考點(diǎn)04  指對冪函數(shù)（核心考點(diǎn)講與練）1.冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，形如y＝xα的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù).(2)常見的5種冪函數(shù)的圖象(3)冪函數(shù)的性質(zhì)①冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義；②當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；③當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1，1)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a＝(a>0，m，n∈N+，且n>1)；正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a－＝(a>0，m，n∈N+，且n>1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.(2)有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.3.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，函數(shù)的定義域是R，a是底數(shù).(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) a>10<a<1圖象定義域R值域(0，＋∞)
性質(zhì)過定點(diǎn)(0，1)，即x＝0時(shí)，y＝1當(dāng)x>0時(shí)，y>1；當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1當(dāng)x<0時(shí)，y>1；當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)4.對數(shù)的概念一般地，對于指數(shù)式ab＝N，我們把“以a為底N的對數(shù)b”記作logaN，即b＝logaN(a>0，且a≠1).其中，數(shù)a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)，讀作“b等于以a為底N的對數(shù)”.5.對數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運(yùn)算性質(zhì)(1)對數(shù)的性質(zhì)：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).(2)對數(shù)的運(yùn)算法則如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④loga mMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).(3)換底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1).6.對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，＋∞).(2)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域：(0，＋∞)值域：R當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，即過定點(diǎn)(1，0)當(dāng)x>1時(shí)，y>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0當(dāng)x>1時(shí)，y<0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0
 在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)7.指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較　　函數(shù)性質(zhì)　　　y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn) 1.冪函數(shù)y＝xα(α∈R)圖象的特征α>0時(shí)，圖象過原點(diǎn)和(1，1)點(diǎn)，在第一象限的部分“上升”；α<0時(shí)，圖象不過原點(diǎn)，經(jīng)過(1，1)點(diǎn)在第一象限的部分“下降”，反之也成立.2.判斷指數(shù)函數(shù)圖象上底數(shù)大小的問題，可以先通過令x＝1得到底數(shù)的值再進(jìn)行比較.3.指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù)a的大小，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)分0<a<1和a>1兩種情況分類討論.4.對數(shù)值取正、負(fù)值的規(guī)律當(dāng)a>1且b>1或0<a<1且0<b<1時(shí)，logab>0；當(dāng)a>1且0<b<1或0<a<1且b>1時(shí)，logab<0.5.利用單調(diào)性可解決比較大小、解不等式、求最值等問題，其基本方法是“同底法”，即把不同底的對數(shù)式化為同底的對數(shù)式，然后根據(jù)單調(diào)性來解決.6.比較冪、對數(shù)大小有兩種常用方法：(1)數(shù)形結(jié)合；(2)找中間量結(jié)合函數(shù)單調(diào)性.7.多個(gè)對數(shù)函數(shù)圖象比較底數(shù)大小的問題，可通過比較圖象與直線y＝1交點(diǎn)的橫坐標(biāo)進(jìn)行判定.指數(shù)函數(shù)
一、單選題1．（2022·江蘇·金陵中學(xué)模擬預(yù)測）已知是正實(shí)數(shù)，函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則的最小值為（       ）A． B．9 C． D．22．（2022·江西上饒·二模（理））函數(shù)的大致圖像為（       ）A． B．C． D．3．（2022·河北秦皇島·二模）設(shè)，，，則（       ）A． B． C． D．4．（2022·浙江嘉興·二模）已知集合，，則（       ）A． B． C． D．二、多選題5．（2022·廣東汕頭·二模）設(shè)a，b，c都是正數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（       ）A． B． C． D．三、填空題6．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）若，則的最小值為_________．7．（2022·遼寧錦州·一模）已知函數(shù)的值域?yàn)?/span>R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.8．（2022·山西·二模（理））已知函數(shù)給出下列結(jié)論：①是偶函數(shù)；②在上是增函數(shù)；③若，則點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率恒為正．其中正確結(jié)論的序號為______．
9．（2022·福建龍巖·一模）已知函數(shù)，若方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．10．（2022·海南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，則_________．對數(shù)函數(shù)一、單選題1．（2022·遼寧錦州·一模）若，，則x，y，z的大小關(guān)系為（       ）A． B． C． D．2．（2022·廣東惠州·一模）中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率C取決于信道帶寬W?信道內(nèi)信號的平均功率S?信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫做信噪比.當(dāng)信噪比比較大時(shí)，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計(jì)，按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬W，而將信噪比從1000提升至5000，則C大約增加了（       ）（附：）A．20% B．23% C．28% D．50%3．（2022·北京順義·二模）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/span>       ）A． B． C． D．4．（2022·河南新鄉(xiāng)·二模（文））函數(shù)的部分圖象大致為（       ）A． B．C． D．5．（2021·吉林·東北師大附中模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)在上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（       ）
A． B．C． D．6．（2022·山西·二模（理））已知是的一個(gè)零點(diǎn)，是的一個(gè)零點(diǎn)，，則（       ）A． B．C． D．或二、多選題7．（2021·河北石家莊·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則（       ）A． B．在上是單調(diào)函數(shù)C．的最小值為1 D．方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根8．（2020·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若，且，則（       ）A． B．C． D．三、雙空題9．（2022·河北石家莊·二模）已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù).滿足，且，則___________，的取值范圍是___________.四、填空題10．（2022·海南·模擬預(yù)測）若對任意的且，函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為___________.11．（2022·江西贛州·二模（理））若函數(shù)在上是減函數(shù)，則的取值范圍是___________.
五、解答題12．（2020·全國·一模（文））（1）已知，，，證明：；（2）已知，，，且，若恒成立，求實(shí)數(shù)k的最大值.        冪函數(shù)一、單選題1．（2022·北京·一模）下列函數(shù)中，定義域與值域均為R的是（       ）A． B． C． D．2．（2021·河北衡水中學(xué)模擬預(yù)測）已知冪函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，則（       ）A．8 B．4 C．2 D．13．（2021·江西·模擬預(yù)測）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則（       ）A．0 B．2 C．4 D．54．（2021·四川·樂山市教育科學(xué)研究所一模（理））已知冪函數(shù)和，其中，則有下列說法：①和圖象都過點(diǎn)；②和圖象都過點(diǎn)；③在區(qū)間上，增長速度更快的是；④在區(qū)間上，增長速度更快的是.
則其中正確命題的序號是（       ）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④5．（2022·全國·貴陽一中二模（文））下列函數(shù)中是減函數(shù)的為（       ）A． B． C． D．6．（2022·陜西寶雞·三模（理））若，則下列結(jié)論正確的是（       ）A． B．C． D．二、多選題7．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù),且,則下列判斷正確的是（       ）A． B．C． D．8．（2021·山東·模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)，滿足，則下列不等式恒成立的是（       ）A．B．若，，則C．D．若，，則9．（2021·全國·模擬預(yù)測）已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列判斷正確的是（       ）A．3e﹣2π＜3πe﹣2 B．πl(wèi)og3e＞3logπeC．logπe D．πe＜eπ10．（2021·山東濰坊·三模）已知函數(shù)（且）的圖象如下圖所示，則下列四個(gè)函數(shù)圖象與函數(shù)解析式對應(yīng)正確的是（       ）
A． B．C． D．三、填空題11．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測（文））寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)______．①；②當(dāng)時(shí)，；③；12．（2022·四川瀘州·模擬預(yù)測（文））已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.13．（2022·北京通州·一模）冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，能夠使是奇函數(shù)的一組整數(shù)m，n的值依次是__________．一、單選題 1．（2021·全國·高考真題）已知，，，則下列判斷正確的是（       ）A． B． C． D．2．（2021·全國·高考真題（文））青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V的滿足．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（       ）（）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
3．（2020·天津·高考真題）設(shè)，則的大小關(guān)系為（       ）A． B． C． D．4．（2020·全國·高考真題（理））若，則（       ）A． B． C． D．5．（2020·全國·高考真題（理））已知55<84，134<85．設(shè)a=log53，b=log85，c=log138，則（       ）A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b6．（2020·全國·高考真題（文））Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)I()=0.95K時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為（       ）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．697．（2020·全國·高考真題（文））設(shè)，，，則（       ）A． B． C． D．8．（2020·全國·高考真題（文））設(shè)，則（       ）A． B． C． D．9．（2020·全國·高考真題（理））設(shè)函數(shù)，則f(x)（       ）A．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減   二、多選題10．（2020·海南·高考真題）信息熵是信息論中的一個(gè)重要概念.設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值為，且，定義X的信息熵.（       ）A．若n=1，則H(X)=0B．若n=2，則H(X)隨著的增大而增大C．若，則H(X)隨著n的增大而增大
D．若n=2m，隨機(jī)變量Y所有可能的取值為，且，則H(X)≤H(Y) 三、填空題11．（2020·山東·高考真題）若，則實(shí)數(shù)的值是______.12．（2020·北京·高考真題）函數(shù)的定義域是____________．13．（2020·江蘇·高考真題）已知y=f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)， ，則f(-8)的值是____.一、單選題1. （2022·全國·模擬預(yù)測）開普勒（Johannes Kepler，1571~1630），德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他發(fā)現(xiàn)所有行星運(yùn)行的軌道與公轉(zhuǎn)周期的規(guī)律：所有行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，且所有行星軌道的半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比都相等.已知金星與地球的公轉(zhuǎn)周期之比約為2:3，地球運(yùn)行軌道的半長軸為a，則金星運(yùn)行軌道的半長軸約為（    ）A. 0.66a B. 0.70a C. 0.76a D. 0.96a2. （2022·全國·模擬預(yù)測）已知是函數(shù)的零點(diǎn)，則的值（    ）A. 為正數(shù) B. 為負(fù)數(shù) C. 等于0 D. 無法確定正負(fù) 3. （2022·全國·模擬預(yù)測）已知，，，則（    ）A.  B.  C.  D. 4. （2022·廣東汕頭·一模） 已知，，，則以下不等式正確的是（    ）A.  B.  C.  D. 5. （2022·河北·模擬預(yù)測）設(shè)，，則，，的大小關(guān)系為（    ）A.  B.  C.  D.
6. （2022·山東·模擬預(yù)測）已知非零實(shí)數(shù)m，n滿足，則下列關(guān)系式一定成立的是（    ）A.  B. C.  D. 7. （2022·全國·模擬預(yù)測）分形幾何學(xué)的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)眾多領(lǐng)域的難題提供了全新的思路.圖1是長度為1的線段，將圖1中的線段三等分，以中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉得到圖2，稱為“一次分形”；用同樣的方法把圖2中的每條線段重復(fù)上述操作，得到圖3，稱為“二次分形”……，依次進(jìn)行“n次分形”（ ）.規(guī)定：一個(gè)分形圖中所有線段的長度之和為該分形圖的長度，要得到一個(gè)長度不小于20的分形圖，則n的最小值是（    ）（取，）A. 9 B. 10 C. 11 D. 128. （2022·全國·模擬預(yù)測）設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（    ）A.  B.  C.  D. 二、多選題9. （2022·全國·模擬預(yù)測）已知，且，則（    ）A.  B. C.  D. 10. （2022·山東濟(jì)寧·一模）已知函數(shù)，若，，，則（    ）A. 在上恒為正 B. 在上單調(diào)遞減C. a，b，c中最大的是a D. a，b，c中最小的是b11. （2022·山東菏澤·一模）下列結(jié)論正確的有（    ）A. 若，則
B. 若，則C. 若（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），則D. 若，則12. （2022·湖南永州·二模）已知定義在的偶函數(shù)，其周期為4，當(dāng)時(shí)，，則（    ）A.  B. 的值域?yàn)?/span>C. 在上為減函數(shù) D. 在上有8個(gè)零點(diǎn)13. （2022·全國·模擬預(yù)測）若正實(shí)數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的有（    ）A.  B.  C.  D.     

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