七年級(jí)數(shù)學(xué)開學(xué)摸底考（湖南長沙專用）-2024-2025學(xué)年初中下學(xué)期開學(xué)摸底考試卷.zip-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

（考試時(shí)間：120 分鐘試卷滿分：120 分）
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如
需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡
上。寫
在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
4．測(cè)試范圍：人教版七年級(jí)上冊(cè)全部。
第一部分（選擇題共 30 分）
一、選擇題（本大題共 10 小題，每小題 3 分，滿分 30 分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，
只有一項(xiàng)符合題目要求的）
1．我國是最早認(rèn)識(shí)和使用負(fù)數(shù)的國家，在古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中首次出現(xiàn)負(fù)數(shù)，后
來，數(shù)學(xué)家劉徽在為《九章算術(shù)》作注時(shí)明確正負(fù)數(shù)表示相反意義的量．如果收入 100 元記
作
元，那么
元表示（
）
A．支出 60 元
B．收入 60 元
C．支出 40 元
D．收入 40 元
【答案】A
【分析】本題考查正負(fù)數(shù)在實(shí)際生活中的意義．根據(jù)題意可知收入 100 元記作
么繼而得到元表示支出 60 元．
【詳解】解：∵收入 100 元記作
元表示支出 60 元，
故選：A．
2．一個(gè)正方體的表面展開圖如圖所示，將其圍成正方體后，“數(shù)”字對(duì)面的字是（
元，那
元，
∴
）
A．向
B．你
C．招
D．手
【答案】D
試卷第 1 頁，共 21 頁

【分析】本題考查了正方體的展開圖形，解題關(guān)鍵是從相對(duì)面入手進(jìn)行分析及解答問題．
正方體的平面展開圖中，相對(duì)面的特點(diǎn)是之間一定相隔一個(gè)正方形，據(jù)此作答．
【詳解】解：∵正方體的平面展開圖中，相對(duì)面的特點(diǎn)是之間一定相隔一個(gè)正方形，
∴在此正方體上“數(shù)”字對(duì)面的字是“手”．
故選：D．
3．據(jù)旅游研究院最新數(shù)據(jù)顯示，今年中秋節(jié)國慶節(jié)假期，全國實(shí)現(xiàn)旅游收入 2105 億元，將
旅游收入 2105 億元，用科學(xué)記數(shù)法表示為（
）
A．
元
B．
元
C．
元
D．
元
【答案】A
【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為
的形式，其中
，
為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原來的數(shù)，變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值
與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí)，一般形式為，其中
，
為整數(shù)，據(jù)此判斷即可．
．
【詳解】
故選 A．
4．下列說法：① 的系數(shù)是；②多項(xiàng)式
是二次三項(xiàng)式；③
中，整式有個(gè)．其中正確的有（
C． D．
的常
數(shù)項(xiàng)為；④在
，
，
，
，
）
A．個(gè)
B．
個(gè)
個(gè)
個(gè)
【答案】A
【分析】本題考查了單項(xiàng)式、多項(xiàng)式和整式，根據(jù)單項(xiàng)式、多項(xiàng)式的有關(guān)概念及整式的定義
逐項(xiàng)判斷即可求解，掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：① 的系數(shù)是，該選項(xiàng)說法錯(cuò)誤；
②多項(xiàng)式
③
是三次三項(xiàng)式，該選項(xiàng)說法錯(cuò)誤；
的常數(shù)項(xiàng)為，該選項(xiàng)說法錯(cuò)誤；
中，整式有
④在
確；
，
，
，
，
，
，，共個(gè)，該選項(xiàng)說法正
∴正確的有個(gè)，
故選：
．
試卷第 2 頁，共 21 頁

5．下列合并同類項(xiàng)正確的是（）
A．
C．
B．
D．
【答案】B
【分析】本題考查了合并同類項(xiàng)，熟練掌握計(jì)算法則是解題關(guān)鍵．
根據(jù)合并同類項(xiàng)的法則逐項(xiàng)分析可得解．
【詳解】解：A．
不是同類項(xiàng)，不能合并，故錯(cuò)誤；
，故正確；
，故錯(cuò)誤；
，故錯(cuò)誤．
B．
C．
D．
故選：B．
6．某種型號(hào)的電腦標(biāo)價(jià)為元，為提高銷售量，商場推出促銷活動(dòng)．若王先生購買這款電
腦的付款金額為元，則下列說法中，能正確表示促銷活動(dòng)的是（
）
A．先在標(biāo)價(jià)基礎(chǔ)上打九折，再減 200 元 B．先在標(biāo)價(jià)基礎(chǔ)上減 200 元，再整體打九折
C．先在標(biāo)價(jià)基礎(chǔ)上打一折，再減 200 元 D．先在標(biāo)價(jià)基礎(chǔ)上減 200 元，再整體打一折
【答案】A
【分析】該題主要考查了代數(shù)式的意義，解題的關(guān)鍵是理解題意．
根據(jù)題意即可解答．
【詳解】解：根據(jù)王先生購買這款電腦的付款金額為
元，電腦標(biāo)價(jià)為元，
得出促銷活動(dòng)是：“先在標(biāo)價(jià)基礎(chǔ)上打九折，再減 200 元”，
故選：A．
7．如圖，將三個(gè)大小不同的正方形的一個(gè)頂點(diǎn)重合放置，則α，β，γ三個(gè)角的數(shù)量關(guān)系為（
）
A．
C．
B．
D．
【答案】C
試卷第 1 頁，共 21 頁

【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，根據(jù)題意可求出
，然后結(jié)合求解即可．
【詳解】解：如圖：
，
由條件可知
，
∴
，
，
∴
，
即
，
故選：C．
8．已知關(guān)于的方程
有正整數(shù)解，則負(fù)整數(shù) 的所有可能的取值的積為
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本題考查一元一次方程的整數(shù)解，熟練掌握求含參數(shù)的一元一次方程整數(shù)解的方法
是解題的關(guān)鍵．先解方程，求出
負(fù)整數(shù)，即可求解．
【詳解】解：
，再利用方程有正整數(shù)解，得出的范圍，結(jié)合是
，
解得：
，
∴方程
有正整數(shù)解，
∴
∴
，且為偶數(shù)，
，且為偶數(shù)，
∵ 為負(fù)整數(shù)，
∴
，
或
，
負(fù)整數(shù) 的所有可能的取值的積為
，
試卷第 2 頁，共 21 頁

故選：D．
9．如圖，線段
，動(dòng)點(diǎn) P 從 A 出發(fā)，以
的速度沿
運(yùn)動(dòng)，M 為
的中點(diǎn)，
N 為
的中點(diǎn)．以下說法正確的是（）
①運(yùn)動(dòng) 后，
；
②
的值隨著運(yùn)動(dòng)時(shí)間的改變而改變；
的值不變；
③
④當(dāng)
時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為
．
A．①②
【答案】D
【分析】本題考查兩點(diǎn)間的距離，動(dòng)點(diǎn)問題，線段的和差問題，根據(jù)題意，分別用代數(shù)式表
示出的長，根據(jù)線段之間和差倍關(guān)系逐一判斷即可．
【詳解】解：運(yùn)動(dòng) 后，
M 為的中點(diǎn)，
B．②③
C．①②③
D．②③④
，
，
，
，故①錯(cuò)誤；
設(shè)運(yùn)動(dòng) t 秒，則
，
，
M 為
的中點(diǎn)，N 為
的中點(diǎn)，
，
，
的值隨著運(yùn)動(dòng)時(shí)間的改變而改變，故②正確；
，
，
，
的值不變，故③正確；
，
，
，
解得：
，故④正確；
試卷第 1 頁，共 21 頁

故選：D
10．一列數(shù)
，其中
（
，
，
，…，
，則
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本題考查數(shù)字類規(guī)律探究，求出前幾個(gè)數(shù)，找出規(guī)律，利用規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：
，
，
，
，
∴這列數(shù)以
∵
為一個(gè)循環(huán)節(jié)，進(jìn)行循環(huán)，每個(gè)循環(huán)節(jié)的和為：
，
，
∴
；
故選 D．
第二部分（非選擇題共 90 分）
二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 3 分，滿分 18 分）
11．在 0，
負(fù)分?jǐn)?shù)是
【答案】
，
，
，
（相鄰兩個(gè) 1 之間依次增加 1 個(gè) 0），
．中，
．
，
【分析】本題考查了有理數(shù)，熟練掌握有理數(shù)的分類是解題的關(guān)鍵．根據(jù)負(fù)分?jǐn)?shù)是小于 0
的分?jǐn)?shù)，即可解答．
【詳解】解：在 0，
，
，
，
（相鄰兩個(gè) 1 之間依次增加 1 個(gè) 0），
．中，負(fù)分?jǐn)?shù)是
，
．
試卷第 2 頁，共 21 頁

故答案為∶
，
．
12．若一個(gè)角的余角的度數(shù)比它的補(bǔ)角的度數(shù)的
少
，那么這個(gè)角的度數(shù)是
．
【答案】
【分析】本題主要考查的是余角和補(bǔ)角的概念，掌握余角，補(bǔ)角的概念是解題的關(guān)鍵．設(shè)這
個(gè)角的度數(shù)是 x，根據(jù)余角和補(bǔ)角的概念列出方程，解方程即可．
【詳解】設(shè)這個(gè)角的度數(shù)是 x，
則
，
解得
，
故答案為：
13．若
．
，則
．
【答案】
【分析】本題考查代數(shù)式求值，利用整體代入的思想是解題關(guān)鍵．由
．將所求式子變形為，再整體代入求值即可．
【詳解】解：因?yàn)?br>可得
，
所以
，
所以
．
故答案為：
．
14．將圖①中周長為 36 的長方形紙片剪成 1 號(hào)，2 號(hào)，3 號(hào)，4 號(hào)正方形和 5 號(hào)長方形，并
將它們按圖②的方式放入周長為 53 的長方形中，則沒有覆蓋的陰影部分的周長
．
【答案】44
【分析】本題考查整式加減，設(shè)出未知數(shù)，設(shè) 1 號(hào)正方形的邊長為 x，2 號(hào)正方形的邊長為
y，則 3 號(hào)正方形的邊長為
，4 號(hào)正方形的邊長為
試卷第 1 頁，共 21 頁
，5 號(hào)長方形的長為
，寬

為
，根據(jù)圖①中長方形的周長為 36，求得
，根據(jù)圖②中長方形的周長為 53，
的周長，計(jì)
求得
，沒有覆蓋的陰影部分的周長為四邊形
算即可得到答案．
【詳解】解：設(shè) 1 號(hào)正方形的邊長為 x，2 號(hào)正方形的邊長為 y，
則 3 號(hào)正方形的邊長為
5 號(hào)長方形的長為
，4 號(hào)正方形的邊長為
，
，寬為
，
由圖①中長方形的周長為 36，可得，
解得：
如圖，圖②中長方形的周長為 53，
，
，
∴
∴
，
，
根據(jù)題意得：沒有覆蓋的陰影部分的周長為四邊形
的周長，
，
故答案為：44．
15．如果兩個(gè)一元一次方程的解之和為 1，我們就稱這兩個(gè)方程為“和諧方程”，例如：方程
試卷第 2 頁，共 21 頁

和
為“和諧方程”．若關(guān)于的兩個(gè)方程
與
是和諧
方程，則的值為
【答案】
．
【分析】本題考查了解一元一次方程，正確求出兩個(gè)方程的解是解題關(guān)鍵．先分別求出兩個(gè)
方程的解，再根據(jù)“和諧方程”的定義可得一個(gè)關(guān)于的一元一次方程，解方程即可得．
【詳解】解：方程
方程
的解是
，
，
，
，
∵關(guān)于的兩個(gè)方程
與
是“和諧方程”，
∴
，
解得
，
故答案為：
．
16．李華同學(xué)通過七年級(jí)上學(xué)期的學(xué)習(xí)，得出如下結(jié)論：①對(duì)于任意有理數(shù)，代數(shù)式
有最大值 1；②10 條直線兩兩相交，最多有 90 個(gè)交點(diǎn)；③已知 a、b、c 是非零的
有理數(shù)，且
時(shí)，則
的值為 1 或；④規(guī)定
，如果
，
，
，那么
．上述結(jié)論中正確的有
．
【答案】①③④
【分析】本題主要考查的是絕對(duì)值的非負(fù)性的應(yīng)用、直線相交交點(diǎn)個(gè)數(shù)、新定義運(yùn)算等知識(shí)
點(diǎn)，靈活運(yùn)用新定義運(yùn)算成為解題的關(guān)鍵．
由絕對(duì)值的非負(fù)性的含義可判斷①，由直線相交交點(diǎn)個(gè)數(shù)的規(guī)律探究可判斷②，由絕對(duì)值的
含義，結(jié)合有理數(shù)的除法運(yùn)算的符號(hào)確定可判斷③，先根據(jù)探究得到
運(yùn)算的含義判斷④即可．
，再根據(jù)新定義
【詳解】解：∵
，
∴
，
試卷第 1 頁，共 21 頁

∴對(duì)于任意有理數(shù)，代數(shù)式
有最大值 1；故①符合題意；
∵2 條直線相交，最多 1 個(gè)交點(diǎn)，
3 條直線兩兩相交，最多 3 個(gè)交點(diǎn)，而
4 條直線兩兩相交，最多 6 個(gè)交點(diǎn)，而
，
，
∴10 條直線兩兩相交，最多有
個(gè)交點(diǎn)，故②不符合題意；
由
當(dāng)
當(dāng)
∵
可得
，即 a、b、c 中有一個(gè)或三個(gè)值為負(fù)數(shù)，
，
時(shí)，
，
時(shí)，
，
，故③符合題意；
，
，
∴a、b 異號(hào)，且
，
∴
∴
，
，故④符合題意．
故答案為：①③④．
三、解答題（本大題共 9 小題，滿分 72 分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17．（本題 6 分）計(jì)算：
(1)
(2)
；
．
【答案】(1)3
(2)6
【分析】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算．
（1）先算乘方，再化簡絕對(duì)值，再計(jì)算乘法，最后算加減即可；
（2）先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再利用乘法分配律計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：
；
試卷第 2 頁，共 21 頁

（2）解：
．
18．（本題 6 分）化簡：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
；
(2)
．
【分析】本題考查了整式的加減，解題的關(guān)鍵是掌握整式的加減法則．
（1）直接合并同類項(xiàng)即可；
（2）先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)即可．
【詳解】（1）解：
；
；
（2）解：
19．（本題 6 分）解下列方程：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
(2)
試卷第 1 頁，共 21 頁

【分析】本題主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步驟（去分母、去括號(hào)、
移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為 1）是解題的關(guān)鍵．
（1）按照去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為 1 的步驟解答即可；
（2）按照去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為 1 的步驟解答即可．
【詳解】（1）去括號(hào)得，
，
移項(xiàng)得，
，
合并同類項(xiàng)得，
系數(shù)化為 1 得，
（2）去分母得，
去括號(hào)得，
，
．
，
，
移項(xiàng)得，
，
合并同類項(xiàng)得，
，
系數(shù)化為 1 得，
．
20．（本題 8 分）已知關(guān)于 x 的多項(xiàng)式
，其中
（m，n 為
有理數(shù)）
(1)化簡
(2)若
，當(dāng)
時(shí)，并求值；
的值．
的結(jié)果不含項(xiàng)和項(xiàng)，求
【答案】(1)0
(2)
【分析】本題考查整式的加減運(yùn)算以及不含某項(xiàng)的問題，數(shù)量掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
（1）根據(jù)整式的減法運(yùn)算法則化簡，把代入并求值；
（2）先對(duì) 進(jìn)行運(yùn)算，然后根據(jù)不含 x 項(xiàng)和項(xiàng)可進(jìn)行求解．
【詳解】（1）解：
，
，
，
當(dāng)
時(shí)，
試卷第 2 頁，共 21 頁

，
，
=0．
（2）解：
，
∵
∴
∴
的結(jié)果不含 x 項(xiàng)和項(xiàng)，
，
．
21．（本題 8 分）我們定義一種新運(yùn)算，其規(guī)則為
．
(1)計(jì)算
的值；
(2)多項(xiàng)式
【答案】(1)
(2)
，若
的合并結(jié)果中不含
項(xiàng)，求 a 的值．
【分析】本題主要考查了整式加減運(yùn)算，有理數(shù)混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握整式加減
運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．
（1）根據(jù)題干提供的信息列式計(jì)算即可；
（2）根據(jù)題干求出
據(jù)合并結(jié)果中不含
【詳解】（1）解：
，再根
項(xiàng)，得出
，求出 a 的值即可．
．
（2）解：
，
∵合并結(jié)果中不含
項(xiàng)，
∴
，
，
即
解得：
．
試卷第 1 頁，共 21 頁

22．（本題 9 分）如圖，點(diǎn) 是直線
上一點(diǎn)，以為頂點(diǎn)作
，且
、
位
于直線
兩側(cè)，
平分
．
(1)當(dāng)
時(shí)，求
的度數(shù)．
(2)請(qǐng)你猜想
【答案】(1)
(2)
和
的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
，理由見解析
【分析】本題考查的是角平分線的含義，角的和差運(yùn)算，熟練的利用角的和差運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算
與證明是解本題的關(guān)鍵．
（1）先求解
，再證明
，結(jié)合
，從而可得答案；
（2）證明
，
，結(jié)合
，從而可得答案．
【詳解】（1）解：∵
，
，
∴
，
∵
∴
∴
∴
平分
，
，
，
；
（2）解：
，理由如下：
∵
∴
，
，
∵
∴
平分
，
，
∴
∴
，
．
試卷第 2 頁，共 21 頁

23．（本題 9 分）某超市在雙十一期間對(duì)顧客實(shí)行優(yōu)惠，規(guī)定如下：
一次性購物
優(yōu)惠辦法
不予優(yōu)惠
八折優(yōu)惠
少于
低于
元
元但不低于
元
其中
超過
元部分給予八折優(yōu)惠，
元部分給予七折優(yōu)惠
元或超過
元
(1)若王老師一次性購物
元，他實(shí)際付款元．若王老師實(shí)際付款
元，那么王老師一
次性購物可能是元；
(2)若顧客在該超市一次性購物元，當(dāng) 小于
大于或等于
(3)如果王老師有兩天去超市購物原價(jià)合計(jì)
元但不小于
時(shí)，他實(shí)際付款元，當(dāng)
元時(shí)，他實(shí)際付款元（用含的代數(shù)式表示并化簡）；
元，第一天購物的原價(jià)為
元
，
用含的代數(shù)式表示這兩天購物王老師實(shí)際一共付款多少元？當(dāng)
一共節(jié)省了多少元？
元時(shí)，王老師兩天
【答案】(1)
(2)
(3)共付款
；
或
，
元，節(jié)省
元
【分析】本題考查了列代數(shù)式、整式加減的應(yīng)用等知識(shí)，熟練掌握整式的加減運(yùn)算法則是解
題關(guān)鍵；
（1）按照優(yōu)惠條件計(jì)算購物
元，計(jì)算實(shí)際付款的錢數(shù)即可；設(shè)王老師一次性購物元，
，根據(jù)優(yōu)惠辦法求解即可得；
分兩種情況：
和
（2）根據(jù)一次性購物的優(yōu)惠辦法列出代數(shù)式，利用整式的加減法則化簡即可得；
（3）計(jì)算出第一天和第二天購物實(shí)際付款，將
【詳解】（1）解：
代入求解即可
（元），
設(shè)王老師一次性購物可能是元，
①
，
根據(jù)題意得，
，
解得
，
試卷第 1 頁，共 21 頁

②
，
；
綜上所述：王老師一次性購物可能是：
故答案為：
（2）解：當(dāng) 小于
大于或等于
元或
元．
，
或
；
元但不小于
時(shí)，他實(shí)際付款
元，
當(dāng)
元時(shí)，他實(shí)際付款：
（元），
故答案為：
，
；
（3）第一天購物實(shí)際付款：
元，
第二天購物實(shí)際付款：
（元），
兩天共付款：
元，
當(dāng)
元時(shí)，
所以共節(jié)?。?br>答：兩天購物王老師實(shí)際一共付款
元，
元．
元，一共節(jié)省了
元
24．（本題 10 分）在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，我們常用到“分類討論”的數(shù)學(xué)思想，下面是運(yùn)
用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決問題的過程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并解答題目后提出的［探究］．
［提出問題］
兩個(gè)不為 0 的有理數(shù)
滿足
同號(hào)，求
的值．
［解決問題］
解：由
同號(hào)且都不為 0 可知
有兩種可能：①
都是正數(shù)；
②
都是負(fù)數(shù)．
①若
都是正數(shù)，即
都是負(fù)數(shù)，即
，
，
，有
，
，則
；
②若
，有
，
，
則
，所以
的值為 2 或
．
【探究】
請(qǐng)根據(jù)上面的解題思路解答下面的問題：
試卷第 2 頁，共 21 頁

(1)已知
(2)已知
，求
，求
的值；
的值．
，求
(3)已知
，
的值．
【答案】(1)0；
(2)3 或
；
(3)
．
【分析】本題考查了閱讀理解問題，涉及了絕對(duì)值、有理數(shù)的混合運(yùn)算、分類討論等，熟練
掌握相關(guān)知識(shí)并能運(yùn)用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．
（1）由
分 2 種情況討論：①
，
；②
，
，分別求解即可；
（2）由題意得：a，b，c 三個(gè)有理數(shù)都為負(fù)數(shù)或其中一個(gè)為負(fù)數(shù)，另兩個(gè)為正數(shù)．然后分
情況討論計(jì)算即可；
（3）由
三個(gè)有理數(shù)都其中一個(gè)為負(fù)數(shù)，另兩個(gè)為正數(shù)．然后分情況討論計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：∵
，得
，
，
，再根據(jù)
得：a，b，c
，
∴①
，
；②
時(shí)，
，
，
當(dāng)
，
，
，則
，則
；
當(dāng)
，
時(shí)，
，
，
綜上，
的值為 0；
（2）解：∵
，
∴可得 a，b，c 三個(gè)有理數(shù)都為負(fù)數(shù)或其中一個(gè)為負(fù)數(shù)，另兩個(gè)為正數(shù)．
①當(dāng)
則：
②當(dāng)
則：
，
，
，
時(shí)，
時(shí)，
時(shí)，
時(shí)，
；
，
，
當(dāng)
，
，
則：
，
當(dāng)
，
，
試卷第 1 頁，共 21 頁

則：
，
∴
的值為 3 或
．
（3）解：∵
，
∴
∵
，
，
，
，
∴可得 a，b，c 三個(gè)有理數(shù)一個(gè)為負(fù)數(shù)，另兩個(gè)為正數(shù)．
①當(dāng)
則：
，
，
時(shí)，
時(shí)，
時(shí)，
，
當(dāng)
，
，
則：
，
當(dāng)
，
，
則：
，
∴
的值為
．
25．（本題 10 分）【閱讀理解】
射線內(nèi)部的一條射線，若
是
，則我們稱射線
是射線
的
伴隨線．例如，如圖 1，
，
，則
，稱射線
是射線
的伴隨線；同時(shí)，由于
，稱射線
是射線
的伴隨線．
(1)【知識(shí)運(yùn)用】如圖 2，
，若的度數(shù)是，射線
的度數(shù)是________
(2)如圖 3 若，射線
射線與射線
，射線
是射線
是射線
的伴隨線，則
________
的伴隨線，射線
是
的平分線，則
用含的代數(shù)式表示
與射線重合，并繞點(diǎn) 以每秒的速度逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，
重合，并繞點(diǎn) 以每秒的速度順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)射線
與射線
重合
試卷第 2 頁，共 21 頁

時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．
是否存在某個(gè)時(shí)刻（秒）使得
說明理由．
的度數(shù)是
？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)
當(dāng) 的值為多少時(shí)，射線
射線的伴隨線？
，
，
中恰好有一條射線是其余兩條射線中任意一條
【答案】(1)
(2)①當(dāng)
秒或 25 秒時(shí)，
的度數(shù)是
．②當(dāng)
時(shí)，
中恰好有一條射線是其余兩條射線的伴隨線．
【分析】本題主要考查了角平分線的頂用、角的計(jì)算、一元一次方程的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，靈活
利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)伴隨線定義求解即可；
（2）①利用分類討論思想，分相遇之前和之后兩種情況分別列式計(jì)算即可；②利用分類討
論思想，分相遇之前和之后，分別畫出四個(gè)圖形進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：如圖，∵射線是射線的伴隨線，
，
，
∴同理，若
的度數(shù)是，射線
是射線
的伴隨線，
，
的平分線，
，
∵射線
是
．
試卷第 1 頁，共 21 頁

故答案為：
．
（2）解：射線
與
重合時(shí)，
（秒）
①當(dāng)
的度數(shù)是
時(shí)，有兩種可能：
，解得：
若在相遇之前，則
若在相遇之后，則
綜上所述，當(dāng)
；
．
，解得：
秒或 25 秒時(shí)，
的度數(shù)是
．
②相遇之前：
a．如圖 1，
當(dāng)
是
的伴隨線時(shí)，則
，即
，解得：
；
b．如圖 2，
當(dāng)
是
的伴隨線時(shí)，則
，即
，解得：
；
相遇之后：
c．如圖 3，
試卷第 2 頁，共 21 頁

當(dāng)
是
的伴隨線時(shí)，則
，即
，解得：
；
d．如圖 4，
當(dāng)
是
的伴隨線時(shí)，則
，即
，解得：
．
綜上所述，當(dāng)
隨線．
時(shí)，
中恰好有一條射線是其余兩條射線的伴
試卷第 1 頁，共 21 頁

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