考點(diǎn)01：三角函數(shù)的定義域與值域
1、三角函數(shù)定義域的求法
求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡單的三角不等式(組)，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解．
注：解三角不等式時(shí)要注意周期，且k∈Z不可以忽略．
（1）分式：分母不能為零；
（2）根式：偶次根式中根號(hào)內(nèi)的式子大于等于0，（如，只要求）對(duì)奇次根式中的被開方數(shù)的正負(fù)沒有要求；（若偶次根式單獨(dú)作為分母，只要偶次根式根號(hào)內(nèi)的式子大于0即可，如，只要求）
（3）零次冪：中底數(shù)；
（4）對(duì)數(shù)函數(shù)：對(duì)數(shù)函數(shù)中真數(shù)大于零，底數(shù)為大于0且不等于；
（5）三角函數(shù)：正弦函數(shù)的定義域?yàn)椋嘞液瘮?shù)的定義域?yàn)?，正切函?shù)的定義域?yàn)? 若，則
2、求解三角函數(shù)的值域(最值)常見的題目類型
(1)形如或的三角函數(shù)，可利用三角函數(shù)的有界性求值域
(2)形如y＝asinωx＋bcsωx＋k的三角函數(shù),可設(shè),逆用和角公式得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)＋k,化為一次函數(shù)型,再求值域(最值)；
對(duì)于由兩類函數(shù)作和、差、乘運(yùn)算而得到的函數(shù)；
例如①（特別的可先用和差角公式展開化為y＝asinω x＋bcsωx＋k的形式;
②即逆用倍角公式化為y＝asinω x＋bcsωx＋k的形式;進(jìn)一步都可以轉(zhuǎn)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后結(jié)合一次函數(shù)求最值。
總結(jié)：逆用兩角和與差的正弦(或余弦)公式、倍角公式轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)型,再由三角函數(shù)的有界性得解.(其中為正弦或余弦函數(shù),為常數(shù))
(3)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)sin x＝t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)，小心定義域?qū)χ涤虻南拗疲?br>對(duì)于由與，由與作和、差運(yùn)算而得到的函數(shù)都可以轉(zhuǎn)化為二次型函數(shù)求最值。
=
(4)形如y＝asin xcs x＋b(sin x±cs x)＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)＝t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)在區(qū)間上的值域，要注意的取值范圍；對(duì)于由與（）作和、差運(yùn)算而得到的函數(shù)，例如，都可以轉(zhuǎn)化為二次型函數(shù)求最值。
(5)形如分式型：等
三角函數(shù)，可用換元法或者從幾何意義的角度結(jié)合圖象來求最值。
①基本類型一:、型
方法一：反解，利用三角函數(shù)的有界性;方法二：分離常數(shù)法．
②基本類型二：型．
轉(zhuǎn)化為，再利用輔助角公式及三角函數(shù)的有界性求其最值；
1．若，，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出向量坐標(biāo)，再求出模長，最后求范圍即可.
【詳解】由已知可得,
則
,
,
所以，
所以.
故選:A.
2．下列函數(shù)中最小值為4的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】根據(jù)基本不等式成立的條件“一正二定三相等”，逐一驗(yàn)證可得選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：令，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故C正確；
對(duì)于D：由題意得，故，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確.
故選：CD.
3．對(duì)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；
B．函數(shù)的對(duì)稱軸是，；
C．若函數(shù)是偶函數(shù)，則的最小值為；
D．函數(shù)在的值域?yàn)椋?br>【答案】ABD
【分析】利用三角恒等變換公式將函數(shù)化簡得，計(jì)算可判斷A；求出函數(shù)的對(duì)稱軸方程可判斷B；根據(jù)為偶函數(shù)求出可判斷C；根據(jù)的范圍求出最大值可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?br>，
因?yàn)?，所以函?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
故A正確；
對(duì)于B，令，解得，
所以函數(shù)的對(duì)稱軸是，，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，
所以，解得，
所以的最小值為，故C正確；
對(duì)于D，當(dāng)，則，當(dāng)，
即時(shí)，，，故D錯(cuò)誤.
故選：ABD
4．函數(shù)，，，則下列說法正確的是（ ）
A．，使得為單調(diào)函數(shù)B．，使得有三個(gè)零點(diǎn)
C．，使得有最大值D．，使得的值域?yàn)?br>【答案】AC
【分析】根據(jù)題意得，區(qū)間長度為.對(duì)于，采用賦值法驗(yàn)證即可；對(duì)于，根據(jù)余弦函數(shù)圖象知，若在區(qū)間有個(gè)零點(diǎn)，則區(qū)間長度最小值為，與題干中的區(qū)間長度矛盾，即可判斷；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，可得有最大值，即可判斷；對(duì)于，根據(jù)，得，解三角函數(shù)不等式即可判斷.
【詳解】，，.
對(duì)于，不防令，則，此時(shí)單調(diào)遞減，故正確；
對(duì)于，根據(jù)余弦函數(shù)圖象知，若在區(qū)間有個(gè)零點(diǎn)，則區(qū)間長度最小值為，
而，故不存在使上述區(qū)間長度為，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，當(dāng)時(shí)，取得最大值，，使得有最大值，故正確；
對(duì)于，由，得，
，
又，故不存在，使得的值域?yàn)?，故錯(cuò)誤.
故選：.
5．已知，，則的值域?yàn)? .
【答案】
【分析】令，再結(jié)合平方關(guān)系將用表示，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出的范圍，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】令，
則，故，
因?yàn)?，所以，所以?br>令，則在單調(diào)遞增，
則當(dāng)，
所以的值域?yàn)?
故答案為：.
6．已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的最小正周期；
(2)若，求函數(shù)的值域．
(3)若函數(shù)在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則求的取值范圍
【答案】(1)最小正周期
(2)
(3)
【分析】（1）利用二倍角公式及兩角和的正弦公式將函數(shù)化簡，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；
（2）由的范圍，求出的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；
（3）首先求出的解析式，由的范圍，求出的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；
【詳解】（1）
，
所以函數(shù)最小正周期.
（2）當(dāng)時(shí)，，
所以，，則，
因比，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋?br>（3）因?yàn)椋?br>，則，
若函數(shù)在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，
則，解得，
即.
7．已知函數(shù).
(1)求；
(2)若方程在區(qū)間上有且僅有3個(gè)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)從以下兩個(gè)條件中選擇一個(gè)，求的解析式.
①若函數(shù)在上的值域?yàn)椋?br>②函數(shù)在上的最大值與最小值差為3.
【答案】(1)
(2)
(3)選擇①，或
選擇②，
【分析】（1）根據(jù)題意，可得，從而得解；
（2）根據(jù)題意，，可得，再由則，且，可確定實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）選擇①，根據(jù)題意可得，又，，分和兩種情況求解；
選擇②，分析可知在上的最大值與最小值差為，由三角函數(shù)圖象變換可知在上先增后減，最大值為1，故，可解.
【詳解】（1）根據(jù)題意，，
即，則，又，所以；
（2）根據(jù)題意，在區(qū)間上有且僅有3個(gè)解，
即，在區(qū)間上有且僅有3個(gè)解，
所以，即，又，所以，
由于，
則，且，
根據(jù)正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)，

可知，
所以；
（3）因?yàn)椋?br>選擇①，當(dāng)時(shí)，，
根據(jù)題意，，所以，
所以，，
因?yàn)楹瘮?shù)在上的值域?yàn)椋矗?br>根據(jù)正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)，可知，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，符合題意，
所以，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，符合題意，
所以，
綜上，或；
選擇②，由函數(shù)在上的最大值與最小值差為3，
即在上的最大值與最小值差為，
又因?yàn)?，可由向左平移后再伸縮得到，
所以在上先增后減，最大值為1，
故，所以，
故.
8．已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)求在上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.
（2）由的取值范圍求出，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.
【詳解】（1），令，
解得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2），因?yàn)?，所以?br>可得，則，
即函數(shù)在上的值域?yàn)椋?br>9．已知函數(shù)，
(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)若，關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用二倍角公式及兩角和的正弦公式化簡，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.
（2）首先得到，的解析式，依題意可得關(guān)于的不等式在上恒成立，參變分離結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出，即可得解.
【詳解】（1）
，
令，解得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）因?yàn)椋?br>所以，
，
因?yàn)楫?dāng)，關(guān)于的不等式恒成立，
即關(guān)于的不等式在上恒成立，
即關(guān)于的不等式在上恒成立，
即關(guān)于的不等式在上恒成立，
因?yàn)?，所以，所以在上恒成立?br>因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，所以，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
10．求函數(shù)的定義域.
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)特征得到不等式，求出答案.
【詳解】欲求函數(shù)定義域，則由，解得，
解得，取，
可得到定義域?yàn)?br>考點(diǎn)02：三角函數(shù)性質(zhì)的考察
1、求三角函數(shù)的周期，一般有三種方法
定義法：直接利用周期函數(shù)的定義求周期．
公式法，即將函數(shù)化為或的形式，再利用求得，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期為eq \f(π,|ω|)
（3）圖象法：利用三角函數(shù)圖象的特征求周期．如：相鄰兩最高點(diǎn)(最低點(diǎn))之間為一個(gè)周期，最高點(diǎn)與相鄰的最低點(diǎn)之間為半個(gè)周期．相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為eq \f(T,2)，相鄰兩對(duì)稱中心間的距離也為eq \f(T,2),相鄰對(duì)稱軸和對(duì)稱中心間的距離也為，函數(shù)的對(duì)稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)．
2、與三角函數(shù)的奇偶性有關(guān)的問題
（1）對(duì)于函數(shù)（A>0,ω>0）：時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)；時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)．
（2）對(duì)于函數(shù)（A>0,ω>0）：時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)；時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)．
3、與三角函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)的問題
（1）求函數(shù)或的單調(diào)區(qū)間，一般將視作整體，代入或相關(guān)的單調(diào)區(qū)間所對(duì)應(yīng)的不等式，解之即得．
（2）當(dāng)ω

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