考點01：指數基礎運算及特殊運算
1、有理數指數冪的分類
⑴正整數指數冪
⑵零指數冪
⑶負整數指數冪
⑷0的正分數指數冪等于0,0的負分數指數冪沒有意義.
2、有理數指數冪的性質
⑴
⑵
⑶
⑷
3、根式的定義
一般地，如果，那么叫做的次根式，其中叫做根式，叫做根指數，叫做開方數.
4、對于根式，要注意以下幾點
⑴且；
⑵當為奇數時，；當為偶數時，；
⑶負數沒有偶次方根；
⑷的任何次方根都是
5、多重根號問題，首先先寫成指數形式
，
6、指數的逆運算過程
特殊運算：形如，求下列各種形式的值的思路．
（1）；根據計算即可；
（2）；根據計算即可；
（3）．由于，進而根據即可求解.
（4）；根據計算即可
（5）根據計算即可
（6）根據計算即可
1．下列各式正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據指數冪的運算性質，準確計算，即可求解.
【詳解】對于A，由指數冪的運算性質，可得，所以A錯誤；
對于B，由指數冪的運算性質，可得，所以B錯誤；
對于C，由指數冪的運算性質，可得，所以C錯誤；
對于D，由指數冪的運算性質，可得
，所以D正確.
故選：D.
2．用分數指數冪的形式表示的結果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據根式與分數指數冪的互化原則直接化簡即可.
【詳解】，.
故選；B.
3．化簡的結果為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用根式的運算性質即可得出答案.
【詳解】，.
故選：D
4．計算，結果是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】根據給定條件，利用指數冪的運算及根式的意義計算作答.
【詳解】.
故選：B
5．函數的導數為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】把函數化為分數指數冪，根據導數公式可求出結果.
【詳解】，則.
故選：B
6．化簡的結果為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用平方差公式化簡即可.
【詳解】
=
=
=
=
=
=
=
故選：B
7．已知，則的值是（ ）
A．15B．12C．16D．25
【答案】A
【分析】利用分數指數冪的運算即可求出結果.
【詳解】因為，
所以，
又由立方差公式，，
故選：A．
8．化簡的結果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先分析的取值范圍，再進行根式化簡.
【詳解】由題意得，，即，
所以.
故選：B
9．下列各式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據指數冪的運算性質可判斷AC選項；根據根式與指數冪的互化可判斷BD選項.
【詳解】對于A選項，，A選項錯誤；
對于B選項，，B選項錯誤；
對于C選項，，C選項錯誤；
對于D選項，，D選項正確.
故選：D.
10．設，，為奇函數，則的值為 ．
【答案】
【分析】先化簡已知函數，再由函數為奇函數可得，由此式可解的值．
【詳解】要使為奇函數，∵ ,∴需，
∴，
由,得,．
故答案為：1.
考點02：對數基礎運算
對數運算法則
①外和內乘：②外差內除：
③提公次方法：④特殊對數：
⑤指中有對，沒心沒肺，真數為幾，直接取幾：
2、對數的定義
一般地，如果，那么數叫做以為底的對數，記,其中叫做對數的底數，叫做對數的真數
3、換底公式
①常用換底②倒數原理
③約分技巧④具體數字歸一處理：
11．下列等式正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據題意，結合指數冪與對數的運算法則及運算性質，逐項計算，即可求解.
【詳解】對于A中，由，所以A正確；
對于B中，由，所以B錯誤；
對于C中，由，所以C錯誤；
對于D中，由，所以D錯誤．
故選：A
12．若實數，，滿足且，則（ ）
A．B．12C．D．
【答案】D
【分析】根據指對數的互化可得，，代入，即可計算得到的值.
【詳解】因為且，易知且，
所以，，
所以，，
所以，則.
故選：D．
13．工廠廢氣排放前要過濾廢氣中的污染物再進行排放，廢氣中污染物含量（單位：mg/L）與過濾時間小時的關系為（，均為正的常數）．已知前5小時過濾掉了10%污染物，那么當污染物過濾掉50%還需要經過（ ）（最終結果精確到1h，參考數據：，）
A．43hB．38hC．33hD．28h
【答案】D
【分析】先確定廢氣中初始污染物含量，由題意求出常數，即可解出．
【詳解】∵廢氣中污染物含量與過濾時間小時的關系為，
令，得廢氣中初始污染物含量為，
又∵前5小時過濾掉了10%污染物，
∴，則，
∴當污染物過濾掉50%時，，
則，
∴當污染物過濾掉50%還需要經過.
故選：D.
14．若，，則（ ）
A．1B．－1C．2D．－2
【答案】A
【分析】本題考查指數式與對數式的互化、對數的運算法則、換底公式的應用.
【詳解】由，
所以
故選：A
15．設，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用換底公式可得，結合對數運算性質分析求解.
【詳解】根據換底公式有，，
可得，整理得.
故C正確，檢驗可知其他選項均不符合.
故選：C.
16．已知定義在上的奇函數滿足，當時，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據給定條件，探討函數的周期，再利用對數函數單調性及指對數運算計算即得.
【詳解】在上的奇函數滿足，則，
于是，即函數的周期為4，
而，則，，又當時，，
所以.
故選：A
17．已知，，用a，b表示為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由指對互化得，再把利用換底公式計算可得答案.
【詳解】因為，所以，
.
故選：C.
18． ．
【答案】
【分析】根據給定條件，利用換底公式及對數運算性質計算即得.
【詳解】
.
故答案為：
19．方程的正實數解為 .
【答案】
【分析】運用對數的運算性質先證，可得原方程為，，可得，再由復合函數的單調性和指數函數、對數函數的單調性，即可得到方程的解．
【詳解】先證（且，且，且），
令，，兩邊取為底的對數，
可得，，
所以，所以，即，
則即為，
可得，
由于在上單調遞增，，在上單調遞減，
所以，在上單調遞減，
可得在上單調遞減，
又時，即時，有，
則原方程的解有且只有一個為.
故答案為：
20．已知，，則 ．
【答案】64
【分析】將利用換底公式轉化成來表示即可求解.
【詳解】由題，整理得，
或，又，
所以，故
故答案為：64.
考點03：指對數函數底數大小的比較
形如：
圖象如下：
先畫一條的直線，明確交點，由下至上底數越來越大.
形如：確定大小關系
其中，
先畫一條的直線，明確交點，由左至右底數越來越大.故
21．圖中曲線分別表示的圖像，，的關系是（ ）
A．B．
C．D．
解：如圖所示：
當時，，因為，
所以故選：C
22．圖中曲線分別表示，，，的圖象，的關系是（ ）
A．a

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