考點(diǎn)01：直線的傾斜角與斜率（范圍）
法一：定義法：
已知直線的傾斜角為，且，則該直線的斜率
法二：公式法：
經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線的斜率公式：．
注意：①斜率公式與兩點(diǎn)的順序無關(guān)，即
②特別地：當(dāng)時(shí)，；此時(shí)直線平行于軸或與軸重合；當(dāng)時(shí)，不存在，此時(shí)直線的傾斜角為，直線與y軸平行或重合．
法三：數(shù)形結(jié)合求斜率范圍
已知一條線段的端點(diǎn)及線段外一點(diǎn)，求過點(diǎn)的直線與線段有交點(diǎn)的情況下直線的斜率的取值范圍，若直線的斜率均存在，則步驟如下：
第一步：連接
第二步：由斜率公式求出
第三步：結(jié)合圖象逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（遞增），當(dāng)接近垂直時(shí)為，一旦跨過垂直線則為
逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（仍為遞增）.
1．已知點(diǎn)，，若直線過點(diǎn)且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（ ）
A．或B．或
C．或D．
【答案】D
【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間斜率公式計(jì)算即可.
【詳解】直線的斜率為，直線的斜率為，
結(jié)合圖象可得直線的斜率的取值范圍是.
故選：D
2．已知，若點(diǎn)在線段上，則的最小值為（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】利用兩點(diǎn)連線的斜率公式知表示點(diǎn)Px,y和點(diǎn)連線的斜率，再數(shù)形結(jié)合，即可求出結(jié)果.
【詳解】如圖，因?yàn)楸硎军c(diǎn)Px,y和點(diǎn)連線的斜率，
又，所以，，
由圖知，的最小值為，

故選：C.
3．設(shè)點(diǎn)，直線過點(diǎn)且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（ ）
A．或B．或C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件求出直線的斜率，再畫出圖形分析可得或，從而即可得解.
【詳解】依題意，直線的斜率分別為，
如圖所示：
若直線過點(diǎn)且與線段相交，
則的斜率滿足或，
即的斜率的取值范圍是或 .
故選：B
4．已知點(diǎn)、、， 過點(diǎn)C的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．以上都不對(duì)
【答案】C
【分析】過點(diǎn)C的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合，得到直線l的斜率或，進(jìn)而求解即可
【詳解】如圖，過點(diǎn)C的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率或，
而，于是直線l的斜率或，
所以直線l斜率k的取值范圍是，
故選：C
5．已知兩點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線與線段（含端點(diǎn)）有交點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】畫出圖像，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)傾斜角變化得到斜率的取值范圍.
【詳解】如圖所示，

直線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置才能保證過點(diǎn)的直線與線段有交點(diǎn)，
從轉(zhuǎn)到過程中，傾斜角變大到，斜率變大到正無窮，
此時(shí)斜率，所以此時(shí)；
從旋轉(zhuǎn)到過程中，傾斜角從開始變大，斜率從負(fù)無窮開始變大，
此時(shí)斜率，所以此時(shí)，
綜上可得直線的斜率的取值范圍為?∞,?1∪1,+∞.
故選：A
6．已知點(diǎn)A(0，3)，B(3，2)，直線l過點(diǎn)且與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是（ ）
A．[－2，0)∪(0，]B．(－∞，－]∪[2，＋∞)
C．[－2，]D．(－∞，－2]∪[，＋∞)
【答案】D
【分析】求出和，數(shù)形結(jié)合觀察滿足直線l過點(diǎn)且與線段AB有公共點(diǎn)下斜率的變化情況即可求出結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意，作出圖形如下圖：
直線PA的斜率為，直線PB的斜率為，
所以由圖可知過點(diǎn)且與線段AB有公共點(diǎn)時(shí)，直線l的斜率取值范圍是.
故選：D.
7．已知直線，若直線與連接，兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線的傾斜角范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合可求出直線的斜率的取值范圍，即可得出直線的傾斜角的取值范圍.
【詳解】直線的方程可化為，
聯(lián)立方程組，可得，所以直線過定點(diǎn)，
設(shè)直線的斜率為，直線的傾斜角為，則，
因?yàn)橹本€的斜率為，直線的斜率為，
因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，且與線段總有公共點(diǎn)，
所以，即，
因?yàn)?，所以或?br>故直線的傾斜角的取值范圍是．
故選：D．
8．設(shè)點(diǎn)，若直線與線段有交點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求得直線的斜率為，且恒過定點(diǎn)，求得，結(jié)合題意，求得或，即可求解.
【詳解】由直線，可得，
可得直線的斜率為，且恒過定點(diǎn)，則，
如圖所示，要使得直線與線段有交點(diǎn)，則或，
可得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：A.

9．已知直線和以，為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可知直線恒過定點(diǎn)，根據(jù)斜率公式結(jié)合圖象分析求解.
【詳解】因?yàn)橹本€恒過定點(diǎn)，如圖.
又因?yàn)?，，所以直線的斜率k的范圍為.
故選：C.
10．已知點(diǎn)，若過點(diǎn)的直線與線段相交，求直線的斜率的取值范圍為（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】A
【詳解】由題知直線過定點(diǎn)，進(jìn)而作出圖形，數(shù)形結(jié)合求解即可得答案.
【分析】解：直線方程為轉(zhuǎn)化為，
所以直線過定點(diǎn)，且與線段相交，如圖所示，
則直線的斜率是，
直線的斜率是，
則直線與線段相交時(shí)，它的斜率的取值范圍是或.
故選：A．
考點(diǎn)02：兩直線的位置關(guān)系求參
Ⅰ：平行定理
①當(dāng)兩條直線的斜率存在時(shí)，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式為例來研究直線平行的判定
設(shè)兩條直線分別為：，：
若，則的傾斜角相等，即由，可得，即，此時(shí)；反之也成立．
所以有且
②當(dāng)兩條直線的斜率都不存在時(shí)，二者的傾斜角均為，若不重合，則它們也是平行直線
注意：當(dāng)不考慮斜率，即給出直線的一般式時(shí)，有如下結(jié)論：
設(shè)兩條直線分別為：，： 可得（其中分母不為0）
Ⅱ：垂直定理
①當(dāng)兩條直線的斜率存在且不為0時(shí)，均可化成它的斜截式方程，
即
②兩條直線中，一條斜率不存在，同時(shí)另一條斜率等于零，則兩條直線垂直．
由①②得，兩條直線垂直的判定就可敘述為：一般地，或一條斜率不存在，同時(shí)另一條斜率等于零．
注意：當(dāng)不考慮斜率，即給出直線的一般式時(shí)，有如下結(jié)論：
設(shè)兩條直線分別為：，： 可得
11．“”是“直線與直線平行”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】根據(jù)兩直線平行的充要條件求出的值即可得解.
【詳解】若直線與直線互相平行且不重合，
則，解得，故.
所以“”是“直線與直線互相平行且不重合”的充要條件．
故選：C．
12．已知直線與直線平行，則實(shí)數(shù)（ ）
A．B．1C．或1D．
【答案】C
【分析】由直線平行的充要條件列式運(yùn)算即可求解.
【詳解】已知直線與直線平行，
則當(dāng)且僅當(dāng)，解得或.
故選：C.
13．是直線與直線平行的（ ）
A．充分非必要條件B．必要非充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件，由兩直線平行求出，再利用充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】由直線與直線平行，得且，解得或，
所以是直線與直線平行的充分非必要條件.
故選：A
14．已知直線：和直線：，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)直線平行求得或，再結(jié)合包含關(guān)系分析充分、必要條件.
【詳解】若，則，解得或，
若，則直線：、直線：，可知；
若，則直線：、直線：，可知；
綜上所述：或.
因?yàn)槭堑恼孀蛹?br>所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
15．已知直線與直線互相垂直，交點(diǎn)坐標(biāo)為，則的值為（ ）
A．20B．C．0D．24
【答案】B
【分析】根據(jù)兩直線垂直可求出的值，將公共點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程，可得出的值，再將公共點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程，可得出的值，由此可得出的值.
【詳解】已知直線的斜率為，直線的斜率為．
又兩直線垂直，則，解得．
，即，
將交點(diǎn)代入直線的方程中，得．
將交點(diǎn)代入直線的方程中，得．
所以，．
故選：B．
16．已知，，直線和垂直，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由題意利用兩直線垂直的性質(zhì)，求得，再利用基本不等式，求得的最小值．
【詳解】，，直線，，且，
，即．
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故的最小值為8，
故選：B．
17．已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)等于（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合直線垂直斜率之間關(guān)系即可得到方程，求解即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，
又因?yàn)橹本€斜率為，
所以，即.
故選：D.
18．當(dāng)圓截直線所得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，實(shí)數(shù)（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】先求出直線必過的定點(diǎn)，分析該定點(diǎn)在圓內(nèi)，結(jié)合弦長(zhǎng)最短建立方程求解即可.
【詳解】將直線的方程變形為，由，可得，
所以，直線經(jīng)過定點(diǎn)，
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為C0,1，
因?yàn)?，即點(diǎn)在圓內(nèi)，
故當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離取最大值，此時(shí)，直線截圓所得弦長(zhǎng)最短，
，直線的斜率為，所以，，解得．
故選：B．
考點(diǎn)03：點(diǎn)線距離及線線距離
①兩點(diǎn)間的距離：已知?jiǎng)t
②點(diǎn)到直線的距離:
③兩平行線間的距離：兩條平行直線與的距離公式．
注意：應(yīng)用此公式時(shí)，要把兩直線化為一般式，且的系數(shù)分別相等．
19．圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為（ ）
A．3B．4C．5D．9
【答案】C
【分析】求出圓心到直線的距離加上圓的半徑即可得答案.
【詳解】圓的圓心為，半徑，
則圓心到直線的距離為，
所以圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為.
故選：C.
20．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，動(dòng)點(diǎn)滿足，且，則下列說法正確的是（ ）
A．點(diǎn)的軌跡為圓B．點(diǎn)到原點(diǎn)最短距離為2
C．點(diǎn)的軌跡是一個(gè)正方形D．點(diǎn)的軌跡所圍成的圖形面積為24
【答案】D
【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算用表示出，結(jié)合可得的關(guān)系，從而可求出點(diǎn)的軌跡方程，再逐個(gè)分析判斷.
【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，?dòng)點(diǎn)滿足，
所以，得，
因?yàn)?，所以?br>即點(diǎn)的軌跡方程為，
當(dāng)時(shí)，方程為，
當(dāng)時(shí)，方程為，
當(dāng)時(shí)，方程為，
當(dāng)時(shí)，方程為，
所以點(diǎn)對(duì)應(yīng)的軌跡如圖所示，且，,
所以點(diǎn)的軌跡為菱形，所以AC錯(cuò)誤，
原點(diǎn)到直線的距離為，所以B錯(cuò)誤，
點(diǎn)的軌跡所圍成的圖形面積為，所以D正確.
故選：D

21．已知橢圓，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在上，且點(diǎn)與不重合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)，，由題意可得的斜率為，由兩點(diǎn)的斜率公式可得，的一個(gè)關(guān)系式，由，的中點(diǎn)在直線方程上，從而可得的坐標(biāo)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，可求出的值．
【詳解】不妨設(shè),，
由題意可得，即：，
又的中點(diǎn)在直線上，
所以，解得y0=t，故，
而在橢圓上．故，解得或，
由于時(shí)與坐標(biāo)相同，故．
故選：C．

22．已知為函數(shù)，圖象上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分析可知當(dāng)曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最小，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義運(yùn)算求解.
【詳解】設(shè)，由題意得，
當(dāng)曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最小，
則，得，，
所以點(diǎn)到直線的距離的最小值為．
故選：A.
23．直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解方程組求出兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再求出直線上的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)即可求解.
【詳解】由，解得，則直線與直線交于點(diǎn)，
在直線上取點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，
依題意，，整理得，解得，即點(diǎn)，
直線的方程為，即，
所以直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程為.
故選：D
24．曲線上的點(diǎn)到直線距離的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可求解.
【詳解】令，則，
設(shè)該曲線在點(diǎn)處的切線為，
需求曲線到直線的距離最小，必有該切線的斜率為2，
所以，解得，則切點(diǎn)為，
故切線的方程為，即，
所以直線到直線的距離為，
即該曲線上的點(diǎn)到直線的最小距離為.
故選：C
25．已知過拋物線的焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，且，若點(diǎn)在拋物線上，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)，，從而得到，利用拋物線的定義得到，解得，根據(jù)題意可知點(diǎn)在直線上，故將的最小值轉(zhuǎn)化為求與平行的切線與直線之間的距離.
【詳解】設(shè)，由的中點(diǎn)為，得，
由拋物線的定義可得，
又，所以，故拋物線的方程為．
易知點(diǎn)在直線上，
設(shè)與平行且與拋物線相切的直線方程為，
由，可得，
則，得，
則切線與直線之間的距離即的最小值，故的最小值為．
故選：A
26．平行直線與之間的距離為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先通過平行求出，再利用平行線的距離公式求解.
【詳解】因?yàn)?，所以，?br>解得，所以，
故兩平行直線間的距離．
故選：C．
考點(diǎn)04：直線的對(duì)稱問題（秒殺）
點(diǎn)關(guān)于直線成軸對(duì)稱問題（所有對(duì)稱都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱）
由軸對(duì)稱定義知，對(duì)稱軸即為兩對(duì)稱點(diǎn)連線的“垂直平分線”利用“垂直”“平分”這兩個(gè)條件建立方程組，就可求出對(duì)頂點(diǎn)的坐標(biāo)一般情形如下：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則有
，可求出、．
27．過直線上的點(diǎn)P作圓C：的兩條切線，，當(dāng)直線，關(guān)于直線對(duì)稱時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系、兩直線的交點(diǎn)等知識(shí)求得正確答案.
【詳解】圓的圓心為，
直線關(guān)于直線對(duì)稱時(shí)，與直線垂直，
所以直線的方程為，
由解得，所以.
故選：A.
28．已知從點(diǎn)發(fā)出的一束光線，經(jīng)軸反射后，反射光線恰好過點(diǎn)，則入射光線所在的直線方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】運(yùn)用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求出關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)，后運(yùn)用光線反射規(guī)律，結(jié)合兩點(diǎn)式方程，求出入射光線方程即可.
【詳解】運(yùn)用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求出關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)，與在同一條直線上，
運(yùn)用兩點(diǎn)式得到入射光線所在的直線方程為，整理得.
則入射光線所在的直線方程為.
故選：A.
29．已知與關(guān)于直線對(duì)稱，則下列說法中錯(cuò)誤的是（ ）
A．直線過,的中點(diǎn)B．直線的斜率為
C．直線的斜率為3D．直線的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)是
【答案】B
【分析】根據(jù)與關(guān)于直線對(duì)稱，逐項(xiàng)判斷可得答案.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)榕c關(guān)于直線對(duì)稱，所以直線過，的中點(diǎn)，故A正確；
對(duì)于B，直線的斜率為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的斜率為3 ，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)橹本€的斜率為3，所以直線的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)是，故D正確.
故選：B.
30．一條光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)軸反射后，若反射光線被圓遮擋，則反射光線的斜率可能為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)直線與圓相交，即可求解斜率的范圍.
【詳解】點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，
設(shè)反射光線的斜率為，直線方程為，整理為，
當(dāng)反射光線與圓相交時(shí)，，解得，
可得反射光線的斜率的取值范圍為，
故選：C．
31．已知是拋物線上一點(diǎn)，圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓為，是圓上的一點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)對(duì)稱性求出圓的方程，設(shè)，求出的最小值，即可求出MN的最小值.
【詳解】圓圓心為，半徑，設(shè)，
則由對(duì)稱性可知：，解得，則，
所以圓，
設(shè)，則，
所以當(dāng)，即時(shí)，，
所以MN的最小值是.
故選：A
32．光線從點(diǎn)射到軸上，經(jīng)軸反射后經(jīng)過圓上的點(diǎn)，則該光線從點(diǎn)A到點(diǎn)的路線長(zhǎng)的最小值是（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】A
【分析】求出點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，則最短路徑的長(zhǎng)為減去圓的半徑，計(jì)算求得結(jié)果
【詳解】由題意可得圓心，半徑點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，
所以，
該光線從點(diǎn)A到點(diǎn)的路線長(zhǎng)的最小值為，
故選：A
33．已知一束光線照射到曲面上一點(diǎn)，其反射光線和入射光線與點(diǎn)處的法線（即過點(diǎn)的切線的垂線）的夾角相等．從平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)發(fā)出的光線，照射到圓上的點(diǎn)，反射后交軸于點(diǎn)，則的值為（ ）
A．2B．3C．4D．
【答案】B
【分析】由題意求出直線的方程以及直線的方程，設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，結(jié)合點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求出的表達(dá)式，代入的方程中，即可求得答案.
【詳解】設(shè)的圓心為．由題意，知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
作出圓與射線，，的大致圖象，如圖，
則與關(guān)于對(duì)稱，由于，，，
故直線的方程為，直線的方程為，
設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則，
解得，又點(diǎn)一定在上，
所以，解得，
故選：B．
34．已知圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為．若點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，則的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱可得，進(jìn)而根據(jù)直線與圓相切，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求解.
【詳解】設(shè)圓的圓心為．
因?yàn)閳A關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為，
圓的圓心為，半徑為2，
所以圓的半徑為2，兩圓的圓心關(guān)于直線對(duì)稱，
則解得即，
故圓的方程為．
的幾何意義為圓上的點(diǎn)Px,y與坐標(biāo)原點(diǎn)O0,0連線的斜率，
如圖，過原點(diǎn)作圓的切線，當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，所以圓心到直線的距離，解得．
由圖可知的最大值是．
故選:A．

考點(diǎn)05：圓的切線和切線長(zhǎng)問題
第一類：求過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程的方法
正規(guī)方法：
第一步：求切點(diǎn)與圓心的連線所在直線的斜率
第二步：利用垂直關(guān)系求出切線的斜率為
第三步：利用點(diǎn)斜式求出切線方程
注意：若則切線方程為，若不存在時(shí)，切線方程為
秒殺方法：
①經(jīng)過圓上一點(diǎn)的切線方程為
②經(jīng)過圓上一點(diǎn)的切線方程為
③經(jīng)過圓上一點(diǎn)的切線方程為
第二類：求過圓外一點(diǎn)的圓的切線方程的方法
方法一：幾何法
第一步：設(shè)切線方程為，即，
第二步：由圓心到直線的距離等于半徑長(zhǎng)，可求得，切線方程即可求出
方法二:代數(shù)法
第一步：設(shè)切線方程為，即，
第二步：代入圓的方程，得到一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，由可求得，切線方程即可求出
注意：過圓外一點(diǎn)的切線必有兩條，當(dāng)上面兩種方法求得的只有一個(gè)時(shí)，則另一條切線的斜率一定不存在，可得數(shù)形結(jié)合求出.
第三類：求斜率為且與圓相切的切線方程的方法
方法一：幾何法
第一步：設(shè)切線方程為，即
第二步：由圓心到直線的距離等于半徑長(zhǎng)，可求得，切線方程即可求出.
方法二:代數(shù)法
第一步：設(shè)切線方程為，
第二步：代入圓的方程，得到一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，由可求得，切線方程即可求出
方法三：秒殺方法
已知圓的切線的斜率為，則圓的切線方程為
已知圓的切線的斜率為，則圓的切線方程為
35．已知點(diǎn)在拋物線M:y2=8x上，過點(diǎn)作圓C:x?42+y2=1的切線，若切線長(zhǎng)為，則點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為（ ）
A．5B．6C．7D．
【答案】A
【分析】由圓的切線的性質(zhì)可求得PC，結(jié)合拋物線方程計(jì)算可得點(diǎn)橫坐標(biāo)，即可得點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離.
【詳解】如圖所示：
設(shè)切點(diǎn)為Q，則|CQ|=1,|PQ|=26，
則PC=CQ|2+PQ|2=12+(26)2=5，
設(shè)Px,y，則由兩點(diǎn)間距離公式得到(x?4)2+y2=(x?4)2+8x=x2+16=5，
解得，因?yàn)閥2=8x≥0，所以，
因?yàn)榈臏?zhǔn)線方程為，所以點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離PE為3??2=5.
故選：A.
36．在平面直角坐標(biāo)系中，圓，若曲線上存在四個(gè)點(diǎn)，過動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線，為切點(diǎn)，滿足，則k的值不可能為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先設(shè)出，利用求出在以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓上，數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為且只需原點(diǎn)到直線的距離小于半徑2即可，用點(diǎn)到距離公式列出不等式，求出的取值范圍可得答案.
【詳解】設(shè)，連接，設(shè)，
則，，所以，
又，
所以，
令，則有，解得：或，
因?yàn)樵趩挝粓A外，所以舍去，
即在以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓上，
因?yàn)榍€上存在四個(gè)點(diǎn)，
即與圓有4個(gè)交點(diǎn)，且過點(diǎn)，
結(jié)合圖象可知，且只需原點(diǎn)到直線的距離小于半徑2即可，
所以，解得：或（舍去）.，
所以、、都符合.
故選：D.
37．若雙曲線的漸近線與圓相切，且圓的圓心是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】求出雙曲線的漸近線方程，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式求解即得.
【詳解】雙曲線的漸近線方程為，
圓的圓心，半徑r=22，
依題意，雙曲線的半焦距，，則，
所以雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為.
故選：B
38．過點(diǎn)作圓的切線，為切點(diǎn)，，則的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)圓的切線的性質(zhì)得出，結(jié)合勾股定理可得，即a2+b2=2，然后設(shè)，將a2+b2=2化為關(guān)于的一元二次方程，利用根的判別式大于等于0，求出的最大值，可得答案．
【詳解】解：根據(jù)題意，圓的圓心為O0,0，半徑.
若與圓相切于點(diǎn)，則，可得，
即a2+b2=2，設(shè)，則，
可得，整理得，
關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)解，所以，解得.
當(dāng)，時(shí)，有最大值，即的最大值是.
故選：C.
39．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，則的值為（ ）
A．4B．C．2D．3
【答案】A
【分析】判斷出最小時(shí)點(diǎn)的位置，進(jìn)而求得此時(shí)的值.
【詳解】由于是圓的切線，所以，所以，
當(dāng)時(shí)，PC最小，此時(shí)最小.
到直線的距離為，
則時(shí)，，，
所以此時(shí)三角形是等腰直角三角形，
所以當(dāng)最小時(shí)，則的值為.
故選：A
40．過點(diǎn)向圓作兩條切線，切點(diǎn)分別為，若，則（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，利用切線長(zhǎng)定理。結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式列式求解即得.
【詳解】圓的圓心，半徑，連接，
依題意，，則，
于是，整理得，
所以或.
故選：D
41．已知點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C：的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)點(diǎn)，根據(jù)給定條件，結(jié)合切線長(zhǎng)定理及二倍角的余弦公式將的函數(shù)，再求出函數(shù)的最小值即得.
【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，
由切圓于點(diǎn)，得，且，
因此，
而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.
故選：D
42．已知圓與拋物線相交于兩點(diǎn)，分別以為切點(diǎn)作的切線. 若都經(jīng)過的焦點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)，聯(lián)立圓與拋物線的方程可得，再結(jié)合圓的切線性質(zhì)及拋物線的定義求得，然后利用二倍角的余弦計(jì)算即得.
【詳解】設(shè)，由消去得：，
則有，又為圓的切線，，
由拋物線的定義得，即有化簡(jiǎn)得：，
解得，因此，整理得，
而，
所以.
故選：C
考點(diǎn)06：圓與圓的位置關(guān)系
設(shè)兩圓圓心分別為，半徑分別為，
①外離4條公切線
②外切3條公切線

③相交2條公切線
④內(nèi)切1條公切線
⑤內(nèi)含無公切線
記憶方法：

43．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)F的坐標(biāo)為，以線段FP為直徑的圓與圓相切，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分兩圓外切和內(nèi)切兩種情況，根據(jù)兩圓位置關(guān)系結(jié)合雙曲線的定義分析求解.
【詳解】由題意可知：圓的圓心為O0,0，半徑，
設(shè)，以線段FP為直徑的圓的圓心為M，半徑為，
若圓與圓外切，則，，
可得；
若圓與圓內(nèi)切，則，，
可得；
綜上所述：，
可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線，且，則，
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為.
故選：B.
44．已知圓 圓則兩圓的公切線條數(shù)為（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】確定兩圓的位置關(guān)系后可得公切線條數(shù)．
【詳解】圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，
則已知兩圓圓心分別為，半徑分別為2,22，
圓心距為，
因此兩圓外切，它們有三條公切線，
故選：B．
45．已知圓C：和兩點(diǎn)，，若圓C上存在點(diǎn)P，使得，則b的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為以為直徑的圓與圓有交點(diǎn)，結(jié)合圖形可得.
【詳解】因?yàn)閳AC上存在點(diǎn)P，使得，
所以，以為直徑的圓與圓有交點(diǎn)，
又以為直徑的圓，圓心為O0,0，半徑為，圓的圓心為，半徑為2，
所以，即，即.
故選：A

46．已知，直線與的交點(diǎn)在圓：上，則的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)兩直線方程可知兩直線分別過定點(diǎn)且垂直，可求得點(diǎn)軌跡方程，再由圓與圓的位置關(guān)系找出圓心距與兩圓半徑之間的關(guān)系可得結(jié)果.
【詳解】易知直線恒過定點(diǎn)A?2,0，
直線恒過定點(diǎn)，
且，易知直線與互相垂直，即可得，
所以點(diǎn)軌跡是以為直徑的圓，圓心為的中點(diǎn)，半徑為；
可得點(diǎn)軌跡方程為；
又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以可得圓與圓有公共點(diǎn)，
當(dāng)兩圓內(nèi)切（圓在外）時(shí)，取得最大值；
此時(shí)滿足，解得.
故選：D
47．已知圓的圓心到直線的距離是，則圓與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相離B．相交C．內(nèi)切D．內(nèi)含
【答案】D
【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求的值，再利用幾何法判斷兩圓的位置關(guān)系.
【詳解】圓：，所以圓心，半徑為.
由點(diǎn)到直線距離公式得：，且，所以.
又圓的圓心，半徑為：1.
所以，.
由，所以兩圓內(nèi)含.
故選：D
48．已知P是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線上存在兩點(diǎn)A，B，使得恒成立，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分析可知以為直徑的圓要內(nèi)含或內(nèi)切圓，根據(jù)兩圓的位置關(guān)系分析求解.
【詳解】已知圓的圓心為，半徑，
若直線上存在兩點(diǎn)A，B，使得恒成立，
則以為直徑的圓要內(nèi)含或內(nèi)切圓，
因?yàn)辄c(diǎn)到直線l的距離，
所以長(zhǎng)度的最小值為，
故選：B．
考點(diǎn)07：圓的公共弦和公共切線
切點(diǎn)弦方程
①過圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為,則過兩點(diǎn)得直線方程為
②過圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為,則過兩點(diǎn)得直線方程為
49．過點(diǎn)作圓：的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則原點(diǎn)到直線的距離為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先求解四邊形的外接圓的方程，再求解直線的方程，即可求解點(diǎn)到直線的距離.
【詳解】由圖可知，，，
則四點(diǎn)共圓，圓的直徑是，點(diǎn)，，
，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以四邊形的外接圓的方程為，
即，圓，
兩式相減得直線的方程，
則原點(diǎn)到直線的距離.
故選：A
50．圓與圓的公共弦長(zhǎng)為（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】?jī)蓤A方程相減可得公共弦所在的直線方程為，即可利用點(diǎn)到線的距離公式以及圓的弦長(zhǎng)公式求解.
【詳解】的圓心和半徑分別為,
，故兩圓相交，
將兩個(gè)圓的方程作差得，即公共弦所在的直線方程為，
又知，，
則到直線的的距離，
所以公共弦長(zhǎng)為，
故選:A．
51．已知圓與圓交于A，B兩點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，兩圓方程相減即可得到直線的方程，再由弦長(zhǎng)公式，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)閳A與圓交于A，B兩點(diǎn)，
則直線的方程即為兩圓相減，可得，
且圓，半徑為，
到直線的距離，
所以.
故選：C
52．已知圓：與圓：交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，的最小值為，則（ ）
A．0B．±1C．±2D．
【答案】C
【分析】先求兩個(gè)圓的公共弦所在直線方程，利用勾股定理求出弦長(zhǎng)的表達(dá)式，結(jié)合最值可得答案.
【詳解】?jī)蓤A的公共弦所在線的方程為：，圓心到直線的距離為，
，因?yàn)椋裕?br>所以，解得.
故選：C
53．若圓與圓恰有一條公切線，則下列直線一定不經(jīng)過點(diǎn)的是（ ）
A．B．
C．x+y?2=0D．
【答案】D
【分析】根據(jù)兩圓公切線條數(shù)確定兩圓位置關(guān)系，從而可得圓心所滿足的軌跡方程，從而逐項(xiàng)判段直線與圓位置關(guān)系，確定直線是否過點(diǎn)即可.
【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，
若圓與圓恰有一條公切線，則兩圓內(nèi)切，
所以，即，所以點(diǎn)的軌跡為圓，
對(duì)于A，圓心到直線的距離為，則該直線過點(diǎn)，故A不符合；
對(duì)于B，圓心到直線的距離為，則該直線過點(diǎn)，故B不符合；
對(duì)于C，圓心到直線x+y?2=0的距離為，則該直線過點(diǎn)，故C不符合；
對(duì)于D，圓心到直線的距離為，則該直線不過點(diǎn)，故D符合；
故選：D.
54．圓和圓的公切線方程是（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】A
【分析】先判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系，確定公切線的條數(shù)，求解出兩圓的公共點(diǎn)，然后根據(jù)圓心連線與公切線的關(guān)系求解出公切線的方程.
【詳解】解：，圓心，半徑，
，圓心，半徑，
因?yàn)椋?br>所以兩圓相內(nèi)切，公共切線只有一條，
因?yàn)閳A心連線與切線相互垂直，，
所以切線斜率為，
由方程組解得，
故圓與圓的切點(diǎn)坐標(biāo)為，
故公切線方程為，即．
故選：A.
考點(diǎn)08：與圓有關(guān)的最值問題
形如：若是定圓上的一動(dòng)點(diǎn)，則求和這兩種形式的最值
思路1：幾何法
①的最值，設(shè)，圓心到直線的距離為由即可解得兩個(gè)值，一個(gè)為最大值，一個(gè)為最小值
②的最值：即點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，數(shù)形結(jié)合可求得斜率的最大值和最小值
思路2：代數(shù)法
①的最值，設(shè)，與圓的方程聯(lián)立，化為一元二次方程，由判別式等于，求得的兩個(gè)值，一個(gè)為最大值，一個(gè)為最小值.
②的最值：設(shè)，則，與圓的方程聯(lián)立，化為一元二次方程，由判別式等于，求得的兩個(gè)值，一個(gè)為最大值，一個(gè)為最小值.
55．已知是圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】的幾何意義為直線的斜率，再根據(jù)直線與圓得交點(diǎn)即可得出答案.
【詳解】設(shè)，變形可得，
則的幾何意義為直線的斜率，
圓化為，
所以圓的圓心為，半徑為.
因?yàn)镻x0,y0是圓上任意一點(diǎn)，
所以圓與直線有公共點(diǎn)，即圓的圓心到直線的距離不大于圓的半徑，
所以，解得，
即的最大為.
故選:D.
56．已知，，，點(diǎn)P是圓上的一點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)，則，利用圓上的點(diǎn)到圓外一點(diǎn)距離最值的特征即可求解.
【詳解】點(diǎn)，B?2,0，，設(shè)，
則，
因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)，
所以表示圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方，
所以的最小值為，
即的最小值為.
故選：D﹒
57．已知為直線上的動(dòng)點(diǎn)，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)，不妨令，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出點(diǎn)的坐標(biāo)，則要使最小，即最小，求出的最小值即可得解.
【詳解】設(shè)，不妨令，
則，
整理得，
又，所以，
則，解得，
所以存在定點(diǎn)，使得，
要使最小，即最小，
則，B，D三點(diǎn)共線，且DA垂直于直線時(shí)取得最小值，如圖所示，
所以的最小值為．
故選：C.
58．已知O是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，，，則的最大值為（ ）
A． B． C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意可得點(diǎn)軌跡是以為圓心，半徑為的圓，再由直線與圓相切可得的最大值為.
【詳解】根據(jù)，可得，
即可得；
即可知點(diǎn)軌跡是以為圓心，半徑為的圓，如下圖所示：
由圖可知，當(dāng)與圓相切時(shí)，取到最大，
又，可知此時(shí).
故選：B.
59．已知點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用圓的最值問題和正弦定理即可求解.
【詳解】圓的圓心，半徑，
圓的圓心， 半徑，
在三角形中，，
根據(jù)正弦定理可得，，即，
所以，
因?yàn)?，?br>所以，
因?yàn)?，所以是銳角，
所以的最大值為.
故選：B.
60．已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)為中點(diǎn)，若，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)垂徑定理可得點(diǎn)在以C0,1為圓心，為半徑的圓上，再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.
【詳解】由題意可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
設(shè)圓心為，半徑為，則C0,1，，
所以由垂徑定理可得，故點(diǎn)在以C0,1為圓心，為半徑的圓上，
因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，
所以PQ的最小值為，
故選：A

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