考點(diǎn)鞏固卷13 數(shù)列綜合研究通項(xiàng)及求和（七大考點(diǎn)）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)通關(guān)卷（新高考通用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考點(diǎn)01：已知通項(xiàng)公式與前項(xiàng)的和關(guān)系求通項(xiàng)問(wèn)題
若已知數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式構(gòu)造兩式作差求解．
用此公式時(shí)要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個(gè)表達(dá)，（要先分和兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一）．
1．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和滿足，若，則的值是（）
A．B．C．6D．7
【答案】B
【分析】由已知結(jié)合化簡(jiǎn)變形可得數(shù)列是以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而可求出，進(jìn)而可求出答案.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>所以，
所以，
因?yàn)椋?，所以，得?br>所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，
所以.
故選：B
2．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（）
A．-3B．3C．-2D．2
【答案】B
【分析】根據(jù)遞推關(guān)系，賦值即可求解．
【詳解】若，，變形得到，，
當(dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)時(shí)，，解得；
當(dāng)時(shí)，，解得；
故選：B.
3．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）
A．4B．8C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)的關(guān)系可得遞推公式，利用遞推公式可得.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，
整理得，所以.
故選：B．
4．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，則 .
【答案】
【分析】首先利用公式，判斷數(shù)列是等比數(shù)列，再代入公式，即可求解.
【詳解】令，得，得，
，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，
，即，即，
所以數(shù)列是以首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，
所以.
故答案為：
5．已知數(shù)列的前三項(xiàng)依次為的前項(xiàng)和，則．
【答案】2024
【分析】根據(jù)題意列方程得到，然后根據(jù)求即可.
【詳解】由題意知，，，
解得，，，
所以，.
故答案為：2024.
6．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，利用前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系求出通項(xiàng)公式即得.
【詳解】數(shù)列中，，，
當(dāng)時(shí)，，顯然滿足上式，
數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
故答案為：
7．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首項(xiàng)后可求通項(xiàng)；
（2）利用分組求和法即可求.
【詳解】（1）因?yàn)?故，
所以即故等比數(shù)列的公比為，
故，故，故.
（2）由等比數(shù)列求和公式得，
所以數(shù)列的前n項(xiàng)和
.
8．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足且成等差數(shù)列
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用的關(guān)系可知是等比數(shù)列，再求出首項(xiàng)，可得通項(xiàng)公式；
（2）利用錯(cuò)位相減法可求答案.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，兩式相減可得，
因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，即，
解得，所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列；
所以.
（2），，
，
兩式相減可得
，
所以.
9．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和為.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據(jù)，作差得到，從而得到，再由等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式計(jì)算可得
（2）由（1）可得，利用分組求和法計(jì)算可得.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>即，
當(dāng)時(shí)，解得或（舍去），
當(dāng)時(shí)，
所以，
即，
即，即，
又，所以，即，
所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
所以.
（2）由（1）可得，
所以
.
10．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和記為，已知．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求的和．
(3)若，則為_(kāi)_________（等差/等比）數(shù)列，并證明你的結(jié)論．
【答案】(1)(2)(3)等差，證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系即可作差得為等比數(shù)列，且公比為，即可利用等比通項(xiàng)求解，
（2）根據(jù)等比數(shù)列求和公式即可求解，
（3）根據(jù)等差數(shù)列的定義即可求解.
【詳解】（1）由可得，
兩式相減可得，進(jìn)而可得，
又，解得，
故數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為，
所以
（2），
所以
（3），
為等差數(shù)列，證明如下：
為常數(shù)，
故為等差數(shù)列，且公差為
考點(diǎn)02：同除以指數(shù)求通項(xiàng)
遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）或（其中p，q，r均為常數(shù)）時(shí)，要先在原遞推公式兩邊同時(shí)除以，得：，引入輔助數(shù)列（其中），得：再應(yīng)用類型Ⅴ㈠的方法解決．
11．?dāng)?shù)列{an}滿足，，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為 .
【答案】．
【分析】已知式兩邊同除以，構(gòu)造一個(gè)等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得結(jié)論．
【詳解】∵，所以，即，
∴是等差數(shù)列，而，
所以，
所以．
故答案為：．
12．已知數(shù)列滿足，若，，則；若，，則 .
【答案】 85
【分析】對(duì)于第一空，直接根據(jù)遞推公式代入計(jì)算可得；
對(duì)于第二空，依題意可得，即可得到，再根據(jù)，即可得到，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
【詳解】解：因?yàn)?，?dāng)，時(shí)，所以，，；
當(dāng)，時(shí)，則，又，所以，即
故答案為：；；
13．各項(xiàng)均正的數(shù)列滿足，則等于
【答案】
【解析】根據(jù)可得，即可構(gòu)造出等差數(shù)列，由等差數(shù)列的性質(zhì)可求出，即可求得．
【詳解】將兩邊同除以，得，則是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，∴，則．
故答案為：．
14．?dāng)?shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 .
【答案】
【分析】根據(jù)給定的遞推公式，利用構(gòu)造法，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)求解即得.
【詳解】數(shù)列中，由，得，即，
而，，于是數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為的等比數(shù)列，
因此，即，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
故答案為：
15．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則 .
【答案】/0.5
【分析】構(gòu)造得，從而得到，則，再利用等比數(shù)列求和公式代入計(jì)算即可.
【詳解】由，得，
則，
又，則，則，
，，
，
故答案為：.
16．已知數(shù)列的前項(xiàng)的和為且滿足，數(shù)列是兩個(gè)等差數(shù)列與的公共項(xiàng)組成的新數(shù)列.求出數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
【答案】，
【分析】利用，得，再變形為，根據(jù)數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，求出；根據(jù)兩個(gè)等差數(shù)列的第一個(gè)公共項(xiàng)為首項(xiàng)，兩個(gè)等差數(shù)列的公差的最小公倍數(shù)為公差，可求出通項(xiàng)公式.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，，即，
，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
，；
數(shù)列是兩個(gè)等差數(shù)列與的公共項(xiàng)組成的新數(shù)列，
數(shù)列的首項(xiàng)為，因?yàn)榈炔顢?shù)列，的公差為，等差數(shù)列的公差為，所以數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為，
.
17．已知數(shù)列中，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
【答案】．
【分析】由已知可得數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，求其通項(xiàng)公式，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
【詳解】解：由，
得：，
∴，
即數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴，
得．
18．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為．
(1)設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求及．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)，
【分析】（1），再由得的遞推關(guān)系式，進(jìn)而得出，然后由等比數(shù)列的定義證明；
（2）由的遞推關(guān)系，構(gòu)造一個(gè)等比數(shù)列求出通項(xiàng)公式后可得，代入已知式得．
【詳解】（1）證明：當(dāng)時(shí)，，解得，
，
化為，
所以，
可得，，
則數(shù)列是首項(xiàng)和公比均為2的等比數(shù)列；
（2）由，
可得，
則為公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，
可得，
則；
所以．
19．已知列滿足，且，．
（1）設(shè)，證明：數(shù)列為等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.
【分析】（1）根據(jù)題設(shè)遞推式得，根據(jù)等差數(shù)列的定義，結(jié)論得證.
（2）由（1）直接寫(xiě)出通項(xiàng)公式即可.
【詳解】（1）由題設(shè)知：，且，
∴是首項(xiàng)、公差均為1的等差數(shù)列，又，則數(shù)列為等差數(shù)列，得證.
（2）由（1）知：.
20．已知數(shù)列滿足，.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【答案】
【分析】對(duì)變形可得，從而可得數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而可求出.
【詳解】因?yàn)?，所以，又?br>所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，
所以.
考點(diǎn)03：疊加法與疊乘法求通項(xiàng)
形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：
將上述個(gè)式子兩邊分別相加，可得：
= 1 \* GB3 ①若是關(guān)于的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；
= 2 \* GB3 ②若是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；
= 3 \* GB3 ③若是關(guān)于的二次函數(shù)，累加后可分組求和；
= 4 \* GB3 ④若是關(guān)于的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和．
形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：
將上述個(gè)式子兩邊分別相乘，可得：
有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解．
21．已知數(shù)列滿足：且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
【答案】
【分析】根據(jù)累乘法求數(shù)列通項(xiàng)公式即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
累乘可得，
即，所以，
當(dāng)時(shí)，也成立，
所以.
故答案為：
22．已知數(shù)列滿足，，則， .
【答案】 0 2023
【分析】分別令可求出；由可得，再由累乘法即可求出，代入可求出.
【詳解】令可得：，所以，
令可得：，所以，
由可得：，
所以，
，
……，
，以上個(gè)式子相加可得：
，所以，
則.
故答案為：0；2023.
23．已知數(shù)列{an}滿足，a1＝1，則a2 023＝
【答案】4045
【詳解】
∵＝2n，∴ an＋1＋an＝2n(an＋1－an)，即(1－2n)an＋1＝(－2n－1)an，可得＝，∴ a2 023＝×××…×××a1＝××…×××1＝4 045.
24．?dāng)?shù)列中，若，，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式結(jié)合累乘法即可得.
【詳解】由題意，，可得，所以，
所以.
故答案為：.
25．?dāng)?shù)列滿足，則 .
【答案】
【分析】由累乘法求出，再由錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前項(xiàng)和為，即可求出，代入求解即可.
【詳解】由可得：，
當(dāng)時(shí)，
，，，……，，
所以上述式子相乘可得：，所以，
令，，所以滿足，所以.
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，
①，
②，
①減②可得：
所以，
所以，
所以
.
故答案為：.
26．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，則 .
【答案】
【分析】由遞推公式可得，再由累乘法即可求得結(jié)果.
【詳解】由可得，
由累乘可得.
故答案為：
27．已知數(shù)列滿足，，，則．
【答案】128
【分析】由題意，根據(jù)等比數(shù)列的定義可知數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為4的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，利用累乘法求得，令，計(jì)算即可求解.
【詳解】由題意知，，即，又，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為4的等比數(shù)列，
所以，
當(dāng)時(shí)，，
所以.
故答案為：128
28．?dāng)?shù)列中，，且，則等于 .
【答案】
【分析】
先根據(jù)條件求首項(xiàng)，再利用累乘法求通項(xiàng)即可.
【詳解】由題意可知：，
顯然有，
由累乘法可得.
而符合，
故答案為：
29．在數(shù)列中，已知，且，則．
【答案】
【分析】由累加法和裂項(xiàng)相消法求通項(xiàng)即可得出答案.
【詳解】由可得：
，
．
故答案為：.
30．?dāng)?shù)列滿足，且，則數(shù)列的前2024項(xiàng)和為 .
【答案】
【分析】由運(yùn)用迭代法求出，則，利用裂項(xiàng)相消法即可求得的前2024項(xiàng)和.
【詳解】由可得，
則，
則，
故數(shù)列的前2024項(xiàng)和為.
故答案為：.
考點(diǎn)04：構(gòu)造數(shù)列法求通項(xiàng)
㈠形如（其中均為常數(shù)且）型的遞推式：
（1）若時(shí)，數(shù)列{}為等差數(shù)列；
（2）若時(shí)，數(shù)列{}為等比數(shù)列；
（3）若且時(shí)，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過(guò)待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來(lái)求．方法有如下兩種：
法一：設(shè)，展開(kāi)移項(xiàng)整理得，與題設(shè)比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得，即構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得
法二：由得兩式相減并整理得即構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．求出的通項(xiàng)再轉(zhuǎn)化為類型Ⅲ（累加法）便可求出
31．已知數(shù)列中，，，若，則數(shù)列的前項(xiàng)和 .
【答案】
【分析】根據(jù)條件，先構(gòu)造等比數(shù)列求出，再由得，從而可求和.
【詳解】由，有，
，兩式相除得到，
所以是以為公比，為首項(xiàng)的等比數(shù)列，
所以，則，
所以，
所以.
故答案為：.
32．已知數(shù)列的首項(xiàng),且,則滿足條件的最大整數(shù) .
【答案】2024
【分析】將已知條件遞推公式,取倒數(shù),變換為,則有是等比數(shù)列,從而得,分組求和求出新數(shù)列,根據(jù)的單調(diào)性,即可得答案.
【詳解】因?yàn)?，所以，所以?br>所以數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為,公比為，
所以,即，
所以
，
而當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
又因?yàn)?且，
所以滿足條件的最大整數(shù).
故答案為：2024.
33．已知數(shù)列，其中，滿足，設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，當(dāng)不等式成立時(shí)，正整數(shù)n的最小值為 .
【答案】9
【分析】利用遞推關(guān)系式得，由此可證得是等比數(shù)列；由等比數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)可得，進(jìn)而可求得的表達(dá)式，代入解不等式即可求解.
【詳解】因?yàn)橛傻茫海?br>又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，所以.
所以，
所以等價(jià)，
由知，滿足正整數(shù)n的最小值為9.
故答案為：9.
34．在數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，則，．
【答案】
【分析】借助所給條件可構(gòu)造，即可得數(shù)列為等比數(shù)列，即可得，借助等比數(shù)列前項(xiàng)和公式即可得.
【詳解】由，即，
則，又，
故數(shù)列是以為公比、為首項(xiàng)的等比數(shù)列，
即，則，
.
故答案為：；.
35．已知數(shù)列的首項(xiàng)，且，則 .
【答案】2022
【分析】利用構(gòu)造法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，則，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)求和公式計(jì)算即可求解.
【詳解】由，得，又，
所以數(shù)列是以4為公比、以4為首項(xiàng)的等比數(shù)列，
所以，得.
所以，
則.
故答案為：2022
36．在數(shù)列中，，且，則的通項(xiàng)公式為．
【答案】
【分析】利用待定系數(shù)法，設(shè)，變形得出，對(duì)比題干中的等式，求出、的值，可知數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【詳解】因?yàn)?，設(shè)，其中、，
整理可得，
所以，，解得，所以，，
且，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比也為的等比數(shù)列，
所以，，解得.
故答案為：.
37．在數(shù)列中，，若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值 .
【答案】
【分析】首先利用數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步利用函數(shù)的恒成立問(wèn)題和數(shù)列的單調(diào)性的應(yīng)用求出結(jié)果．
【詳解】由整理得，即，又，
故數(shù)列是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，可得,
不等式，可化為，
令，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，，
故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故，
綜上，，
所以，故最小值為．
故答案為：
38．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則 .
【答案】
【分析】由與的關(guān)系即可求出，進(jìn)而求.
【詳解】由題意當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，由可得，
兩式相減得，
所以，即，
所以，
所以是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，
所以，
所以，故.
故答案為：
39．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則．
【答案】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合與之間的關(guān)系整理可得，進(jìn)而結(jié)合等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式分析求解.
【詳解】因?yàn)椋瑒t，
整理得，且，
可知數(shù)列是以首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，
可得，所以.
故答案為：.
40．已知數(shù)列滿足，，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則滿足不等式的n的最大值為 .
【答案】8
【分析】已知遞推關(guān)系湊配一個(gè)等比數(shù)列，從而可得通項(xiàng)公式，再由分組求得法及等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求得，化簡(jiǎn)不等式后求解即得．
【詳解】由得，又，從而，
所以是等比數(shù)列，所以，
，所以，
，由得（因?yàn)槭钦麛?shù)），
所以的最大值是8.
故答案為：8.
考點(diǎn)05：錯(cuò)位相減求和
錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法求解．
41．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，，則數(shù)列的前100項(xiàng)之和為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，利用錯(cuò)位相減法求和作答.
【詳解】令數(shù)列的前n項(xiàng)和為，因?yàn)椋?br>則，
則有
兩式相減得：，
因此，有，
所以數(shù)列的前100項(xiàng)之和為.
故選：B
42．（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】觀察數(shù)列屬于等差乘等比模型，按照錯(cuò)位相減法求和即可.
【詳解】由，
得，
兩式相減得
.
所以.
故選：B.
43．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和等于（）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)錯(cuò)位相減法求解即可得答案.
【詳解】解：設(shè)的前n項(xiàng)和為，
則， ①
所以， ②
①－②，得，
所以．
故選:B．
44．已知數(shù)列中，，.
(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求；
(2)求的前項(xiàng)和.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2).
【分析】（1）依題意可得，結(jié)合等差數(shù)列的定義證明即可，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可得；
（2）利用錯(cuò)位相減法計(jì)算可得.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，故，
即數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，
又，所以，
故，
所以.
（2）依題意可得，
，
兩式相減可得，
所以.
45．已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足.
(1)求證為等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)
【分析】（1）利用等差數(shù)列的定義證明為等差數(shù)列，由數(shù)列的通項(xiàng)公式求的通項(xiàng)公式；
（2）利用錯(cuò)位相減法求和.
【詳解】（1）證明：數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足，
則有，又，
所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，公差為3的等差數(shù)列；
則有，
所以.
（2）由（1）得，，
所以，①
，②
由①②得，
所以.
46．?dāng)?shù)列滿足，（）．
(1)計(jì)算，，猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式并證明；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和；
【答案】(1)，，猜測(cè)，證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）直接通過(guò)遞推公式計(jì)算，然后猜測(cè)并證明；
（2）使用錯(cuò)位相減法即可.
【詳解】（1），.
猜測(cè)，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)時(shí)，由知結(jié)論成立；
假設(shè)結(jié)論對(duì)成立，即，則，故結(jié)論對(duì)成立.
綜上，有成立.
（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則.
所以.
故.
47．已知數(shù)列滿足，，且對(duì)，都有．
(1)設(shè)，證明數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
(3)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)，(3)
【分析】（1）由得，根據(jù)等差數(shù)列的定義可得；
（2）由（1）可得時(shí)，，利用累加法可得，驗(yàn)證即可；
（3）利用錯(cuò)位相減法求和可得.
【詳解】（1）證明：，，
，即，則數(shù)列為等差數(shù)列；
（2），，，，
，又，
當(dāng)時(shí)，，，，，
累加有，則．
也符合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，.
（3），
①，
②，
①②得
，
．
48．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為，且滿足，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)(2)．
【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知條件和等比數(shù)列基本量的計(jì)算，求出數(shù)列首項(xiàng)和公比，得通項(xiàng)公式；
（2）利用錯(cuò)位相減法可得數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，
∵，，
∴，
即，∴（舍去），
∴，即，
∴．
（2）∵，∴．
∴，
，
兩式相減得，
∴．
49．已知數(shù)列.
(1)求；
(2)令為數(shù)列的前項(xiàng)和，求.
【答案】(1)(2).
【分析】（1）利用得到，再用兩式相減可得，由于此時(shí)，所以需要對(duì)第一項(xiàng)和第二項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)，，最后可判斷是等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)；
（2）先求出，再利用錯(cuò)位相減法來(lái)求出它的前項(xiàng)和.
【詳解】（1）由，
所以當(dāng)時(shí)，有，兩式相減得：，
即.
又有，
所以是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，所以.
（2）由（1）知：，
所以，
則，
上面兩式相減得：，
所以.
50．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由的關(guān)系分是否等于1進(jìn)行討論即可求解；
（2）首先得，進(jìn)一步結(jié)合錯(cuò)位相減法以及等比數(shù)列求和公式即可得解.
【詳解】（1）
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，
，
數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
（2）由（1）可知，記，
，
，
兩式相減得
.
考點(diǎn)06：裂項(xiàng)相消求和
裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得前n項(xiàng)和．
積累裂項(xiàng)模型：等差型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
51．若數(shù)列滿足（且），，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】將數(shù)列遞推式整理裂項(xiàng)，運(yùn)用累加法和裂項(xiàng)相消法求和，得到數(shù)列通項(xiàng)即得.
【詳解】由可得，
則有，
.
故.
故選：C.
52．?dāng)?shù)列滿足，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式得到，從而得到，再由裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，
則.
故選：B
53．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)給定的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相法求和即得.
【詳解】依題意，，
則，
所以.
故選：D
54．已知數(shù)列滿足，若，則的前2024項(xiàng)和為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由數(shù)列的遞推式推得，從而得到，再由裂項(xiàng)相消法求和即可．
【詳解】因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，
兩式相減可得，
所以，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)也成立，
所以，所以，
設(shè)的前項(xiàng)和為，
則
．
故選：B．
55．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
先將化為，再利用裂項(xiàng)相消法求出它的前項(xiàng)和．
【詳解】
由題意得，，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和
，
故選：A．
56．已知數(shù)列1，，，…，，…，其前n項(xiàng)和為，則正整數(shù)n的值為（）．
A．6B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再裂項(xiàng)相消求和列方程求n的值.
【詳解】，
所以前n項(xiàng)和為，
解得.
故選：C.
57．三角形數(shù)由古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出，是由一列點(diǎn)等距排列表示的數(shù)，其前五個(gè)數(shù)如圖所示.記三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為，則使數(shù)列的前n項(xiàng)和的最小正整數(shù)n為（）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】由題意可得，則，然后累加求和即可.
【詳解】由題意可得，
則，
則，
又，
則，
則，
則使數(shù)列的前n項(xiàng)和的最小正整數(shù)n為7
故選：C.
58．?dāng)?shù)列中，，，則（）
A．51B．40C．41D．50
【答案】B
【分析】化簡(jiǎn)得到，利用裂項(xiàng)相消法求和，得到方程，求出答案.
【詳解】，
故
，
故，解得.
故選：B
59．已知是等差數(shù)列，且，，則（）
A．15B．26C．28D．32
【答案】C
【分析】設(shè)出公差為，進(jìn)而裂項(xiàng)相消法求和得到，從而得到方程，求出公差，進(jìn)而求出答案.
【詳解】設(shè)公差為，若，則，不滿足題意，所以，
則，
則，
所以
，
故，解得，
故.
故選：C
60．在各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列中，，且等比數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由已知可得，解得（舍去）或，可求數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用與的關(guān)系可求得的通項(xiàng)公式；
（2）利用，可求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則，
成等比數(shù)列，，即，
整理得，解得（舍去）或，
，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，滿足上式，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2），
則數(shù)列的前項(xiàng)和
.
考點(diǎn)07：分組求和
分組轉(zhuǎn)化求和法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減．
61．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，，則（）
A．511B．61C．93D．125
【答案】D
【分析】由條件推得，故按照分類得到和兩種首項(xiàng)不同，但公比相同的等比數(shù)列，利用分組求和即得.
【詳解】由可得，①，當(dāng)時(shí)，，②
由可得：（*），由代入解得，
由（*）知數(shù)列,組成首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
數(shù)列,組成首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.
故
.
故選：D.
62．記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）
A．301B．101C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，利用分組求和法計(jì)算即得.
【詳解】數(shù)列中，，則，
所以
故選：C
63．在數(shù)列中，，且，則其前項(xiàng)的和為（）
A．841B．421C．840D．420
【答案】A
【分析】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，利用等差數(shù)列求和公式計(jì)算可得.
【詳解】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，因?yàn)椋遥?br>則
.
故選：A
64．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）
A．590B．602C．630D．650
【答案】A
【分析】根據(jù)作差得到，再計(jì)算出，即可得到，再利用并項(xiàng)求和法計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
兩式相減可得.
由，，解得，
所以，滿足上式，故，
所以
.
故選：A
65．設(shè)數(shù)列滿足．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)的和，則（）
A．110B．120C．288D．306
【答案】A
【分析】利用分組求和法，結(jié)合已知，可得答案.
【詳解】
.
故選：A.
66．設(shè)數(shù)列是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則（）
A．1011B．1022C．1033D．1044
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，分別求出和的通項(xiàng)公式，再求出的通項(xiàng)，并利用分組求和法求解即得.
【詳解】由數(shù)列是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，得，
由是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，得，
因此，所以.
故選：C
67．在數(shù)列中，已知，，則的前11項(xiàng)的和為（）
A．2045B．2046C．4093D．4094
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，求出，再利用并項(xiàng)求和法，即可計(jì)算得解.
【詳解】由，得，而，解得，
所以的前11項(xiàng)的和
.
故選：C
68．已知數(shù)列滿足，則其前9項(xiàng)和 .
【答案】
【分析】借助，結(jié)合代入計(jì)算即可得.
【詳解】
.
故答案為：.
69．已知數(shù)列滿足，且前12項(xiàng)和為134，則．
【答案】1
【分析】由數(shù)列的遞推式，討論n為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得所求值．
【詳解】因?yàn)椋?br>當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，
即，
，
可得；
當(dāng)n為偶數(shù)，
即，
可得，
則前12項(xiàng)和為，解得．
故答案為：1
70．已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，且，求的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）設(shè)公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與等比中項(xiàng)公式列出關(guān)于和d的方程，求解即可得的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可得等比數(shù)列的第三項(xiàng)，進(jìn)而得，從而得到的通項(xiàng)公式，利用等差和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式分組求和即可求出.
【詳解】（1）因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，設(shè)公差為d，
由，得，即，
由，，成等比數(shù)列得，，
化簡(jiǎn)得，因?yàn)椋裕?br>所以．
綜上．
（2）由知，，
又為公比是3的等比數(shù)列，，
所以，即，
所以，，
所以
.
綜上.

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