考點(diǎn)鞏固卷16 空間向量與立體幾何(六大考點(diǎn))-2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)鞏固-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考點(diǎn)01：法向量的秒殺
方法1、眼神法：給定一個(gè)幾何體中，若所求平面的法向量直接可以從圖中看出，則此平面垂線的方向向量即為平面的法向量．
方法2、待定系數(shù)法：步驟如下：
①設(shè)出平面的法向量為．
②找出(求出)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量
，．
③根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于的方程組
④解方程組，取其中的一個(gè)解，即得法向量．
注意：在利用上述步驟求解平面的法向量時(shí)，方程組有無(wú)數(shù)多個(gè)解，只需給中的一個(gè)變量賦于一個(gè)值，即可確定平面的一個(gè)法向量；賦的值不同，所求平面的法向量就不同，但它們是共線向量．
方法三：口訣：求誰(shuí)不看誰(shuí)，積差很崩潰（求外用外減，求內(nèi)用內(nèi)減）
向量，是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，則向量是平面的一個(gè)法向量.
1．若直線的方向向量為，平面的法向量為，且，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由題意可得直線的方向向量為與平面的法向量垂直，由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解．
【詳解】，則有直線的方向向量為與平面的法向量垂直，
即，
解得．
故選：B．
2．已知為平面的一個(gè)法向量，，則下列向量是平面的一個(gè)法向量的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由，可知平面的法向量與平面的法向量共線，由選項(xiàng)判斷即可求解.
【詳解】記，因?yàn)?，所以?br>故是平面的一個(gè)法向量，故D正確.
易知A，B，C中的向量均不與向量平行，所以均不能作為平面的一個(gè)法向量.
故選：D.
3．已知，，，則平面的法向量與的夾角的余弦值為（）
A．B．或
C．D．或
【答案】B
【分析】求解法向量，即可由夾角公式求解.
【詳解】設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則由，
可得，令，得，，∴.
，
由于法向量的方向不能確定，
故平面的法向量與的夾角的余弦值也可能為.
故選：B
4．已知點(diǎn)，則下列向量可作為平面的一個(gè)法向量的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)平面的一個(gè)法向量為，利用列方程求解即可.
【詳解】由知，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，
取，解得，選項(xiàng)D符合，
另外選項(xiàng)ABC中的向量與選項(xiàng)D中的向量不共線.
故選：D
5．在空間直角坐標(biāo)系中，，，，則平面的一個(gè)法向量為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)平面的一個(gè)法向量為，利用列方程求解即可.
【詳解】由已知，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
取，解得，
選項(xiàng)A符合，另外選項(xiàng)BCD中的向量與選項(xiàng)A中的向量不共線.
故選：A.
6．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，E為棱的中點(diǎn)，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）.則平面ABE的一個(gè)法向量為（）

A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)平面ABE的法向量為，然后由，可求出其法向量.
【詳解】由題意可得，，，
所以，
設(shè)平面ABE的法向量為，
由，得到，取，則，
所以平面ABE的一個(gè)法向量為，
所以是平面ABE的法向量.

故選：C.
7．已知，若平面的一個(gè)法向量為，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用法向量和平面內(nèi)直線的方向向量之間的關(guān)系求解即可.
【詳解】由得：
，
面的一個(gè)法向量為，
所以，
即，
解得，
所以，
故選：C．
8．已知直線，的方向向量分別為，，且直線，均平行于平面，平面的單位法向量為（）
A．B．
C．D．或
【答案】D
【分析】根據(jù)平面法向量的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】設(shè)平面的單位法向量為，
因?yàn)橹本€，均平行于平面，
所以有，
由可得：或，
故選：D
9．已知，，，則平面的一個(gè)法向量是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由點(diǎn)坐標(biāo)分別表示出向量，再由空間向量垂直的坐標(biāo)表示即可求出法向量.
【詳解】由題可知，．
設(shè)是平面的法向量，
則，．
所以，可得
取，則，．
于是是平面的一個(gè)法向量．
故選：C．
10．已知平面內(nèi)的兩個(gè)向量，，則該平面的一個(gè)法向量為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用法向量的定義、求法進(jìn)行計(jì)算.
【詳解】顯然與不平行，設(shè)該平面的一個(gè)法向量為，
則有，即，
令，得，所以，故A,B錯(cuò)誤，
令，得，則此時(shí)法向量為，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
考點(diǎn)02：空間直角坐標(biāo)系構(gòu)建策略
①：利用共頂點(diǎn)的互相垂直的三條棱，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系
②：利用線面垂直關(guān)系，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系
③：利用面面垂直關(guān)系，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系
④：利用正棱錐的中心與高所在的直線，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系
⑤：利用底面正三角形，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系
⑥：利用底面正方形的中心，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系
11．已知三棱錐中，平面，，，為上一點(diǎn)且滿足，，分別為，的中點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)求直線與平面所成角的大??；
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)
【分析】（1）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸?軸，建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算，進(jìn)而可得答案；
（2）求出平面的法向量n=x,y,z，，利用線面角的向量公式求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，?br>如圖以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸?軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，因?yàn)椋裕?br>（2）設(shè)平面的法向量n=x,y,z，，
則，即，取，得，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
又，所以，
所以直線與平面所成角的大小為．
12．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)．
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明,再通過(guò)線面平行的判定定理即可證明；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法分別求出平面與平面的法向量，根據(jù)向量法求二面角的公式即可求解.
【詳解】（1）以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，
所以，，，，，，
所以，，，
，，．
因?yàn)椋裕?br>又平面，平面，
所以平面．
（2）設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，
則，取，則，．
所以，是平面的一個(gè)法向量，
又因?yàn)槠矫妫?br>所以為平面的一個(gè)法向量，
則，
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，即平面與平面的夾角的余弦值為．
13．如圖，三棱臺(tái)中，為等邊三角形，，平面ABC，點(diǎn)M，N，D分別為AB，AC，BC的中點(diǎn)，．
(1)證明：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)求點(diǎn)D到平面的距離．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用，結(jié)合平面，得出平面；
（2）利用向量的夾角公式即可求解；
（3）利用點(diǎn)到平面的距離的向量法公式，即可求解．
【詳解】（1）因?yàn)閭?cè)棱底面，為等邊三角形，所以過(guò)點(diǎn)作，則以為點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)長(zhǎng)為，則
，，
因?yàn)?，所以，則有，．
所以，，，，，，．
證明：因?yàn)?，，設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，
又因?yàn)椋?br>所以，所以，又因?yàn)槠矫妫云矫妫?br>（2）因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，則，
有，又，設(shè)直線與平面所成角為，
，
則直線與平面所成角的正弦值為．
（3）因?yàn)?，平面的法向量為?br>所以，點(diǎn)D到平面的距離為．
14．如圖，已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形，，且底面，點(diǎn)滿足，點(diǎn)是棱上的一個(gè)點(diǎn)(包括端點(diǎn))．
(1)求證：；
(2)若二面角的余弦值為，求點(diǎn)到平面的距離．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)
【分析】（1）由題意可建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，得到、后借助空間向量共線定理即可得證；
（2）求出平面與平面的法向量后，借助空間向量夾角公式計(jì)算即可得點(diǎn)具體位置，再借助點(diǎn)到平面距離公式求解即可得.
【詳解】（1）因?yàn)榈酌妫业酌鏋檎叫?，且、底面?br>所以，，兩兩互相垂直，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則A0,0,0，，，，，
則，，有，故；
（2），因?yàn)辄c(diǎn)滿足，點(diǎn)是棱上的一個(gè)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），
所以，設(shè)，，
所以，，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，得，，則，
由題可得軸平面，則平面的一個(gè)法向量為，
因?yàn)槎娼墙堑挠嘞抑禐椋?br>所以，
解得或（舍去），所以，
因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離為．
15．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面平面是的中點(diǎn)，.

(1)求證：.
(2)若?面直線與所成的角為，求四棱錐的體積.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2).
【分析】（1）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，根據(jù)題意已知條件證明直線兩兩垂直，從而建立空間直角坐標(biāo)系，令，寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量法證明從而得；
（2）由（1）寫出的坐標(biāo)，利用異面直線所成角的向量表示求出的值，在求出四棱錐的體積即可.
【詳解】（1）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，
由四邊形是矩形，得.
是的中點(diǎn)，.
平面平面，平面平面，
平面直線兩兩垂直.
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸?軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè).

依題意得，，
.
，
，即.
（2）由（1）可得，
異面直線與所成的角為，
，解得，
由（1）平面，
所以為四棱錐的高，且，
四棱錐的體積為.
16．如圖，為正方體．
(1)證明：平面；
(2)求直線與平面所成角的余弦值．
【答案】(1)證明詳見(jiàn)解析(2)
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，由向量垂直證明；
（2）利用向量法，線面角的求法求解.
【詳解】（1）解：如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，
則
因?yàn)?，
且，
所以，
又，平面，
所以平面；
（2）由（1）可知，為平面AB1C的一個(gè)法向量，
又，
所以
所以直線B1C1與平面AB1C所成角的正弦值為，
故直線B1C1與平面AB1C所成角的余弦值為
17．如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)E在線段上，且，分別為、、的中點(diǎn).求證：

(1)平面平面；
(2)平面平面.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）利用空間向量法證明線面垂直證明面面垂直；
（2）利用空間向量法證明平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得到面面平行；
【詳解】（1）證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

則，，，，，.
設(shè)，則，，.
因?yàn)?，，?br>所以，.
所以，，即，.
又平面，所以平面.
因?yàn)槠矫?，所以平面平?
（2）因?yàn)?，，?br>所以，.
所以，.
因?yàn)槠矫?，所以平?
又由（1）知平面，所以平面平面.
18．如圖，直三棱柱中，，，，，是的中點(diǎn)．
(1)求直線的一個(gè)方向向量；
(2)求證：．
【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）建立合適的空間直角坐標(biāo)系后，寫出的坐標(biāo)即可求解；
（2）寫出的坐標(biāo)，然后證明即可.
【詳解】（1）
由題意知，兩兩垂直，故以點(diǎn)B為原點(diǎn)，
分別以、與的方向?yàn)榕c軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
所以、、、、
、．
則，是直線的一個(gè)方向向量
（2）因?yàn)镸是的中點(diǎn)，所以，所以，
又因?yàn)椋?br>所以，所以．
19．在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，，，O為CD的中點(diǎn)，二面角A-CD-P為直二面角.
(1)求證：；
(2)求直線PC與平面PAB所成角的正弦值；
(3)求平面POB與平面PAB夾角的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)
【分析】（1）證明出，平面ABCD，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算出，得到垂直關(guān)系；
（2）求出平面的法向量，利用線面角求解公式得到答案；
（3）求出兩平面法向量，求出面面角的余弦值.
【詳解】（1）因?yàn)?，O為CD的中點(diǎn)，
所以．
又因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，平面PCD，
所以平面ABCD．
因?yàn)椋?，，所以?br>取的中點(diǎn)，連接，則⊥，
以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OD，OE，OP所在直線分別為x，y，z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則O0,0,0，，，，P0,0,1，．
，，
因?yàn)椋?br>所以．
（2）設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為m=x,y,z，
則，即，
解得，令，則，則．
設(shè)直線PC與平面PAB所成的角為，
又，
則，
所以直線PC與平面PAB所成的角的正弦值為．
（3）設(shè)平面POB的一個(gè)法向量為，
則，即，
解得，令，則a=2，故．
設(shè)平面POB與平面PAB的夾角為，
則．
故平面POB與平面PAB的夾角的余弦值為．
20．如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)．求證：平面．
【答案】證明見(jiàn)解析
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法證明、，即可得證.
【詳解】如圖以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
所以，，，
所以，則，即，
，則，即，
又，平面，
所以平面．
考點(diǎn)03：坐標(biāo)處理距離問(wèn)題
結(jié)論1：《點(diǎn)線距離》《異面直線求距離問(wèn)題》
推導(dǎo)過(guò)程：已知直線的方向向量是，點(diǎn)則直線與直線夾角為θ，則
結(jié)論2：《點(diǎn)面距離》
提示：分別是平面外及平面上的兩點(diǎn)，是平面的法向量
結(jié)論3：《線面距離》
提示：分別是直線上及平面上的任意兩點(diǎn)，是平面的法向量
結(jié)論4：《面面距離》
提示：分別是平面1及平面2的任意兩點(diǎn)，是平面2的法向量
結(jié)論5：《點(diǎn)點(diǎn)距離》
提示：與,的距離為
21．如圖的外接圓的直徑，垂直于圓所在的平面，BD//CE，，BC=BD=1，為上的點(diǎn).

(1)證明：；
(2)當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)
【分析】（1）證明平面，利用線面垂直的性質(zhì)即可得到；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用點(diǎn)到面的距離公式求解即可﹒是圓的直徑，，
【詳解】（1）∵CE⊥平面，平面，∴CE⊥AC，
又∵CE∩BC=C，、平面，
平面，∵BM?平面，∴AC⊥BM；
（2）由(1)和已知條件可知，CA、CB、CE兩兩垂直，故以C為原點(diǎn)，CA、CB、CE分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系C?xyz：

則C(0，0，0)，A3,0,0,B0,1,0,D0,1,1,E0,0,2,M0,12,32，
CA=3,0,0，CD?=0,1,1，CM=0,12,32
設(shè)平面CAD的法向量為n=x,y,z，
則n→?CA→=0n→?CD→=0?3x=0y+z=0，令，則x=0z=?1，即n=0,1,?1，
由點(diǎn)到平面的距離公式知，點(diǎn)到平面的距離d=CM?nn=12?322=22
22．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，平面，E為PD中點(diǎn)，且．
(1)求證：平面；
(2)求點(diǎn)到平面的距離；
(3)求直線與平面所成角的余弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)
【分析】（1）利用線面平行的判定定理證明即可得；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量后，借助點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算即可得；
（3）利用空間向量求出線面角的正弦值，再利用三角函數(shù)的基本關(guān)系求線面角的余弦值即可.
【詳解】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，
∵為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，∴，
又∵平面，平面，∴平面；
（2）由底面是矩形且平面，
故可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，
則，，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，得，
則點(diǎn)到平面的距離；
（3）由軸平面，故平面的法向量可為，
設(shè)直線與平面所成角為，則，
∴，
∴，即直線與平面所成角的余弦值為.
23．如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)在棱上，且．
(1)求四棱錐的表面積
(2)若點(diǎn)在棱上，且到平面的距離為，求點(diǎn)到直線的距離．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據(jù)三角形以及梯形面積公式即可求解，
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間距離的向量法求解即可.
【詳解】（1）由，,所以,
,
所以,,
故四棱錐的表面積為
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則,0,，,4,， ,4,，，其中，
則，
設(shè)平面的法向量為，則，
即令，則平面的法向量，
設(shè)到平面的距離為，，
由于，解得，
故，
點(diǎn)到直線的距離為．
24．如圖，在四棱柱中，平面，底面是平行四邊形，．
(1)求直線與平面所成角的正弦值；
(2)求點(diǎn)到平面的距離．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）證明出平面，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量為，，求出，再利用角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可；
（2）直接利用空間向量求解點(diǎn)到面的距離即可．
【詳解】（1）連接，相交于點(diǎn)O，連接，相交于點(diǎn)，
由，可得為等邊三角形，
又由O為的中點(diǎn)，可得，，，
因?yàn)?，?br>所以，
又因?yàn)槠矫?，所以平面?br>由上知，，兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
有O0,0,0，A3,0,0，，，，，，
設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，
由，，
有，
取，，，可得平面的一個(gè)法向量為，
（1）由，
有，，，
有，
故直線與平面所成角的正弦值為；
（2）由，有，
可得點(diǎn)到平面的距離為．
25．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，為線段的中點(diǎn)，，為線段上的動(dòng)點(diǎn).

(1)證明：；
(2)當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到面的距離.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)
【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證出平面和平面，進(jìn)而可得；
（2）以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用空間向量法求出點(diǎn)到平面的距離．
【詳解】（1）平面，平面，
∴BC⊥PD，
又平面，
平面，又平面，
，
中，為的中點(diǎn)，，
平面，平面，
平面，.
（2）以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系D?xyz，
則，A1,0,0，，，
所以，，，
設(shè)為平面的法向量，

則，令，則y=?1,z=1，故，
則點(diǎn)與平面的距離.
26．如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，，PB=PD，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)若直線與平面所成角的大小為.
①求二面角的余弦值；
②求點(diǎn)F到平面的距離.
【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)①；②31313
【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，通過(guò)證明，再證平面.
（2）先證平面，以的交點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量的方法求二面角和點(diǎn)到面的距離.
【詳解】（1）如圖：
取中點(diǎn)，連接，.
因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以且，
又四邊形為菱形，且為中點(diǎn)，所以且，
所以且.
所以四邊形為平行四邊形，
所以，又平面，平面，
所以平面.
（2）如圖：
連接，，交于點(diǎn)，
因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，且為，的中點(diǎn)，
又因?yàn)镻B=PD，所以，，平面，且，
所以平面，易得為直線與平面所成的角的平面角，
則，又，，，
所以，，，，
以為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則O0,0,0，B1,0,0，，
，，，.
所以，，，.
①設(shè)平面的法向量為
則，取.
設(shè)平面的法向量為，
則，取.
所以二面角的余弦值為：.
②點(diǎn)平面的距離為：.
27．如圖，在三棱柱中，棱的中點(diǎn)分別為在平面內(nèi)的射影為D，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且，點(diǎn)F在棱上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)）．
(1)若點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離；
(2)求銳二面角的余弦值的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用空間向量法求點(diǎn)到面的距離即可；
（2）用動(dòng)點(diǎn)引入變量表示動(dòng)向量，再用空間向量法求二面角的余弦值，最后利用關(guān)于變量的函數(shù)求取值范圍即可.
【詳解】（1）連接，依題意可知平面，由于平面，
所以，
由于三角形是等邊三角形，所以，，
又，
以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，
又，故，，
則，，
設(shè)平面的法向量為m=x1,y1,z1，
則，令，則，，
故，又，
所以點(diǎn)到平面的距離為.
（2）設(shè)，，
則，
設(shè)平面的法向量為n=x2,y2,z2，
則，令，則，，
故，
設(shè)銳二面角為，
則，
令，
所以，設(shè)，
則，
二次函數(shù)的開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，
所以當(dāng)時(shí)，該二次函數(shù)單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，該二次函數(shù)有最小值，
當(dāng)時(shí)，該二次函數(shù)有最大值，
所以，即.
即銳二面角的余弦值的取值范圍為.
28．如圖，在四面體中，平面，點(diǎn)在線段上.

(1)當(dāng)點(diǎn)是線段中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離；
(2)若二面角的余弦值為，求的值.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得到平面的距離；
（2）設(shè)點(diǎn)，其中，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，解出的值，即可得解.
【詳解】（1）由平面，，得兩兩垂直，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：

由為的中點(diǎn)，則A0,0,0、、、，
設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，，，
則，取，得，而，
所以點(diǎn)到平面的距離為.
（2）設(shè)點(diǎn)，，，，
設(shè)平面的法向量為n1=x1,y1,z1，則，取，得，
顯然平面的一個(gè)法向量為，
則，解得，
此時(shí)點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以.
29．如圖所示的多面體是由底面為的長(zhǎng)方體被截面所截而得到的，其中，，，．
(1)求到平面的距離．
(2)與平面平行嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)；(2)不平行，理由見(jiàn)解析.
【分析】（1）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出及平面的法向量，再利用點(diǎn)到平面距離的向量求法求解.
（2）由（1）中坐標(biāo)系，求出，再利用空間位置關(guān)系的向量證明推理即得.
【詳解】（1）顯然直線兩兩垂直，
以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，設(shè)，
由平面平面，平面平面，平面平面，
則，同理，即四邊形為平行四邊形，有，
即，解得，即，則，
設(shè)平面的法向量，則，取，得，
而，則點(diǎn)到平面的距離為.
（2）由（1）知，，而平面的法向量為
由，得與不垂直，
所以與平面不平行.
30．如圖，在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，分別是的中點(diǎn)，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，．
(1)證明：；
(2)求點(diǎn)到平面的距離．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)
【分析】（1）由等邊三角形三線合一可得，再由側(cè)棱垂直于底面可得面即可得出結(jié)論；
（2）可由等體積法計(jì)算即可得出.
【詳解】（1）法一:是等邊三角形，且是中點(diǎn)
面，面
面，面，且面
面
法二：取的中點(diǎn)，則面，可知兩兩垂直，
如圖以為軸，為軸，為軸，則，，B?1,0,0，；
所以，，則，即；
（2）法一：由題可知：；
在中，，；
取中點(diǎn)，在中，，
邊上的高為；
；
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，
解得，即點(diǎn)到平面的距離為．
法二：，，，，
設(shè)面的法向量為n=x,y,z，；
設(shè)點(diǎn)到面的距離為，
故點(diǎn)到平面的距離為.
考點(diǎn)04：坐標(biāo)處理角度問(wèn)題
結(jié)論1：異面直線所成角
①能建空間直角坐標(biāo)系時(shí)，寫出相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用結(jié)論求解
②不能建空間直角坐標(biāo)系時(shí)，取基底的思想，在由公式求出
關(guān)鍵是求出及與
結(jié)論2：線面角
提示：是線與平面法向量的夾角，是線與平面的夾角
結(jié)論3：二面角的平面角
提示：是二面角的夾角，具體取正取負(fù)完全用眼神法觀察，若為銳角則取正，若為鈍角則取負(fù).
31．如圖，在四棱錐中，，底面為正方形，，分別為的中點(diǎn)．
(1)證明：平面；
(2)求平面與平面所成二面角的正弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)
【分析】（1）由線面平行的判定證明即可；
（2）首先由已知證明出，，再建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)面面夾角的向量公式求解即可．
【詳解】（1）因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，
所以，
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面．
（2）因?yàn)椋?br>在中，由余弦定理得，，即，
所以，即，同理可得，
因?yàn)?，，平面，?br>所以平面，又平面，
所以，同理，又平面，，
所以平面，又平面，
所以，，又，
則以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
在中，，
則，，
所以，，
設(shè)平面的法向量，
則，取，得，
由圖可知，平面的法向量為，
則，
所以平面與平面所成二面角的正弦值．
32．如圖，在四棱錐中，為的中點(diǎn)，平面．
(1)求證：；
(2)若，．
（i）求證：平面；
（ii）設(shè)平面平面，求二面角的正弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）
【分析】（1）借助線面平行的性質(zhì)定理與中位線的性質(zhì)即可得；
（2）（i）借助線面垂直的判定定理即可得；
（ⅱ）結(jié)合所給條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系后借助空間向量計(jì)算即可得.
【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，
因?yàn)?，所以，所以四點(diǎn)共面，
因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，平面?br>所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以；
（2）（i）取的中點(diǎn)，連接，
由（1）知，所以，
因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形?br>所以，
因?yàn)?，所以?br>所以，即，
因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，所以與全等，
所以，即，
因?yàn)椋?br>又因?yàn)椋?、平面?br>所以平面；
（ii）由（i）知平面，而平面，
所以，
因?yàn)椋?br>建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，
所以，，
設(shè)平面的法向量為n=x,y,z, 則
令，則，于是，
因?yàn)闉槠矫娴姆ㄏ蛄?
設(shè)二面角為，由圖可得
所以,
所以二面角的余弦值為，
則二面角的正弦值為
33．如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，為等邊三角形，平面平面，．點(diǎn)在線段上．

(1)若，在上找一點(diǎn)，使得四點(diǎn)共面，并說(shuō)明理由；
(2)求點(diǎn)到平面的距離；
(3)若直線與平面所成的角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】(1)為靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，理由見(jiàn)解析(2)(3)
【分析】（1）當(dāng)為靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)時(shí)，結(jié)合已知條件可得∥，而∥，則∥，從而可得結(jié)論；
（2）取中點(diǎn)，連接，，由面面垂直可得平面，再由結(jié)合菱形的性質(zhì)可得，則得平面，然后求出，再利用等體積法可求得點(diǎn)到平面的距離；
（3）以為原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.
【詳解】（1）當(dāng)為靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)時(shí)，四點(diǎn)共面，
理由如下：
因?yàn)?，所以?br>所以∥，
因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以∥?br>所以∥，所以四點(diǎn)共面；

（2）取中點(diǎn)，連接，．
因?yàn)闉榈冗吶切?，?br>所以，，．
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面?br>所以平面，因?yàn)槠矫?，所以?br>因?yàn)椋?，所以?br>因?yàn)?，平面，平面，?br>所以平面，又平面，所以．
所以，
所以，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
因?yàn)椋裕?br>所以，解得；

（3）由（2）知，，，兩兩垂直，
所以以為原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
則，，A1,0,0，，
所以，，．
設(shè)，則，．
得，則．
又平面，則取平面的法向量．
設(shè)與平面所成的角為，則
，
化簡(jiǎn)整理得，解得．
則，．
設(shè)平面的法向量，則,
令，則取平面的法向量，
又平面的法向量．
故平面與平面夾角的余弦值為．

34．如圖，在四棱錐中，已知底面為矩形，，平面平面.

(1)求證：平面；
(2)若，點(diǎn)在棱上，且二面角的大小為.
①求證：；
②設(shè)是直線上的點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)①證明見(jiàn)解析；②.
【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)得到平面，再利用線面垂直的性質(zhì)得到，結(jié)合條件及線面垂直的判定定理，即可證明結(jié)果；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，①求出平面和平面的法向量，結(jié)合條件得到，從而有，即可證明結(jié)果；②設(shè)，結(jié)合①中結(jié)果，利用線面角的向量法，得到，即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）在四棱錐中，
因?yàn)榈酌鏋榫匦危?
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面?br>所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以?br>因?yàn)槠矫?，且?br>所以平面.
（2）①以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則，所以，
因?yàn)辄c(diǎn)在棱上，所以設(shè)或顯然不滿足題設(shè)，
因?yàn)?，所以?br>所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，
則，即，取，則，
所以，是平面的一個(gè)法向量，
所以，
因?yàn)槎娼堑拇笮?，所以?br>即，解得，
此時(shí)，，
，所以，
所以，即.
②因?yàn)槭侵本€上的點(diǎn)，所以設(shè)，
由①可得，所以，平面的一個(gè)法向量.
設(shè)直線與平面所成角為，則.
令，則，
則，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
令，則，則，
所以當(dāng)，即時(shí)，，
即直線與平面所成角的正弦值的最大值為.
35．如圖，直三棱柱的體積為6，的面積為4．
(1)求到平面的距離；
(2)設(shè)為的中點(diǎn)，，平面平面，求平面與平面夾角的正弦值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用等體積法，由可構(gòu)造方程求得結(jié)果；
（2）利用線面垂直的判定與性質(zhì)可證得平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的向量求法可求得結(jié)果.
【詳解】（1）由題意知；
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
，解得：，
即點(diǎn)到平面的距離為.
（2）取的中點(diǎn)，連接，
，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，；
三棱錐為直三棱柱，平面，
又平面，；
，平面，平面，
平面，則，且.
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以正方向?yàn)檩S的正方向，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

由（1）知，點(diǎn)到平面的距離為，則，
，，
，，
，，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量m=x,y,z，
則，解得，令，得，；
設(shè)平面的法向量n=a,b,c，
則，解得，令，得，；
，
設(shè)平面與平面夾角為，則
則平面與平面夾角的正弦值為.
36．如圖，在四棱錐中，平面平面，，四邊形為梯形，，，，，，，交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.
(1)證明：平面.
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)
【分析】（1）根據(jù)三角形邊角關(guān)系可證明相似，即可得,即可求證，
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角求解即可.
【詳解】（1）平面平面，且兩平面交于，又，
平面.
在中，，，.
且，是等腰直角三角形，
，.
，，
又，為等腰直角三角形，.
，，
又，所以，平面,平面，
平面.
（2）由（1）得平面，且，所以建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.
可得，，，
即，.
設(shè)平面的法向量為，則，
解得.
平面的法向量為.
設(shè)二面角為，所以，
則.
37．如圖所示，在幾何體中，四邊形和均為邊長(zhǎng)為2的正方形，，底面，M、N分別為、的中點(diǎn)，.
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)求平面與平面所成角的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)
【分析】（1）依據(jù)題意建立以A為原點(diǎn)，分別以，，方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出和平面的一個(gè)法向量，計(jì)算即可得證.
（2）由（1）得直線的的方向量，平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則由即可得解.
（3）求出平面的一個(gè)法向量，計(jì)算，則由計(jì)算結(jié)果即可得解.
【詳解】（1）如圖，以A為原點(diǎn)，分別以，，方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意可得A0,0,0，，，，，，
，，，
則，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為n1=x1,y1,z1，則，
故，即，則，
令，得，
所以，
所以，又平面，
所以平面.
（2）由（1）得直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
（3）設(shè)平面的一個(gè)法向量，由（1）可得，，
則，故，即，
令，得，
所以，
所以平面與平面所成角的余弦值為.
38．如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面平面ABCD，是邊長(zhǎng)為8的正三角形，，且，點(diǎn)G，H分別是BC，BF的中點(diǎn)．
(1)設(shè)AE與平面DGH相交于點(diǎn)M，求的值；
(2)求平面BDM與平面CDM夾角的余弦值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）延長(zhǎng)FE交HM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連接DN，取AE的中點(diǎn)K，連接KH，得，且，又，得平面CDEF，得，可得CDNF是平行四邊形，則，得；
（2）取AD的中點(diǎn)O，連接OE，可得平面ABCD，以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OG，OE所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面BDM和平面CDM的一個(gè)法向量，利用向量夾角的余弦公式，即可求出平面BDM與平面CDM夾角的余弦值
【詳解】（1）
延長(zhǎng)FE交HM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連接DN，取AE的中點(diǎn)K，連接KH，
∵，H是BF的中點(diǎn)，
∴，且，
∵G，H分別是BC，BF的中點(diǎn)，
∴，
平面，平面，
∴平面，
平面，
又平面平面，
∴，
∴，
∵ABCD是正方形，
∴，
∴CDNF是平行四邊形，
∵，
∴，
∴；
（2）取AD的中點(diǎn)O，連接OE，
∵是正三角形，
∴，
∵平面平面ABCD，
∴平面ABCD，
以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OG，OE所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
設(shè)是平面BDM的一個(gè)法向量，
則，∴，
取，則，，
∴，
設(shè)是平面CDM的一個(gè)法向量，
則，∴，
取，則，，
∴，
∴，
∴平面BDM與平面CDM夾角的余弦值為．
39．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng).
(1)求證：.
(2)當(dāng)點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到平面的距離.
(3)在棱AB上是否存在點(diǎn)M，使平面與平面AMC所成的角為？若存在，求出AM的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)存在，.
【分析】（1）利用空間向量數(shù)量積為0，即可證明垂直；
（2）利用空間中點(diǎn)到平面的距離公式求解即可；
（3）利用空間向量求二面角即可.
【詳解】（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA，DC，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)，，
則，，，A1,0,0，.
因?yàn)?，所以?br>所以.
（2）因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以，
從而，，.
設(shè)平面的法向量為n=a,b,c，則，
即，得，
從而，
所以點(diǎn)E到平面的距離.
（3）設(shè)這樣的點(diǎn)M存在，且，，平面與平面AMC所成的角為，
則，，，，.
設(shè)平面的法向量為，
則，
取，得.
平面AMC的一個(gè)法向量，
所以，
由，解得.
所以滿足題意的點(diǎn)M存在，此時(shí).
40．如圖，平行六面體的體積為，，，，．
(1)求點(diǎn)A到平面的距離；
(2)求二面角的正弦值．
【答案】(1)2(2)
【分析】（1）根據(jù)菱形的判定定理可以確定底面ABCD是菱形，結(jié)合線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理和性質(zhì)進(jìn)行求解即可；
（2）由（1）可知OD，0A，兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)平面法向量的性質(zhì)，結(jié)合空間向量夾角公式、同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）由題意可知底面是平行四邊形，且O為底面的中心，
又因?yàn)椋缘酌鍭BCD是菱形，
連結(jié)，
因?yàn)?，?br>所以，，
又平面ABCD，
所以底面ABCD，又平面，
所以平面底面ABCD，
因?yàn)榈酌鍭BCD，底面ABCD，
所以，
又根據(jù)底面ABCD是菱形，可知，
平面，
所以平面，故A0為點(diǎn)A到平面的距離．
因?yàn)椋?br>所以△ACD是邊長(zhǎng)為4的正三角形，所以．
即點(diǎn)A到平面的距離為2．
（2）由（1）可知OD，0A，兩兩互相垂直，
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz．
因?yàn)闉槠叫辛骟w的高，又平行六面體的體積為，
所以，解得．
則O0,0,0，，，，，
所以，，
設(shè)平面的法向量為，則，
即，
取，則，，
所以平面的一個(gè)法向量為，
又平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)二面角的大小為，則，
所以，
故二面角的正弦值為．
考點(diǎn)05：坐標(biāo)處理平行問(wèn)題
線線平行：兩個(gè)向量存在一定的倍數(shù)關(guān)系
線面平行：先求平面的法向量，然后法向量與線垂直即可
面面平行：先求其中一平面的法向量，然后讓法向量與另一個(gè)平面垂直即可
41．如圖，四棱錐中，底面，，分別為線段上一點(diǎn)，.
(1)若為的中點(diǎn)，證明：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值的最大值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)
【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，先證四邊形為平行四邊形，有，再由線面平行的判定定理，得證；
（2）取的中點(diǎn)，連接，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.
【詳解】（1）證明：由已知得，取的中點(diǎn)T，連接，
由N為的中點(diǎn)知，
．又，故，且，
∴四邊形為平行四邊形，∴，
∵平面，平面，
∴平面．
（2）取的中點(diǎn)，連接，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系．
，
不妨設(shè)，
則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x,y,z，
，
取，則.
設(shè)直線與平面所成角為
.
故直線與平面所成角的正弦值的最大值為.
42．如圖，在四棱錐中，底面ABCD，底面ABCD為直角梯形，，，，，E，F(xiàn)，G分別為線段AD，DC，PB的中點(diǎn).
(1)證明：平面平面；
(2)求直線GC與平面PCD所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)
【分析】（1）利用中位線定理得到線線平行，進(jìn)而得到線面平行，再利用面面平行的判定定理證明即可.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量求法求解即可.
【詳解】（1）連接EC，設(shè)與AC相交于點(diǎn)O，如圖，
因?yàn)?，且，?br>所以四邊形為矩形，
所以O(shè)為的中點(diǎn)，又因?yàn)镚為PB的中點(diǎn)，
所以O(shè)G為的中位線，即，
因?yàn)槠矫鍼EF，平面PEF，
所以平面PEF，
因?yàn)镋，F(xiàn)分別為線段AD，DC的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)槠矫鍼EF，平面PEF，
所以平面PEF，
因?yàn)槠矫鍳AC，平面GAC，，
所以平面平面GAC.
（2）因?yàn)榈酌鍭BCD，平面ABCD，平面ABCD，
所以，，因?yàn)椋?br>所以PA,AB,AD兩兩互相垂直，
以A為原點(diǎn)，AB,AD,AP所在的直線為x軸，y軸，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則A0,0,0，，C1,1,0，，P0,0,1，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則，所以，
令，可得，，所以，
設(shè)直線GC與平面所成角為θ，則，
所以直線GC與平面所成角的正弦值為.
43．如圖，在棱長(zhǎng)均為2的四棱柱中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，交平面于點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)已知：條件①平面，條件②，條件③平面平面，從這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使得四棱柱存在且唯一確定，并求二面角的余弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析
【分析】（1）連接，根據(jù)面面平行的性質(zhì)得到，再證明，即可得到，從而得證；
（2）若選擇條件①②，①③，均可說(shuō)明該幾何體為棱長(zhǎng)為的正方體，從而建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得；選擇②③，無(wú)法唯一確定該幾何體.
【詳解】（1）連接，如圖1，
因?yàn)榻黄矫嬗邳c(diǎn)平面，
所以平面，所以平面平面．
又因?yàn)槠矫嫫矫媲移矫嫫矫妫?br>所以，
因?yàn)椋?，所以四邊形是平行四邊形?br>所以，
所以，
因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面?br>（2）由（1）知，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．
若選擇條件①②：
因?yàn)槠矫嫠倪呅蔚睦忾L(zhǎng)相等，而且對(duì)角線，
所以四邊形是正方形，
又因平面，所以．
故如圖2建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸的空間直角坐標(biāo)系，
則，
，
設(shè)平面的法向量為，
由，可取，
因?yàn)槠矫妫云矫娴姆ㄏ蛄繛椋?br>所以，
由題知，二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為．
若選擇條件①③：
因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫妫?br>所以，
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫?br>所以平面，所以，
如圖建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸的空間直角坐標(biāo)系，
則
，
設(shè)平面的法向量為，
由，可取，
因?yàn)槠矫妫云矫娴姆ㄏ蛄繛椋?br>所以，
又由題意知，二面角為鈍角，
所以二面角的余弦值為．
選擇條件②③不合題意，
由條件②，且平面四邊形的棱長(zhǎng)相等，可得四邊形是正方形，
由條件③平面平面，無(wú)法確定與，
故幾何體不能唯一確定．
44．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，，點(diǎn)M是棱PC的中點(diǎn)．
(1)求證：平面PAD；
(2)求平面PAB與平面BMD所成銳二面角的余弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)
【分析】（1）取PD的中點(diǎn)E，連接ME，AE，根據(jù)E是PD的中點(diǎn)，得到，，從而四邊形ABME是平行四邊形，得到，再利用線面平行的判定定理證明；
（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面BDM的一個(gè)法向量n=x,y,z，平面PAB的一個(gè)法向量，設(shè)平面PAB與平面BMD所成銳二面角的大小為θ，由求解．
【詳解】（1）證明：取PD的中點(diǎn)E，連接ME，AE，
因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，
所以，，又，，
所以，，
所以四邊形ABME是平行四邊形，所以，
又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．
（2）解：因?yàn)槠矫鍭BCD，DA，平面ABCD，
所以，，又，，所以．
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．
則，所以．
設(shè)平面BDM的一個(gè)法向量n=x,y,z，又，，
所以
令，解得，，
所以平面BMD的一個(gè)法向量n=1,?1,1．
設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量，又，，
所以
令，解得，，
所以平面PAB的一個(gè)法向量，
設(shè)平面PAB與平面BMD所成銳二面角的大小為θ，
所以．
即平面PAB與平面BMD所成銳二面角的余弦值為．
45．如圖1，在五邊形中，，，且，將沿折成圖2，使得，為的中點(diǎn)．
(1)證明：平面；
(2)若與平面所成的角為，求二面角的正弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)
【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，從而證明平面，平面，即可得到平面平面，即可得證．
（2）推導(dǎo)出平面，平面，平面平面，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的正弦值．
【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，，
，為的中點(diǎn)，，
又，．
又平面，平面，平面．
為的中點(diǎn)，．
又平面，平面，平面，
又，平面，平面平面，
又BF?平面，平面．
（2），由（1）知，，
又，為的中點(diǎn)，，
又，平面，平面，
又平面，，
又，，平面，平面，
又平面，平面平面，
連接，，為的中點(diǎn)，，
又平面平面，平面，
平面，平面，，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
是與平面所成的角，即，
，設(shè)，則，，，，
，，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，得，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，得，
設(shè)二面角的平面角為，
，
所以，即二面角的正弦值為．
46．如圖，四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為4的菱形，，，E為中點(diǎn)，與交點(diǎn)為O．
(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面；
(3)若，求點(diǎn)C到平面的距離．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)
【分析】（1）只需證明，結(jié)合線面平行的判定定理即可得解；
（2）只需證明平面，在結(jié)合面面垂直的判定定理即可得解；
（3）首先證明面，由等體積法即可列方程求解.
【詳解】（1）設(shè)，連結(jié)，
∵E為中點(diǎn)，O為中點(diǎn)，∴，
又∵平面，平面，∴平面；
（2）連結(jié)，∵，O為中點(diǎn)，∴，
又∵底面為菱形，∴，∵且兩直線在平面內(nèi)，∴平面，
又∵平面，∴平面平面；
（3）由（2）得：，由，同理可得：，
而平面，
∴面可求：，，，
∴，
而中，，可求：，，
可求：，
而，則，
則即為所求點(diǎn)C到平面的距離．
47．已知四棱錐分別為的中點(diǎn)，平面.
(1)若，證明：平面；
(2)若，二面角的大小為，求.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)
【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)定理可得，且，即可得到，再由線面平行的判定定理，即可證明；
（2）方法一：作交，連接，由二面角的定義可得是二面角的平面角，再由勾股定理代入計(jì)算，即可求解；方法二：建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及二面角的公式代入計(jì)算，即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>又，且PA∩PC=P，，平面
所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以?br>與共面，所以，
又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?
（2）法1：如圖，作交于，連接.
由得與全等，
所以，所以與全等，
所以，且，
是二面角的平面角，
，又因?yàn)?，所以?br>所以，
在中，，由，解得，
所以，所以.
法2：如圖，以為原點(diǎn)，所在直線分別為，軸，
建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，
設(shè)，則，
所以，，，
設(shè)面的法向量為，
由，令，可得，
設(shè)面的法向量為，由，
令，可得.
設(shè)二面角的大小為，則，所以，
.
48．如圖，在三棱柱中，平面平面，，分別為棱的中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面的夾角的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)
【分析】（1）根據(jù)條件得到且，從而有四邊形為平行四邊形，得到為的中點(diǎn)，則有，再利用線面平行的判定定理，即可求解；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量，再利用面面角的向量法，即可求解.
【詳解】（1）如圖，連接，設(shè)，連接，
因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn)，所以且，
所以四邊形為平行四邊形，則為的中點(diǎn)，
又為的中點(diǎn)，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）因?yàn)椋?br> 所以，
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫?，平面平面ABC=AB，
所以平面，得到，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，由，得到，
所以，
易知平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面的法向量為，
由，得到，令，得，
所以平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
考點(diǎn)06：坐標(biāo)處理垂直問(wèn)題
線線垂直：兩個(gè)向量乘積等于0
線面垂直：線與平面中任意兩條相交直線乘積等于0
面面垂直：求兩個(gè)平面的法向量，然后兩個(gè)法向量乘積等于0即可
49．如圖所示，是的直徑，點(diǎn)是上異于的動(dòng)點(diǎn)，平面，分別為的中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)若，二面角的正弦值為，求.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)2
【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理證明平面，再由即可得證；
（2）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的法向量，結(jié)合向量夾角的坐標(biāo)公式即可進(jìn)一步求解.
【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>因?yàn)槭堑闹睆?，所以?br>因?yàn)?，平面，所以平面?br>因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，
所以平面；
（2）如圖，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，設(shè)，且，
所以，，易知平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，所以，
即，取，得，所以，
因?yàn)槎娼堑恼抑禐?，則其余弦值的絕對(duì)值為，
所以，化簡(jiǎn)得，，
又因?yàn)?，所以，解得，即?br>所以，故.
50．如圖，在平行六面體中，，
(1)證明：平面；
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2).
【分析】（1）利用向量數(shù)量積證明線線垂直，可證線面垂直；
（2）求平面的法向量，運(yùn)用向量法求點(diǎn)到平面的距離.
【詳解】（1）(法一)
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檩S非負(fù)方向，方向?yàn)檩S非負(fù)方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)，，，
由，得，
由，得，
由，得，即，
再由得，
則，則，故，
又，，平面，
則平面；
(法二)
，
則，
又，，平面，
則平面；
（2）設(shè)平面的法向量n=x,y,z，由（1）得，
則，不妨取，則，即，
又，設(shè)點(diǎn)到到平面的距離為，
則，故到面的距離為.
51．如圖，在平行四邊形中，，，為邊上的點(diǎn)，，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且三棱柱的體積為.
(1)證明：平面平面PAE；
(2)求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)
【分析】（1）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，可以證明平面，所以，而，再由面面垂直的判定求解；
（2）以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩個(gè)平面的法向量求解．
【詳解】（1）證明：由，，為正三角形.
設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，
則.易知，，
所以.
所以，，，
故平面，平面，所以.
又易知中，，，
又平面，
所以平面.
又平面PAE，所以平面平面PAE.
（2）由（1）知,
取的中點(diǎn)，連接,則；又平面，
以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為，，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示，則，，，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，則，
即，
令，則，，故.
設(shè)平面的法向量為，
則，即，令，則，，
故，所以，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
52．在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，上，且，．

(1)求證：平面AEF；
(2)當(dāng)，，時(shí)，求平面AEF與平面所成二面角的余弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)
【分析】（1）分別由，，得到，，再利用線面垂直的判定定理證明；
（2）分別以AB、AD、為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，連接AC，求得平面的一個(gè)法向量n=x,y,z，易得是平面AEF的一個(gè)法向量，設(shè)平面AEF和平面所成的角為，由求解.
【詳解】（1）解：因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以，又，平面
所以平面AEF；
（2）分別以AB、AD、為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，連接AC，

因?yàn)?，，?br>則，
所以，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x,y,z，
則，，
所以，所以可取，
又因?yàn)槠矫鍭EF，
所以是平面AEF的一個(gè)法向量，
設(shè)平面AEF和平面所成的角為，
則，
所以平面AEF和平面所成的角的余弦值為．
53．在三棱錐P—ABC中，，，E為AC的中點(diǎn)，．

(1)求證：平面平面ABC；
(2)求點(diǎn)C到平面PAB的距離．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)．
【分析】（1）先證，再證平面由線面垂直推出面面垂直即得；
（2）先證平面，建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)向量坐標(biāo)，利用點(diǎn)到平面距離的向量公式計(jì)算即得.
【詳解】（1），E為AC的中點(diǎn)，
又，且平面，故平面．
又平面ABC，所以平面平面ABC
（2）在三角形ABC中：，

由（1）知平面．因平面．
又E為AC的中點(diǎn)，則垂直平分AC，，
，又
，即，又平面，故得，平面.
故可以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在方向?yàn)閤軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.

則，，，，
，，，
設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為，則
令，得．
設(shè)點(diǎn)C到平面PAB的距離，則．
54．如圖，在四棱錐中，平面平面，為等邊三角形，，，為的中點(diǎn).
(1)證明：平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)
【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，即可得到，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，從而證明平面，即可得到，再由，即可得證；
（2）由（1）可得平面，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.
【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)闉榈冗吶切?，所以?br>又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面?br>因?yàn)槠矫妫裕?br>又平面，所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以?br>因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，
因?yàn)槠矫妫遥?br>所以平面.
（2）因?yàn)?，由?）知四邊形為矩形，則，
又平面，所以平面，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
取平面的法向量為，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，令，則，
所以.
，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
55．如圖，在三棱錐P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC.

(1)求證：平面PAC⊥平面PBC；
(2)若AC=BC=PA，M是PB的中點(diǎn)，求AM與平面PBC所成角的正切值；
(3)在（2）的條件下，求平面PAB與平面PBC夾角的正弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)2(3)
【分析】（1）由面面垂直的判定定理求證；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由求解；
（3）由求解．
【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以?br>又平面平面，得，
而平面，
得平面，
因?yàn)槠矫?，所以平面平面?br>（2）解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)，則，
得，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為：，
則，取，得，
設(shè)與平面所成角為，
則，
得，得，
則與平面所成角的正切值為：
（3）解：
設(shè)平面的一個(gè)法向量為：，
則，取，得，
設(shè)平面與平面所成角為，
則，
得，
故平面與平面夾角的正弦值為：
56．如圖①，在等腰梯形中，，，，，分別是線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，若把等腰梯形沿虛線，折起，使得點(diǎn)和點(diǎn)重合，記為點(diǎn)，如圖②.

(1)求證：平面平面；
(2)求平面PAE與平面所成銳二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)
【分析】（1）通過(guò)證明來(lái)證得平面，由此證得平面平面.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法計(jì)算出平面PAE與平面所成銳二面角的余弦值.
【詳解】（1）由題意可知：四邊形ABEF是正方形，
則，且，平面PEF，
所以平面PEF，
因?yàn)槠矫鍭BEF，所以平面平面ABEF．
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作BE的平行線交AB于點(diǎn)G，
因?yàn)槠矫嫫矫鍭BEF，平面平面，平面，
則平面ABEF．
又因?yàn)镻O，EF，OG所在直線兩兩垂直，
所以分別以O(shè)G，OE，OP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則.
所以.
設(shè)平面PAE的法向量為n1=x1,y1,z1，則，
設(shè)，則，可得.
設(shè)平面的法向量為，則，
設(shè)z2=2，則，可得.
設(shè)平面PAE與平面所成銳二面角為，
則，
所以平面PAE與平面所成銳二面角的余弦值為.

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