考點(diǎn)鞏固卷06 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值（八大考點(diǎn)）-2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)鞏固-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考點(diǎn)01：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
求已知函數(shù)（不含參）的單調(diào)區(qū)間
①求的定義域
②求
③令，解不等式，求單調(diào)增區(qū)間
④令，解不等式，求單調(diào)減區(qū)間
注：求單調(diào)區(qū)間時(shí)，令（或）不跟等號(hào).
1．已知函數(shù)，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出函數(shù)的定義域，然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，由可求出其遞減區(qū)間.
【詳解】的定義域?yàn)?，?br>令，解得，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，
故選：A.
2．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，令，即可得解.
【詳解】由函數(shù)，可得，
令，可得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.
故選：C.
3．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)并令導(dǎo)函數(shù)大于零，解不等式可得其單調(diào)遞增區(qū)間.
【詳解】易知函數(shù)的定義域?yàn)椋傻茫?br>令，解得.
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.
故選：D
4．函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求導(dǎo)后，令，解出即可.
【詳解】,
令，解得，
所以單調(diào)遞減區(qū)間為.
故選：A.
5．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為．
(1)求在處的切線方程；
(2)求的單調(diào)區(qū)間．
【答案】(1)
(2)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；
（2）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)榈膶?dǎo)數(shù)為，
所以在處的切線斜率為，而
故所求的切線方程為，即．
（2）因?yàn)?，定義域?yàn)?br>所以
解得，解得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
6．已知函數(shù) (其中為常數(shù))．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)求函數(shù)在上的最小值．
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為
(2)答案見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)的正負(fù)確定單調(diào)區(qū)間；
（2）分類(lèi)討論，根據(jù)單調(diào)的單調(diào)性確定的最小值.
【詳解】（1）
令解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為
令解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為
（2）
①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，；
②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，；
③當(dāng)時(shí)，令和分別解得和，
則在上單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以；
④當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.
綜上所述：當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.
7．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時(shí)，證明：；
(3)若既有極大值又有極小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，．
(2)證明見(jiàn)解析(3)
【分析】（1）先求出函數(shù)的定義域，然后對(duì)函數(shù)后由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可求出函數(shù)單調(diào)區(qū)間；
（2）不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間，利用其單調(diào)性可證得結(jié)論；
（3）設(shè)，令，則轉(zhuǎn)化為既有極大值又有極小值，則，令，然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，分，，，四種情況討論即可得答案.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，
令，解得；令，解得或，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，．
（2）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>不等式就是不等式（*），
當(dāng)時(shí)，（*）式等價(jià)于；
當(dāng)時(shí)，（*）式等價(jià)于．
設(shè)，，
故在上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，即．
所以原式成立．
（3）設(shè)，令，
既有極大值又有極小值等價(jià)于既有極大值又有極小值．
，記．
，
①當(dāng)時(shí)，有，則在上單調(diào)遞增，
故函數(shù)在上至多有1個(gè)零點(diǎn)，不合題意；
②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，
故在上沒(méi)有零點(diǎn)，不合題意；
③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，故函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)，不合題意；
④當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且有，，，
（這里用不等式：當(dāng)時(shí)，）
．
下面證明當(dāng)時(shí)，，令，
則，令，則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，所以在上單調(diào)遞增，
所以，所以當(dāng)時(shí)，，
所以，，
又因?yàn)楹瘮?shù)的圖象分別在區(qū)間，上連續(xù)，
所以函數(shù)在，內(nèi)各有1個(gè)零點(diǎn)，分別記為和，
故、分別為函數(shù)的極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)．即既有極大值又有極小值．
綜上，當(dāng)時(shí)，既有極大值又有極小值．
8．設(shè)函數(shù).
(1)若是的極值點(diǎn)，求a的值，并求的單調(diào)區(qū)間；
(2)討論的單調(diào)性；
(3)若，求的取值范圍.
【答案】(1)6，單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間
(2)答案見(jiàn)解析(3)
【分析】（1）先求導(dǎo)，令，檢驗(yàn)即得解；代入，分別令，得到單增區(qū)間和單減區(qū)間；
（2）根據(jù)二次函數(shù)及二次不等式的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)定義域，分類(lèi)討論即可求解；
（3）轉(zhuǎn)化為，分，兩種情況討論即可.
【詳解】（1），
，解得，
此時(shí)，
令，有或，令，有，
所以是的極值點(diǎn)，滿足題意，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.
（2）由（1）知，
當(dāng)即時(shí)，恒成立，
所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)即時(shí)，由得或，
由得，
故的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；
當(dāng)即時(shí)，由得或，
由得，
故的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；
當(dāng)即時(shí)，由得，得，
故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
綜上，時(shí)，在上單調(diào)遞增，無(wú)遞減區(qū)間，
時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，
時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，
時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（3）由題意
當(dāng)時(shí)，令，有，令，有，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以
，即
當(dāng)時(shí)，不成立.
綜上，.
9．已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)函數(shù)有唯一零點(diǎn)，函數(shù)在上的零點(diǎn)為．證明：．
【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）法一：由已知導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系及函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知，，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)及函數(shù)性質(zhì)可得的范圍，再令，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性，利用不等式放縮即可求解.法二：，設(shè)新函數(shù)，利用零點(diǎn)存在性定理得，再證明單調(diào)性即可.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>且，
所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
（2）法一：由（1）可知若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則，即，
令，則，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
因?yàn)?，?br>所以，
，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在上存在唯一零點(diǎn)，所以，即，
令，則，
所以在上單調(diào)遞減，
故，
所以，
又，
所以，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，
又，
所以.
法二：因?yàn)?，由?）可知若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則，
即，
設(shè)，而在上單調(diào)遞增，
所以，，所以在上單調(diào)遞增，
又，
令，所以在上單調(diào)遞增，
所以，而，
.
10．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處切線的斜率；
(2)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性．
【答案】(1)
(2)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
【分析】（1）求導(dǎo)并將代入，即可求出曲線在點(diǎn)處切線的斜率；
（2）求導(dǎo)并將帶入，利用導(dǎo)數(shù)即可得出單調(diào)性.
【詳解】（1）由題意，
在中，，
中，
當(dāng)時(shí)，
，，
中，，
∴曲線在點(diǎn)處切線的斜率為
（2）由題意及（1）得，
在中，，
當(dāng)時(shí)，
，
∴即，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
考點(diǎn)02：求已知函數(shù)的極值與最值
1．函數(shù)的極值
(1)函數(shù)的極小值：
函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f′(x)0.則a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．
(2)函數(shù)的極大值：
函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)

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