C．在翻滾、轉(zhuǎn)動容器的過程中，有水的部分可能是三棱錐
D．容器中水的體積與直三棱柱外接球體積之比至多為
幾何體
棱柱
棱錐
棱臺
側(cè)面展開圖
側(cè)面積公式
ch
(c為底面周長，h為側(cè)棱長)
ch′
(c為底面周長，h′為側(cè)面等腰三角形底邊上的高)
(c+c′)h′
(c′，c分別為上、下底面周長，h′為側(cè)面等腰梯形的高)
表面積公式
幾何體
圓柱
圓錐
圓臺
球
側(cè)面展開圖
側(cè)面積公式

表面積公式

幾何體
體積
柱
(S為底面面積，h為高)
錐
(S為底面面積，h為高)，
臺
(S′、S分別為上、下底面面積，h為高)，
球
(為球的半徑)

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