知識(shí)點(diǎn)1 直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式
注：1．直線的點(diǎn)斜式及斜截式方程適用條件是什么？
斜率存在及已知點(diǎn)(或直線在y軸上的截距)．
2．經(jīng)過(guò)點(diǎn)P0(x0，y0)的直線有無(wú)數(shù)條，可以分為兩類：
(1)斜率存在的直線，方程為y－y0＝k(x－x0)；
(2)斜率不存在的直線，方程為x－x0＝0，即x＝x0.
3．當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，方程可簡(jiǎn)寫為y＝y(tǒng)0.特別地，x軸的方程是y＝0；當(dāng)直線與y軸平行或重合時(shí)，不能應(yīng)用點(diǎn)斜式方程．此時(shí)可將方程寫成x＝x0.特別地，y軸的方程是x＝0.
4．直線的斜截式y(tǒng)＝kx＋b是直線的點(diǎn)斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)的特例．如：直線l的斜率為k且過(guò)點(diǎn)(0，b)，該直線方程為y＝kx＋b.
5．縱截距不是距離，它是直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，所以可取一切實(shí)數(shù)，即可為正數(shù)、負(fù)數(shù)或零．
6．斜截式方程與一次函數(shù)的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有區(qū)別：當(dāng)k≠0時(shí)，y＝kx＋b為一次函數(shù)；當(dāng)k＝0時(shí)，y＝b，不是一次函數(shù)．故一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)一定可看成一條直線的斜截式方程．
【即學(xué)即練1】方程y＝k(x－2)表示( )
A．通過(guò)點(diǎn)(－2,0)的所有直線
B．通過(guò)點(diǎn)(2,0)的所有直線
C．通過(guò)點(diǎn)(2,0)且不垂直于x軸的所有直線
D．通過(guò)點(diǎn)(2,0)且除去x軸的所有直線
【即學(xué)即練2】已知直線的方程是x＋y＝1，則斜率k＝________.
【即學(xué)即練3】在y軸上的截距為2，且與直線y＝－3x－4平行的直線的斜截式方程為________．
【即學(xué)即練4】已知直線l的方程為y＋eq \f(27,4)＝eq \f(9,4)(x－1)，則l在y軸上的截距為( )
A．9 B．－9 C.eq \f(27,4) D．－eq \f(27,4)
【即學(xué)即練5】(多選)給出下列四個(gè)結(jié)論，正確的是( )
A．方程k＝eq \f(y－2,x＋1)與方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直線
B．直線l過(guò)點(diǎn)P(x1，y1)，傾斜角為90°，則其方程是x＝x1
C．直線l過(guò)點(diǎn)P(x1，y1)，斜率為0，則其方程是y＝y(tǒng)1
D．所有的直線都有點(diǎn)斜式和斜截式方程
【即學(xué)即練6】求滿足下列條件的m的值．
(1)直線l1：y＝－x＋1與直線l2：y＝(m2－2)x＋2m平行；
(2)直線l1：y＝－2x＋3與直線l2：y＝(2m－1)x－5垂直．
知識(shí)點(diǎn)2 直線的兩點(diǎn)式與截距式方程
注：（1）兩點(diǎn)式方程
①利用兩點(diǎn)式求直線方程必須滿足x1≠x2且y1≠y2，即直線不垂直于坐標(biāo)軸．
（即：當(dāng)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)的直線斜率不存在(x1＝x2)或斜率為0(y1＝y(tǒng)2)時(shí)，不能用兩點(diǎn)式方程表示．）
②兩點(diǎn)式方程與這兩個(gè)點(diǎn)的順序無(wú)關(guān)．
③方程中等號(hào)兩邊表達(dá)式中分子之比等于分母之比，也就是同一條直線的斜率相等．
截距式方程
①如果已知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距，可以直接代入截距式求直線的方程．
②將直線的方程化為截距式后，可以觀察出直線在x軸和y軸上的截距，這一點(diǎn)常被用來(lái)作圖．
③與坐標(biāo)軸平行和過(guò)原點(diǎn)的直線都不能用截距式表示．
④過(guò)原點(diǎn)的直線的橫、縱截距都為零．
【即學(xué)即練7】已知△ABC三頂點(diǎn)A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M為AB中點(diǎn)，N為AC中點(diǎn)，則中位線MN所在直線方程為( )
A．2x＋y－8＝0B．2x－y＋8＝0
C．2x＋y－12＝0D．2x－y－12＝0
【即學(xué)即練8】直線x－2y＝4的截距式方程是____________．
【即學(xué)即練9】(多選)下列命題中不正確的是( )
A．經(jīng)過(guò)點(diǎn)P0(x0，y0)的直線都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B．經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A(0，b)的直線都可以用方程y＝kx＋b表示
C．經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可用方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示
D．不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線都可以用方程eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1表示
知識(shí)點(diǎn)3 直線的一般式方程
1．定義：關(guān)于x，y的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時(shí)為0)叫做直線的一般式方程，簡(jiǎn)稱一般式．
2．系數(shù)的幾何意義：當(dāng)B≠0時(shí)，則－eq \f(A,B)＝k(斜率)，－eq \f(C,B)＝b(y軸上的截距)；
當(dāng)B＝0，A≠0時(shí)，則－eq \f(C,A)＝a(x軸上的截距)，此時(shí)不存在斜率．
3．直線一般式方程的結(jié)構(gòu)特征
①方程是關(guān)于x，y的二元一次方程．
②方程中等號(hào)的左側(cè)自左向右一般按x，y，常數(shù)的先后順序排列．
③x的系數(shù)一般不為分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù)．
④雖然直線方程的一般式有三個(gè)參數(shù)，但只需兩個(gè)獨(dú)立的條件即可求得直線的方程．
4.當(dāng)直線方程Ax＋By＋C＝0的系數(shù)A，B，C滿足下列條件時(shí)，直線Ax＋By＋C＝0有如下性質(zhì)：
①當(dāng)A≠0，B≠0時(shí)，直線與兩條坐標(biāo)軸都相交；
②當(dāng)A≠0，B＝0，C≠0時(shí)，直線只與x軸相交，即直線與y軸平行，與x軸垂直；
③當(dāng)A＝0，B≠0，C≠0時(shí)，直線只與y軸相交，即直線與x軸平行，與y軸垂直；
④當(dāng)A＝0，B≠0，C＝0時(shí)，直線與x軸重合；
⑤當(dāng)A≠0，B＝0，C＝0時(shí)，直線與y軸重合．
注：（1）平面直角坐標(biāo)系中的每一條直線都可以用一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程表示
（2）每一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為零)都能表示一條直線
【即學(xué)即練10】若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一條直線，則實(shí)數(shù)m滿足________．
【即學(xué)即練11】直線x－eq \r(3)y＋1＝0的傾斜角為( )
A．30° B．60°
C．120°D．150°
【即學(xué)即練12】斜率為2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,3)的直線的一般式方程為________．
【即學(xué)即練13】已知直線l的傾斜角為60°，在y軸上的截距為－4，則直線l的點(diǎn)斜式方程為________；截距式方程為________；斜截式方程為________；一般式方程為________．
【即學(xué)即練14】已知直線l1：x＋my＋6＝0和l2：mx＋4y＋2＝0互相平行，則實(shí)數(shù)m的值為( )
A．－2 B．2
C．±2D．2或4
考點(diǎn)一 直線的點(diǎn)斜式方程
解題方略：
求直線的點(diǎn)斜式方程的方法步驟
(1)求直線的點(diǎn)斜式方程的步驟：定點(diǎn)(x0，y0)→定斜率k→寫出方程y－y0＝k(x－x0)；
(2)點(diǎn)斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的所有直線，但x＝x0除外．
【例1-1】若直線l過(guò)點(diǎn)(2,1)，分別求l滿足下列條件時(shí)的直線方程：
(1)傾斜角為150°；
(2)平行于x軸；
(3)垂直直線m：y＝eq \f(1,3)x＋2.
變式1：已知直線l的傾斜角是直線y＝x＋1的傾斜角的2倍，且過(guò)定點(diǎn)P(3,3)，則直線l的方程為________．
變式2：經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－1,1)，斜率是直線y＝eq \f(\r(2),2)x－2的斜率的2倍的直線方程是( )
A．x＝－1 B．y＝1
C．y－1＝eq \r(2)(x＋1)D．y－1＝2eq \r(2)(x＋1)
變式3：以A(2，－5)，B(4，－1)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線方程是( )
A．y－(－3)＝2(x－3) B．y－3＝2(x－3)
C．y－3＝－eq \f(1,2)(x－3) D．y－(－3)＝－eq \f(1,2)(x－3)
變式4：已知在第一象限的△ABC中，A(1,1)，B(5,1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求：
(1)AB邊所在直線的方程；
(2)AC邊與BC邊所在直線的方程．
變式5：已知直線過(guò)，并與兩坐標(biāo)軸截得等腰三角形，那么直線的方程是（ ）．
A．或B．或
C．或D．或
【例1-2】已知點(diǎn)A(3,3)和直線l：y＝eq \f(3,4)x－eq \f(5,2).求：
(1)過(guò)點(diǎn)A且與直線l平行的直線的點(diǎn)斜式方程；
(2)過(guò)點(diǎn)A且與直線l垂直的直線的點(diǎn)斜式方程．
變式1：若原點(diǎn)在直線l上的射影是P(－2,1)，則直線l的方程為( )
A．x＋2y＝0B．y－1＝－2(x＋2)
C．y＝2x＋5D．y＝2x＋3
【例1-3】直線l1過(guò)點(diǎn)P(－1,2)，斜率為－eq \f(\r(3),3)，把l1繞點(diǎn)P按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°角得直線l2，求直線l1和l2的方程．
考點(diǎn)二 直線的斜截式方程
解題方略：
直線的斜截式方程的求解策略
(1)斜截式方程的應(yīng)用前提是直線的斜率存在．
(2)用斜截式求直線方程，只要確定直線的斜率和截距即可，同時(shí)要特別注意截距和距離的區(qū)別；
(3)直線的斜截式方程y＝kx＋b不僅形式簡(jiǎn)單，而且特點(diǎn)明顯，k是直線的斜率，b是直線在y軸上的截距，只要確定了k和b的值，直線的圖象就一目了然．因此，在解決一次函數(shù)的圖象問(wèn)題時(shí)，常通過(guò)把一次函數(shù)解析式化為直線的斜截式方程，利用k，b的幾何意義進(jìn)行判斷．
【例2-1】根據(jù)條件寫出下列直線的斜截式方程：
(1)斜率為2，在y軸上的截距是5；
(2)傾斜角為150°，在y軸上的截距是－2；
(3)傾斜角為60°，與y軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為3.
變式1：求傾斜角是直線y＝－eq \r(3)x＋1的傾斜角的eq \f(1,4)，且在y軸上的截距是－5的直線方程．
變式2：直線y－b＝2(x－a)在y軸上的截距為( )
A．a(chǎn)＋bB．2a－b
C．b－2aD．|2a－b|
【例2-2】若直線y＝kx＋b通過(guò)第一、三、四象限，則有( )
A．k>0，b>0 B．k>0，b0，b0，b0，b>0，矛盾；對(duì)于C選項(xiàng)，由l1得a>0，b0，b>0，而由l2得a>0，b>0.故選D.
【例2-4】已知斜率為－eq \f(4,3)的直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為6，求直線l的方程．
【解析】設(shè)l：y＝－eq \f(4,3)x＋b，
令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝eq \f(3,4)b.
由題意，得eq \f(1,2)·|b|·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)b))＝6，
∴b2＝16，∴b＝±4.
故直線l的方程為y＝－eq \f(4,3)x±4.
考點(diǎn)三 直線的兩點(diǎn)式方程
解題方略：
求直線的兩點(diǎn)式方程的策略以及注意點(diǎn)
(1)當(dāng)已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，求過(guò)這兩點(diǎn)的直線方程時(shí)，首先要判斷是否滿足兩點(diǎn)式方程的適用條件：兩點(diǎn)的連線不平行于坐標(biāo)軸，若滿足，則考慮用兩點(diǎn)式求方程．在斜率存在的情況下，也可以先應(yīng)用斜率公式求出斜率，再用點(diǎn)斜式寫方程．
(2)由于減法的順序性，一般用兩點(diǎn)式求直線方程時(shí)常會(huì)將字母或數(shù)字的順序錯(cuò)位而導(dǎo)致錯(cuò)誤．在記憶和使用兩點(diǎn)式方程時(shí)，必須注意坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系．
【例3-1】經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,5)，B(－3,6)的直線方程為____________．
【解析】由兩點(diǎn)式得直線方程為eq \f(y－6,5－6)＝eq \f(x＋3,2＋3)，即x＋5y－27＝0.
變式1：已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，
(1)求BC邊的方程；
(2)求BC邊上的中線所在直線的方程．
【解析】(1)∵BC邊過(guò)兩點(diǎn)B(5，－4)，C(0，－2)，
∴由兩點(diǎn)式得eq \f(y－?－4?,?－2?－?－4?)＝eq \f(x－5,0－5)，
即2x＋5y＋10＝0.
故BC邊的方程為2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)．
(2)設(shè)BC的中點(diǎn)為M(x0，y0)，
則x0＝eq \f(5＋0,2)＝eq \f(5,2)，y0＝eq \f(?－4?＋?－2?,2)＝－3.
∴Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，－3))，
又BC邊上的中線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－3,2)．
∴由兩點(diǎn)式得eq \f(y－2,－3－2)＝eq \f(x－?－3?,\f(5,2)－?－3?)，
即10x＋11y＋8＝0.
故BC邊上的中線所在直線的方程為10x＋11y＋8＝0.
變式2：已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0)，B(m,1)，求這條直線的方程．
【解析】由直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0)，B(m,1)，因此該直線斜率不可能為零，但有可能不存在．
①當(dāng)直線斜率不存在，即m＝1時(shí)，直線方程為x＝1；
②當(dāng)直線斜率存在，即m≠1時(shí)，利用兩點(diǎn)式，可得直線方程為eq \f(y－0,1－0)＝eq \f(x－1,m－1)，即x－(m－1)y－1＝0.
綜上可得：當(dāng)m＝1時(shí)，直線方程為x＝1；
當(dāng)m≠1時(shí)，直線方程為x－(m－1)y－1＝0.
考點(diǎn)四 直線的截距式方程
解題方略：
截距式方程應(yīng)用的注意事項(xiàng)
(1)如果問(wèn)題中涉及直線與坐標(biāo)軸相交，則可考慮選用截距式直線方程，用待定系數(shù)法確定其系數(shù)即可．
(2)選用截距式直線方程時(shí)，必須首先考慮直線能否過(guò)原點(diǎn)以及能否與兩坐標(biāo)軸垂直．
(3)要注意截距式直線方程的逆向應(yīng)用．
【例4-1】直線eq \f(x,3)－eq \f(y,4)＝1在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為( )
A．1 B．－1
C．7D．－7
【解析】直線在x軸上截距為3，在y軸上截距為－4，因此截距之和為－1.故選B
【例4-2】求過(guò)點(diǎn)A(3,4)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線l的方程．
【解析】(1)當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，
又l過(guò)點(diǎn)(3,4)，所以eq \f(3,a)＋eq \f(4,a)＝1，解得a＝7，
所以直線l的方程為x＋y－7＝0.
(2)當(dāng)截距為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx，
又l過(guò)點(diǎn)(3,4)，所以4＝k·3，解得k＝eq \f(4,3)，
所以直線l的方程為y＝eq \f(4,3)x，即4x－3y＝0.
綜上，直線l的方程為x＋y－7＝0或4x－3y＝0.
變式1：求過(guò)點(diǎn)A(5,2)，且在坐標(biāo)軸上截距互為相反數(shù)的直線l的方程．
【解析】法一：①當(dāng)直線l在坐標(biāo)軸上的截距均為0時(shí)，方程為y＝eq \f(2,5)x，即2x－5y＝0；
②當(dāng)直線l在坐標(biāo)軸上的截距不為0時(shí)，
可設(shè)方程為eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1，即x－y＝a，
又∵l過(guò)點(diǎn)A(5,2)，∴5－2＝a，a＝3，
∴l(xiāng)的方程為x－y－3＝0，
綜上所述，直線l的方程是2x－5y＝0，或x－y－3＝0.
法二：由題意知直線的斜率一定存在．
設(shè)直線的點(diǎn)斜式方程為y－2＝k(x－5)，
x＝0時(shí)，y＝2－5k，y＝0時(shí)，x＝5－eq \f(2,k).
根據(jù)題意得2－5k＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－\f(2,k)))，解方程得k＝eq \f(2,5)或1.
當(dāng)k＝eq \f(2,5)時(shí)，直線方程為y－2＝eq \f(2,5)(x－5)，即2x－5y＝0；
當(dāng)k＝1時(shí)，直線方程為y－2＝1×(x－5)，即x－y－3＝0.
變式2：過(guò)點(diǎn)作直線，滿足在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對(duì)值相等的直線有（ ）條.
A．1B．2C．3D．4
【解析】若截距相等且不為，可以設(shè)直線方程為：
將點(diǎn)代入直線方程后可得：
解得：，此時(shí)，直線方程為：
若截距互為相反數(shù)且不為，可以設(shè)直線方程為：
將點(diǎn)代入直線方程后可得：
解得：
此時(shí)，直線方程為：
若截距為0，則直線過(guò)原點(diǎn)，此時(shí)，直線的方程為：.
故選：C
變式3：求過(guò)點(diǎn)P(6，－2)，且在x軸上的截距比在y軸上的截距大1的直線方程．
【解析】設(shè)直線方程的截距式為eq \f(x,a＋1)＋eq \f(y,a)＝1.則eq \f(6,a＋1)＋eq \f(－2,a)＝1，解得a＝2或a＝1，
則直線方程是eq \f(x,2＋1)＋eq \f(y,2)＝1或eq \f(x,1＋1)＋eq \f(y,1)＝1，
即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.
變式4：求過(guò)點(diǎn)A(5,2)，且在x軸上的截距是y軸上截距的2倍的直線l的方程．
【解析】①當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距均為0時(shí)，方程為y＝eq \f(2,5)x，即2x－5y＝0適合題意．
②當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距均不為0時(shí)，可設(shè)方程為eq \f(x,2a)＋eq \f(y,a)＝1，
又l過(guò)點(diǎn)(5,2)，∴eq \f(5,2a)＋eq \f(2,a)＝1，解得a＝eq \f(9,2).
∴l(xiāng)的方程為x＋2y－9＝0.
【例4-3】直線eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1過(guò)第一、三、四象限，則( )
A．a(chǎn)>0，b>0B．a(chǎn)>0，b0，b>0，由l2的圖象可知，a>0，b>0，故正確；
D中，由l1的圖象可知，a>0，b0，b>0，兩者矛盾，故D錯(cuò)．故選C
【例5-6】已知，，則直線通過(guò)（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限D(zhuǎn)．第二、三、四象限
【解析】等價(jià)于，
根據(jù)題意，故直線必經(jīng)過(guò)第一、三象限；
又因?yàn)?，故直線必經(jīng)過(guò)第三、四象限，
故直線必經(jīng)過(guò)第一、三、四象限.
故選：C.
考點(diǎn)六 兩直線平行與垂直的應(yīng)用
解題方略：
1．利用直線的斜截式方程解決直線平行與垂直問(wèn)題的策略
已知直線l1：y＝k1x＋b1與直線l2：y＝k2x＋b2，
(1)若l1∥l2，則k1＝k2，此時(shí)兩直線與y軸的交點(diǎn)不同，即b1≠b2；反之k1＝k2，且b1≠b2時(shí)，l1∥l2.所以有l(wèi)1∥l2?k1＝k2，且b1≠b2.
(2)若l1⊥l2，則k1·k2＝－1；反之k1·k2＝－1時(shí)，l1⊥l2.所以有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1.
2．若已知含參數(shù)的兩條直線平行或垂直，求參數(shù)的值時(shí)，要注意討論斜率是否存在，若是平行關(guān)系注意考慮b1≠b2這個(gè)條件．
3．利用一般式解決直線平行與垂直問(wèn)題的策略
直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
(1)若l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．
(2)若l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
4．與已知直線平行(垂直)的直線方程的求法
（1）由已知直線求出斜率，再利用平行(垂直)的直線斜率之間的關(guān)系確定所求直線的斜率，由點(diǎn)斜式寫方程．
（2）①可利用如下待定系數(shù)法：與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)平行的直線方程可設(shè)為Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直線所過(guò)的點(diǎn)確定C1；
②與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)垂直的直線方程可設(shè)為Bx－Ay＋C2＝0，再由直線所過(guò)的點(diǎn)確定C2.

（一）由直線方程的斜截式研究直線的平行與垂直
【例6-1】判斷下列兩條直線平行還是垂直：
(1)l1：y－2＝3(x＋1)，l2：y＝3x；
(2)l1：y＝6x－1，l2：y＝－eq \f(1,6)x－1.
【解析】(1)直線l1的方程化為y＝3x＋5，則直線l1的斜率k1＝3，直線l1在y軸上的截距b1＝5，直線l2的方程為y＝3x，則直線l2的斜率k2＝3，直線l2在y軸上的截距b2＝0，于是k1＝k2，b1≠b2，故l1∥l2.
(2)直線l1的斜截式方程為y＝6x－1，則直線l1的斜率k1＝6，直線l2的斜截式方程為y＝－eq \f(1,6)x－1，則直線l2的斜率k2＝－eq \f(1,6)，于是k1k2＝6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,6)))＝－1，故l1⊥l2.
【例6-2】當(dāng)a為何值時(shí)，直線l1：y＝－x＋2a與直線l2：y＝(a2－2)x＋2平行？
【解析】由題意可知，kl1＝－1，kl2＝a2－2，
∵l1∥l2，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－2＝－1，,2a≠2，))
解得a＝－1.
故當(dāng)a＝－1時(shí)，直線l1：y＝－x＋2a與直線l2：y＝(a2－2)x＋2平行．
變式1：當(dāng)a為何值時(shí)，直線l1：y＝(2a－1)x＋3與直線l2：y＝4x－3垂直？
【解析】由題意可知，kl1＝2a－1，kl2＝4，
∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝eq \f(3,8).
故當(dāng)a＝eq \f(3,8)時(shí)，直線l1：y＝(2a－1)x＋3與直線l2：y＝4x－3垂直．
變式2：直線y－2m＝m(x－1)與y＝x－1垂直，則直線y－2m＝m(x－1)過(guò)點(diǎn)( )
A．(－1,2)B．(2,1)
C．(1，－2)D．(1,2)
【解析】由兩直線垂直得m＝－1，把m＝－1代入y－2m＝m(x－1)得過(guò)點(diǎn)為(1，－2)．故選C.
變式3：已知過(guò)點(diǎn)A(－2，m)和點(diǎn)B(m,4)的直線為l1，l2：y＝－2x＋1，l3：y＝－eq \f(1,n)x－eq \f(1,n).若l1∥l2，l2⊥l3，則m＋n的值為( )
A．－10B．－2
C．0D．8
【解析】∵l1∥l2，∴kAB＝eq \f(4－m,m＋2)＝－2，解得m＝－8.又∵l2⊥l3，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,n)))×(－2)＝－1，解得n＝－2.∴m＋n＝－10.故選A.
（二）由直線方程的一般式研究直線的平行與垂直
【例6-3】判斷下列各對(duì)直線是平行還是垂直，并說(shuō)明理由．
(1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0；
(2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0；
(3)l1：x＝2，l2：x＝4；
(4)l1：y＝－3，l2：x＝1.
【解析】(1)方法一 將兩直線方程各化為斜截式：
l1：y＝－eq \f(3,5)x＋eq \f(6,5)，
l2：y＝－eq \f(3,5)x－eq \f(3,10).
則k1＝－eq \f(3,5)，b1＝eq \f(6,5)；k2＝－eq \f(3,5)，b2＝－eq \f(3,10).
∵k1＝k2，且b1≠b2，
∴l(xiāng)1∥l2.
方法二 ∵3×10－5×6＝0且3×3－6×(－6)≠0，
∴l(xiāng)1∥l2.
(2)方法一 將兩直線方程各化為斜截式：
l1：y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(7,3)，
l2：y＝－2x＋2.
則k1＝eq \f(1,2)，k2＝－2.
∵k1·k2＝－1，故l1⊥l2.
方法二 ∵3×2＋(－6)×1＝0，
∴l(xiāng)1⊥l2.
(3)∵l1：x＝2，l2：x＝4，且兩直線在x軸上的截距不相等，∴l(xiāng)1∥l2.
(4)由方程知l1⊥y軸，l2⊥x軸，則l1⊥l2.
【例6-4】已知直線l1：ax＋2y－3＝0，l2：3x＋(a＋1)y－a＝0，求滿足下列條件的a的值．
(1)l1∥l2；
(2)l1⊥l2.
【解析】法一：由題可知A1＝a，B1＝2，C1＝－3，
A2＝3，B2＝a＋1，C2＝－a.
(1)當(dāng)l1∥l2時(shí)，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a?a＋1?－2×3＝0，,a×?－a?－?－3?×3≠0，))
解得a＝2.
(2)當(dāng)l1⊥l2時(shí)，A1A2＋B1B2＝0，
即3a＋2(a＋1)＝0，解得a＝－eq \f(2,5).
法二：直線l1可化為y＝－eq \f(a,2)x＋eq \f(3,2).
(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，l2：x＝－eq \f(1,3)與l1不平行；
當(dāng)a≠－1時(shí)，直線l2：y＝－eq \f(3,a＋1)x＋eq \f(a,a＋1)，
∵l1∥l2，∴－eq \f(a,2)＝－eq \f(3,a＋1)且eq \f(3,2)≠eq \f(a,a＋1)，
解得a＝2.
(2)當(dāng)a＝－1時(shí)，l2：x＝－eq \f(1,3)與l1不垂直；
當(dāng)a≠－1時(shí)，l2：y＝－eq \f(3,a＋1)x＋eq \f(a,a＋1)，
∵l1⊥l2，∴－eq \f(a,2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,a＋1)))＝－1，
解得a＝－eq \f(2,5).
變式1：已知直線l1：ax＋(a＋2)y＋2＝0與l2：x＋ay＋1＝0平行，則實(shí)數(shù)a的值為( )
A．－1或2B．0或2
C．2D．－1
【解析】由a·a－(a＋2)＝0，得a2－a－2＝0，解得a＝2或a＝－1.
經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，可得a＝2時(shí)兩條直線重合，舍去．
∴a＝－1.故選D.
變式2：如果直線ax＋(1－b)y＋5＝0和(1＋a)x－y－b＝0同時(shí)平行于直線x－2y＋3＝0，那么a，b的值分別為( )
A．－eq \f(1,2)，0 B．2,0
C.eq \f(1,2)，0 D．－eq \f(1,2)，2
【解析】∵直線ax＋(1－b)y＋5＝0和(1＋a)x－y－b＝0同時(shí)平行于直線x－2y＋3＝0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a,1)＝\f(1－b,－2)≠\f(5,3)，,\f(1＋a,1)＝\f(－1,－2)≠\f(－b,3)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,2)，,b＝0.))故選A
變式3：已知直線與直線平行，且在軸上的截距為，則的值為_________.
【解析】因?yàn)橹本€與直線平行，所以，
又直線在軸上的截距為，
所以，解得，所以，
所以.
故答案為：
變式4：【多選】三條直線x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3構(gòu)成三角形，則a的取值可以是( )
A．－1 B．1 C．2 D．5
【解析】直線x＋y＝0與x－y＝0都經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，而無(wú)論a為何值，直線x＋ay＝3總不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，因此，要滿足三條直線構(gòu)成三角形，只需直線x＋ay＝3與另兩條直線不平行，所以a≠±1.故選CD
變式5：若直線mx＋4y－2＝0與直線2x－y＋n＝0垂直，垂足為(1，p)，則實(shí)數(shù)n的值為( )
A．－2 B．－4 C．10 D．8
【解析】由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m－4＝0，,m＋4p－2＝0，,2－p＋n＝0，))解得n＝－2.故選A
【例6-5】已知直線l的方程為3x＋4y－12＝0，求滿足下列條件的直線l′的方程：
(1)過(guò)點(diǎn)(－1,3)，且與l平行；
(2)過(guò)點(diǎn)(－1,3)，且與l垂直．
【解析】法一：l的方程可化為y＝－eq \f(3,4)x＋3，
∴l(xiāng)的斜率為－eq \f(3,4).
(1)∵l′與l平行，∴l(xiāng)′的斜率為－eq \f(3,4).又∵l′過(guò)點(diǎn)(－1,3)，
由點(diǎn)斜式知方程為y－3＝－eq \f(3,4)(x＋1)，
即3x＋4y－9＝0.
(2)∵l′與l垂直，∴l(xiāng)′的斜率為eq \f(4,3)，
又l′過(guò)點(diǎn)(－1,3)，
由點(diǎn)斜式可得方程為y－3＝eq \f(4,3)(x＋1)，
即4x－3y＋13＝0.
法二：(1)由l′與l平行，可設(shè)l′的方程為3x＋4y＋m＝0(m≠－12)．
將點(diǎn)(－1,3)代入上式得m＝－9.
∴所求直線的方程為3x＋4y－9＝0.
(2)由l′與l垂直，可設(shè)l′的方程為4x－3y＋n＝0.
將(－1,3)代入上式得n＝13.
∴所求直線的方程為4x－3y＋13＝0.
變式1：求與直線3x＋4y＋1＝0平行，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為eq \f(7,3)的直線l的方程．
【解析】法一：由題意，設(shè)直線l的方程為3x＋4y＋m＝0(m≠1)，
令x＝0，得y＝－eq \f(m,4)；令y＝0，得x＝－eq \f(m,3)，
所以－eq \f(m,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(m,4)))＝eq \f(7,3)，解得m＝－4.
所以直線l的方程為3x＋4y－4＝0.
法二：由題意，直線l不過(guò)原點(diǎn)，則在兩坐標(biāo)軸上的截距都不為0.可設(shè)l的方程為eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a≠0，b≠0)，則有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(b,a)＝－\f(3,4)，,a＋b＝\f(7,3)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(4,3)，,b＝1.))
所以直線l的方程為3x＋4y－4＝0.
考點(diǎn)七 直線與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積、周長(zhǎng)問(wèn)題
【例7-1】直線l過(guò)點(diǎn)(2,2)，且與x軸和直線y＝x圍成的三角形的面積為2，求直線l的方程．
【解析】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x＝2，經(jīng)檢驗(yàn)符合題目的要求．
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x－2)，
令y＝0，得x＝eq \f(2k－2,k)，
由三角形的面積為2，得eq \f(1,2)×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2k－2,k)))×2＝2.
解得k＝eq \f(1,2).
可得直線l的方程為y－2＝eq \f(1,2)(x－2)．
綜上可知，直線l的方程為x＝2或y－2＝eq \f(1,2)(x－2)．
變式1：若直線l與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形，且此三角形的面積為18，求直線l的方程．
【解析】∵直線l與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形，
∴直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等或互為相反數(shù)且不為0.
若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且設(shè)為a(a≠0)，
則直線方程為eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，即x＋y－a＝0.
∵eq \f(1,2)|a|·|a|＝18，即a2＝36，
∴a＝±6，
∴直線l的方程為x＋y±6＝0.
若l在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，不妨設(shè)在x軸上的截距為a，則在y軸上的截距為－a(a≠0)，
故直線方程為eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1，即x－y－a＝0.
∵eq \f(1,2)|－a|·|a|＝18，即a2＝36，
∴a＝±6，
∴直線的方程為x－y±6＝0.
綜上所述，直線l的方程為x＋y±6＝0或x－y±6＝0.
變式2：垂直于直線3x－4y－7＝0，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6的直線l的方程為______________．
【解析】由題意可設(shè)與直線3x－4y－7＝0垂直的直線的方程為4x＋3y＋c＝0(c≠0)，
令y＝0，得x＝－eq \f(c,4)，令x＝0，得y＝－eq \f(c,3)，
則S＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(c,4)))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(c,3)))＝6，得c2＝122，c＝±12，
∴直線l的方程為4x＋3y－12＝0或4x＋3y＋12＝0.
【例7-2】直線l過(guò)點(diǎn)Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，2))，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．當(dāng)△AOB的周長(zhǎng)為12時(shí)，求直線l的方程．
【解析】設(shè)直線l的方程為eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a>0，b>0)，
由題意知，a＋b＋eq \r(a2＋b2)＝12.
所以eq \r(a2＋b2)＝12－a－b.
兩邊平方整理得ab－12(a＋b)＋72＝0.①
又因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，2)).
所以eq \f(4,3a)＋eq \f(2,b)＝1，整理得3ab＝6a＋4b.②
由①②，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝3，,a＝4，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝\f(9,2)，,a＝\f(12,5)，))
所以直線l的方程為3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
題組A 基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
1、求滿足下列條件的直線方程：
(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，－3)，傾斜角是直線y＝eq \f(\r(3),3)x的傾斜角的2倍；
(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5，－2)，且與y軸平行；
(3)過(guò)P(－2,3)，Q(5，－4)兩點(diǎn)．
【解析】(1)∵直線y＝eq \f(\r(3),3)x的斜率為eq \f(\r(3),3)，
∴直線y＝eq \f(\r(3),3)x的傾斜角為30°.
∴所求直線的傾斜角為60°，故其斜率為eq \r(3).
∴所求直線方程為y＋3＝eq \r(3)(x－2)，
即eq \r(3)x－y－2eq \r(3)－3＝0.
(2)與y軸平行的直線，其斜率k不存在，不能用點(diǎn)斜式方程表示．
但直線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為5，
故直線方程可記為x＝5.
(3)過(guò)P(－2,3)，Q(5，－4)兩點(diǎn)的直線斜率
kPQ＝eq \f(－4－3,5－?－2?)＝eq \f(－7,7)＝－1.
∵直線過(guò)點(diǎn)P(－2,3)，
∴由直線的點(diǎn)斜式方程可得直線方程為y－3＝－(x＋2)，即x＋y－1＝0.
2、若直線l的傾斜角為45°，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0)，則直線l的方程是( )
A．y＝x＋2 B．y＝x－2
C．y＝eq \f(\r(3),3)x－eq \f(2\r(3),3)D．y＝eq \r(3)x－2eq \r(3)
【解析】由題得直線l的斜率等于tan 45°＝1，由點(diǎn)斜式求得直線l的方程為y－0＝x－2，即y＝x－2.故選B.
3、過(guò)點(diǎn)(－1,2)，且傾斜角為60°的直線方程為________．
【解析】直線的斜率k＝tan 60°＝eq \r(3)，由直線的點(diǎn)斜式方程得y－2＝eq \r(3)(x＋1)．
4、已知一直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3，－2)，且與x軸平行，則該直線的方程為( )
A．x＝3 B．x＝－2
C．y＝3 D．y＝－2
【解析】∵直線與x軸平行，∴其斜率為0，∴直線的方程為y＝－2.故選D
5、已知直線y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，則a＝________.
【解析】由題意可知a·(a＋2)＝－1，解得a＝－1.
6、若直線l1：y＝－eq \f(2,a)x－eq \f(1,a)與直線l2：y＝3x－1互相平行，則a＝________.
【解析】由題意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(2,a)＝3，,－\f(1,a)≠－1，))解得a＝－eq \f(2,3).
7、在x軸和y軸上的截距分別為－2,3的直線方程是( )
A.eq \f(x,3)＋eq \f(y,－2)＝1 B.eq \f(x,2)＋eq \f(y,－3)＝1
C.eq \f(x,－2)＋eq \f(y,3)＝1D.eq \f(x,－3)＋eq \f(y,2)＝1
【解析】由直線的截距式方程可得eq \f(x,－2)＋eq \f(y,3)＝1.故選C
8、直線恒過(guò)定點(diǎn)（ ）
A．B．
C．D．
【解析】當(dāng)，即時(shí)，，直線恒過(guò)定點(diǎn).
故選：B.
9、在同一直角坐標(biāo)系中，表示直線y＝ax與直線y＝x＋a的圖象(如圖所示)正確的是( )
【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，y＝ax過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且a>0，直線y＝x＋a在y軸上的截距應(yīng)該大于零且斜率為正，題中圖象不符合題意；
對(duì)于選項(xiàng)B，y＝ax過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且a>0，直線y＝x＋a在y軸上的截距應(yīng)該大于零，題中圖象不符合題意；
對(duì)于選項(xiàng)C，y＝ax過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且a

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

2.2 直線的方程

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第一冊(cè)

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