考點鞏固卷07 三角函數(shù)的運(yùn)算（八大考點）-2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點鞏固-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考點01：任意角與弧度制
區(qū)域角的求解遵循以下步驟：
第一步：在直角坐標(biāo)系中標(biāo)明兩個邊界（在范圍內(nèi)）
第二步：按逆時針方向標(biāo)出陰影部分區(qū)域
第三步：若陰影區(qū)域為射線即：
若陰影區(qū)域為直線即：
區(qū)域角是指終邊在坐標(biāo)系內(nèi)的某個區(qū)域內(nèi)的角。
表示區(qū)域角的3個步驟：
（1）先逆時針的方向找到區(qū)域的起始和終止的邊界；
（2）按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對應(yīng)的范圍內(nèi)的角和，寫出最簡區(qū)間，其中；
（3）起始、終止邊界對應(yīng)角，再加上的整數(shù)倍，即得區(qū)間角集合。
由已知角確定其他角所在象限
1、已知角終邊所在的象限，確定其他角終邊所在的象限，常依據(jù)角的范圍得到所求角的范圍，在直接轉(zhuǎn)化為終邊相同的角即可。注意不要漏掉終邊在坐標(biāo)軸上的情況。
2、已知角所在象限，要確定所在象限，由兩種方法：
（1）用不等式表示出角的范圍，然后對的取值分情況討論：被整除，被除余1，被除余2，……，從而得出結(jié)論；
（2）作出各個象限的從原點出發(fā)的等分射線，它們與坐標(biāo)軸把周角分成個區(qū)域。從軸的非負(fù)半軸起，按逆時針方向把這個區(qū)域以此循環(huán)標(biāo)上1,2,3,4。標(biāo)號為幾的區(qū)域，就是根據(jù)角終邊所在的象限確定角的終邊所在的區(qū)域。如此，角所在的區(qū)域就可以由標(biāo)號區(qū)域所在的象限直觀的看出。
3、已知角終邊所在的象限，確定終邊所在的象限，可依據(jù)角的范圍求出的范圍，在直接轉(zhuǎn)化為終邊相同的角即可。注意不要漏掉的終邊在坐標(biāo)軸上的情況。
1．在平面直角坐標(biāo)系中，若角與的終邊關(guān)于軸對稱，則角與之間的關(guān)系滿足（）.
A．B．
C．D．
2．下列與角終邊相同的角為（）
A．B．C．D．
3．已知某圓錐的側(cè)面積為，其側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇形，則該圓錐的底面半徑為（）
A．B．C．D．
4．已知角的終邊經(jīng)過點，則是（）
A．第一或第三象限角B．第二或第四象限角
C．第一或第二象限角D．第三或第四象限角
5．若圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為，半徑為2的扇形，則該圓錐的高為（）
A．B．C．D．
6．《九章算術(shù)》中《方田》一章給出了計算弧田面積的公式：弧田面積（弦矢+矢）.弧田（如圖）由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對的弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.現(xiàn)有圓心角為，且，半徑等于的弧田，按照上述給出的面積公式計算弧田面積是（）
A．B．C．D．
7．已知圓錐側(cè)面展開圖是圓心角為直角，半徑為2的扇形，則此圓錐內(nèi)切球的表面積為（）
A．B．C．D．
8．下列命題為真命題的是（）
A．若向量，，滿足，，則
B．化成弧度數(shù)為
C．若向量，滿足，，，則
D．在時刻，時針與分針?biāo)鶌A的銳角為，則
9．折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良“善行”、它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征（如圖1甲）圖乙是一個圓臺的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個圓弧，所在圓的半徑分別是3和12，且，則該圓臺的（）
A．高為B．上底面積和下底面積之比為1:4
C．表面積為D．體積為
10．如圖，正方體的棱長為1，則下列結(jié)論正確的是（）
A．在底面內(nèi)（包括邊界）運(yùn)動，若//平面，則的軌跡長度為
B．在底面內(nèi)（包括邊界）運(yùn)動，若直線與平面所成角為，則的軌跡長度為
C．以為球心，為半徑作球，則球面與正方體的表面的交線長為
D．以為球心，為半徑作球，則球面與正方體的表面的交線長為
考點02：扇形的弧長及面積公式
弧長公式：（是圓心角的弧度數(shù)），
扇形面積公式：．
11．機(jī)械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形給人以對稱的美感．萊洛三角形的畫法：先畫等邊三角形ABC，再分別以點A，B，C為圓心，線段AB長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角形．若線段AB長為1，則萊洛三角形的周長是（）
A．B．C．D．
12．如圖，半徑為1的圓與軸相切于原點，切點處有一個標(biāo)志，該圓沿軸向右滾動，當(dāng)圓滾動到與出發(fā)位置時的圓相外切時(記此時圓心為)，標(biāo)志位于點處，圓與軸相切于點，則陰影部分的面積是（）

A．2B．1C．D．
13．圓被直線所截得劣弧的弧長為（）
A．B．C．D．
14．如圖，圓O內(nèi)接一個圓心角為60°的扇形，在圓O內(nèi)任取一點，該點落在扇形內(nèi)的概率為（）
A．B．C．D．
15．石雕、木雕、磚雕被稱為建筑三雕．源遠(yuǎn)流長的磚雕，由東周瓦當(dāng)、漢代畫像磚等發(fā)展而來，明清時代進(jìn)入巔峰，形成北京、天津、山西、徽州、廣東、臨夏以及蘇派磚雕七大主要流派．蘇派磚雕被稱為“南方之秀”，是南方地區(qū)磚雕藝術(shù)的典型代表，被廣泛運(yùn)用到墻壁、門窗、檐廊、欄檻等建筑中．圖（1）是一個梅花磚雕，其正面是一個扇環(huán)，如圖（2），磚雕厚度為6cm，，，所對的圓心角為直角，則該梅花磚雕的表面積為（單位：）（）

A．B．C．D．
16．下列說法正確的有（）
A．若角的終邊過點，則角的集合是
B．若，則
C．若，則
D．若扇形的周長為，圓心角為，則此扇形的半徑是
17．如圖，設(shè)單位圓與軸的正半軸相交于點，以軸的非負(fù)半軸為始邊作銳角，，，它們的終邊分別與單位圓相交于點，，．若，則下列說法正確的是（）

A．當(dāng)時，的面積為
B．當(dāng)時，扇形的面積為
C．當(dāng)時，四邊形的面積為
D．四邊形面積的最大值為1
18．已知正四面體的棱長為，以其中一個頂點為球心作半徑為3的球，則所得球面與該正四面體表面的交線長之和為．
19．下圖是第19屆杭州亞運(yùn)會的會徽“潮涌”，可將其視為一扇環(huán)ABCD．已知，．且該扇環(huán)的面積為，若將該扇環(huán)作為側(cè)面圍成一圓臺，則該圓臺的體積為 .
20．已知圓錐的頂點為，底面圓的直徑的長度為4，母線長為.
(1)如圖1所示，若為圓上異于點的任意一點，當(dāng)三角形的面積達(dá)到最大時，求二面角的大?。?br>(2)如圖2所示，若，點在線段上，一只螞蟻從點出發(fā)，在圓錐的側(cè)面沿著最短路徑爬行一周到達(dá)點，在運(yùn)動過程中，上坡的路程是下坡路程的3倍，求線段的長度.（上坡表示距離頂點越來越近）
考點03：同角三角函數(shù)基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式
同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式
（1）平方關(guān)系：
（2）商數(shù)關(guān)系：
（1）這里“同角”有兩層含義，一是“角相同”，二是對“任意”一個角（使得函數(shù)有意義的前提下）關(guān)系式都成立；
（2）是的簡寫；
（3）在應(yīng)用平方關(guān)系時，常用到平方根，算術(shù)平方根和絕對值的概念，應(yīng)注意“”的選?。?br>同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形
1、平方關(guān)系式的變形：
，，
2、商數(shù)關(guān)系式的變形
，．
誘導(dǎo)公式
誘導(dǎo)公式一：
，，，其中
誘導(dǎo)公式二：
，，，其中
誘導(dǎo)公式三：
，，，其中
誘導(dǎo)公式四：
，．
，，其中
（1）要化的角的形式為（為常整數(shù)）；
（2）記憶方法：“奇變偶不變，符號看象限”；
（3）必須對一些特殊角的三角函數(shù)值熟記，做到“見角知值，見值知角”；
（4）；．
誘導(dǎo)公式的記憶
誘導(dǎo)公式一～三可用口訣“函數(shù)名不變，符號看象限”記憶，其中“函數(shù)名不變”是指等式兩邊的三角函數(shù)同名，“符號”是指等號右邊是正號還是負(fù)號，“看象限”是指把看成銳角時原三角函數(shù)值的符號．
誘導(dǎo)公式四可用口訣“函數(shù)名改變，符號看象限”記憶，“函數(shù)名改變”是指正弦變余弦，余弦變正弦，為了記憶方便，我們稱之為函數(shù)名變?yōu)樵瘮?shù)的余名三角函數(shù)．“符號看象限”同上．
因為任意一個角都可以表示為的形式，所以這六組誘導(dǎo)公式也可以統(tǒng)一用“口訣”：“奇變偶不變，符號看象限”，意思是說角（為常整數(shù)）的三角函數(shù)值：當(dāng)為奇數(shù)時，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)為偶數(shù)時，函數(shù)名不變，然后的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)視為銳角時原函數(shù)值的符號．
用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡時的注意點：
（1）化簡后項數(shù)盡可能的少；
（2）函數(shù)的種類盡可能的少；
（3）分母不含三角函數(shù)的符號；
（4）能求值的一定要求值；
（5）含有較高次數(shù)的三角函數(shù)式，多用因式分解、約分等．
利用誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)值的步驟
用誘導(dǎo)公式可將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，其一般方向是：
①化負(fù)角的三角函數(shù)為正角的三角函數(shù)；
②化為內(nèi)的三角函數(shù)；
③化為銳角的三角函數(shù)．
可概括為：“負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了”（有時也直接化到銳角求值）．
21．已知，則（）
A．B．C．D．
22．已知，則（）
A．B．C．D．
23．若角滿足，則（）
A．B．C．D．
24．已知，且，則的值為（）
A．B．C．D．7
25．已知，則角所在的象限是（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
26．若，則（）
A．B．C．D．
27．已知，則．
28．已知，則 .
29．已知，且，則．
30．已知，且．
(1)求，的值；
(2)求的值．
考點04：齊次式化簡求值
①減少不同名的三角函數(shù)，或化切為弦，或化弦為切，如涉及、的齊次分式問題，常采用分子分母同除以（），這樣可以將被求式化為關(guān)于的式子，從而完成被求式的求值；
②在求形如的值，注意將分母的1化為代入，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的表達(dá)式后再求值．
31．若，則的值為（）
A．B．C．D．
32．已知，則（）
A．B．C．D．
33．已知，若，則（）
A．B．C．D．
34．若，則 .
35．已知，則 .
36．已知角的頂點與坐標(biāo)原點重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊在直線上．
(1)求的值；
(2)若，，，求的值．
37．已知，，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
38．已知.求：
(1)的值；
(2)求的值.
39．已知，
(1)若，求的值；
(2)若，且，求的值．
40．已知，．
(1)求和的值；
(2)若向量，，證明：．
考點05：和、差、倍角的化簡與求值
兩角和的余弦函數(shù)
兩角和的余弦公式：
（1）公式中的都是任意角；
（2）和差角的余弦公式不能按分配律展開，即；
（3）公式使用時不僅要會正用，還要能夠逆用，在很多時候，逆用更能簡捷地處理問題．
（4）記憶：公式右端的兩部分為同名三角函數(shù)積，連接符號與等號左邊角的連接符號相反．
兩角和與差的正弦函數(shù)
兩角和正弦函數(shù)
在公式中用代替，就得到：
兩角差的正弦函數(shù)
（1）公式中的都是任意角；
（2）與和差角的余弦公式一樣，公式對分配律不成立，即；
（3）和差公式是誘導(dǎo)公式的推廣，誘導(dǎo)公式是和差公式的特例．如
當(dāng)或中有一個角是的整數(shù)倍時，通常使用誘導(dǎo)公式較為方便；
（4）使用公式時，不僅要會正用，還要能夠逆用公式，如化簡時，不要將和展開，而應(yīng)采用整體思想，進(jìn)行如下變形：
這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的整體原則．
（5）記憶時要與兩角和與差的余弦公式區(qū)別開來，兩角和與差的余弦公式的等號右端的兩部分為同名三角函數(shù)積，連接符號與等號左邊角的連接符號相反；兩角和與差的正弦公式的等號右端的兩部分為異名三角函數(shù)積，連接符號與等號左邊角的連接符號相同．
兩角和與差的正切函數(shù)
（1）公式成立的條件是：，或，其中；
（2）公式的變形：
（3）兩角和與差的正切公式不僅可以正用，也可以逆用、變形用，逆用和變形用都是化簡三角恒等式的重要手段，如就可以解決諸如的求值問題．所以在處理問題時要注意觀察式子的特點，巧妙運(yùn)用公式或其變形，使變換過程簡單明了．
（4）公式對分配律不成立，即．
二倍角的正弦、余弦、正切公式
二倍角公式的逆用及變形
1、公式的逆用
；．
．
．
2、公式的變形
；
降冪公式：
升冪公式：
41．已知，若，則（）
A．B．C．D．
42．已知，則（）
A．B．C．D．
43．已知，，，，，則（）
A．B．C．D．
44．已知，則（）
A．B．C．D．
45．若，則（）
A．B．C．D．
46．的值可能為（）
A．B．C．1D．3
47．若，的化簡結(jié)果為 .
48．已知，則 .
49．已知銳角滿足，則．
50．設(shè)復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，且，若，則．
考點06：輔助角公式的妙用
形如：
第一步：
第二步：等號左側(cè)若是加號，則等號右側(cè)也為加號，等號左側(cè)若是減號，等號右側(cè)也為減號.
第三步：的求算，只需在第一象限標(biāo)明點尋找夾角即可達(dá)到秒殺的境界.
注意：若果，則需提負(fù)號，繼續(xù)遵循以上步驟
51．已知函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（）
A．的最小正周期為
B．的圖象關(guān)于點對稱
C．若是偶函數(shù)，則，
D．在區(qū)間上的值域為
52．已知函數(shù)，，若P，Q分別為函數(shù)和的圖象上的兩個最高點，則|PQ|的最小值為（）
A．B．C．D．
53．已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程在區(qū)間上有且只有四個不相等的實數(shù)根，則正數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
54．已知函數(shù)，若且，則的最小值為（）
A．11B．5C．9D．7
55．函數(shù)在上的最大值是．
56．已知，，則的值域為 .
57．已知函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到的圖象，則．
58．已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期；
(2)當(dāng)時，求函數(shù)的最大值，以及相應(yīng)的值.
59．已知實數(shù)，設(shè)函數(shù)，且．
(1)求實數(shù)，并寫出的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)若為函數(shù)的一個零點，求．
60．已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的對稱中心及不等式的解集；
(2)已知，求的值.
考點07：給值求值模型
針對已知條件求值問題，則遵循以下步驟（萬能）
第一步：將目標(biāo)角和已知角全拿出來
第二步：通過加減乘消去或
第三步：用已知角代替目標(biāo)角
第四步：利用誘導(dǎo)公式或三角恒等變換處理
61．已知，，且，，則（）
A．或B．或C．D．
62．已知，則（）
A．B．C．D．
63．已知，，則（）
A．B．C．D．
64．已知，則的值為（）
A．B．C．D．
65．若，則（）
A．B．C．D．
66．已知，且，則（）
A．B．C．D．
67．已知，則（）
A．B．C．D．
68．已知，，，，則的值為（）
A．B．C．D．
69．已知，，，則（）
A．B．C．D．
70．已知角，滿足，，且，.
(1)求的值；
(2)求的大小.
考點08：給角求值模型
記住常見數(shù)據(jù)：
71．計算：（）
A．B．C．D．
72．若，則實數(shù)的值為（）
A．B．C．D．
73．的值為（）
A．B．C．D．
74．（）
A．B．C．D．
75．如圖，某時鐘顯示的時刻為，此時時針與分針的夾角為，則（）
A．B．C．D．
76．的值為（）
A．B．C．D．
77．若角頂點與原點重合，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊在直線上，則（）
A．B．C．D．
78．（）
A．B．C．D．
79．（）
A．B．C．D．
80．求值：（）
A．1B．C．D．

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