（寒假）2024-2025學年高二數(shù)學寒假提升講義+隨堂檢測第05課數(shù)列的通項公式（2份，原卷版+教師版）-試卷下載-教習網

類型Ⅰ 觀察法：
已知數(shù)列前若干項，求該數(shù)列的通項時，一般對所給的項觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個通項．
類型Ⅱ 公式法：
若已知數(shù)列的前項和與的關系，求數(shù)列的通項可用公式構造兩式作差求解．
用此公式時要注意結論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個表達，（要先分和兩種情況分別進行運算，然后驗證能否統(tǒng)一）．
類型Ⅲ 累加法：
形如型的遞推數(shù)列（其中是關于的函數(shù)）可構造：
將上述個式子兩邊分別相加，可得：
= 1 \* GB3 ①若是關于的一次函數(shù)，累加后可轉化為等差數(shù)列求和；
= 2 \* GB3 ② 若是關于的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉化為等比數(shù)列求和；
= 3 \* GB3 ③若是關于的二次函數(shù)，累加后可分組求和；
= 4 \* GB3 ④若是關于的分式函數(shù)，累加后可裂項求和．
類型Ⅳ 累乘法：
形如型的遞推數(shù)列（其中是關于的函數(shù)）可構造：
將上述個式子兩邊分別相乘，可得：
有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解．
類型Ⅴ 構造數(shù)列法：
（一）形如（其中均為常數(shù)且）型的遞推式：
（1）若時，數(shù)列{}為等差數(shù)列；
（2）若時，數(shù)列{}為等比數(shù)列；
（3）若且時，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項可通過待定系數(shù)法構造等比數(shù)列來求．方法有如下兩種：
法一：設，展開移項整理得，與題設比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得，即構成以為首項，以為公比的等比數(shù)列．再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得
法二：由得兩式相減并整理得即構成以為首項，以為公比的等比數(shù)列．求出的通項再轉化為類型Ⅲ（累加法）便可求出
（二）形如型的遞推式：
（1）當為一次函數(shù)類型（即等差數(shù)列）時：
法一：設，通過待定系數(shù)法確定的值，轉化成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得
法二：當?shù)墓顬闀r，由遞推式得：，兩式相減得：，令得：轉化為類型Ⅴ㈠求出，再用類型Ⅲ（累加法）便可求出
（2）當為指數(shù)函數(shù)類型（即等比數(shù)列）時：
法一：設，通過待定系數(shù)法確定的值，轉化成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得
法二：當?shù)墓葹闀r，由遞推式得：——①，，兩邊同時乘以得——②，由①②兩式相減得，即，在轉化為類型Ⅴ㈠便可求出
法三：遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）或（其中p，q， r均為常數(shù)）時，要先在原遞推公式兩邊同時除以，得：，引入輔助數(shù)列（其中），得：再應用類型Ⅴ㈠的方法解決．
（3）當為任意數(shù)列時，可用通法：
在兩邊同時除以可得到，令，則，在轉化為類型Ⅲ（累加法），求出之后得．
類型Ⅵ 對數(shù)變換法：
形如型的遞推式：
在原遞推式兩邊取對數(shù)得，令得：，化歸為型，求出之后得（注意：底數(shù)不一定要取10，可根據(jù)題意選擇）．
類型Ⅶ 倒數(shù)變換法：
形如（為常數(shù)且）的遞推式：兩邊同除于，轉化為形式，化歸為型求出的表達式，再求；
還有形如的遞推式，也可采用取倒數(shù)方法轉化成形式，化歸為型求出的表達式，再求．
類型Ⅷ 形如型的遞推式：
用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列的形式求解．方法為：設，比較系數(shù)得，可解得，于是是公比為的等比數(shù)列，這樣就化歸為型．
總之，求數(shù)列通項公式可根據(jù)數(shù)列特點采用以上不同方法求解，對不能轉化為以上方法求解的數(shù)列，可用歸納、猜想、證明方法求出數(shù)列通項公式
題型一：觀察法
例1．“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國來華傳教偉烈亞力將《孫子算經》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年，英國數(shù)學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”．“中國剩余定理”講的是一個關于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除問題：將正整數(shù)中能被3除余2且被7除余2的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構成數(shù)列，則（）
A．17B．37C．107D．128
【答案】C
【解析】∵能被3除余2且被7除余2，∴既是3的倍數(shù)，又是7的倍數(shù)，
即是21的倍數(shù)，且，∴，即，∴．故選：C．
例2．線性分形又稱為自相似分形，其圖形的結構在幾何變換下具有不變性，通過不斷迭代生成無限精細的結構.一個正六邊形的線性分形圖如下圖所示，若圖1中正六邊形的邊長為1，圖中正六邊形的個數(shù)記為，所有正六邊形的周長之和?面積之和分別記為，其中圖中每個正六邊形的邊長是圖中每個正六邊形邊長的，則下列說法正確的是（）
A．B．
C．存在正數(shù)，使得恒成立D．
【答案】D
【解析】A選項，圖1中正六邊形的個數(shù)為1，圖2中正六邊形的個數(shù)為7，由題意得為公比為7的等比數(shù)列，所以，故，A錯誤；B選項，由題意知，，，B錯誤；C選項，為等比數(shù)列，公比為，首項為6，故，因為，所以單調遞增，不存在正數(shù)，使得恒成立，C錯誤；D選項，分析可得，圖n中的小正六邊形的個數(shù)為個，每個小正六邊形的邊長為，故每個小正六邊形的面積為，則，D正確.故選：D
變式1．大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項都代表太極衍生過程，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學史上第一道數(shù)列題，其各項規(guī)律如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，．．．，記此數(shù)列為，則（）
A．650B．1050C．2550D．5050
【答案】A
【解析】由條件觀察可得：，即，所以是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列.故，故選：A
變式2．大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經經歷過的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學史上第一道數(shù)列題．其前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數(shù)列的第25項與第24項的差為（）
A．22B．24C．25D．26
【答案】B
【解析】設該數(shù)列為，當為奇數(shù)時，所以為奇數(shù)；當為偶數(shù)時，所以為偶數(shù)數(shù)；所以，故選:B.
變式3．“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學成就，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，從第三行起，每一行的第三個數(shù)1，，，，構成數(shù)列，其前n項和為，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意可知，
則，
所以其前n項和為：
，則.故選：B.
【解題方法總結】
觀察法即根據(jù)所給的一列數(shù)、式、圖形等，通過觀察分析數(shù)列各項的變化規(guī)律，求其通項．使用觀察法時要注意： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①觀察數(shù)列各項符號的變化，考慮通項公式中是否有或者部分． = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②考慮各項的變化規(guī)律與序號的關系． = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③應特別注意自然數(shù)列、正奇數(shù)列、正偶數(shù)列、自然數(shù)的平方、與有關的數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列以及由它們組成的數(shù)列．
題型二：疊加法
例3．數(shù)列1，3，7，15，……的一個通項公式是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依題意得，，，所以依此類推得，
所以．
又也符合上式，所以符合題意的一個通項公式是．故選：C．
例4．在數(shù)列中，，，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因為，故可得，，…，，及累加可得，
則，所以，
則．
故選：B．
變式3．已知數(shù)列滿足，，則的通項為( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，所以，則當時，，
將個式子相加可得，因為，則，當時，符合題意，所以.故選：D.
變式4．已知數(shù)列滿足：，，，則（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，∴，，
∴，
又，故，所以，
所以，
故，
則，所以.故選：C．
【解題方法總結】
數(shù)列有形如的遞推公式，且的和可求，則變形為，利用疊加法求和
題型三：疊乘法
例5．已知數(shù)列滿足，，則（）
A．2023B．2024C．4045D．4047
【答案】C
【解析】，，即，可得，
.
例6．已知數(shù)列滿足，(，)，則數(shù)列的通項（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】數(shù)列滿足，，整理得，，，，
所有的項相乘得：，整理得：，故選：．
【解題方法總結】
數(shù)列有形如的遞推公式，且的積可求，則將遞推公式變形為，利用疊乘法求出通項公式
題型四：待定系數(shù)法
例7．已知數(shù)列是首項為.
(1)求通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和.
【解析】（1），設，
即，即，解得，
，故是首項為，公比為的等比數(shù)列.
，故.
（2），則
.
例8．已知數(shù)列中，，滿足，設為數(shù)列的前項和．
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)若不等式對任意正整數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）因為，所以，
所以是以為首項，公比為的等比數(shù)列，
所以，所以．
（2）因為，
所以
，
若對于恒成立，即，
可得即對于任意正整數(shù)恒成立，
所以，令，則，
所以，可得，所以，
所以的取值范圍為．
變式5．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項公式為 .
【答案】
【解析】因為，設，即，根據(jù)對應項系數(shù)相等則，解得，故，所以是為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，即.
故答案為：
變式6．已知數(shù)列中，，且（，且），則數(shù)列的通項公式為．
【答案】
【解析】由，得，即由所以，
于是數(shù)列是以首項為，公比為的等比數(shù)列，因此，即，
當時，,此式滿足，所以數(shù)列的通項公式為.
故答案為：.
【解題方法總結】
形如（為常數(shù)，且）的遞推式，可構造，轉化為等比數(shù)列求解．也可以與類比式作差，由，構造為等比數(shù)列，然后利用疊加法求通項．
題型五：同除以指數(shù)
例9．已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式．
【解析】將兩邊除以，
得，則，故數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，
則，∴數(shù)列的通項公式為．
例10．在數(shù)列{}中，求通項公式．
【解析】可化為：．
又則數(shù)列是首項為，公比是2的等比數(shù)列．
∴，則．所以數(shù)列{}通項公式為
變式7．已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式．
【解析】由，可得
又，則數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，
則，故．則數(shù)列的通項公式為.
變式8．已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式．
【解析】解法一：因為，設，
所以，
則，解得，即，
則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以，即；
解法二：因為，兩邊同時除以得，
所以，，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以，則，所以.
變式9．已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為 .
【答案】
【解析】解法一：設，整理得，可得，
即，且，
則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，即；
解法二：(兩邊同除以) 兩邊同時除以得：，
整理得，且，則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以，即；
解法三：(兩邊同除以)兩邊同時除以得：，即，
當時，則
，故，
顯然當時，符合上式，故.故答案為：.
【解題方法總結】
形如，）的遞推式，當時，兩邊同除以轉化為關于的等差數(shù)列；當時，兩邊人可以同除以得，轉化為．
題型六：取倒數(shù)法
例11．設，數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式．
【解析】，，兩邊取倒數(shù)得到，
令，則，當時，，，，
數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列．，，．
當時，，則，
數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．
，，，
，，
例12．已知數(shù)列中，，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求證：數(shù)列的前n項和.
【解析】（1）因為，，故，
所以，整理得．
又，，，所以為定值，
故數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，得.
（2）因為，所以．
【解題方法總結】
對于，取倒數(shù)得．
當時，數(shù)列是等差數(shù)列；
當時，令，則，可用待定系數(shù)法求解．
題型七：取對數(shù)法
例13．已知數(shù)列滿足，.
(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
(2)若，數(shù)列的前項和，求證：.
【解析】（1）因為，所以，則，
又，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
則，所以；
（2）由，得，則，
所以，所以，
所以，
因為，所以，
所以.
【解題方法總結】
形如的遞推公式，則常常兩邊取對數(shù)轉化為等比數(shù)列求解．
題型八：已知通項公式與前項的和關系求通項問題
例14．數(shù)列的前項和為，滿足，且，則的通項公式是．
【答案】
【解析】，，且，
，是以為首項，為公比的等比數(shù)列．，．
時，，且不滿足上式，所以．
故答案為：.
例15．已知數(shù)列中，，前n項和為.若，則數(shù)列的前2023項和為 .
【答案】
【解析】在數(shù)列中，又，且，
兩式相除得，，
∴數(shù)列是以1為首項，公差為1的等差數(shù)列，則，∴ ，
當，，當時，，也滿足上式，
∴數(shù)列的通項公式為，則，
數(shù)列的前2023項和為.
故答案為：
變式10．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足，其中是數(shù)列的前n項和.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若對任意，且當時，總有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）∵，∴當時，，解得.
當時，，即，
∵，∴，∴數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，∴.
（2）因為，所以
∴當時，，
∴
，
∴，
∴實數(shù)的取值范圍為.
變式11．已知是各項都為正數(shù)的數(shù)列，為其前n項和，且，，
(1)求數(shù)列的通項；
(2)證明：.
【解析】（1）法一：因為，所以當時，，
所以，，兩式相減可得，
又，所以是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，即，
故當時，，經檢驗，當時，滿足上式，
所以.
法二：因為，所以當時，，
故，等號兩邊平方得，
設，則，
又，，所以是首項為，公差為的等差數(shù)列，
故，即，則，
故，則，解得或，
當時，，則，而，矛盾，舍去，
當時，經檢驗，滿足題意，故.
（2）由法一易知，由法二易得，
故由（1）得，，
所以，命題得證.
【解題方法總結】
對于給出關于與的關系式的問題，解決方法包括兩個轉化方向，在應用時要合理選擇．一個方向是轉化為的形式，手段是使用類比作差法，使=（，），故得到數(shù)列的相關結論，這種方法適用于數(shù)列的前項的和的形式相對獨立的情形；另一個方向是將轉化為（，），先考慮與的關系式，繼而得到數(shù)列的相關結論，然后使用代入法或者其他方法求解的問題，這種情形的解決方法稱為轉化法，適用于數(shù)列的前項和的形式不夠獨立的情況．
簡而言之，求解與的問題，方法有二，其一稱為類比作差法，實質是轉化的形式為的形式，適用于的形式獨立的情形，其二稱為轉化法，實質是轉化的形式為的形式，適用于的形式不夠獨立的情形；不管使用什么方法，都應該注意解題過程中對的范圍加以跟蹤和注意，一般建議在相關步驟后及時加注的范圍．
數(shù)列的通項公式隨堂檢測
1.南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”，“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，······，則第十層有（）個球．

A．12B．20C．55D．110
【答案】C
【解析】由題意知：，，，
，所以.故選：C
2.若數(shù)列的前4項分別是，則該數(shù)列的一個通項公式為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因為數(shù)列的前4項分別是，正負項交替出現(xiàn)，分子均為1，分母依次增加1，
所以對照四個選項，正確.故選：D
3.若，則（）
A．55B．56C．45D．46
【答案】D
【解析】由，得，，，，，
累加得，，當時，上式成立，則，
所以.故選：D.
4.已知是數(shù)列的前n項和，且對任意的正整數(shù)n，都滿足：，若，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】當時，由累加法可得：，所以（），又因為，所以（），當時，，符合，所以（），所以，所以．故選：A.
5.數(shù)列中，，（為正整數(shù)），則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因為，所以，
所以，故選：A
6.已知，，則數(shù)列的通項公式是（）
A．B．C．D．n
【答案】D
【解析】由，得，即，則，，，…，，由累乘法可得，所以，又，符合上式，所以.故選：D．
7.已知數(shù)列滿足，且，則( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】數(shù)列滿足，且，∴，，∴，，，，累乘可得：，可得：．故選：D﹒
8.已知數(shù)列的前項和為，且（），
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設，求數(shù)列的前項和.
【解析】（1）當時，，
當時，，
故，故數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，故；
（2）由（1）得，故，
則，
故，
則
9.已知數(shù)列的前項和為，．
(1)證明：是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項積．
【解析】（1）由，得．所以，
即，整理得，上式兩邊同時除以，得．
又，所以，即，所以是首項為2，公差為1的等差數(shù)列．
（2）由（1）知，．所以．
所以．
10.已知數(shù)列，為數(shù)列的前項和，且滿足，．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
【解析】（1）對任意的，
當時，，兩式相減．整理得，
當時，，
也滿足，從而．
（2）證明：證法一：因為，
所以，．
從而；
證法二：因為，
所以，，證畢.

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