一．直線與圓的位置關(guān)系
直線與圓的位置關(guān)系有3種，相離，相切和相交
二．直線與圓的位置關(guān)系判斷
（1）幾何法（圓心到直線的距離和半徑關(guān)系）
圓心到直線的距離，則：
直線與圓相交，交于兩點，；
直線與圓相切；
直線與圓相離
（2）代數(shù)方法（幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題即交點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程根個數(shù)）
由，
消元得到一元二次方程，判別式為，則：
直線與圓相交；
直線與圓相切；
直線與圓相離．
三．兩圓位置關(guān)系的判斷
用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關(guān)系確定，具體是：
設(shè)兩圓的半徑分別是，（不妨設(shè)），且兩圓的圓心距為，則：
兩圓相交；
兩圓外切；
兩圓相離
兩圓內(nèi)切；
兩圓內(nèi)含（時兩圓為同心圓）
設(shè)兩個圓的半徑分別為，，圓心距為，則兩圓的位置關(guān)系可用下表來表示：
【解題方法總結(jié)】
關(guān)于圓的切線的幾個重要結(jié)論
（1）過圓上一點的圓的切線方程為．
（2）過圓上一點的圓的切線方程為
（3）過圓上一點的圓的切線方程為
（4）求過圓外一點的圓的切線方程時，應(yīng)注意理解：
①所求切線一定有兩條；
②設(shè)直線方程之前，應(yīng)對所求直線的斜率是否存在加以討論．設(shè)切線方程為，利用圓心到切線的距離等于半徑，列出關(guān)于的方程，求出值．若求出的值有兩個，則說明斜率不存在的情形不符合題意；若求出的值只有一個，則說明斜率不存在的情形符合題意．
題型一：直線與圓的位置關(guān)系的判斷
例1．圓：與直線：的位置關(guān)系為（ ）
A．相切B．相交C．相離D．無法確定
【答案】A
【解析】圓：的圓心為，半徑，直線：即，則圓心到直線的距離，所以直線與圓相切.故選：A
例2．已知點為圓上的動點，則直線與圓的位置關(guān)系為（ ）
A．相交B．相離C．相切D．相切或相交
【答案】C
【解析】利用圓心距和半徑的關(guān)系來確定直線與圓的位置關(guān)系.
由題意可得，于是，所以直線和圓相切.故選: C.
變式1．直線與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．相切C．相離D．無法確定
【答案】A
【解析】已知直線過定點，將點代入圓的方程可得，
可知點在圓內(nèi)，所以直線與圓相交.故選：A.
變式2．直線l：與曲線C：的交點個數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．無法確定
【答案】B
【解析】曲線C：是圓心在上，半徑的圓，則圓心與直線l的距離，
，曲線C與直線l相切，即只有一個交點，故選：B
【解題方法總結(jié)】
判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法
（1）幾何法：利用d與r的關(guān)系．
（2）代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷．
（3）點與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交．
題型二：弦長與面積問題
例3．已知直線：與圓：交于A，B兩點，則 ．
【答案】
【解析】由，故圓心，半徑為，所以，圓心到直線的距離為，∴．故答案為：
例4．已知圓，直線與圓C相交于M，N兩點，則 ．
【答案】
【解析】由，得，則圓的圓心為，半徑，所以圓心到直線的距離為所以，解得.故答案為：.
變式3．圓心在直線上，與x軸相切，且被直線截得的弦長為的圓的方程為 .
【答案】或
【解析】設(shè)所求圓的圓心為，半徑為，圓與軸相切，，又圓心到直線的距離，，解得：或，所求圓的圓心為或，半徑，圓的方程為或.
故答案為：或.
變式4．寫出經(jīng)過點且被圓截得的弦長為的一條直線的方程 ．
【答案】或
【解析】圓的方程可化為，圓心為，半徑．當(dāng)過點的直線的斜率不存在時，直線方程為，此時圓心在直線上，弦長，不滿足題意，所以過點的直線的斜率存在，設(shè)過點的直線的方程為，即，則圓心到直線的距為，依題意，即，解得或，
故所求直線的方程為或．故答案為：或．
變式5．已知直線與圓交于A，B兩點，若M是圓上的一動點，則面積的最大值是 .
【答案】
【解析】，則圓C的圓心為，半徑為，圓心C到直線l（弦AB）的距離為，則，則到弦AB的距離的最大值為，
則面積的最大值是.故答案為：.
【解題方法總結(jié)】
弦長問題
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①利用垂徑定理：半徑，圓心到直線的距離，弦長具有的關(guān)系，這也是求弦長最常用的方法．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②利用交點坐標(biāo)：若直線與圓的交點坐標(biāo)易求出，求出交點坐標(biāo)后，直接用兩點間的距離公式計算弦長．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③利用弦長公式：設(shè)直線，與圓的兩交點，將直線方程代入圓的方程，消元后利用根與系數(shù)關(guān)系得弦長：．
題型三：切線問題、切線長問題
例5．寫出一條與圓和曲線都相切的直線的方程： .
【答案】（答案不唯一）
【解析】設(shè)切線與圓相切于點，則，切線的方程為，即，將與聯(lián)立，可得，令，
聯(lián)立解得或或或所以切線的方程為或或或.故答案為：（答案不唯一）
例6．已知點，，經(jīng)過B作圓的切線與y軸交于點P，則 ．
【答案】.
【解析】如圖所示，設(shè)圓心為C點，則，，則點在圓上，且，由與圓相切可得：，則，，則，故，則，從而可得,故答案為：.
變式6．已知圓C：，直線l的橫縱截距相等且與圓C相切﹐則直線l的方程為 ．
【答案】，或，或
【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，因為直線l的橫縱截距相等，所以直線的斜率存在，當(dāng)直線過原點時，設(shè)直線的方程為，因為直線l與圓C相切，此時圓心到直線的距離等于半徑，可得，解得，所以切線方程為；當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線的方程為，因為直線l與圓C相切，此時圓心到直線的距離等于半徑，可得，解得，所以切線方程為或，綜上所述，直線l的方程為，或，或.故答案為：，或，或.
變式7．寫出經(jīng)過拋物線的焦點且和圓相切的一條直線的方程 .
【答案】（或，寫出一個方程即可）
【解析】拋物線的焦點為，圓的圓心為，半徑為2.記過點的直線為l，當(dāng)l斜率不存在時，由圖可知l與圓相切，此時l的方程為；
當(dāng)l斜率存在時，設(shè)其方程為，即，因為直線l與圓相切，所以，解得所以l的方程為，即.
故答案為：（或，寫出一個方程即可）
變式8．過點且與圓：相切的直線方程為
【答案】或.
【解析】將圓方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得圓心，半徑為，
當(dāng)過點的直線斜率不存在時，直線方程為 是圓的切線，滿足題意；
當(dāng)過點的直線斜率存在時，可設(shè)直線方程為，即，
利用圓心到直線的距離等于半徑得，解得，即此直線方程為，
故答案為：或 ．
變式9．由直線上一點向圓引切線，則切線長的最小值為 ．
【答案】2
【解析】設(shè)過點的切線與圓相切于點，連接，則，
圓的圓心為，半徑為，則，當(dāng)與直線垂直時，取最小值，且最小值為，所以，，即切線長的最小值為2.故答案為：2.
【解題方法總結(jié)】
（1）圓的切線方程的求法
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①點在圓上，
法一：利用切線的斜率與圓心和該點連線的斜率的乘積等于，即．
法二：圓心到直線的距離等于半徑．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②點在圓外，則設(shè)切線方程：，變成一般式：，因為與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出．
注意：因為此時點在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個根，若方程只有一個根，則還有一條切線的斜率不存在，務(wù)必要把這條切線補(bǔ)上．
（2）常見圓的切線方程
過圓上一點的切線方程是；
過圓上一點的切線方程是．
題型四：切點弦問題
例7．從拋物線上一點作圓：得兩條切線，切點為，則當(dāng)四邊形面積最小時直線方程為 .
【答案】
【解析】如圖，由題可知 ，，由對稱性可知，

所以求四邊形的最小面積即求的最小值設(shè)，，則
當(dāng)，即時，，四邊形的最小面積為,所以 ,所以以為直徑的圓的方程為：則為以圓和以為直徑的圓的公共弦如圖所示
兩圓方程作差得：,所以直線方程為
故答案為：
例8．已知圓，過直線上任意一點，作圓的兩條切線，切點分別為兩點，則的最小值為 .
【答案】
【解析】由題意得，圓的圓心為，半徑為，如圖所示，根據(jù)圓的切線長公式，可得，則，當(dāng)取最小值時，取最小值，此時，則，則.故答案為：.
變式10．已知直線與圓，過直線上的任意一點向圓引切線，設(shè)切點為，若線段長度的最小值為，則實數(shù)的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】圓，設(shè)，則，則，，則，所以圓心到直線的距離是，，得，．故選：A．
變式11．過拋物線上一點作圓的切線，切點為、，則當(dāng)四邊形的面積最小時，直線的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】連接、，
圓的圓心為，半徑為，易知圓心為拋物線的焦點，設(shè)點，則，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，此時點與坐標(biāo)原點重合，由圓的幾何性質(zhì)可得，，由切線長定理可得，則，所以，，所以，，此時點與坐標(biāo)原點重合，且圓關(guān)于軸對稱，此時點、也關(guān)于軸對稱，則軸，在中，，，，則，所以，，因此，直線的方程為.故選：C.
【解題方法總結(jié)】
過圓外一點作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為
過曲線上，做曲線的切線，只需把替換為，替換為，替換為，替換為即可，因此可得到上面的結(jié)論．
題型五：直線與圓位置關(guān)系中的最值（范圍）問題
例9．已知點在圓運動，若對任意點，在直線上均存在兩點，使得恒成立，則線段長度的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如圖，
由題可知，圓心為點，半徑為1，若直線上存在兩點，使得恒成立，則始終在以為直徑的圓內(nèi)或圓上，點到直線的距離為，
所以長度的最小值為.故選：D
例10．已知圓，點在直線上，過點作直線與圓相切于點，則的周長的最小值為 .
【答案】
【解析】由圓知圓心，半徑，因為與圓相切于點，所以，
所以，所以越小，越小，
當(dāng)時，最小，因為圓心到直線的距離為，所以的最小值為6，此時，，，故的周長的最小值為.答案為：.
變式12．已知是平面內(nèi)的三個單位向量，若，則的最小值是 ．
【答案】
【解析】均為單位向量且，不妨設(shè)，，且，
，，
，
的幾何意義表示的是點到和兩點的距離之和的2倍，點在單位圓內(nèi)，點在單位圓外，則點到和兩點的距離之和的最小值即為和兩點間距離，所求最小值為.故答案為：.
變式13．若直線與相交于點，過點作圓的切線，切點為，則|PM|的最大值為 ．
【答案】
【解析】直線過定點，直線過定點，顯然這兩條直線互相垂直，因此P在以AB為直徑的圓上，設(shè)該圓的圓心為D，顯然點D的坐標(biāo)為，所以該圓的方程為，由圓的切線性質(zhì)可知：，要想|PM|的值最大，只需的值最大，
當(dāng)點在如下圖位置時，的值最大，即，所以|PM|的最大值為，
故答案為：.
【解題方法總結(jié)】
直線上的點與圓上的點的最近或最遠(yuǎn)距離問題，這樣的題目往往要轉(zhuǎn)化為直線上的點與圓心距離的最近和最遠(yuǎn)距離再加減半徑長的問題．
直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 隨堂檢測
1.若直線與圓相交，則點（ ）
A．在圓上B．在圓外C．在圓內(nèi)D．以上都有可能
【答案】B
【解析】直線與圓有兩個不同的交點，則圓心到直線的距離小于半徑，即：，即，
據(jù)此可得：點與圓的位置關(guān)系是點在圓外.故選：B.
2.直線與圓的位置關(guān)系為（ ）
A．相離B．相切C．相交D．不能確定
【答案】C
【解析】由直線得，令，得，故直線恒過點，又，即點在圓內(nèi)，
故直線與圓的位置關(guān)系為相交.故選：C.
3.已知點在直線上，過點作圓的兩條切線，切點分別為，則圓心到直線的距離的最大值為（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【解析】由題意可得的圓心到直線的距離為，
即與圓相離；設(shè)為直線上的一點，則，
過點P作圓的切線，切點分別為，則有，則點在以為直徑的圓上，
以為直徑的圓的圓心為 ，半徑為， 則其方程為，變形可得 ，聯(lián)立，可得：，
又由，則有 ，變形可得 ，
則有，可得，故直線恒過定點，設(shè)，由于，故點在內(nèi)，則時，C到直線的距離最大，其最大值為,
故選∶B
4.已知直線與交于A，B兩點，寫出滿足“面積為”的m的一個值 ．
【答案】（中任意一個皆可以）
【解析】設(shè)點到直線的距離為，由弦長公式得，所以，解得：或，由，所以或，解得：或．故答案為：（中任意一個皆可以）．
5.過點且被圓所截得的弦長為的直線的方程為 .
【答案】
【解析】圓，即，圓心為，半徑，若弦長，則圓心到直線的距離， 顯然直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，即，所以，解得，所以直線方程為.
故答案為：.
6.已知直線l：被圓C：所截得的弦長為整數(shù)，則滿足條件的直線l有 條.
【答案】9
【解析】將直線l的方程整理可得，易知直線恒過定點；圓心，半徑；
所以當(dāng)直線過圓心時弦長取最大值，此時弦長為直徑；易知，當(dāng)圓心與的連線與直線l垂直時，弦長最小，如下圖所示；
此時弦長為，所以截得的弦長為整數(shù)可?。挥蓪ΨQ性可知，當(dāng)弦長為時，各對應(yīng)兩條，共8條，當(dāng)弦長為8時，只有直徑1條，所以滿足條件的直線l共有9條.故答案為：9.
7.已知圓的方程為，若直線與圓相交于兩點，則的面積為 .
【答案】12
【解析】圓：，得圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，因此，所以.故答案為：.
8.經(jīng)過點且與圓相切的直線方程為 ．
【答案】
【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線方程為，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為，即，因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離相等，即，化簡得，解得，，
綜上：直線方程為：，故答案為：
9.已知過點作圓的切線，則切線長為 .
【答案】
【解析】由圓，可得圓心，半徑，設(shè)切點為，因為，可得，
所以切線長為.故答案為：4.
10.已如，是拋物線上的動點（異于頂點），過作圓的切線，切點為，則的最小值為 .
【答案】3
【解析】依題意，設(shè)，有，圓的圓心，半徑，
于是，
因此，表示拋物線上的點到y(tǒng)軸距離與到定點的距離的和，而點在拋物線內(nèi)，當(dāng)且僅當(dāng)是過點垂直于y軸的直線與拋物線的交點時，取得最小值3，所以的最小值為3.故答案為：3.
11.若在圓C：上存在一點P，使得過點P作圓M：的切線長為，則r的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】設(shè)點，過點作圓M：的切線，切點為，由題意可知：，因為點，所以，化簡整理可得：，所以，因為，，所以，解得：，
所以的取值范圍為，故答案為：.
12.直線分別與軸，軸交于A，B兩點，點P在圓上，則面積的取值范圍是 .
【答案】
【解析】對于，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，所以，
圓的圓心，半徑，圓心到直線的距離為，所以點P到直線的距離的最大值，點P到直線的距離的最小值，所以面積的最大值為，面積的最小值為，所以面積的取值范圍是，故答案為：
13.已知P是直線上的動點，是圓的兩條切線，A，B是切點，C是圓心，那么四邊形面積的最小值為 ．
【答案】
【解析】，即，圓心為，半徑，
，即最小時，面積最小.
，故四邊形面積的最小值為.
故答案為：.位置關(guān)系
相離
外切
相交
內(nèi)切
內(nèi)含
幾何特征
代數(shù)特征
無實數(shù)解
一組實數(shù)解
兩組實數(shù)解
一組實數(shù)解
無實數(shù)解
公切線條數(shù)
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3
2
1
0

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