考點(diǎn)01：拋物線的定義與方程
1．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，，，則l的斜率是（ ）
A．±1B．C．D．±2
2．設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，，，則（ ）
A．1B．2C．4D．22
3．若拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是該點(diǎn)到軸距離的2倍．則（ ）
A．B．1C．D．2
4．已知拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線上的一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則（ ）
A．4B．6C．8D．10
5．已知點(diǎn)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)甲：的運(yùn)動(dòng)軌跡為拋物線，乙：到平面內(nèi)一定點(diǎn)的距離與到平面內(nèi)一定直線的距離相等，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
6．已知點(diǎn)在焦點(diǎn)為的拋物線上，若，則（ ）
A．3B．6C．9D．12
7．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為的直線與直線交于點(diǎn)A，點(diǎn)M在拋物線上，且滿足MA=MF，則（ ）
A．1B．C．2D．
8．點(diǎn)F拋物線的焦點(diǎn)，A，B，C為拋物線上三點(diǎn)，若，則（ ）
A．2B．C．3D．
9．已知拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，到直線的距離為，則的最小值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．已知點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，且點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為3，則（ ）
A．B．1C．2D．4
考點(diǎn)02：與拋物線有關(guān)距離的最值問(wèn)題
11．已知拋物線方程為:，焦點(diǎn)為.圓的方程為，設(shè)為拋物線上的點(diǎn)， 為圓上的一點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．6B．7C．8D．9
12．已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，直線，則到的準(zhǔn)線的距離與到的距離之和的最小值為（ ）
A．B．C．D．
13．已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，圓，點(diǎn)，若點(diǎn)分別在上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
14．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，若點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
15．已知點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上任一點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
16．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)P滿足線段PE的中點(diǎn)在曲線上，則的最小值為（ ）
A．2B．3C．4D．5
17．已知點(diǎn)分別是拋物線和直線上的動(dòng)點(diǎn)，若拋物線的焦點(diǎn)為，則的最小值為（ ）
A．3B．C．D．4
18．設(shè)為拋物線C：上的動(dòng)點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，記到直線、的距離分別、，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
19．已知點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，，則的最小值為（ ）
A．6B．5C．4D．3
20．已知拋物線的焦點(diǎn)為，，點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（ ）
A．3B．5C．7D．8
考點(diǎn)03：拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題
21．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，在拋物線C上存在四個(gè)點(diǎn)P，M，Q，N，若弦與弦的交點(diǎn)恰好為F，且，則（ ）
A．B．1C．D．2
22．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過(guò)拋物線（）的焦點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)，為的準(zhǔn)線，則（ ）
A．B．
C．的面積為D．以為直徑的圓與l有兩個(gè)交點(diǎn)
23．已知拋物線的焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，傾斜角為的直線過(guò)點(diǎn)且與交于，兩點(diǎn)，若的面積為，則（ ）
A．
B．
C．以為直徑的圓與軸僅有1個(gè)交點(diǎn)
D．或
24．已知拋物線，過(guò)動(dòng)點(diǎn)作兩條相互垂直的直線，分別與拋物線相切于點(diǎn)，則面積的最小值是（ ）
A．6B．9C．12D．18
25．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)且斜率為的直線與交于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且于點(diǎn)的垂直平分線交軸于點(diǎn)，四邊形的面積為，（ ）
A．B．C．D．
26．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，直線過(guò)其焦點(diǎn)且與交于兩點(diǎn)，若直線的斜率為，則（ ）
A．B．C．D．
27．在平面直角坐標(biāo)系中，已知過(guò)點(diǎn)的拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作兩條相互垂直的直線，，直線與相交于，兩點(diǎn)，直線與相交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．32B．20C．16D．12
28．雙曲線和拋物線（）的公共焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6，則（ ）
A．16B．12C．10D．8
29．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．1B．C．D．
30．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，則直線的斜率為（ ）
A．B．C．D．
考點(diǎn)04：拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
31．點(diǎn)在拋物線上，若點(diǎn)到點(diǎn)的距離為6，則點(diǎn)到軸的距離為（ ）
A．4B．5C．6D．7
32．是拋物線的焦點(diǎn)，以為端點(diǎn)的射線與拋物線相交于，與拋物線的準(zhǔn)線相交于，若，則
A．B．32C．D．
33．已知雙曲線的右焦點(diǎn)是拋物線C2:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，且它們的公共弦過(guò)點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
34．過(guò)拋物線C：的焦點(diǎn)F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)線段AB的中點(diǎn)N且垂直于l的直線與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)M，若，則l的斜率為（ ）
A．2B．C．1D．
35．已知拋物線的焦點(diǎn)為 ，準(zhǔn)線為，為上一點(diǎn)，，垂足為，與軸交點(diǎn)為，若，且的面積為，則的方程為（ ）
A．B．C．D．
36．已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線分別與拋物線交于點(diǎn)和，且，則四邊形面積的最小值為（ ）
A．4B．8C．16D．32
37．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限）．若，則（ ）
A．2B．3C．4D．5
38．已知拋物線C：，圓C′：，若C與C′交于MN兩點(diǎn)，圓C′與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)P．現(xiàn)有如下說(shuō)法：
①若△PMN為直角三角形，則圓C′的面積為；
②；③直線PM與拋物線C相切．
則上述說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
39．已知雙曲線的離心率為2，拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)過(guò)直線交拋物線于兩點(diǎn)，若與雙曲線的一條漸近線平行，則（ ）
A．16B．C．8D．
40．已知點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，過(guò)的焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于兩點(diǎn).若，則（ ）
A．1B．C．D．3
考點(diǎn)05：拋物線的中點(diǎn)弦問(wèn)題
41．過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，已知，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，則（ ）
A．2B．4C．6D．8
42．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，動(dòng)直線l與拋物線C交于異于原點(diǎn)O的A，B兩點(diǎn)，以線段OA，OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，若點(diǎn)（），則當(dāng)取最大值時(shí)，（ ）
A．2B．C．3D．
43．已知拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線與相交于A，B兩點(diǎn)，且為弦AB的中點(diǎn)，則直線的斜率為（ ）
A．B．C．D．?2
44．已知直線交拋物線于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則直線的斜率為（ ）
A．B．C．D．
45．已知直線恒過(guò)拋物線C：的焦點(diǎn)F，且與C交于點(diǎn)A，B，過(guò)線段AB的中點(diǎn)D作直線的垂線，垂足為E，記直線EA，EB，EF的斜率分別為，，，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
46．若拋物線上兩點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，且，則中點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
47．已知拋物線C：，過(guò)點(diǎn)的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若，則直線l的斜率是（ ）
A．B．4C．D．
48．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，則直線的斜率的最大值為（ ）
A．B．C．D．
49．如圖，已知拋物線E：的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為1的直線交E于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，其垂直平分線交x軸于點(diǎn)C，軸于點(diǎn)N.若四邊形的面積等于8，則E的方程為（ ）
A．B．C．D．
50．若斜率為（）的直線 l 與拋物線和圓M：分別交于A，B和C，D．且，則當(dāng)面積最大時(shí)k的值為（ ）
A．B．C．D．
考點(diǎn)06：直線與拋物線的綜合問(wèn)題
51．拋物線的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與拋物線交于點(diǎn)，，如圖．

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)當(dāng)時(shí)，求弦AB的長(zhǎng)；
(3)已知點(diǎn)，直線，分別與拋物線交于點(diǎn)，．證明：直線過(guò)定點(diǎn)．
52．設(shè)，為曲線上兩點(diǎn)，與的橫坐標(biāo)之和為4.
(1)若與的縱坐標(biāo)之和為4，求直線的方程.
(2)證明：線段的垂直平分線過(guò)定點(diǎn).
53．已知拋物線C：（）的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)F．
(1)求拋物線C的方程；
(2)若A，B是拋物線C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在定點(diǎn)M（異于坐標(biāo)原點(diǎn)O），使得當(dāng)直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)M時(shí)，滿足？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
54．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為2的直線與E交于A，B兩點(diǎn)，.
(1)求E的方程；
(2)直線，過(guò)l上一點(diǎn)P作E的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N.求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).
55．已知?jiǎng)訄A過(guò)點(diǎn)0,1，且與直線相切于點(diǎn)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條切線分別與曲線相切于點(diǎn)，與軸分別交于兩點(diǎn).記，，的面積分別為、、．
（i）證明：四邊形為平行四邊形；
（ii）證明：成等比數(shù)列.
56．在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn).
(1)求拋物線的方程；
(2)若拋物線不經(jīng)過(guò)第二象限，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，，兩點(diǎn)（），過(guò)作軸的垂線交線段于點(diǎn).
①當(dāng)經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；
②求點(diǎn)A到直線的距離的最大值.
57．如圖所示，拋物線的準(zhǔn)線過(guò)點(diǎn)，
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若角為銳角，以角為傾斜角的直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，作線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，證明:為定值，并求此定值.
58．已知拋物線E的準(zhǔn)線方程為：，過(guò)焦點(diǎn)F的直線與拋物線E交于A、B兩點(diǎn)，分別過(guò)A、B兩點(diǎn)作拋物線E的切線，兩條切線分別與y軸交于C、D兩點(diǎn)，直線CF與拋物線E交于M、N兩點(diǎn)，直線DF與拋物線E交于P、Q兩點(diǎn).
(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)證明：為定值.
59．已知平面內(nèi)一動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)，且在軸上截得弦長(zhǎng)為2，動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，曲線上有四個(gè)點(diǎn)，其中是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，記的中點(diǎn)為.
①求直線的斜率：
②求面積的最大值.
60．已知拋物線，其焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線C上，且．
(1)求拋物線的方程；
(2)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線上不同的兩點(diǎn)，且，
（i）求證直線過(guò)定點(diǎn)；
（ii）求與面積之和的最小值
考點(diǎn)鞏固卷20 拋物線方程及其性質(zhì)(六大考點(diǎn))
考點(diǎn)01：拋物線的定義與方程
已知拋物線， 是拋物線的焦點(diǎn)弦， 點(diǎn) 是 的中點(diǎn). 垂直準(zhǔn)線于 ，垂直準(zhǔn)線于，垂直準(zhǔn)線于，交拋物線于點(diǎn)，準(zhǔn)線交 軸于點(diǎn) . 求證：
結(jié)論1： ，
結(jié)論2：
結(jié)論3：以 為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；
證明： 是梯形的中位線，
結(jié)論4：；
結(jié)論5： ；
1．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，，，則l的斜率是（ ）
A．±1B．C．D．±2
【答案】D
【分析】根據(jù)拋物線的定義得到如圖的拋物線，得到，可求得，做在直角三角形中，可求得，結(jié)合斜率的定義進(jìn)行求解即可
【詳解】下圖所示為l的斜率大于0的情況．
如圖，設(shè)點(diǎn)A，B在C的準(zhǔn)線上的射影分別為，，，垂足為H．
設(shè)，，則．
而，所以，
l的斜率為．同理，l的斜率小于0時(shí)，其斜率為．
另一種可能的情形是l經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，可知一交點(diǎn)為，則，
可求得，可求得l斜率為，
同理，l的斜率小于0時(shí)，其斜率為．
故選：D
2．設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，，，則（ ）
A．1B．2C．4D．22
【答案】B
【分析】設(shè)直線的方程為，Ax1,y1，Bx2,y2，聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和拋物線的定義即可求解.
【詳解】設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，
設(shè)直線的方程為，Ax1,y1，Bx2,y2，
聯(lián)立，可得，所以，，
則．因?yàn)?，，所以，?br>則，解得或．因?yàn)?，所以?br>故選：B
3．若拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是該點(diǎn)到軸距離的2倍．則（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】D
【分析】根據(jù)拋物線的方程，結(jié)合拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，利用拋物線的定義，得到拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，根據(jù)題意得到關(guān)于的方程，求解即可．
【詳解】已知拋物線的方程為，可得．
所以焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為：．
拋物線上一點(diǎn)Ax0,y0到焦點(diǎn)F的距離等于到準(zhǔn)線的距離，
即，
又∵A到x軸的距離為，
由已知得，解得．
故選：D．
4．已知拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線上的一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】B
【分析】求出拋物線焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，設(shè)，結(jié)合與拋物線方程，得到，由焦半徑公式得到答案.
【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，
設(shè)，則，解得或（舍去），
則．
故選：B．
5．已知點(diǎn)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)甲：的運(yùn)動(dòng)軌跡為拋物線，乙：到平面內(nèi)一定點(diǎn)的距離與到平面內(nèi)一定直線的距離相等，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合充分條件、必要條件的定義，即可求解．
【詳解】解：當(dāng)直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是過(guò)定點(diǎn)且垂直于該直線的另一條直線，
當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)該定點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為拋物線，
故甲是乙的充分條件但不是必要條件．
故選：A．
6．已知點(diǎn)在焦點(diǎn)為的拋物線上，若，則（ ）
A．3B．6C．9D．12
【答案】A
【分析】由拋物線的定義列方程可得.
【詳解】拋物線，準(zhǔn)線，,
由拋物線的定義可知，解得.
故選：A.
7．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為的直線與直線交于點(diǎn)A，點(diǎn)M在拋物線上，且滿足MA=MF，則（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】C
【分析】由題意先求出過(guò)F且斜率為的直線方程，進(jìn)而可求出點(diǎn)，接著結(jié)合點(diǎn)M在拋物線上且MA=MF可求出，從而根據(jù)焦半徑公式MF=xM+1即可得解.
【詳解】由題意可得F1,0，故過(guò)F且斜率為的直線方程為y=?x?1=?x+1，
令x=?1?y=2，則由題A?1,2，
因?yàn)镸A=MF，所以垂直于直線，故yM=2，
又M在拋物線上，所以由22=4xM?xM=1，
所以MF=xM+1=2.
故選：C.
8．點(diǎn)F拋物線的焦點(diǎn)，A，B，C為拋物線上三點(diǎn)，若，則（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】C
【分析】設(shè)，根據(jù)拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，再由可得為的重心，從而可求出，再根據(jù)拋物線的定義可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)，
由，得，所以，準(zhǔn)線方程為，
因?yàn)椋詾榈闹匦模?br>所以，所以，
所以
，
故選：C
9．已知拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，到直線的距離為，則的最小值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】點(diǎn)到直線的距離為，到準(zhǔn)線的距離為，利用拋物線的定義得，當(dāng)，和共線時(shí)，點(diǎn)到直線和準(zhǔn)線的距離之和的最小，由點(diǎn)到直線的距離公式求得答案.
【詳解】由拋物線知，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，根據(jù)題意作圖如下；

點(diǎn)到直線的距離為，到準(zhǔn)線的距離為，
由拋物線的定義知：，
所以點(diǎn)到直線和準(zhǔn)線的距離之和為，
且點(diǎn)到直線的距離為，
所以的最小值為.
故選：D
10．已知點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，且點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為3，則（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】C
【分析】由題意,根據(jù)拋物線的性質(zhì),拋物線,則拋物線焦點(diǎn)為，若為 拋物線上一點(diǎn),有,可得,解得.
【詳解】因?yàn)閽佄锞€為,
則其焦點(diǎn)在軸正半軸 上,焦點(diǎn)坐標(biāo)為,
由于點(diǎn)為拋物線為上一點(diǎn),且點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)F的距離為3,
所以點(diǎn)A到拋物線的焦點(diǎn)F的距離為解得,
故選：C.
考點(diǎn)02：與拋物線有關(guān)距離的最值問(wèn)題
結(jié)論：拋物線最值問(wèn)題關(guān)鍵①內(nèi)連準(zhǔn)線，外連焦點(diǎn) ②三點(diǎn)共線
Ⅰ當(dāng)為拋物線內(nèi)任意一點(diǎn)，為準(zhǔn)線上一點(diǎn)，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，則的最小，（內(nèi)部連準(zhǔn)線）
Ⅱ當(dāng)為拋物線外任意一點(diǎn)，為準(zhǔn)線上一點(diǎn)，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，則的最小，即最小，（外部連焦點(diǎn)）
11．已知拋物線方程為:，焦點(diǎn)為.圓的方程為，設(shè)為拋物線上的點(diǎn)， 為圓上的一點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】根據(jù)拋物線定義將點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，即，從而得到，三點(diǎn)共線時(shí)和最??；再由在圓上，得到最小值.
【詳解】

由拋物線方程為，得到焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，過(guò)點(diǎn)做準(zhǔn)線的垂線，垂足為，
因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，
所以，當(dāng)點(diǎn)固定不動(dòng)時(shí)，三點(diǎn)共線，即垂直于準(zhǔn)線時(shí)和最小，
又因?yàn)樵趫A上運(yùn)動(dòng)，由圓的方程為得圓心，半徑，所以，
故選：C.
12．已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，直線，則到的準(zhǔn)線的距離與到的距離之和的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先聯(lián)立與拋物線方程，結(jié)合已知、韋達(dá)定理求得，進(jìn)一步通過(guò)拋物線定義、三角形三邊關(guān)系即可求解，注意檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件.
【詳解】由題得的焦點(diǎn)為，設(shè)傾斜角為的直線的方程為，
與的方程聯(lián)立得，
設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，則，故的方程為.

由拋物線定義可知點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，
聯(lián)立拋物線與直線，化簡(jiǎn)得，
由得與相離.
分別是過(guò)點(diǎn)向準(zhǔn)線、直線以及過(guò)點(diǎn)向直線引垂線的垂足，連接，
所以點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離與點(diǎn)到直線的距離之和,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與拋物線的交點(diǎn)，
所以到的準(zhǔn)線的距離與到的距離之和的最小值為點(diǎn)到直線0的距離，即.
故選：D.
13．已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，圓，點(diǎn)，若點(diǎn)分別在上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)可得，則，設(shè)，得，，進(jìn)而，結(jié)合換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】因?yàn)榻裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，所以，所以拋物線，
所以圓的圓心恰好在焦點(diǎn)處，所以，
設(shè)，則，
所以，
令，則，
所以
，
當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，最小值為.
故選：D.

14．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，若點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影為，則根據(jù)拋物線的定義把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求取得最小值，數(shù)形結(jié)合求解即可.
【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，
設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影為，如圖，

則根據(jù)拋物線的定義可知，
求的最小值，即求的最小值，
顯然當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，
此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，解得，即.
故選：D.
15．已知點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上任一點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)，由拋物線焦半徑公式及兩點(diǎn)間距離公式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可.
【詳解】由題意得，拋物線的準(zhǔn)線方程為，
設(shè)，則，，
故．
令，則，由，得，
所以，
令，則，所以，
故當(dāng)，即時(shí)，取得最小值．
故選：A．
16．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)P滿足線段PE的中點(diǎn)在曲線上，則的最小值為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】設(shè)Px,y，由題意求出P的軌跡方程，繼而結(jié)合拋物線定義將的最小值轉(zhuǎn)化為M到直線l的距離，即可求得答案.
【詳解】設(shè)Px,y，則PE的中點(diǎn)坐標(biāo)為，代入，可得，
故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以F為焦點(diǎn)，直線l：為準(zhǔn)線的拋物線，
由于，故在拋物線內(nèi)部，
過(guò)點(diǎn)P作，垂足為Q，則，（拋物線的定義），
故當(dāng)且僅當(dāng)M，P，Q三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即最小，
最小值為點(diǎn)M到直線l的距離，所以，
故選：B．
17．已知點(diǎn)分別是拋物線和直線上的動(dòng)點(diǎn)，若拋物線的焦點(diǎn)為，則的最小值為（ ）
A．3B．C．D．4
【答案】C
【分析】按點(diǎn)在直線上及右側(cè)、左側(cè)分類，借助對(duì)稱的思想及兩點(diǎn)間線段最短列式求出并判斷得解.
【詳解】設(shè)的坐標(biāo)為，則，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，
當(dāng)點(diǎn)在直線上及右側(cè)，即時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)是與直線的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)，當(dāng)且僅時(shí)取等號(hào)，
當(dāng)點(diǎn)在直線左側(cè)，即時(shí)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)是，則，
，
當(dāng)且僅當(dāng)是與直線的交點(diǎn)，且時(shí)取等號(hào)，而，
所以的最小值為.
故選：C
18．設(shè)為拋物線C：上的動(dòng)點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，記到直線、的距離分別、，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意得到，再利用拋物線的定義結(jié)合三角不等式求解.
【詳解】拋物線C：的焦點(diǎn)為F1,0，準(zhǔn)線方程為，
如圖，
因?yàn)椋谊P(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，所以，
所以
.
當(dāng)在線段與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，取得最小值，且最小值為.
故選：D
19．已知點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，，則的最小值為（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】A
【分析】
利用拋物線的定義結(jié)合三點(diǎn)共線即可解決.
【詳解】
由拋物線的定義可知，，
所以，所以拋物線的方程為，
過(guò)點(diǎn)作垂直拋物線的準(zhǔn)線，垂足為，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)和三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立.
故選：A.

20．已知拋物線的焦點(diǎn)為，，點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（ ）
A．3B．5C．7D．8
【答案】A
【分析】
根據(jù)拋物線焦半徑公式得到，數(shù)形結(jié)合得到最小值.
【詳解】由題意得，
由拋物線焦半徑公式可知，，
故，顯然連接，與拋物線交點(diǎn)為，
此時(shí)取得最小值，即當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，
最小值為，
故的最小值為3.
故選：A
考點(diǎn)03：拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題
結(jié)論1：
如圖所示：

證明：根據(jù)定義，
根據(jù)定義,

結(jié)論2：
證明：根據(jù)焦比公式得，其中，
結(jié)論3：
證明：設(shè)到的距離為，則，
則
結(jié)論4：若交準(zhǔn)線于點(diǎn),則
如圖所示：
證明：,，則
,，則
結(jié)論5：設(shè),則，
證明：，
21．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，在拋物線C上存在四個(gè)點(diǎn)P，M，Q，N，若弦與弦的交點(diǎn)恰好為F，且，則（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】由拋物線的方程可得焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，應(yīng)用拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)，，，，結(jié)合三角的恒等變換的化簡(jiǎn)可得，即可求解.
【詳解】由拋物線得，則，，
不妨設(shè)PQ的傾斜角為，
則由，得，，
所以，，
得，，
所以.
故選：B.
22．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過(guò)拋物線（）的焦點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)，為的準(zhǔn)線，則（ ）
A．B．
C．的面積為D．以為直徑的圓與l有兩個(gè)交點(diǎn)
【答案】C
【分析】對(duì)于A，求出直線與軸的交點(diǎn)，可得拋物線的焦點(diǎn)，從而可求出，對(duì)于B，將直線方程代入拋物線方程化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合弦長(zhǎng)公式可求得MN，對(duì)于C，先求出點(diǎn)到直線的距離，然后結(jié)合MN可求出的面積，對(duì)于D，設(shè)線段的中點(diǎn)為，求出點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行判斷.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，所以拋物線的焦點(diǎn)為，所以，得，所以A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，由選項(xiàng)A可知，設(shè)，
由，得，
所以，
所以，所以B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，點(diǎn)到直線的距離為，由選項(xiàng)B可知，
所以的面積為，所以C正確，
對(duì)于D，拋物線的準(zhǔn)線為，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，
則點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，
所以以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，所以以為直徑的圓與準(zhǔn)線只有一個(gè)交點(diǎn)，所以D錯(cuò)誤，
故選：C
23．已知拋物線的焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，傾斜角為的直線過(guò)點(diǎn)且與交于，兩點(diǎn)，若的面積為，則（ ）
A．
B．
C．以為直徑的圓與軸僅有1個(gè)交點(diǎn)
D．或
【答案】C
【分析】設(shè)直線，Mx1,y1，Nx2,y2，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，由求出，即可判斷，再由弦長(zhǎng)公式求出MN即可判斷，利用拋物線的幾何意義判斷，求出，，由即可判斷.
【詳解】
依題意，設(shè)直線，Mx1,y1，Nx2,y2，
由，整理得，則，
所以，，
所以，
解得，所以，
又，解得，
所以，又，
所以，故錯(cuò)誤；
因?yàn)?，故錯(cuò)誤；
因?yàn)?，又線段的中點(diǎn)到軸的距離為，
所以以為直徑的圓與軸相切，即僅有個(gè)交點(diǎn)，故正確；
因?yàn)椋?，則，解得或；
若，則，解得或；
即、或、，
所以或，故錯(cuò)誤.
故選：.
24．已知拋物線，過(guò)動(dòng)點(diǎn)作兩條相互垂直的直線，分別與拋物線相切于點(diǎn)，則面積的最小值是（ ）
A．6B．9C．12D．18
【答案】B
【分析】設(shè)直線與拋物線聯(lián)立方程，建立等式化簡(jiǎn)計(jì)算可得，，同理可得，，有，設(shè)直線與拋物線聯(lián)立方程，建立等式計(jì)算可得，而Px0,y0在直線,上，建立等式計(jì)算可得，根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可.
【詳解】設(shè)，
因?yàn)辄c(diǎn)作兩條相互垂直的直線，分別與拋物線相切于點(diǎn)，
所以直線,斜率均存在，
故設(shè)直線，
則，
所以，因?yàn)?，代入化?jiǎn)得，得，
所以直線，整理得，
設(shè)直線，同理可得，
所以，即，
設(shè)直線，
，
所以，，得，
因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，
所以設(shè)直線恒過(guò)拋物線焦點(diǎn)，
而Px0,y0在直線,上，
所以，即是方程是方程的兩實(shí)數(shù)根，
所以，解得，即
所以，
設(shè)到直線的距離為，則，
所以，當(dāng)時(shí)，面積的最小為.
故選：B
25．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)且斜率為的直線與交于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且于點(diǎn)的垂直平分線交軸于點(diǎn)，四邊形的面積為，（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】寫(xiě)出直線的方程，與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出點(diǎn)坐標(biāo)，然后通過(guò)計(jì)算得到四邊形為平行四邊形，進(jìn)而根據(jù)面積公式計(jì)算即可.
【詳解】由題意可知，，直線的方程為．
設(shè)，由．得．
所以，所以．由，得．
如圖所示，作軸于點(diǎn)，則．
因?yàn)?，故?br>，又，
故．又，得四邊形為平行四邊形．
所以其面積為，解得．
故答案為：．
26．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，直線過(guò)其焦點(diǎn)且與交于兩點(diǎn)，若直線的斜率為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用斜率已知，即角的正切值已知，結(jié)合拋物線的幾何性質(zhì)，來(lái)解直角三角形求一條焦半徑，再利用拋物線的兩焦半徑的倒數(shù)和為定值，從而去求另一條焦半徑，最后求得弦長(zhǎng).
【詳解】

如圖作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，可知設(shè)，
直線的斜率為得， ，
則，由勾股定理得：，
即，化簡(jiǎn)得：，解得，
再設(shè)過(guò)焦點(diǎn)的直線為y=kx?1與拋物線聯(lián)立消元得：
，設(shè)交點(diǎn)Ax1,y1,Bx2,y2，
則，
而，
當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)，
故選：D.
27．在平面直角坐標(biāo)系中，已知過(guò)點(diǎn)的拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作兩條相互垂直的直線，，直線與相交于，兩點(diǎn)，直線與相交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．32B．20C．16D．12
【答案】A
【分析】由點(diǎn)在拋物線上求出的值，即可求出拋物線方程，設(shè)直線方程為，則方程為，，，，，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，表示出MN、PQ，再由基本不等式計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，解得或（舍去），
所以拋物線，則，依題意直線的斜率存在且不為，
設(shè)直線方程為，則方程為，Mx1,y1，Nx2,y2，，，
聯(lián)立直線方程與拋物線方程得，
則，，，同理，，
所以，
，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為；
故選：A
28．雙曲線和拋物線（）的公共焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6，則（ ）
A．16B．12C．10D．8
【答案】A
【分析】求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出值，再結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式和拋物線的焦點(diǎn)弦公式計(jì)算可得.
【詳解】由題意可得雙曲線的交點(diǎn)為，
所以，即，
設(shè)的橫坐標(biāo)分別為，
中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6，即
由拋物線的焦點(diǎn)弦公式可得，
故選：A.
29．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】聯(lián)立方程得韋達(dá)定理，即可根據(jù)焦點(diǎn)弦公式求解.
【詳解】由得，，
由題意可知直線的斜率存在，故設(shè)其方程為，
聯(lián)立與可得，
設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，則，故，
因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
故選：C
30．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，則直線的斜率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由題意可求得的坐標(biāo)為，進(jìn)而可求的的斜率.
【詳解】為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸于點(diǎn)為的中位線，
則的坐標(biāo)為，而，則直線的斜率為.
故選：C．
考點(diǎn)04：拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何性質(zhì)
范圍：，，
拋物線（）在y軸的右側(cè)，開(kāi)口向右，這條拋物線上的任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)的橫坐標(biāo)滿足不等式；當(dāng)x的值增大時(shí)，也增大，這說(shuō)明拋物線向右上方和右下方無(wú)限延伸．拋物線是無(wú)界曲線．
對(duì)稱性：關(guān)于x軸對(duì)稱
拋物線（）關(guān)于x軸對(duì)稱，我們把拋物線的對(duì)稱軸叫做拋物線的軸．拋物線只有一條對(duì)稱軸．
頂點(diǎn)：坐標(biāo)原點(diǎn)
拋物線（）和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．
離心率：．
拋物線（）上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率．用e 表示，．
拋物線的通徑
通過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的直線被拋物線所截得的線段叫做拋物線的通徑．
因?yàn)橥ㄟ^(guò)拋物線（）的焦點(diǎn)而垂直于x軸的直線與拋物線兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，所以拋物線的通徑長(zhǎng)為．這就是拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的一種幾何意義．另一方面，由通徑的定義我們還可以看出，刻畫(huà)了拋物線開(kāi)口的大小，值越大，開(kāi)口越寬；值越小，開(kāi)口越窄．
31．點(diǎn)在拋物線上，若點(diǎn)到點(diǎn)的距離為6，則點(diǎn)到軸的距離為（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】由拋物線的定義知，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，結(jié)合點(diǎn)和準(zhǔn)線的位置，求點(diǎn)到軸的距離.
【詳解】拋物線開(kāi)口向右，準(zhǔn)線方程為，
點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為6，則點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為6，
點(diǎn)在y軸右邊，所以點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為4．
故選：A．
32．是拋物線的焦點(diǎn)，以為端點(diǎn)的射線與拋物線相交于，與拋物線的準(zhǔn)線相交于，若，則
A．B．32C．D．
【答案】D
【詳解】由題意，設(shè)的橫坐標(biāo)為，則由拋物線的定義，可得．則．所以．所以．故本題答案選．
33．已知雙曲線的右焦點(diǎn)是拋物線C2:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，且它們的公共弦過(guò)點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意結(jié)合雙曲線以及拋物線的對(duì)稱性可推出它們的公共弦垂直于x軸，由此分別利用拋物線和雙曲線方程求得公共弦長(zhǎng)，可得的關(guān)系式，即可求得答案.
【詳解】拋物線C2:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為，
由題意知雙曲線的右焦點(diǎn)是拋物線C2:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，
可得，設(shè)它們的公共弦為,由題意知過(guò)點(diǎn)，
根據(jù)雙曲線以及拋物線的對(duì)稱性可知軸，
將代入C2:y2=2px(p>0)中，得，故，
將代入中，可得，
則，所以，
即，（舍去），
故選：B
34．過(guò)拋物線C：的焦點(diǎn)F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)線段AB的中點(diǎn)N且垂直于l的直線與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)M，若，則l的斜率為（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】D
【分析】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為m，分別過(guò)點(diǎn)A，N，B作垂足分別為，計(jì)算得到，得到，得到直線MN的傾斜角是150°，從而得到直線l的傾斜角是60°，即可求得直線l的斜率.
【詳解】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為m，分別過(guò)點(diǎn)A，N，B作垂足分別為，
因?yàn)橹本€l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，所以，
又N是線段AB的中點(diǎn)，|MN|＝|AB|，
所以，
所以，則直線MN的傾斜角是150°.
又MN⊥l，所以直線l的傾斜角是60°，斜率是.
故選：D
35．已知拋物線的焦點(diǎn)為 ，準(zhǔn)線為，為上一點(diǎn)，，垂足為，與軸交點(diǎn)為，若，且的面積為，則的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)拋物線定義，結(jié)合圖形特征，用p表示三角形面積列式可求拋物線方程.
【詳解】由拋物線定義知，所以為等邊三角形，為的中點(diǎn)，
所以，，
的面積，所以的方程為.
故選：A.
36．已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線分別與拋物線交于點(diǎn)和，且，則四邊形面積的最小值為（ ）
A．4B．8C．16D．32
【答案】B
【分析】首先根據(jù)焦半徑公式表示條件，再利用直線與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示條件，可求得，再利用弦長(zhǎng)公式表示四邊形的面積，利用基本不等式求最值.
【詳解】設(shè)，，，，，
，，，
所以，即，①
設(shè)直線:，聯(lián)立拋物線方程，
得，得，，②，
將②代入①得，
所以，因?yàn)橹本€與垂足，則，
則四邊形面積
，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以四邊形面積的最小值是8.
故選：B
37．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限）．若，則（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】根據(jù)已知條件作出圖形，利用拋物線的定義及相似三角形的性質(zhì)即可求解.
【詳解】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),交軸于點(diǎn)，如圖所示，
由，得，解得，
所以，.
設(shè)，
因?yàn)椋?br>所以,
又,
故，解得，
所以.
故選：A.
38．已知拋物線C：，圓C′：，若C與C′交于MN兩點(diǎn)，圓C′與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)P．現(xiàn)有如下說(shuō)法：
①若△PMN為直角三角形，則圓C′的面積為；
②；③直線PM與拋物線C相切．
則上述說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】對(duì)①，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得直線過(guò)焦點(diǎn)且與軸垂直，進(jìn)而求得面積；對(duì)②，根據(jù)圓C′與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)P判斷即可；對(duì)③，設(shè)，聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)判別式判斷即可.
【詳解】①拋物線C的焦點(diǎn)為，由對(duì)稱性可知，，
于是直線過(guò)焦點(diǎn)且與軸垂直，故，圓的面積為，故①正確；
②因圓C′與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)P，故，故②正確；
③設(shè)，由拋物線定義可知，，
所以，直線的方程為，與拋物線聯(lián)立可得，
又，化簡(jiǎn)可得，故，
所以直線與拋物線相切，故③正確.
故選：D
39．已知雙曲線的離心率為2，拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)過(guò)直線交拋物線于兩點(diǎn)，若與雙曲線的一條漸近線平行，則（ ）
A．16B．C．8D．
【答案】D
【分析】現(xiàn)根據(jù)雙曲線的離心率，求出漸近線的斜率，繼而根據(jù)點(diǎn)斜式求得直線AB的方程，聯(lián)立直線和拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理和焦點(diǎn)弦公式，即可求解.
【詳解】解：由題意得，
故雙曲線的漸近線方程為，
又與雙曲線的一條漸近線平行，不妨設(shè)直線的斜率為，又，
故的直線方程為：，聯(lián)立直線方程和拋物線方程得：，
所以，所以.
故選：D.
40．已知點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，過(guò)的焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于兩點(diǎn).若，則（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】D
【分析】根據(jù)條件求出拋物線方程，由已知可設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立直線與拋物線方程組可得根與系數(shù)的關(guān)系式，求得的表達(dá)式，由，得，將根與系數(shù)的關(guān)系式代入化簡(jiǎn)，即可求得答案.
【詳解】由點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，可得，
故，焦點(diǎn)為，
則設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，可得，，
設(shè)，
則，
則，
又，故,，
由，得，
整理可得，
即，
即，故，
故選∶D．
考點(diǎn)05：拋物線的中點(diǎn)弦問(wèn)題
設(shè)為拋物線的弦，，，弦AB的中點(diǎn)為．
（1）弦長(zhǎng)公式：（為直線的斜率，且）．
（2），
（3）直線的方程為．
41．過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，已知，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，則（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】設(shè)直線的方程為，利用設(shè)而不求法求弦長(zhǎng)AB的表達(dá)式，再求線段的垂直平分線，由條件列方程求可得結(jié)論.
【詳解】拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由題意可知：直線的斜率不為，但可以不存在，且直線與拋物線必相交，
可設(shè)直線的方程為，Ax1,y1,Bx2,y2，
聯(lián)立方程，消去x可得，
則，
可得，即，
設(shè)的中點(diǎn)為Px0,y0，則，，
可知線段的垂直平分線方程為，
因?yàn)樵诰€段的垂直平分線上，
則，可得，
聯(lián)立方程，解得，
故選：B.
42．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，動(dòng)直線l與拋物線C交于異于原點(diǎn)O的A，B兩點(diǎn)，以線段OA，OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，若點(diǎn)（），則當(dāng)取最大值時(shí)，（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，由拋物線的方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程，然后分別過(guò)A、B、M向準(zhǔn)線作垂線，取最大值即直線AB過(guò)焦點(diǎn)F1,0時(shí)，再結(jié)合點(diǎn)差法代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】
由題可知焦點(diǎn)F1,0，準(zhǔn)線，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為，即為OP中點(diǎn)，
則，．分別過(guò)A、B、M向準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為，，，
如圖所示．
則，當(dāng)直線AB過(guò)焦點(diǎn)F1,0時(shí)取等號(hào)，此時(shí)．
設(shè)、，直線AB的斜率為k，
由，兩式相減，得，所以，
即，得，所以，又，所以．
故選：B．
43．已知拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線與相交于A，B兩點(diǎn)，且為弦AB的中點(diǎn)，則直線的斜率為（ ）
A．B．C．D．?2
【答案】D
【分析】直線與相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)為弦AB的中點(diǎn)，利用點(diǎn)差法求解.
【詳解】解：設(shè)，
因?yàn)橹本€與相交于A，B兩點(diǎn)，所以，
由題意得，
故選：D
44．已知直線交拋物線于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則直線的斜率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，設(shè)，結(jié)合“點(diǎn)差法”，即可直線的斜率，得到答案.
【詳解】設(shè)，代入拋物線，可得，
兩式相減得，
所以直線的斜率為，
又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，可得，
所以，即直線的斜率為.
故選：C.
45．已知直線恒過(guò)拋物線C：的焦點(diǎn)F，且與C交于點(diǎn)A，B，過(guò)線段AB的中點(diǎn)D作直線的垂線，垂足為E，記直線EA，EB，EF的斜率分別為，，，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】將直線與方程聯(lián)立后得到與橫坐標(biāo)有關(guān)韋達(dá)定理后結(jié)合題意計(jì)算或者設(shè)出直線與拋物線相交兩點(diǎn)坐標(biāo)，借助三點(diǎn)共線計(jì)算得到為定值，即只需計(jì)算的范圍即可，結(jié)合題意由中點(diǎn)公式計(jì)算即可得.
【詳解】解法一：
因?yàn)橹本€恒過(guò)C的焦點(diǎn)F，所以，
則，拋物線C：，把代入C的方程，
得，設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，
則，，所以，
所以，，
則，
，所以，由，
得；
解法二：
因?yàn)橹本€恒過(guò)C的焦點(diǎn)F，所以，
則，拋物線C：，
設(shè)，，
由A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線得，得，
又，所以，
由直線AB的斜率為t得，
得，則，所以，
由，得.
故選: B.
46．若拋物線上兩點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，且，則中點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)已知條件求得，進(jìn)而求得中點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】因?yàn)閽佄锞€上兩點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，
故和直線垂直，
所以，故，
又，所以，
故中點(diǎn)坐標(biāo)是，即
故選：B
47．已知拋物線C：，過(guò)點(diǎn)的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若，則直線l的斜率是（ ）
A．B．4C．D．
【答案】A
【分析】利用點(diǎn)差法求解即可.
【詳解】設(shè)，則作差得.因?yàn)?，所以P是線段AB的中點(diǎn)，所以，則直線l的斜率.
故選：A
48．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，則直線的斜率的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分析可知直線與軸不重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用基本不等式可求得直線斜率的最大值.
【詳解】易知拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)、，
若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，不合乎題意，
設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，
，由韋達(dá)定理可得，則，
故點(diǎn)，，
若直線的斜率取最大值，則，所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故直線斜率的最大值為.
故選：A.
49．如圖，已知拋物線E：的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為1的直線交E于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，其垂直平分線交x軸于點(diǎn)C，軸于點(diǎn)N.若四邊形的面積等于8，則E的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)求出的坐標(biāo)，然后得的方程，令，得的坐標(biāo)，利用直角梯形的面積求出，可得拋物線方程.
【詳解】易知，直線AB的方程為，四邊形OCMN為直角梯形，且.
設(shè)，，，則，
所以，所以，，∴.
所以MC直線方程為，∴令，∴，∴.
所以四邊形OCMN的面積為，∴.
故拋物線E的方程為.
故選：B.
50．若斜率為（）的直線 l 與拋物線和圓M：分別交于A，B和C，D．且，則當(dāng)面積最大時(shí)k的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由條件可得的中點(diǎn)與的中點(diǎn)重合，設(shè)此點(diǎn)為，則，求出當(dāng)面積最大時(shí)的長(zhǎng)，結(jié)合此時(shí)列出不等式，解出，得出答案.
【詳解】因?yàn)椋瑒t的中點(diǎn)與的中點(diǎn)重合，設(shè)此點(diǎn)為，
則
當(dāng)，即，時(shí)，取最大值，
令，，，
,
由,得，
由，得，
.
故選：C．
考點(diǎn)06：直線與拋物線的綜合問(wèn)題
1、直線與拋物線的位置關(guān)系有三種情況：
相交（有兩個(gè)公共點(diǎn)或一個(gè)公共點(diǎn)）；相切（有一個(gè)公共點(diǎn)）；相離（沒(méi)有公共點(diǎn)）．
2、以拋物線與直線的位置關(guān)系為例：
（1）直線的斜率不存在，設(shè)直線方程為，
若，直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)；
若，直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)既是原點(diǎn)又是切點(diǎn)；
若，直線與拋物線沒(méi)有交點(diǎn)．
（2）直線的斜率存在．
設(shè)直線，拋物線，
直線與拋物線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于方程組，的解的個(gè)數(shù)，
即二次方程（或）解的個(gè)數(shù)．
①若，
則當(dāng)時(shí)，直線與拋物線相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，直線與拋物線相切，有個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，直線與拋物線相離，無(wú)公共點(diǎn)．
②若，則直線與拋物線相交，有一個(gè)公共點(diǎn)．
51．拋物線的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與拋物線交于點(diǎn)，，如圖．

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)當(dāng)時(shí)，求弦AB的長(zhǎng)；
(3)已知點(diǎn)，直線，分別與拋物線交于點(diǎn)，．證明：直線過(guò)定點(diǎn)．
【答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）由曲線圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得，則得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）寫(xiě)出的方程,和拋物線方程聯(lián)立，消元后，由韋達(dá)定理可得，則；
（3）設(shè)直線的方程為，，，，，和拋物線方程聯(lián)立，消元后，由韋達(dá)定理可得，．直線的方程為，和拋物線方程聯(lián)立，消元后，由韋達(dá)定理可得，同理可得，由，可得，則直線的方程為，由對(duì)稱性知，定點(diǎn)在軸上，令，可得，則的直線過(guò)定點(diǎn)．
【詳解】（1）曲線圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，所以，
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，,所以的方程為，
聯(lián)立，得，則，
由，所以弦．
（3）由（1）知，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，
，，，，
聯(lián)立得，，
因此，．
設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，
則，因此，，得，
同理可得，
所以．
因此直線的方程為，
由對(duì)稱性知，定點(diǎn)在軸上，
令得，
，
所以，直線過(guò)定點(diǎn)．
52．設(shè)，為曲線上兩點(diǎn)，與的橫坐標(biāo)之和為4.
(1)若與的縱坐標(biāo)之和為4，求直線的方程.
(2)證明：線段的垂直平分線過(guò)定點(diǎn).
【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）曲線，由題可得直線的斜率不為0,設(shè)直線方程為：，，，與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，即可得出直線的方程.
（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得坐標(biāo)，用表示.,利用點(diǎn)斜式即可得出直線線段的垂直平分線的方程，進(jìn)而證明結(jié)論.
【詳解】（1）∵曲線，由題可得直線的斜率不為0，設(shè)直線方程為：，，，
聯(lián)立，化為：，
，
，，
解得，
，解得，
直線的方程為：，即.
（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為，
，，
則線段的垂直平分線的方程為：，
化為：，
可得直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).
53．已知拋物線C：（）的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)F．
(1)求拋物線C的方程；
(2)若A，B是拋物線C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在定點(diǎn)M（異于坐標(biāo)原點(diǎn)O），使得當(dāng)直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)M時(shí)，滿足？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)(2)存在；
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)斜式求解直線方程，即可求解焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得，
（2）聯(lián)立直線與拋物線方程得韋達(dá)定理，結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解.
【詳解】（1）由題意過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線方程為，即，令，則，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為1,0，∴，
∴．拋物線C的方程為．
（2）由（1）得拋物線C：，假設(shè)存在定點(diǎn)，
設(shè)直線AB的方程為（），Ax1,y1，Bx2,y2，
由，得，
∴，，，
∵，∴，
∴
，
∴或（舍去），
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，滿足，，
∴存在定點(diǎn)．
54．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為2的直線與E交于A，B兩點(diǎn)，.
(1)求E的方程；
(2)直線，過(guò)l上一點(diǎn)P作E的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N.求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).
【答案】(1)(2)證明見(jiàn)詳解；定點(diǎn)坐標(biāo)為
【分析】（1）根據(jù)已知條件，設(shè)直線的方程為，設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)拋物線的弦長(zhǎng)求得，即得答案；
（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立拋物線方程，得到韋達(dá)定理，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，設(shè)出切線與的方程，兩者聯(lián)立，可求出，即可證得直線過(guò)定點(diǎn)，并得出該定點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】（1）
由已知，，過(guò)F且斜率為2的直線與E交于A，B兩點(diǎn)，
設(shè)的方程為，Ax1,y1,Bx2,y2,
聯(lián)立，得，則，
則，
所以，
解得，
故拋物線E的方程為：.
（2）設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立，得，
，即，
所以，，
令，當(dāng)時(shí)，
可化為，則，
則在處的切線的方程為：，
即，
同理可得切線的方程為：，
聯(lián)立與的方程，解得，
所以，則，滿足，
則直線的方程為，
所以直線過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)為.
55．已知?jiǎng)訄A過(guò)點(diǎn)0,1，且與直線相切于點(diǎn)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條切線分別與曲線相切于點(diǎn)，與軸分別交于兩點(diǎn).記，，的面積分別為、、．
（i）證明：四邊形為平行四邊形；
（ii）證明：成等比數(shù)列.
【答案】(1)(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）證明見(jiàn)解析
【分析】（1）設(shè)出圓心，利用條件建立方程，再化簡(jiǎn)即可得出結(jié)果；
（2）（ⅰ）設(shè)出兩條切線方程，從而求出的坐標(biāo)，再利用向量的加法法則即可得出證明；
（ⅱ）利用（?。┲袟l件，找出邊角間的關(guān)系，再利用面積公式即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）設(shè)圓心，由題意得：，
化簡(jiǎn)整理得：，所以曲線的方程為：．
（2）（?。┰O(shè)，，因?yàn)椋裕?br>∴直線的方程為：，即，令，得到，
同理可得直線的方程為：，令，得到，
∴，，聯(lián)立，消解得，
所以，
又，∴，
所以四邊形為平行四邊形；
（ⅱ）由（?。┲本€的方程為，又，所以，即，
同理可知直線的方程為，又因?yàn)樵谥本€，上，
設(shè)，則有，
所以直線的方程為：，故直線過(guò)點(diǎn)，
∵四邊形為平行四邊形，∴，，
∴，，，，
∴，
∵，，，
∴
，
即，
故成等比數(shù)列．
56．在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn).
(1)求拋物線的方程；
(2)若拋物線不經(jīng)過(guò)第二象限，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，，兩點(diǎn)（），過(guò)作軸的垂線交線段于點(diǎn).
①當(dāng)經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；
②求點(diǎn)A到直線的距離的最大值.
【答案】(1)或(2)①；②
【分析】（1）分類討論焦點(diǎn)所在位置，結(jié)合拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程運(yùn)算求解；
（2）根據(jù)題意可得.①求得，進(jìn)而可得直線，聯(lián)立求點(diǎn)得坐標(biāo)，即可得方程；②聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理可證直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，即可得結(jié)果.
【詳解】（1）若拋物線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，可設(shè)拋物線的方程為，
且拋物線過(guò)點(diǎn)，所以，解得；
若拋物線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，可設(shè)拋物線的方程為，
且拋物線過(guò)點(diǎn)，所以，解得；
綜上所述：拋物線的方程為或.
（2）因?yàn)閽佄锞€不經(jīng)過(guò)第二象限，由（1）可知，拋物線的方程為，

且F1,0,，
①當(dāng)經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)時(shí)，令，得，
在中，令，得，
又因?yàn)椋瑒t，可得直線，
由，解得或，即，
所以直線，即；
②設(shè)，，，
由，消去整理得，
所以，，，
且，即，
則，
令，得
，
所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，
所以當(dāng)，即點(diǎn)A以直線的距離取得最大值，為.
57．如圖所示，拋物線的準(zhǔn)線過(guò)點(diǎn)，
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若角為銳角，以角為傾斜角的直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，作線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，證明:為定值，并求此定值.
【答案】(1)y2＝8x(2)證明見(jiàn)解析，8
【分析】（1）根據(jù)準(zhǔn)線過(guò)點(diǎn)即可求出p，進(jìn)而可知拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）假設(shè)直線的方程，與拋物線聯(lián)立，進(jìn)而可以得到與其中垂線的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可以表示出中垂線方程，進(jìn)而求點(diǎn)的坐標(biāo)，再求即可.
【詳解】（1）解:(1)由題意得
∴拋物線的方程為
（2）設(shè)，直線AB的斜率為
則直線方程為
將此式代入，得，
故
設(shè)的中垂線為直線m，設(shè)直線m與的交點(diǎn)為
則
故直線m的方程為
令得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為
故
∴為定值8
58．已知拋物線E的準(zhǔn)線方程為：，過(guò)焦點(diǎn)F的直線與拋物線E交于A、B兩點(diǎn)，分別過(guò)A、B兩點(diǎn)作拋物線E的切線，兩條切線分別與y軸交于C、D兩點(diǎn)，直線CF與拋物線E交于M、N兩點(diǎn)，直線DF與拋物線E交于P、Q兩點(diǎn).
(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)證明：為定值.
【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）由拋物線的準(zhǔn)線方程求解，即可求解拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）設(shè)出直線AB的方程，然后與拋物線方程聯(lián)立，韋達(dá)定理，推出兩切線方程，進(jìn)而求得點(diǎn)，點(diǎn)，從而求出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合弦長(zhǎng)公式求出MN,PQ，代入運(yùn)算化簡(jiǎn)即可證明.
【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線為：，設(shè)，則，所以，
故拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）易知拋物線E的焦點(diǎn)，
設(shè)直線AB的方程為，Ax1,y1、Bx2,y2，
聯(lián)立可得，
由韋達(dá)定理可得，，
接下來(lái)證明拋物線E在點(diǎn)A處的切線方程為，
聯(lián)立可得，即，即，
所以，直線與拋物線E只有唯一的公共點(diǎn)，
所以，AC的方程為，
同理可知，直線BD的方程為，
在直線AC的方程中，令，可得，即點(diǎn)，
同理可得點(diǎn)，所以，直線的方程為，即，
設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，
由韋達(dá)定理可得，，
所以，
同理可得，
所以
，
故為定值.
59．已知平面內(nèi)一動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)，且在軸上截得弦長(zhǎng)為2，動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，曲線上有四個(gè)點(diǎn)，其中是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，記的中點(diǎn)為.
①求直線的斜率：
②求面積的最大值.
【答案】(1)(2)①；②
【分析】（1）設(shè)動(dòng)圓圓心，根據(jù)題意結(jié)合距離公式運(yùn)算求解；
（2）①設(shè)，根據(jù)中點(diǎn)利用同構(gòu)可得為方程的兩根，利用韋達(dá)定理分析證明；②根據(jù)題意可得，結(jié)合圓的方程可得，進(jìn)而可得最值.
【詳解】（1）設(shè)動(dòng)圓圓心，
當(dāng)時(shí)，由已知得，即；
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為點(diǎn)，滿足.
綜上可知，點(diǎn)的軌跡方程為.
（2）①設(shè).
由題意得，的中點(diǎn)在拋物線上，即.
又，將代入得，
同理可得，
可知為方程的兩根，所以.
所以直線的斜率為0；
②由得，
所以，
又因?yàn)椋?br>所以.
又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，則，且.
設(shè)的面積為S，則，
當(dāng)時(shí)，S有最大值48.
所以面積的最大值為48.
60．已知拋物線，其焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線C上，且．
(1)求拋物線的方程；
(2)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線上不同的兩點(diǎn)，且，
（i）求證直線過(guò)定點(diǎn)；
（ii）求與面積之和的最小值．
【答案】(1)(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）
【分析】（1）利用焦半徑公式建立方程，解出參數(shù)，得到拋物線方程即可.
（2）（i）設(shè)出，利用給定條件建立方程求出，最后得到定點(diǎn)即可.
（ii）利用三角形面積公式寫(xiě)出面積和的解析式，再利用基本不等式求最小值即可.
【詳解】（1）拋物線，
其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，
可得，且，
解得（另一個(gè)根舍去），，
則拋物線的方程為；
（2）
（i）
如圖，設(shè)的方程為，，
聯(lián)立，可得，
則，又，，
由，可得，解得（另一個(gè)根舍去），
所以直線恒過(guò)定點(diǎn)；
（ii）由上小問(wèn)可得，不妨設(shè)，
則與面積之和為，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，上式取得等號(hào)，
則與面積之和的最小值為

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