?2.2.3 直線的一般式方程
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)科素養(yǎng)
1.掌握直線的一般式方程(重點(diǎn)).
2.理解關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)都表示直線.
3.會(huì)進(jìn)行直線方程的五種形式之間的轉(zhuǎn)化(重、難點(diǎn))．
1、直觀想象
2、數(shù)學(xué)運(yùn)算
3、數(shù)形結(jié)合
【自主學(xué)習(xí)】
一．直線的一般式方程
1.定義：關(guān)于x，y的二元一次方程 (其中A，B不同時(shí)為0)叫做直線的一般式方程，簡稱一般式．
2.適用范圍：平面直角坐標(biāo)系中，任何一條直線都可用一般式表示．
3.系數(shù)的幾何意義：
①當(dāng)B≠0時(shí)，則－＝k(斜率)，－＝b(y軸上的截距)；
②當(dāng)B＝0，A≠0時(shí)，則－＝a(x軸上的截距)，此時(shí)不存在斜率．
思考1：平面直角坐標(biāo)系中的每一條直線都可以用一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程表示嗎？


思考2：當(dāng)A＝0或B＝0或C＝0時(shí)，方程Ax＋By＋C＝0分別表示什么樣的直線？


二．直線各種形式方程的互化


【小試牛刀】
思辨解析(對的打“√”，錯(cuò)的打“×”).
(1)二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)可表示平面內(nèi)的任何一條直線．(　　)
(2)當(dāng)C＝0時(shí)，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)表示的直線過原點(diǎn)．(　　)
(3)當(dāng)B＝0，A≠0時(shí)，方程Ax＋By＋C＝0表示的直線與y軸平行．(　　)
(4)任何一條直線的一般式方程都能與其他四種形式互化．(　　)
(5)若方程Ax＋By＋C＝0表示直線，則A·B≠0.(　　)
【經(jīng)典例題】
題型一　直線的一般式方程與其他形式轉(zhuǎn)化
點(diǎn)撥：對于直線方程的一般式，一般做如下約定：一般按含x項(xiàng)、含y項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)順序排列；x項(xiàng)的系數(shù)為正；x，y的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)一般不出現(xiàn)分?jǐn)?shù)；無特殊要求時(shí)，求直線方程的結(jié)果寫成一般式．
例1 根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程．
(1)斜率是，且經(jīng)過點(diǎn)A(5,3)；
(2)斜率為4，在y軸上的截距為－2；
(3)經(jīng)過A(－1,5)，B(2，－1)兩點(diǎn)；
(4)在x軸、y軸上的截距分別是－3，－1．




【跟蹤訓(xùn)練】1 直線x－5y＋9＝0在x軸上的截距等于(　　)
A. B．－5 C. D．－3
題型二　含參數(shù)的直線的一般式方程
點(diǎn)撥：含參數(shù)的一般式的處理方法
1.若方程Ax＋By＋C＝0表示直線，則需滿足A，B不同時(shí)為0.
2.令x＝0可得在y軸上的截距；令y＝0可得在x軸上的截距．若確定直線斜率存在，可將一般式化為斜截式．
3.解分式方程要注意驗(yàn)根．
例2 (1)若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一條直線，則實(shí)數(shù)m滿足________．
(2)已知方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1表示直線．當(dāng)m＝____________時(shí)，直線的傾斜角為45°；當(dāng)m＝____________時(shí)，直線在x軸上的截距為1.
【跟蹤訓(xùn)練】2 若直線(m＋2)x＋(m2－2m－3)y＝2m在x軸上的截距為3，則實(shí)數(shù)m的值
為(　　)
A． B．－6 C．－ D．6
題型三 利用一般式解決直線平行與垂直問題
點(diǎn)撥：1.已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
(1)l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.
(2)l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
2.與已知直線平行和垂直的直線方程的求法
(1)與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)平行的直線的方程可設(shè)為Ax＋By＋m＝0(m≠0).
(2)與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)垂直的直線的方程可設(shè)為Bx－Ay＋n＝0 .
例3 (1)已知直線l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線l2：mx＋3y－2＝0平行，求實(shí)數(shù)m的值；
(2)已知直線l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0與直線l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0垂直，求實(shí)數(shù)a的值．





【跟蹤訓(xùn)練】3 已知A(2,2)和直線l：3x＋4y－20＝0.求：
(1)過點(diǎn)A和直線l平行的直線方程；
(2)過點(diǎn)A和直線l垂直的直線方程．





【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1.（多選）關(guān)于直線l：x－y－1＝0，下列說法正確的有(　　)
A．過點(diǎn)(，－2) B．斜率為
C．傾斜角為60° D．在y軸上的截距為1
2.若方程Ax＋By＋C＝0表示直線，則A，B應(yīng)滿足的條件為(　　)
A．A≠0 B．B≠0 C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0
3.已知直線(a－2)x＋ay－1＝0與直線2x＋3y＋5＝0平行，則a的值為(　　)
A．－6 B．6 C．－ D.
4.直線2x－y－2＝0繞它與y軸的交點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°所得的直線方程是(　　)
A．x－2y＋4＝0 B．x＋2y－4＝0
C．x－2y－4＝0 D．x＋2y＋4＝0
5.直線(2a2－7a＋3)x＋(a2－9)y＋3a2＝0的傾斜角為45°，則實(shí)數(shù)a＝________.
6.設(shè)直線l的方程為2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根據(jù)下列條件分別確定k的值：
(1)直線l的斜率為－1；
(2)直線l在x軸、y軸上的截距之和等于0.















【參考答案】
【自主學(xué)習(xí)】
Ax＋By＋C＝0
思考1：都可以，原因如下：
(1)若直線的斜率k存在．直線可表示成y＝kx＋b，可轉(zhuǎn)化為kx＋(－1)y＋b＝0，這是關(guān)于x，y的二元一次方程．
(2)若直線的斜率k不存在，方程可表示成x－a＝0，它可以認(rèn)為是關(guān)于x，y的二元一次方程，此時(shí)方程中y的系數(shù)為0．
思考2：(1)若A＝0，則y＝－，表示與y軸垂直的一條直線．
(2)若B＝0，則x＝－，表示與x軸垂直的一條直線．
(3)若C＝0，則Ax＋By＝0，表示過原點(diǎn)的一條直線．
【小試牛刀】
(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)×
【經(jīng)典例題】
例1 解:　(1)由點(diǎn)斜式方程可知，所求直線方程為y－3＝(x－5)，化為一般式方程為x－y＋3－5＝0．
(2)由斜截式方程可知，所求直線方程為y＝4x－2，
化為一般式方程為4x－y－2＝0．
(3)由兩點(diǎn)式方程可知，所求直線方程為＝，
化為一般式方程為2x＋y－3＝0．
(4)由截距式方程可得，所求直線方程為＋＝1，化為一般式方程為x＋3y＋3＝0．
【跟蹤訓(xùn)練】1 D 解析： 令y＝0，則x＝－3.
例2 解：　(1)m≠－3若方程不能表示直線，則m2＋5m＋6＝0且m2＋3m＝0.
解方程組得m＝－3，所以m≠－3時(shí)，方程表示一條直線．
(2)?。?　－或2 解析：因?yàn)橐阎本€的傾斜角為45°，所以此直線的斜率是1，
所以－＝1，所以解得所以m＝－1.
因?yàn)橐阎本€在x軸上的截距為1，令y＝0得x＝，所以＝1，
所以解得所以m＝－或m＝2.
【跟蹤訓(xùn)練】2 B 解析：依題意知直線過點(diǎn)(3，0)，代入直線方程得3(m＋2)＝2m，解得
m＝－6.
例3 解：(1)將與直線l平行的方程設(shè)為3x＋4y＋C1＝0，又過點(diǎn)A(2,2)，
所以3×2＋4×2＋C1＝0，所以C1＝－14.所求直線方程為3x＋4y－14＝0.
(2)將與l垂直的直線方程設(shè)為4x－3y＋C2＝0，又過點(diǎn)A(2,2)，所以4×2－3×2＋C2＝0，所以C2＝－2，所以直線方程為4x－3y－2＝0.
例3 解：(1)由2×3－m(m＋1)＝0，得m＝－3或m＝2．
當(dāng)m＝－3時(shí)，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，
顯然l1與l2不重合，∴l(xiāng)1∥l2．
同理，當(dāng)m＝2時(shí)，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，l1與l2不重合，l1∥l2，
故m的值為2或－3．
(2)由直線l1⊥l2，得(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1．
故當(dāng)a＝1或a＝－1時(shí)，直線l1⊥l2．
【跟蹤訓(xùn)練】3 解：(1)將與直線l平行的方程設(shè)為3x＋4y＋C1＝0，又過點(diǎn)A(2,2)，
所以3×2＋4×2＋C1＝0，所以C1＝－14.
所求直線方程為3x＋4y－14＝0.
(2)將與l垂直的直線方程設(shè)為4x－3y＋C2＝0，又過點(diǎn)A(2,2)，
所以4×2－3×2＋C2＝0，所以C2＝－2，
所以直線方程為4x－3y－2＝0.
【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1.BC解析：對于直線l：x－y－1＝0，當(dāng)x＝時(shí)，y＝2，故A錯(cuò)誤；
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－1，即直線在y軸上的截距為－1，故D錯(cuò)誤；
化直線方程為斜截式：y＝x－1，可得直線的斜率為，故B正確；
設(shè)其傾斜角為θ(0°≤θ＜180°)，則tan θ＝，θ＝60°，故C正確．
2. D 解析：方程Ax＋By＋C＝0表示直線的條件為A，B不能同時(shí)為0，即A2＋B2≠0.
3.B 解析：由(a－2)×3－a×2＝0得a＝6，且當(dāng)a＝6時(shí)兩直線平行，故選B.
4.D 解析：直線2x－y－2＝0與y軸的交點(diǎn)為A(0，－2)，∵所求直線過點(diǎn)A且斜率為－，
∴所求直線的方程為y＋2＝－x，即x＋2y＋4＝0．
5.－解析：依題意可知k＝tan 45°＝1，所以－＝1，且a2－9≠0.
解得a＝－或a＝3(舍去).
6. 解：(1)因?yàn)橹本€l的斜率存在，所以直線l的方程可化為y＝－x＋2，由題意得－＝－1，解得k＝5.
(2)直線l的方程可化為＋＝1，由題意得k－3＋2＝0，解得k＝1.

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2.2 直線的方程

版本： 人教A版 (2019)

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