一．填空題（共4小題）
1．（2020秋?青浦區(qū)期中）若定義新的運(yùn)算符號“*”為a*b＝，則（*）*2＝ ．
2．（2022秋?松江區(qū)期中）已知：；；；…；請根據(jù)這個(gè)規(guī)律計(jì)算＝ ．
3．（2019秋?浦東新區(qū)期中）＝＝﹣＝
以上過程，是逆用異分母分?jǐn)?shù)減法的方法得到．
采用該方法同樣可得：＝
請直接計(jì)算+++++++＝ ．
4．（2019秋?浦東新區(qū)期中）閱讀理解：，，…閱讀以上材料后計(jì)算：＝ ．
二．解答題（共12小題）
5．（2022秋?徐匯區(qū)期末）計(jì)算：
．
6．（2020秋?浦東新區(qū)期中）閱讀理解題
第1個(gè)等式：＝＝1﹣；
第2個(gè)等式：＝＝；
第3個(gè)等式：＝＝；
……
觀察以上等式，請解答下列問題：
（1）按以上規(guī)律列出第5個(gè)等式： ；
（2）計(jì)算：+……+．
7．（2022秋?青浦區(qū)期中）*表示一種運(yùn)算：規(guī)定它的含義是a*b＝（3+a）﹣（b+2）．
請計(jì)算：（1）3*2的值；
（2）4*5的值．
8．（2022秋?浦東新區(qū)校級期中）閱讀理解：
+＝＝；
+＝＝；
+＝＝．
（1）請?jiān)诶斫馍厦嬗?jì)算方法的基礎(chǔ)上，把下面兩個(gè)數(shù)表示成兩個(gè)分子為1的分?jǐn)?shù)的和的形式．
＝ ；＝ ．
（2）利用以上所得的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算：﹣+﹣+﹣+﹣+﹣．
9．（2022秋?奉賢區(qū)校級期中）先閱讀，再答題：
；
；
．
（1）根據(jù)以上材料，請寫出：＝ ；＝ ；
（2）計(jì)算：．
10．（2020秋?浦東新區(qū)校級期中）計(jì)算：
．
11．（2019秋?虹口區(qū)期末）先閱讀，再答題
＝＝1﹣，＝＝﹣，＝＝﹣，＝＝﹣……
根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，試寫出
（1）＝﹣；
（2）＝ ；
計(jì)算：++++++．
12．（2019秋?浦東新區(qū)校級期中）先閱讀，再答題．
因?yàn)椋?br>……
將上面的式子反過來，有等式：
等式：
（1）根據(jù)以上材料，請寫出：＝ ；
（2）計(jì)算：
（3）計(jì)算：
13．（2019秋?松江區(qū)期中）閱讀理解題+＝＝；+＝＝；+＝＝．
（1）請?jiān)诶斫馍厦嬗?jì)算方法的基礎(chǔ)上，把下面兩個(gè)數(shù)表示成兩個(gè)分?jǐn)?shù)的和的形式：＝ + ；＝ + ．
（2）利用以上所得的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算：﹣+﹣+﹣．
（3）結(jié)合以上規(guī)律，通過適當(dāng)變形，進(jìn)行計(jì)算：﹣+﹣．
14．（2020秋?普陀區(qū)期中）閱讀理解：
+＝＝，+＝＝；﹣＝＝，﹣＝＝．
（1）請?jiān)诶斫馍厦嬗?jì)算方法的基礎(chǔ)上填空：
+＝＝；
﹣＝＝；
（2）利用以上所得的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算：
﹣﹣﹣+﹣．
15．（2021秋?嘉定區(qū)期末）數(shù)學(xué)有用，數(shù)學(xué)有趣，數(shù)學(xué)有美．其中的有趣、有用與優(yōu)美時(shí)常體現(xiàn)于數(shù)學(xué)的內(nèi)部．請?jiān)谟^察下面等式特點(diǎn)的過程之中體會數(shù)學(xué)之趣、欣賞數(shù)學(xué)之美．
①，②＝，③﹣＝，……
可以發(fā)現(xiàn)：上述三個(gè)算式之中的兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差等于這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的積．
（1）請認(rèn)真觀察、歸納上述三個(gè)算式的共同特點(diǎn)，再寫出其中的三個(gè)主要特點(diǎn)；
（2）請你再寫出兩個(gè)具有（1）中所歸納的這些特點(diǎn)的算式．
16．（2021秋?長寧區(qū)校級期中）；；
（1）請?jiān)诶斫馍厦嬗?jì)算方法的基礎(chǔ)上，把下面兩個(gè)數(shù)表示成兩個(gè)分?jǐn)?shù)的和的形式（分別寫出表示的過程和結(jié)果）
＝ ＝ ，＝ ＝ ．
（2）利用以上所得的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算：
【過關(guān)檢測】
一、解答題
1．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習(xí)）閱讀例題后，完成計(jì)算：
例：．
計(jì)算：．
2．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習(xí)）閱讀例題后，完成計(jì)算：
例：．
計(jì)算：．
3．（2023·上?！ち昙壖倨谧鳂I(yè)）請觀察下列各式，再答題：


(1)填空：（ ）
(2)計(jì)算：
4．（2022秋·上海普陀·六年級統(tǒng)考期中）觀察下列等式：
；；；
運(yùn)用以上規(guī)律，回答下列問題：
(1)填空：—；
(2)計(jì)算：；
(3)計(jì)算：
(4)＝ ．（直接寫出答案）
5．（2022秋·上海楊浦·六年級統(tǒng)考期中）從下面選擇合適的圖形編號填在等式內(nèi)，并照圖寫出相應(yīng)的分?jǐn)?shù)加減算式．
(1)圖號和算式分別為________，__________________________．
(2)圖號和算式分別為________，__________________________．
(3)從下面選擇合適的圖形編號填在等式內(nèi)，在內(nèi)“+”或“?”，使等式成立．（本題填的圖形編號．“+”、“?”均不重復(fù)使用）
（所有供選擇的圖形如下）
6．（2023·上海·六年級假期作業(yè)）每個(gè)假分?jǐn)?shù)可以寫成一個(gè)自然數(shù)與一個(gè)最簡真分?jǐn)?shù)的和（例如），真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)又可以寫成一個(gè)自然數(shù)與一個(gè)真分?jǐn)?shù)的和（），反復(fù)進(jìn)行同樣的過程，直到真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)是一個(gè)自然數(shù)為止（，），我們把用這種方法得到的自然數(shù)，按照先后順序?qū)懗梢粋€(gè)數(shù)組那么這個(gè)數(shù)組叫做由這個(gè)假分?jǐn)?shù)生成的自然數(shù)組．
如：對于假分?jǐn)?shù)，則，
，
，
，
所生成的自然數(shù)組為
請根據(jù)上述閱讀材料填空；
(1)由假分?jǐn)?shù)生成的自然數(shù)組是{______}（請寫出解題過程）
(2)已知某個(gè)假分?jǐn)?shù)所生成的自然數(shù)組為，那么這個(gè)假分?jǐn)?shù)是______．（直接寫出答案）
7．（2022秋·上海長寧·六年級上海市復(fù)旦初級中學(xué)?？计谥校┣蟮闹?，我們可以用下面的方法：
∵
∴原式
這種方法稱為拆項(xiàng)法，它的特點(diǎn)是拆項(xiàng)后能產(chǎn)生相反數(shù)，在計(jì)算過程中抵消，用這種方法計(jì)算下列兩題．
(1)
(2)
8．（2023·上?！ち昙壖倨谧鳂I(yè)）閱讀理解：
；；
(1)請?jiān)诶斫馍厦嬗?jì)算方法的基礎(chǔ)上，把下面兩個(gè)數(shù)表示成兩個(gè)分子為1的分?jǐn)?shù)的和的形式．
______；______．
(2)利用以上所得的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算；
9．（2021秋·上海嘉定·六年級統(tǒng)考期中）三千多年前埃及人發(fā)明了一種書寫分?jǐn)?shù)的方法，這些分?jǐn)?shù)的分子為1，它們被稱為單位分?jǐn)?shù)．對于分子不是1的分?jǐn)?shù)，埃及人將它們轉(zhuǎn)化成分子是1的分?jǐn)?shù)再計(jì)算，如何將一個(gè)分?jǐn)?shù)分拆為幾個(gè)不同的單位分?jǐn)?shù)之和是一個(gè)很有意義的問題．例如：

(1)請模仿上例將下列單位分?jǐn)?shù)拆成2個(gè)不同的單位分?jǐn)?shù)之和：


(2)請觀察
根據(jù)觀察結(jié)果寫出（n為大于1的正整數(shù)）
(3)根據(jù)（2）中的結(jié)論，請計(jì)算：
10．（2022秋·上海·六年級專題練習(xí)）閱讀例題后，完成計(jì)算：
例：．
計(jì)算：．
11．（2022秋·上海徐匯·六年級上海市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）思考探究
(1)分子為1的分?jǐn)?shù)叫做單位分?jǐn)?shù)．早在三千多年前，古埃及人就利用單位分?jǐn)?shù)進(jìn)行書寫和計(jì)算．將一個(gè)分?jǐn)?shù)分拆為幾個(gè)不同的單位分?jǐn)?shù)之和是一個(gè)古老且有意義的問題．例如：
；
仿照上例分別把分?jǐn)?shù)和分拆成兩個(gè)不同的單位分?jǐn)?shù)之和
① ；
② ．
(2)在上例中，又因?yàn)椋裕?，即可以寫成三個(gè)不同的單位分?jǐn)?shù)之和．按照這樣的思路，它也可以寫成四個(gè)，甚至五個(gè)不同的單位分?jǐn)?shù)之和．根據(jù)以上分析，探索分?jǐn)?shù)能寫出哪些兩個(gè)以上的不同單位分?jǐn)?shù)之和？（至少寫出兩種）
12．（2022秋·上海黃浦·六年級統(tǒng)考期中）【閱讀材料】三千多年前，埃及人發(fā)明了一種書寫分?jǐn)?shù)的方法，這些分?jǐn)?shù)的分子為1，它們被稱為“單位分?jǐn)?shù)”，通過探究，小明發(fā)現(xiàn)有一些分?jǐn)?shù)，可以很容易地拆分為兩個(gè)不同的“單位分?jǐn)?shù)”之和（或差）例如：
， ，…；
， ，…；
(1)請觀察小明發(fā)現(xiàn)的拆分方法，填空：
①=；
②=．
(2)請歸納以上拆分規(guī)律，計(jì)算下列各題：
①；
②；
(3)請運(yùn)用以上拆分規(guī)律，直接寫出下列算式的結(jié)果：
①= ；
②= ．
13．（2023·上?！ち昙壖倨谧鳂I(yè)）如果，，，那么
14．（2023·上海·六年級假期作業(yè)）計(jì)算：
15．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習(xí)）計(jì)算：．
重難點(diǎn)02分?jǐn)?shù)運(yùn)算之“規(guī)律探究”
【考點(diǎn)剖析】
一．填空題（共4小題）
1．（2020秋?青浦區(qū)期中）若定義新的運(yùn)算符號“*”為a*b＝，則（*）*2＝ ．
【分析】先計(jì)算出*＝，再計(jì)算（*）*2＝*2即可．
【解答】解：∵a*b＝，
∴*＝＝＝＝，
∴（*）*2＝*2＝＝＝×＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題主要考查有理數(shù)混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出算式，并熟練掌握有理數(shù)混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．
2．（2022秋?松江區(qū)期中）已知：；；；…；請根據(jù)這個(gè)規(guī)律計(jì)算＝ ．
【分析】根據(jù)題意，把互為相反數(shù)的項(xiàng)合并即可．
【解答】解：
＝...+
＝
＝
＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查了分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算，掌握題目給出的規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．
3．（2019秋?浦東新區(qū)期中）＝＝﹣＝
以上過程，是逆用異分母分?jǐn)?shù)減法的方法得到．
采用該方法同樣可得：＝
請直接計(jì)算+++++++＝ ．
【分析】根據(jù)題目中式子的特點(diǎn)進(jìn)行變形可以解答本題．
【解答】解：原式＝+…++
＝
＝，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)變形進(jìn)行計(jì)算．
4．（2019秋?浦東新區(qū)期中）閱讀理解：，，…閱讀以上材料后計(jì)算：＝ 81 ．
【分析】先拆項(xiàng)，再抵消，依此計(jì)算即可求解．
【解答】解：原式＝（1+3+5+7+9+11+13+15+17）+（+++++++）
＝81+（﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣）
＝81+
＝81．
故答案為：81．
【點(diǎn)評】此題考查了分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算，關(guān)鍵是熟悉＝﹣的知識點(diǎn)．
二．解答題（共12小題）
5．（2022秋?徐匯區(qū)期末）計(jì)算：．
【分析】設(shè)＝a，則＝a﹣，＝a﹣，進(jìn)一步代入求得答案即可．
【解答】解：設(shè)＝a，則＝a﹣，＝a﹣，
原式＝（a﹣）（a﹣）﹣a×（）
＝a2﹣（+）a+1﹣a×（）
＝a2﹣（）a+1
＝a2﹣a2+1
＝1．
【點(diǎn)評】此題考查分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算，抓住數(shù)字的特點(diǎn)，利用整體思想解決問題．
6．（2020秋?浦東新區(qū)期中）閱讀理解題
第1個(gè)等式：＝＝1﹣；
第2個(gè)等式：＝＝；
第3個(gè)等式：＝＝；
……
觀察以上等式，請解答下列問題：
（1）按以上規(guī)律列出第5個(gè)等式： ＝＝﹣ ；
（2）計(jì)算：+……+．
【分析】（1）仿照已知等式得到第5個(gè)等式即可；
（2）原式利用得出的規(guī)律變形，計(jì)算即可求出值．
【解答】解：（1）∵第1個(gè)等式：＝＝1﹣；
第2個(gè)等式：＝＝；
第3個(gè)等式：＝＝；
……
∴第5個(gè)等式：＝＝﹣．
故答案為：＝＝﹣；
（2）+……+
＝×（1﹣+﹣+﹣+……+﹣）
＝×（1﹣）
＝×
＝．
【點(diǎn)評】本題考查數(shù)字的變化類、分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)式子的變化特點(diǎn)，求出所求式子的值．
7．（2022秋?青浦區(qū)期中）*表示一種運(yùn)算：規(guī)定它的含義是a*b＝（3+a）﹣（b+2）．
請計(jì)算：（1）3*2的值；
（2）4*5的值．
【分析】（1）先根據(jù)定義列出算式3*2＝（3+2）﹣（2+2），再進(jìn)一步計(jì)算即可；
（2）先根據(jù)定義列出算式4*5＝（3+4）﹣（5+2），再進(jìn)一步計(jì)算即可．
【解答】解：（1）3*2
＝（3+2）﹣（2+2）
＝5﹣4
＝1；
（2）原式＝（3+4）﹣（5+2）
＝（3+4）﹣（5+2）
＝7﹣7
＝
＝．
【點(diǎn)評】本題主要考查分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．
8．（2022秋?浦東新區(qū)校級期中）閱讀理解：
+＝＝；
+＝＝；
+＝＝．
（1）請?jiān)诶斫馍厦嬗?jì)算方法的基礎(chǔ)上，把下面兩個(gè)數(shù)表示成兩個(gè)分子為1的分?jǐn)?shù)的和的形式．
＝ ；＝ ．
（2）利用以上所得的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算：﹣+﹣+﹣+﹣+﹣．
【分析】（1）直接利用已知運(yùn)算規(guī)律，進(jìn)而計(jì)算得出答案；
（2）直接利用已知運(yùn)算規(guī)律將原式變形，進(jìn)而計(jì)算得出答案．
【解答】解：（1）＝＝；＝＝．
故答案為：；．
（2）﹣+﹣+﹣+﹣+﹣＝1+﹣﹣+﹣﹣﹣﹣
＝1﹣
＝．
【點(diǎn)評】此題主要考查了分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
9．（2022秋?奉賢區(qū)校級期中）先閱讀，再答題：
；
；
．
（1）根據(jù)以上材料，請寫出：＝ ；＝ ﹣ ；
（2）計(jì)算：．
【分析】（1）根據(jù)題目中的式子，得出規(guī)律：＝﹣，再根據(jù)這個(gè)規(guī)律即可寫出相應(yīng)的結(jié)果；
（2）根據(jù)規(guī)律：＝﹣計(jì)算出相應(yīng)的結(jié)果．
【解答】解：（1）根據(jù)以上材料，請寫出：＝，＝﹣，
故答案為：，﹣；
（3）計(jì)算：原式＝
＝
＝．
【點(diǎn)評】本題考查了分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算，能夠根據(jù)閱讀材料得出規(guī)律＝﹣（n為正整數(shù)）是解題的關(guān)鍵．
10．（2020秋?浦東新區(qū)校級期中）計(jì)算：．
【分析】利用公式1+2+3+??????+n＝將各分母變形，再利用拆項(xiàng)的方法將每個(gè)分?jǐn)?shù)變成兩個(gè)分?jǐn)?shù)之差后進(jìn)行運(yùn)算即可．
【解答】解：∵1+2＝，
1+2+3＝，
1+2+3+4＝，
1+2+3+4+5＝，
??????，
1+2+3+???????+99+100＝，
∴
＝
＝+??????+
＝1﹣
＝．
【點(diǎn)評】本題主要考查了分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)題目特點(diǎn)利用拆項(xiàng)的方法解答是解題的關(guān)鍵．
11．（2019秋?虹口區(qū)期末）先閱讀，再答題
＝＝1﹣，＝＝﹣，＝＝﹣，＝＝﹣……
根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，試寫出
（1）＝﹣；
（2）＝ ﹣ ；
計(jì)算：++++++．
【分析】（1）根據(jù)題目中的式子，可以寫出相應(yīng)的結(jié)果；
（2）根據(jù)題目中式子的特點(diǎn)，可以計(jì)算出相應(yīng)的結(jié)果；
計(jì)算：根據(jù)題目中式子的特點(diǎn)，可以計(jì)算出相應(yīng)的結(jié)果．
【解答】解：（1）＝﹣，
故答案為：9，11；
（2）＝﹣，
故答案為：﹣；
++++++
＝﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣
＝1﹣
＝
＝．
【點(diǎn)評】本題考查分?jǐn)?shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是利用分?jǐn)?shù)的性質(zhì)進(jìn)行拆分簡化問題．
12．（2019秋?浦東新區(qū)校級期中）先閱讀，再答題．
因?yàn)椋?br>……
將上面的式子反過來，有等式：
等式：
（1）根據(jù)以上材料，請寫出：＝ ；
（2）計(jì)算：
（3）計(jì)算：
【分析】（1）根據(jù)題目中的式子，可以寫出相應(yīng)的結(jié)果；
（2）根據(jù)題目中式子的特點(diǎn)，可以計(jì)算出相應(yīng)的結(jié)果；
（3）根據(jù)題目中式子的特點(diǎn)，可以計(jì)算出相應(yīng)的結(jié)果．
【解答】解：（1）＝，
故答案為：；
（2）原式＝1﹣+…+
＝1﹣
＝；
（3）原式＝×（1﹣++…+）
＝（1﹣）
＝
＝．
【點(diǎn)評】本題考查分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)和混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算的計(jì)算方法．
13．（2019秋?松江區(qū)期中）閱讀理解題+＝＝；+＝＝；+＝＝．
（1）請?jiān)诶斫馍厦嬗?jì)算方法的基礎(chǔ)上，把下面兩個(gè)數(shù)表示成兩個(gè)分?jǐn)?shù)的和的形式：＝ + ；＝ + ．
（2）利用以上所得的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算：﹣+﹣+﹣．
（3）結(jié)合以上規(guī)律，通過適當(dāng)變形，進(jìn)行計(jì)算：﹣+﹣．
【分析】（1）利用題干中的規(guī)律即可得出結(jié)論；
（2）將寫成的形式，寫成的形式，寫成的形式，寫成的形式，寫成的形式后再進(jìn)行運(yùn)算即可得出結(jié)論；
（3）將所求式子的分子擴(kuò)大2倍后即可按照（2）的方法計(jì)算，最后將結(jié)果除以2即可．
【解答】解：（1）∵，
∴．
∵，
∴．
故答案為：；；；；
（2）根據(jù)規(guī)律把、、、、表示成兩個(gè)分?jǐn)?shù)的和的形式為：
＝，＝，＝，＝，＝，
∴﹣+﹣+﹣
＝﹣（）+（）﹣（）+（）﹣（）
＝
＝+（）+（）
＝
＝1﹣
＝；
（3）﹣+﹣
＝×（）
＝×[（）﹣（）+（）﹣（）]
＝（）
＝（）
＝
＝．
【點(diǎn)評】本題主要考查了分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算，本題是閱讀型題目，理解題干中的方法并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
14．（2020秋?普陀區(qū)期中）閱讀理解：
+＝＝，+＝＝；﹣＝＝，﹣＝＝．
（1）請?jiān)诶斫馍厦嬗?jì)算方法的基礎(chǔ)上填空：
+＝＝；
﹣＝＝；
（2）利用以上所得的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算：
﹣﹣﹣+﹣．
【分析】（1）由上面的題例，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，直接填空即可．
（2）逆運(yùn)用題例規(guī)律，把題中分?jǐn)?shù)寫成兩個(gè)分?jǐn)?shù)和的形式，加減求和即可．
【解答】解：（1）+＝＝；
﹣＝＝；
故答案為：6，7，6，7，6，7；7，8，8，7，7，8．
（2）﹣﹣﹣+﹣
＝+﹣（﹣）﹣（﹣）﹣（+）+（+）﹣（﹣）
＝+﹣+﹣+﹣﹣++﹣+
＝+
＝+
＝
＝．
【點(diǎn)評】本題考查了分?jǐn)?shù)的四則混合運(yùn)算，理解題哩找到規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．若m、n是不為0的相鄰正整數(shù)（m＜n），則+＝，﹣＝；反之亦成立．
15．（2021秋?嘉定區(qū)期末）數(shù)學(xué)有用，數(shù)學(xué)有趣，數(shù)學(xué)有美．其中的有趣、有用與優(yōu)美時(shí)常體現(xiàn)于數(shù)學(xué)的內(nèi)部．請?jiān)谟^察下面等式特點(diǎn)的過程之中體會數(shù)學(xué)之趣、欣賞數(shù)學(xué)之美．
①，②＝，③﹣＝，……
可以發(fā)現(xiàn)：上述三個(gè)算式之中的兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差等于這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的積．
（1）請認(rèn)真觀察、歸納上述三個(gè)算式的共同特點(diǎn)，再寫出其中的三個(gè)主要特點(diǎn)；
（2）請你再寫出兩個(gè)具有（1）中所歸納的這些特點(diǎn)的算式．
【分析】（1）根據(jù)所給的等式的形式進(jìn)行求解即可；
（2）仿照所給的等式的規(guī)律進(jìn)行求解即可．
【解答】解：（1）分母相差1，分子相同都為兩個(gè)分母差的兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差，等于這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的乘積；
分母相差2，分子相同都為兩個(gè)分母差的兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差，等于這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的乘積；
分母相差3，分子相同都為兩個(gè)分母差的兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差，等于這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的乘積（答案不唯一）；
（2）﹣＝×，﹣＝×（答案不唯一）．
【點(diǎn)評】本題主要考查規(guī)律型：數(shù)字的變化類，分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是理解清楚所給的規(guī)律并靈活運(yùn)用．
16．（2021秋?長寧區(qū)校級期中）；；
（1）請?jiān)诶斫馍厦嬗?jì)算方法的基礎(chǔ)上，把下面兩個(gè)數(shù)表示成兩個(gè)分?jǐn)?shù)的和的形式（分別寫出表示的過程和結(jié)果）
＝ + ＝ ，＝ + ＝ ．
（2）利用以上所得的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算：
【分析】（1）直接利用已知運(yùn)算規(guī)律進(jìn)而計(jì)算得出答案；
（2）直接利用已知運(yùn)算規(guī)律將原式變形進(jìn)而計(jì)算得出答案．
【解答】解：（1）＝+＝；
＝+＝；
故答案為：+，；+，；
（2）原式＝1+﹣（+）+（+）﹣（+）+（+）﹣（+）+（+）﹣（+）
＝1﹣
＝．
【點(diǎn)評】此題主要考查了分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
【過關(guān)檢測】
一、解答題
1．（2022秋·上海·六年級專題練習(xí)）閱讀例題后，完成計(jì)算：
例：．
計(jì)算：．
【答案】
【分析】根據(jù)材料方法被除數(shù)和除數(shù)提取公因式，再約掉它化簡即可．
【詳解】
【點(diǎn)睛】本題主要是理解例題中的計(jì)算方法，并且應(yīng)用到實(shí)際計(jì)算中，這也是分?jǐn)?shù)運(yùn)算中的一種簡便的運(yùn)算方法．
2．（2022秋·上?！ち昙墝ｎ}練習(xí)）閱讀例題后，完成計(jì)算：
例：．
計(jì)算：．
【答案】3
【分析】根據(jù)題給出的運(yùn)算方法進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：
．
【點(diǎn)睛】本題主要是理解例題中的計(jì)算方法，并且應(yīng)用到實(shí)際計(jì)算中，這也是分?jǐn)?shù)運(yùn)算中的一種簡便的運(yùn)算方法，解決本題的關(guān)鍵是計(jì)算過程中不出錯(cuò)．
3．（2023·上?！ち昙壖倨谧鳂I(yè)）請觀察下列各式，再答題：


(1)填空：（ ）
(2)計(jì)算：
【答案】(1)4
(2)
【分析】（1）先觀察算式的變化規(guī)律，進(jìn)而即可求解；
（2）把原式化為，即可求解．
【詳解】（1）解：∵

，
∴，
故答案為：4；
（2）解：
=
=
=．
【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的混合運(yùn)算，找到算式的運(yùn)算規(guī)律是關(guān)鍵．
4．（2022秋·上海普陀·六年級統(tǒng)考期中）觀察下列等式：
；；；
運(yùn)用以上規(guī)律，回答下列問題：
(1)填空：—；
(2)計(jì)算：；
(3)計(jì)算：
(4)＝ ．（直接寫出答案）
【答案】(1)17，20
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）由等式規(guī)律填空即可；
（2）由等式規(guī)律計(jì)算即可；
（3）類比，則，以此規(guī)律計(jì)算即可；
（4）類比，則，以此規(guī)律計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：
（2）解：
；
（3）解：
（4）解：
【點(diǎn)睛】本題考查分?jǐn)?shù)的加減及乘法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
5．（2022秋·上海楊浦·六年級統(tǒng)考期中）從下面選擇合適的圖形編號填在等式內(nèi)，并照圖寫出相應(yīng)的分?jǐn)?shù)加減算式．
(1)圖號和算式分別為________，__________________________．
(2)圖號和算式分別為________，__________________________．
(3)從下面選擇合適的圖形編號填在等式內(nèi)，在內(nèi)“+”或“?”，使等式成立．（本題填的圖形編號．“+”、“?”均不重復(fù)使用）
（所有供選擇的圖形如下）
【答案】(1)④，；
(2)①，；
(3)．
【分析】（1）根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義可知，第一個(gè)三角形平均分成4份，陰影部分1份表示為，第二個(gè)三角形平均分成兩份，陰影部分1份表示為，列式為，再根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義找出相符圖號即可；
（2）根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義可知，第一個(gè)三角形平均分成8份，陰影部分占7份，表示為，第二個(gè)三角形平均分成8份，陰影部分占3份，表示為，列式為，再根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義找出相符圖號即可；
（3）根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義可知，等號后面的三角形平均分成8份，陰影部分占3份，表示為，要找到三個(gè)分?jǐn)?shù)，使其和差等于即可．
【詳解】（1）解：第一個(gè)三角形平均分成4份，陰影部分1份表示為，
第二個(gè)三角形平均分成兩份，陰影部分1份表示為，
列式為，
而圖號④中的三角形平均分成4份，陰影部分占3份，表示為，符合題意，
故答案為：④，；
（2）解：第一個(gè)三角形平均分成8份，陰影部分占7份，表示為，
第二個(gè)三角形平均分成8份，陰影部分占3份，表示為，
列式為，
而圖號①中的三角形平均分成4份，陰影部分占2份，表示為，符合題意，
故答案為：①，；
（3）解：根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義可知，等號后面的三角形平均分成8份，陰影部分占3份，表示為，
同理可得，①表示，②表示，③表示，④表示，⑤表示，⑥表示，⑦表示，⑧表示，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題通過圖形考查了學(xué)生對于分?jǐn)?shù)意義的理解與應(yīng)用，以及分?jǐn)?shù)的加減運(yùn)算，正確理解分?jǐn)?shù)的意義是解題的關(guān)鍵．
6．（2023·上海·六年級假期作業(yè)）每個(gè)假分?jǐn)?shù)可以寫成一個(gè)自然數(shù)與一個(gè)最簡真分?jǐn)?shù)的和（例如），真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)又可以寫成一個(gè)自然數(shù)與一個(gè)真分?jǐn)?shù)的和（），反復(fù)進(jìn)行同樣的過程，直到真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)是一個(gè)自然數(shù)為止（，），我們把用這種方法得到的自然數(shù)，按照先后順序?qū)懗梢粋€(gè)數(shù)組那么這個(gè)數(shù)組叫做由這個(gè)假分?jǐn)?shù)生成的自然數(shù)組．
如：對于假分?jǐn)?shù)，則，
，
，
，
所生成的自然數(shù)組為
請根據(jù)上述閱讀材料填空；
(1)由假分?jǐn)?shù)生成的自然數(shù)組是{______}（請寫出解題過程）
(2)已知某個(gè)假分?jǐn)?shù)所生成的自然數(shù)組為，那么這個(gè)假分?jǐn)?shù)是______．（直接寫出答案）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)生成的自然數(shù)組的定義即可求解；
（2）根據(jù)生成的自然數(shù)組的定義逆推即可求解．
【詳解】（1）∵，，，，，
∴假分?jǐn)?shù)生成的自然數(shù)組是，
（2）∵這個(gè)假分?jǐn)?shù)所生成的自然數(shù)組為，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了假分?jǐn)?shù)化為帶分?jǐn)?shù)，倒數(shù)的定義，掌握新定義運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
7．（2022秋·上海長寧·六年級上海市復(fù)旦初級中學(xué)校考期中）求的值，我們可以用下面的方法：
∵
∴原式
這種方法稱為拆項(xiàng)法，它的特點(diǎn)是拆項(xiàng)后能產(chǎn)生相反數(shù)，在計(jì)算過程中抵消，用這種方法計(jì)算下列兩題．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)例題利用拆項(xiàng)法進(jìn)行計(jì)算即可求解；
（2）原式先去括號，然后加上，再利用拆項(xiàng)法進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【詳解】（1）
；
（2）
．
【點(diǎn)睛】本題考查了分?jǐn)?shù)的加減混合運(yùn)算，理解題意，根據(jù)拆項(xiàng)法計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
8．（2023·上?！ち昙壖倨谧鳂I(yè)）閱讀理解：
；；
(1)請?jiān)诶斫馍厦嬗?jì)算方法的基礎(chǔ)上，把下面兩個(gè)數(shù)表示成兩個(gè)分子為1的分?jǐn)?shù)的和的形式．
______；______．
(2)利用以上所得的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算；
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）參照所給算式，將所求分?jǐn)?shù)的分子寫成兩數(shù)之和的形式，分母寫成同樣兩個(gè)數(shù)之積的形式，即可求解；
（2）利用所給算式，將所求式子的每一項(xiàng)都拆分成兩個(gè)分子為1的分?jǐn)?shù)的和形式，再化簡即可．
【詳解】（1）解：，，
故答案為：，；
（2）解：

．
【點(diǎn)睛】本題考查分?jǐn)?shù)的拆分，掌握分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，從所給材料中找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
9．（2021秋·上海嘉定·六年級統(tǒng)考期中）三千多年前埃及人發(fā)明了一種書寫分?jǐn)?shù)的方法，這些分?jǐn)?shù)的分子為1，它們被稱為單位分?jǐn)?shù)．對于分子不是1的分?jǐn)?shù)，埃及人將它們轉(zhuǎn)化成分子是1的分?jǐn)?shù)再計(jì)算，如何將一個(gè)分?jǐn)?shù)分拆為幾個(gè)不同的單位分?jǐn)?shù)之和是一個(gè)很有意義的問題．例如：

(1)請模仿上例將下列單位分?jǐn)?shù)拆成2個(gè)不同的單位分?jǐn)?shù)之和：


(2)請觀察
根據(jù)觀察結(jié)果寫出（n為大于1的正整數(shù)）
(3)根據(jù)（2）中的結(jié)論，請計(jì)算：
【答案】(1)；
(2)，
(3)
【分析】（1）根據(jù)所給例子改寫即可；
（2）由所給例子可知，先把分子、分母乘以比分母大1的數(shù)再改寫即可；
（2）根據(jù)（2）中結(jié)論變形，裂項(xiàng)相消即可．
【詳解】（1），
．
故答案為：，；
（2）．
故答案為：，
（3）∵，
∴，
∴
．
【點(diǎn)睛】本題考查了分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握混合運(yùn)算的順序是解答本題的關(guān)鍵．
10．（2022秋·上海·六年級專題練習(xí)）閱讀例題后，完成計(jì)算：
例：．
計(jì)算：．
【答案】3
【分析】分別把和化成假分?jǐn)?shù)，然后再把除法化成乘法來計(jì)算求解．
【詳解】解：


．
【點(diǎn)睛】本題主要是理解例題中的計(jì)算方法，并且應(yīng)用到實(shí)際計(jì)算中，這也是分?jǐn)?shù)運(yùn)算中的一種簡便的運(yùn)算方法．
11．（2022秋·上海徐匯·六年級上海市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）思考探究
(1)分子為1的分?jǐn)?shù)叫做單位分?jǐn)?shù)．早在三千多年前，古埃及人就利用單位分?jǐn)?shù)進(jìn)行書寫和計(jì)算．將一個(gè)分?jǐn)?shù)分拆為幾個(gè)不同的單位分?jǐn)?shù)之和是一個(gè)古老且有意義的問題．例如：
；
仿照上例分別把分?jǐn)?shù)和分拆成兩個(gè)不同的單位分?jǐn)?shù)之和
① ；
② ．
(2)在上例中，又因?yàn)?，所以：，即可以寫成三個(gè)不同的單位分?jǐn)?shù)之和．按照這樣的思路，它也可以寫成四個(gè)，甚至五個(gè)不同的單位分?jǐn)?shù)之和．根據(jù)以上分析，探索分?jǐn)?shù)能寫出哪些兩個(gè)以上的不同單位分?jǐn)?shù)之和？（至少寫出兩種）
【答案】(1)①；②
(2)，（答案不唯一）
【分析】（1）①仿照例子將拆成和，再約分即可；②仿照例子將改寫成，再拆成和，再約分即可；
（2）結(jié)合（1）和題干，即得出；再由，又可得出；（答案不唯一）
（1）
①；
②．
故答案為：，；
（2）
∵，，
∴．
∵，
∴，即．
【點(diǎn)睛】此題考查了分?jǐn)?shù)性質(zhì)的靈活應(yīng)用，掌握同分母分?jǐn)?shù)相加以及約分方法是解題關(guān)鍵．
12．（2022秋·上海黃浦·六年級統(tǒng)考期中）【閱讀材料】三千多年前，埃及人發(fā)明了一種書寫分?jǐn)?shù)的方法，這些分?jǐn)?shù)的分子為1，它們被稱為“單位分?jǐn)?shù)”，通過探究，小明發(fā)現(xiàn)有一些分?jǐn)?shù)，可以很容易地拆分為兩個(gè)不同的“單位分?jǐn)?shù)”之和（或差）例如：
， ，…；
， ，…；
(1)請觀察小明發(fā)現(xiàn)的拆分方法，填空：
①=；
②=．
(2)請歸納以上拆分規(guī)律，計(jì)算下列各題：
①；
②；
(3)請運(yùn)用以上拆分規(guī)律，直接寫出下列算式的結(jié)果：
①= ；
②= ．
【答案】(1)① 4，5；② 4，5
(2)①，②
(3)①，②
【分析】（1）仿照所給等式的形式進(jìn)行求解即可；
（2）①將式子中的每一項(xiàng)拆分為兩個(gè)不同的“單位分?jǐn)?shù)”之和；②將式子中的每一項(xiàng)拆分為兩個(gè)不同的“單位分?jǐn)?shù)”之差；
（3）仿照（2）進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）解：，，
故①，②；
（2）解：①，
，
，
，
；
②，
，
，
；
（3）解：①，
；
②
．
【點(diǎn)睛】本題考查分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算，掌握拆分方法是解題的關(guān)鍵．
13．（2023·上海·六年級假期作業(yè)）如果，，，那么
【答案】
【分析】根據(jù)，，，可得每個(gè)算式的分子是1，分母的每個(gè)數(shù)位上都是*前面的數(shù)，位數(shù)等于*后面的數(shù)；然后分別求出6*3、2*6的值是多少，再求商，求出的值是多少即可．
【詳解】解：
=÷
=×
=．
【點(diǎn)睛】本題考查的是新定義的有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算，理解運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
14．（2023·上海·六年級假期作業(yè)）計(jì)算：
【答案】1
【分析】設(shè)，，原式變形進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【詳解】解：設(shè)，，
原式=
=
=
=
=1.
【點(diǎn)睛】本題考查了分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算，整體思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
15．（2022秋·上海·六年級專題練習(xí)）計(jì)算：．
【答案】
【分析】利用裂項(xiàng)法進(jìn)行拆項(xiàng)，然后再進(jìn)行化簡計(jì)算即可．
【詳解】
【點(diǎn)睛】本題主要是通過“裂項(xiàng)法”，使復(fù)雜的計(jì)算變的簡單，注意對方法的準(zhǔn)確理解和運(yùn)用．

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