考點(diǎn)01：單一變量的秒解
當(dāng)數(shù)列的選擇填空題中只有一個(gè)條件時(shí)，可將數(shù)列看成常數(shù)列，即每一項(xiàng)均設(shè)為，（注意：如果題目中出現(xiàn)公差不為0或公比不為1，則慎用此法）
1．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（ ）
A．18B．36C．54D．60
【答案】D
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.
【詳解】由可得，
故，
故選：D
2．已知等差數(shù)列滿足，則（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，所以.
故選：B.
3．若是正項(xiàng)無窮的等差數(shù)列，且，則的公差的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由表示出，然后由且可求出公差的取值范圍.
【詳解】由，得，得，
因?yàn)槭钦?xiàng)無窮的等差數(shù)列，
所以，所以，得，
即的公差的取值范圍是.
故選：D
4．等差數(shù)列前項(xiàng)和為，則（ ）
A．44B．48C．52D．56
【答案】C
【分析】根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式結(jié)合等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算即可
【詳解】.
故選：C.
5．已知等差數(shù)列滿足，記的前項(xiàng)和為，則（ ）
A．18B．24C．27D．45
【答案】D
【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)可得，即可由等差數(shù)列求和公式求解.
【詳解】由可得，
所以，
故選：D
6．在等差數(shù)列中，若，則其前7項(xiàng)和為（ ）
A．7B．9C．14D．18
【答案】C
【分析】由條件利用等差數(shù)列性質(zhì)可求，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求解結(jié)論.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，
所以，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和，
故選：C.
7．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【分析】可以根據(jù)等差數(shù)列的基本量，即將題目條件全轉(zhuǎn)化成和來處理，亦可用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行處理，或者特殊值法處理.
【詳解】方法一：利用等差數(shù)列的基本量
由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，
又.
故選：D
方法二：利用等差數(shù)列的性質(zhì)
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，，由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，
，故.
故選：D
方法三：特殊值法
不妨取等差數(shù)列公差，則，則.
故選：D
8．在等比數(shù)列中，是方程的兩個(gè)根，則（ ）
A．7B．8C．或8D．
【答案】D
【分析】由韋達(dá)定理得到，再根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)可以求出.
【詳解】等比數(shù)列中，是方程的兩個(gè)根，則，
再根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)可以求出.
故選：D.
9．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則=（ ）
A．4B．60C．68D．136
【答案】B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，即可由求和公式求解.
【詳解】，
所以,
故選：B
10．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則（ ）
A．272B．270C．157D．153
【答案】D
【分析】根據(jù)下標(biāo)和性質(zhì)及等差數(shù)列求和公式計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>故．
故選：D
考點(diǎn)02：秒解等差數(shù)列的前n項(xiàng)和
等差數(shù)列中，有奇偶有適用.
推導(dǎo)過程：

將換為，即可得到
11．在等差數(shù)列中，公差，為其前項(xiàng)和，若，則（ ）
A．B．0C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)求出，利用等差數(shù)列求和公式和性質(zhì)得到答案.
【詳解】，.
故選：B.
12．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則的公差（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】應(yīng)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式基本量運(yùn)算即可.
【詳解】因?yàn)?
所以,
所以.
故選：C.
13．已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A．7B．3C．1D．
【答案】D
【分析】根據(jù)通項(xiàng)公式和求和公式得到方程組，求出公差.
【詳解】由得，，
即，解得
故選：D
14．等差數(shù)列 中， 是其前 項(xiàng)和，，則公差 的值為（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】代入等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，
，則，
則.
故選：C
15．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，即可計(jì)算出公差，即可得的值.
【詳解】由，則，
則等差數(shù)列的公差，故.
故選：B.
16．已知等差數(shù)列的前15項(xiàng)之和為60，則（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求得，再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求解.
【詳解】，，
所以.
故選：C.
17．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，若，則（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差，再結(jié)合前項(xiàng)和及通項(xiàng)公式求解即得.
【詳解】由，，得，解得，則等差數(shù)列的公差，
于是，由，得，
所以.
故選：B
18．是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（ ）
A．43B．44C．45D．46
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可求解．
【詳解】由，，
可得且，即且，
所以.
故選：C.
19．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根據(jù)已知結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式求出首項(xiàng)和公差，即可求解.
【詳解】由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式,得，即.
因?yàn)椋?
由，可得,
所以，,
所以.
故選：D.
20．已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則（ ）
A．215B．185C．155D．135
【答案】B
【分析】根據(jù)條件列出關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，解得，
所以．
故選：B．
考點(diǎn)03：數(shù)列片段和問題
這樣的形式稱之為“片段和”
①當(dāng)是等差數(shù)列時(shí)：也為等差數(shù)列，且公差為.
②當(dāng)是等比數(shù)列時(shí)：也為等比數(shù)列，且公比為.
21．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，則的值為（ ）
A．16B．12C．10D．8
【答案】B
【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)，以及前項(xiàng)和公式，即可求解.
【詳解】由，得①，
因?yàn)?，?br>所以，即②，
①②兩式相加，得，即，
所以，所以，解得.
故選：B.
22．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（ ）
A．54B．63C．72D．135
【答案】B
【分析】首先根據(jù)題意得到，，為等差數(shù)列，再根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)即可得到答案.
【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，，為等差數(shù)列，
即成等差數(shù)列，
所以，解得.
故選：B
23．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（ ）
A．35B．30C．20D．15
【答案】B
【分析】利用等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)求解即可.
【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以也是等差數(shù)列，
所以，即，解得.
故選：B.
24．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若.則（ ）
A．28B．26C．24D．22
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，得到構(gòu)成等差數(shù)列，列出方程，即可求解.
【詳解】由為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，可得構(gòu)成等差數(shù)列，
即構(gòu)成等差數(shù)列，可得，解得.
故選：D.
25．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（ ）
A．30B．58C．60D．90
【答案】D
【分析】
借助等差數(shù)列片斷和的性質(zhì)計(jì)算即可得.
【詳解】由數(shù)列為等差數(shù)列，
故、、、、亦為等差數(shù)列，
由，，則，
故，，，
即有，，.
故選：D.
26．在等差數(shù)列中，若，則=（ ）
A．100B．120C．57D．18
【答案】B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)求解．
【詳解】是等差數(shù)列，則仍成等差數(shù)列，
又，，所以，，
，
所以，
故選：B．
27．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.若，則（ ）
A．8096B．4048C．4046D．2024
【答案】B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得，再結(jié)合等差數(shù)列的求和公式從而可求解.
【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，
所以，所以.故B正確.
故選：B.
28．若正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的最小值為（ ）
A．22B．24C．26D．28
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，利用等比數(shù)列的性質(zhì)，得到，求得，結(jié)合基本不等式的公式，即可求解．
【詳解】由題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，
因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，可得，
又因?yàn)椋?br>所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為.
故選：B.
29．設(shè)是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】根據(jù)構(gòu)成以為公比的新等比數(shù)列，可求出的公比，再用等比數(shù)列求和公式求得，再相除可得解.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，
所以，，，
故．
故選：B.
30．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，若，則的值為（ ）
A．10B．20C．30D．40
【答案】D
【分析】由可求出，再由等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)可求出的值.
【詳解】由，得，
因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，所以成等比數(shù)列，
所以，
所以，整理得，,
解得或，
因?yàn)榈缺葦?shù)列的各項(xiàng)為正數(shù)，所以，
所以，
故選：D
考點(diǎn)04：秒殺和比與項(xiàng)比
結(jié)論1：若兩個(gè)等差數(shù)列與的前項(xiàng)和分別為，若，則
結(jié)論2：若兩個(gè)等差數(shù)列與的前項(xiàng)和分別為，若，則
31．已知等差數(shù)列與的前項(xiàng)和分別為，且，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式，結(jié)合已知條件求解即可.
【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列與的前項(xiàng)和分別為，且，
所以設(shè)，
所以
.
故選：D
32．已知等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用等差數(shù)列和的前項(xiàng)和的性質(zhì)可得：，，即可得出．
【詳解】由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可設(shè)：
，，，
從而，
，
所以，
故選：C
33．已知數(shù)列均為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和分別為，滿足，則（ ）
A．2B．3C．5D．6
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，利用得出數(shù)列的性質(zhì)和得出數(shù)列的求和公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列均為等差數(shù)列，可得，
且，又由，可得．
因此.
故選：A．
34．設(shè)數(shù)列和都為等差數(shù)列，記它們的前項(xiàng)和分別為和，滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及下標(biāo)和定理計(jì)算即可．
【詳解】數(shù)列和都為等差數(shù)列，且，
則，
故選：B．
35．已知等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解結(jié)果．
【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列和的前項(xiàng)和，
，又
所以
故選：C.
36．等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別是，若，則 ．
【答案】/0.4
【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)知，，即可求解．
【詳解】解：，
故答案為：．
37．設(shè)等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，若對(duì)任意正整數(shù)都有，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)，逐步化簡，即可得到本題答案．
【詳解】由題意知，，，，
∴.
故答案為：．
38．已知，分別是等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和，且，那么 ．
【答案】/0.75
【分析】給出的兩個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列，把轉(zhuǎn)化為兩數(shù)列的前7項(xiàng)和的比得答案．
【詳解】數(shù)列，均為等差數(shù)列，且其前項(xiàng)和分別為，，
．
故答案為：．
39．兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為、，且，則等于
【答案】
【分析】據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)計(jì)算作答.
【詳解】根兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為、，且，
所以.
故答案為：.
40．已知等差數(shù)列， 的前項(xiàng)和分別為，，且，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以
.
故答案為：
考點(diǎn)05：等差數(shù)列奇偶規(guī)律
結(jié)論1：若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為
則
推導(dǎo)過程：若有一等差數(shù)列共有,
則它的奇數(shù)項(xiàng)分別為則它的偶數(shù)項(xiàng)分別為
則奇數(shù)項(xiàng)之和
則偶數(shù)項(xiàng)之和
代入公式得，
結(jié)論2：若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為
則
推導(dǎo)過程：若等差數(shù)列的共有項(xiàng)，
則它的奇數(shù)項(xiàng)為則它的偶數(shù)項(xiàng)分別為
則奇數(shù)項(xiàng)之和
則偶數(shù)項(xiàng)之和
代入公式得
說明：分別表示所有奇數(shù)項(xiàng)與所有偶數(shù)項(xiàng)的和
41．已知等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為其中奇數(shù)項(xiàng)之和為 偶數(shù)項(xiàng)之和為 則( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，知等差數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，故奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)的和直接代入等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)化簡即可.
【詳解】項(xiàng)數(shù)為的中奇數(shù)項(xiàng)共有項(xiàng),
其和為
項(xiàng)數(shù)為的中偶數(shù)項(xiàng)共有項(xiàng), 其和為
所以解得
故選: A.
42．一個(gè)等差數(shù)列共100項(xiàng)，其和為80，奇數(shù)項(xiàng)和為30，則該數(shù)列的公差為（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)等差數(shù)列的項(xiàng)的關(guān)系及和的性質(zhì)列式求解即可.
【詳解】
設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由條件可知：
數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)之和為，①
偶數(shù)項(xiàng)之和為，②
由②-①，得，所以，即該數(shù)列的公差為.
故選：D.
43．已知等差數(shù)列的前30項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和為，偶數(shù)項(xiàng)的和為，且，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)條件列出關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程，即可求解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)為，
則，所以，
因?yàn)?，即，則，
等差數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，等差數(shù)列的前30項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)有15項(xiàng)，所以，得，
所以.
故選：B
44．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，，則（ ）
A．B．
C．D．為奇數(shù)時(shí)，
【答案】ABD
【分析】由題設(shè)有，討論的奇偶性，結(jié)合等差數(shù)列定義、前n項(xiàng)和公式判斷各項(xiàng)正誤.
【詳解】由，則，兩式作差，得，
，當(dāng)為奇數(shù)，是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，即；
，當(dāng)為偶數(shù)，是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，即；
所以，A對(duì)，
，B對(duì)；
，C錯(cuò)；
為奇數(shù)時(shí)，
，D對(duì).
故選：ABD
45．已知等差數(shù)列共有項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)之和為60，偶數(shù)項(xiàng)之和為54，則 ．
【答案】10
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】奇數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)，所以奇數(shù)項(xiàng)和為，偶數(shù)項(xiàng)和為，
故，解得.
故答案為：10
46．已知數(shù)列滿足，，則的前40項(xiàng)和為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題中遞推式可求得，，即的奇數(shù)項(xiàng)為首項(xiàng)為1公差為5的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為3公差為5的等差數(shù)列，再利用分組并項(xiàng)求和從而可求解.
【詳解】因?yàn)?，，又，所以?br>即，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，5為公差的等差數(shù)列；
同理，由知，數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以3為首項(xiàng)，5為公差的等差數(shù)列．
所以前40項(xiàng)和為．
故答案為：.
47．已知等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為140，偶數(shù)項(xiàng)之和為120，則數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是 .
【答案】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，結(jié)合等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)榈炔顢?shù)列的項(xiàng)奇數(shù)項(xiàng)之和為140，偶數(shù)項(xiàng)之和為120，
所以有，
故答案為：
48．?dāng)?shù)列滿足：，數(shù)列的前項(xiàng)和記為，則 ．
【答案】2191
【分析】，對(duì)分類討論，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可得出.
【詳解】數(shù)列是以公差的等差數(shù)列;
.
,數(shù)列是以公比的等比數(shù)列;
.
.
故答案為：2191.
49．在等差數(shù)列中，已知公差，且，求的值．
【答案】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)可構(gòu)造方程求得，與已知等式作和可求得結(jié)果.
【詳解】，
，
.
50．已知是等差數(shù)列，其中，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求的值.
【答案】(1)(2)-50
【分析】（1）利用等差數(shù)列的基本量的運(yùn)算即得；
（2）利用等差數(shù)列的求和公式即得．
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，，
所以.
（2）因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，
所以，是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，共有10項(xiàng)，.
考點(diǎn)06： 等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值規(guī)律
方法一：函數(shù)法利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式，通過配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解.
模型演練
由二次函數(shù)的最大值、最小值可知，當(dāng)取最接近的正整數(shù)時(shí)，取到最大值（或最小值）
注意：最接近的正整數(shù)有時(shí)1個(gè)，有時(shí)2個(gè)
51．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，則取最大值時(shí)，（ ）．
A．9B．10C．9或10D．10或11
【答案】C
【分析】先根據(jù)利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，得出和的關(guān)系，判斷出數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，再利用拋物線的性質(zhì)即可求得.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，
得：，，
又，
，
即，
又，
，
由此可知，數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，
點(diǎn)在開口向下的拋物線上，
又，
點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，
當(dāng)或時(shí)，最大.
故選：C
52．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則當(dāng)取得最小值時(shí)，（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)，探討數(shù)列單調(diào)性，并確定非正數(shù)項(xiàng)即可得解.
【詳解】等差數(shù)列中，，，則，
因此數(shù)列是遞增等差數(shù)列，前5項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，從第6項(xiàng)起為正，
所以當(dāng)取得最小值時(shí)，.
故選：B
53．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列說法正確的是（ ）
A．是等比數(shù)列
B．成等差數(shù)列，公差為
C．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值
D．時(shí)，的最大值為33
【答案】D
【分析】由題意可得數(shù)列是以為公差，32為首項(xiàng)的等差數(shù)列，求出，然后利用可求出，再逐個(gè)分析判斷即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以數(shù)列是以為公差，32為首項(xiàng)的等差數(shù)列，
所以，所以，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以，
因?yàn)?，所以?br>對(duì)于A，因?yàn)椋?br>所以是以為公差的等差數(shù)列，所以A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，因?yàn)?，所以?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以成等差數(shù)列，公差為，所以B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，，對(duì)稱軸為，
因?yàn)?，所以?dāng)或時(shí)，取得最大值，所以C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，由，得，且，所以的最大值為33，所以D正確，
故選：D
54．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和，則（ ）
A．B．
C．?dāng)?shù)列有最小項(xiàng)D．是等差數(shù)列
【答案】AD
【分析】根據(jù)作差求出的通項(xiàng)，即可判斷A、B，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷C，根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷D.
【詳解】對(duì)于A：因?yàn)椋?dāng)時(shí)，故A正確；
對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，
所以，
經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)也成立，所以，
所以，，則，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：因?yàn)?，所以?dāng)或時(shí)取得最大值，且，
即數(shù)列有最大項(xiàng)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：因?yàn)?，則，又，
所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，故D正確.
故選：AD
55．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，前項(xiàng)和為，若，則下列說法正確的是（ ）
A．B．使得成立的最大正整數(shù)
C．D．中最小項(xiàng)為
【答案】ACD
【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)題目條件得到，，從而得到，，A正確；B選項(xiàng)，，，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，先得到，從而得到；D選項(xiàng)，得到當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，并得到.
【詳解】A選項(xiàng)，，即，故，
故，故，故，A正確；
B選項(xiàng)，，，
故使得成立的最大正整數(shù)，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，由于，
故，
則，
故，C正確；
D選項(xiàng)，由于，
故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
由，得，
，
由不等式的同向可乘性可得，，故，
故中最小項(xiàng)為，D正確.
故選：ACD
56．等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，則（ ）
A．B．
C．D．當(dāng) 時(shí)， 的最小值為 16
【答案】ABD
【分析】對(duì)于A，由等差數(shù)列性質(zhì)即可判斷；對(duì)于B，由公差的定義即可判斷；對(duì)于C，作差結(jié)合公差小于0即可判斷；對(duì)于D，只需注意到，由此即可判斷.
【詳解】對(duì)于A，由題意，故A正確；
對(duì)于B，，其中為等差數(shù)列的公差，即，故B正確；
對(duì)于C，，即，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由題意，
從而當(dāng)，，且，故D正確.
故選：ABD.
57．已知無窮數(shù)列滿足：，．則數(shù)列的前n項(xiàng)和最小值時(shí)的值為 ．
【答案】或
【分析】易得數(shù)列是等差數(shù)列，求出其通項(xiàng)，再令，即可得解.
【詳解】因?yàn)?，即?br>所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
所以，
令，則，又，
所以當(dāng)或時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和取得最小值.
故答案為：或.
58．設(shè)等差數(shù)列的公差為，其前項(xiàng)和為，且滿足.
(1)求的值；
(2)當(dāng)為何值時(shí)最大，并求出此最大值.
【答案】(1)(2)答案見解析
【分析】（1）運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式和性質(zhì)求解即可；
（2）求出，用二次函數(shù)知識(shí)來解題即可．
【詳解】（1），則，，
故的值為.
（2）由（1）知道，，，
，
由于開口向下，且對(duì)稱軸為.
而，則或者時(shí)，最大.
．
59．已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)為的前項(xiàng)和，求的最小值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式基本量運(yùn)算即可；
（2）先根據(jù)基本量運(yùn)算得出前n項(xiàng)和，再根據(jù)二次函數(shù)求出最值即可.
【詳解】（1）設(shè)的公差為，
則，
依題意，，
即，
整理得，，
解得，或（舍），
所以；
（2），
因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為．
60．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求，并求的最小值.
【答案】(1)(2)；的最小值為
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列求和公式求得，即可得結(jié)果；
（2）根據(jù)等差數(shù)列求和公式可得，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)分析求解.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)?，?br>可得，解得：，
所以．
（2）由（1）可得：，
可知：時(shí)，取得最小值，
所以的最小值為．
考點(diǎn)07：等比數(shù)列奇偶規(guī)律
結(jié)論1：若等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為
則
推導(dǎo)過程：若有一等比數(shù)列共有,
則它的奇數(shù)項(xiàng)分別為則它的偶數(shù)項(xiàng)分別為
結(jié)論2：若等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為
則
推導(dǎo)過程：若有一等比數(shù)列共有,
則它的奇數(shù)項(xiàng)分別為則它的偶數(shù)項(xiàng)分別為
說明：分別表示所有奇數(shù)項(xiàng)與所有偶數(shù)項(xiàng)的和
61．已知等比數(shù)列有項(xiàng)，，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為85，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為42，則（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到奇數(shù)項(xiàng)為，偶數(shù)項(xiàng)為，得到等比數(shù)列的公比q的值，然后用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式求出n即可．
【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列有項(xiàng)，則奇數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)有項(xiàng)，設(shè)公比為，
得到奇數(shù)項(xiàng)為，
偶數(shù)項(xiàng)為，整體代入得，
所以前項(xiàng)的和為，解得.
故選：B
62．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，其中，則“”是“無最大值”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】由等比數(shù)列中等價(jià)于公比或，結(jié)合前項(xiàng)和公式單調(diào)性的判定可得其是否具有充分性，必要性方面舉反例發(fā)現(xiàn)無最大值不一定推得,繼而選項(xiàng)可定.
【詳解】充分性：設(shè)等比數(shù)列的公比為，
，，
，
可得或，
又，
當(dāng)時(shí)，若為奇數(shù)，，
，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)單調(diào)增，則無最大值，
當(dāng)時(shí)，
，,單調(diào)增, 則無最大值；
必要性：當(dāng)時(shí)，，又，則無最大值.
可得“”不是“無最大值”的必要條件；
由此可知“”是“無最大值”的充分不必要條件.
故選：A.
63．已知一個(gè)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)之和1011，偶數(shù)項(xiàng)之和為2022，則這個(gè)數(shù)列的公比為（ ）.
A．8B．C．4D．2
【答案】D
【分析】設(shè)該等比數(shù)列為,其項(xiàng)數(shù)為項(xiàng)，公比為,利用等比數(shù)列的求和公式表示出奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和，兩式相除即可求解.
【詳解】設(shè)該等比數(shù)列為,其項(xiàng)數(shù)為項(xiàng)，公比為,
由題意易知，
設(shè)奇數(shù)項(xiàng)之和為,偶數(shù)項(xiàng)之和為，
易知奇數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
偶數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
則，，
所以,即.
所以這個(gè)數(shù)列的公比為2.
故選:D.
64．已知等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列，若對(duì)任意的，均有恒成立，則的最小值為（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知可求得 ，為奇數(shù)時(shí)，， 根據(jù)單調(diào)性可得： ，為偶數(shù)時(shí)，，根據(jù)單調(diào)性可得： ，可得的最大值與最小值分別為2，， 考慮到函數(shù) 在上單調(diào)遞增，即可得出結(jié)論．
【詳解】等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋?，成等差?shù)列，所以，解得，
所以，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，易得單調(diào)遞減，且，所以；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，易得單調(diào)遞增，且，所以．
所以的最大值與最小值分別為2，．
函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以．
．所以的最小值．
故選：B．
65．已知一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，所有項(xiàng)之和為所有偶數(shù)項(xiàng)之和的倍，前項(xiàng)之積為，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出等比數(shù)列的公比，結(jié)合等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出，即可求得的值.
【詳解】由題意可得所有項(xiàng)之和是所有偶數(shù)項(xiàng)之和的倍，所以，，故
設(shè)等比數(shù)列的公比為，設(shè)該等比數(shù)列共有項(xiàng)，
則，所以，，
因?yàn)椋傻?，因此?
故選：C.
66．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列的前10項(xiàng)中所有奇數(shù)項(xiàng)之和與所有偶數(shù)項(xiàng)之和的比為（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】由和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和可得答案.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，又，
即前10項(xiàng)分別為，
所以數(shù)列的前10項(xiàng)中，，所以，
故選：C．
67．等比數(shù)列的首項(xiàng)為2，項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為，則這個(gè)等比數(shù)列的公比q＝ .
【答案】/0.5
【分析】設(shè)數(shù)列共有項(xiàng)，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得出奇偶項(xiàng)的和之間的關(guān)系，即可求得答案.
【詳解】設(shè)數(shù)列共有項(xiàng)，
由題意得，，
則，
解得，
故答案為：
68．等比數(shù)列的性質(zhì)
已知為等比數(shù)列，公比為，為其前項(xiàng)和.
（1）若，則 ；
（2）當(dāng)時(shí)，， ，為等比數(shù)列；
（3）若等比數(shù)列共項(xiàng)，記為諸奇數(shù)項(xiàng)和，為諸偶數(shù)項(xiàng)和，則 ；
【答案】 0 /
69．已知首項(xiàng)均為的等差數(shù)列與等比數(shù)列滿足，，且的各項(xiàng)均不相等，設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則的最大值與最小值之差為 ．
【答案】/0.75
【分析】由題意可求得，分為奇數(shù)、偶數(shù)討論的單調(diào)性并求出其最大、小值即可.
【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，
則解得或,
又因?yàn)榈母黜?xiàng)均不相等，所以，
則．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，易知單調(diào)遞減，最大值為，且；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，易知單調(diào)遞增，最小值為，且．
所以的最大值為，最小值為，
所以的最大值與最小值之差為．
故答案為：.
70．（1）在等比數(shù)列中，已知，求；
（2）一個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)是，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)的和為，偶數(shù)項(xiàng)的和為，求此數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù).
【答案】（1）；（2）公比為，項(xiàng)數(shù)為.
【分析】（1）由等比數(shù)列片斷和數(shù)列的性質(zhì)可求；
（2）設(shè)該等比數(shù)列有項(xiàng)，由偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和之比得公比，再由前項(xiàng)和為，利用公式法得方程解即可.
【詳解】（1）∵為等比數(shù)列，由知數(shù)列的公比不等于，
也成等比數(shù)列，
，則，
；
（2）設(shè)等比數(shù)列的公比為，項(xiàng)數(shù)為．
記，，
則
，則，
根據(jù)，得，解得.
此數(shù)列的公比為，項(xiàng)數(shù)為.

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考點(diǎn)鞏固卷12 等差、等比數(shù)列（七大考點(diǎn)）（含答案） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)通關(guān)卷（新高考通用）

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