知識(shí)點(diǎn)一：?jiǎn)握{(diào)性基礎(chǔ)問題
1、函數(shù)的單調(diào)性
函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)．
2、已知函數(shù)的單調(diào)性問題
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減．
知識(shí)點(diǎn)二：討論單調(diào)區(qū)間問題
類型一：不含參數(shù)單調(diào)性討論
（1）求導(dǎo)化簡(jiǎn)定義域（化簡(jiǎn)應(yīng)先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間）；
（2）變號(hào)保留定號(hào)去（變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號(hào)部分：已知恒正或恒負(fù)，無需單獨(dú)討論的部分）；
（3）求根作圖得結(jié)論（如能直接求出導(dǎo)函數(shù)等于0的根，并能做出導(dǎo)函數(shù)與x軸位置關(guān)系圖，則導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段已知，可直接得出結(jié)論）；
（4）未得結(jié)論斷正負(fù)（若不能通過第三步直接得出結(jié)論，則先觀察導(dǎo)函數(shù)整體的正負(fù)）；
（5）正負(fù)未知看零點(diǎn)（若導(dǎo)函數(shù)正負(fù)難判斷，則觀察導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)）；
（6）一階復(fù)雜求二階（找到零點(diǎn)后仍難確定正負(fù)區(qū)間段，或一階導(dǎo)函數(shù)無法觀察出零點(diǎn)，則求二階導(dǎo)）；
求二階導(dǎo)往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)函數(shù)中變號(hào)部分為新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)再求導(dǎo)．
（7）借助二階定區(qū)間（通過二階導(dǎo)正負(fù)判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段）；
類型二：含參數(shù)單調(diào)性討論
（1）求導(dǎo)化簡(jiǎn)定義域（化簡(jiǎn)應(yīng)先通分，然后能因式分解要進(jìn)行因式分解，定義域需要注意是否是一個(gè)連續(xù)的區(qū)間）；
（2）變號(hào)保留定號(hào)去（變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號(hào)部分：已知恒正或恒負(fù)，無需單獨(dú)討論的部分）；
（3）恒正恒負(fù)先討論（變號(hào)部分因?yàn)閰?shù)的取值恒正恒負(fù)）；然后再求有效根；
（4）根的分布來定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系）；
（5）導(dǎo)數(shù)圖像定區(qū)間；
【解題方法總結(jié)】
1、求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟
（1）確定函數(shù)的定義域；
（2）求，令，解此方程，求出它在定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)；
（3）把函數(shù)的間斷點(diǎn)（即的無定義點(diǎn)）的橫坐標(biāo)和的各實(shí)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)的定義域分成若干個(gè)小區(qū)間；
（4）確定在各小區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，根據(jù)的符號(hào)判斷函數(shù)在每個(gè)相應(yīng)小區(qū)間內(nèi)的增減性．
注：①使的離散點(diǎn)不影響函數(shù)的單調(diào)性，即當(dāng)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)離散點(diǎn)處為零，在其余點(diǎn)處均為正（或負(fù)）時(shí)，在這個(gè)區(qū)間上仍舊是單調(diào)遞增（或遞減）的．例如，在上，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，而顯然在上是單調(diào)遞增函數(shù)．
②若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（不恒為0），反之不成立．因?yàn)?，即或，?dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，在這個(gè)區(qū)間為常值函數(shù)；同理，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則（不恒為0），反之不成立．這說明在一個(gè)區(qū)間上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于零，是這個(gè)函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增的充分不必要條件．于是有如下結(jié)論：
單調(diào)遞增；單調(diào)遞增；
單調(diào)遞減；單調(diào)遞減．
題型一：利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系確定原函數(shù)圖像
例1.（多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)榍覍?dǎo)函數(shù)為，如圖是函數(shù)的圖像，則下列說法正確的是
A．函數(shù)的增區(qū)間是
B．函數(shù)的增區(qū)間是
C．是函數(shù)的極小值點(diǎn)
D．是函數(shù)的極小值點(diǎn)
變式1.已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），下面四個(gè)圖象中可能是圖象的是（ ）
A． B． C． D．
變式2.已知定義在上的函數(shù)的大致圖像如圖所示，是的導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【解題方法總結(jié)】
原函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值的符號(hào)的關(guān)系，原函數(shù)單調(diào)遞增導(dǎo)函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)等于0，只在離散點(diǎn)成立，其余點(diǎn)滿足）；原函數(shù)單調(diào)遞減導(dǎo)函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)等于0，只在離散點(diǎn)成立，其余點(diǎn)滿足）．
題型二：求單調(diào)區(qū)間
例2.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A．B．C．D．
變式3.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間（ ）
A．B．C．D．
變式4.函數(shù)（a、b為正數(shù)）的嚴(yán)格減區(qū)間是（ ）．
A．B．與
C．與D．
【解題方法總結(jié)】
求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟如下：
（1）求的定義域
（2）求出．
（3）令，求出其全部根，把全部的根在軸上標(biāo)出，穿針引線．
（4）在定義域內(nèi)，令，解出的取值范圍，得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；令，解出的取值范圍，得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．若一個(gè)函數(shù)具有相同單調(diào)性的區(qū)間不只一個(gè)，則這些單調(diào)區(qū)間不能用“”、“或”連接，而應(yīng)用“和”、“，”隔開．
題型三：已知含量參函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)或不單調(diào)或存在單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)范圍
例3.若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．m>1
變式5.若函數(shù)且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
變式6.已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
變式7.若函數(shù)在其定義域的一個(gè)子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
變式8.已知函數(shù)（）在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
【解題方法總結(jié)】
（1）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析導(dǎo)函數(shù)的形式及圖像特點(diǎn)，如一次函數(shù)最值落在端點(diǎn)，開口向上的拋物線最大值落在端點(diǎn)，開口向下的拋物線最小值落在端點(diǎn)等．
（2）已知區(qū)間上函數(shù)不單調(diào)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在變號(hào)零點(diǎn)，通常用分離變量法求解參變量范圍．
（3）已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增或遞減區(qū)間，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上大于零或小于零有解．
題型四：不含參數(shù)單調(diào)性討論
例4.已知函數(shù)．
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)討論在上的單調(diào)性．
例5.已知函數(shù)，.
(1)若，求a的取值范圍；
(2)求函數(shù)在上的單調(diào)性；
【解題方法總結(jié)】
確定不含參的函數(shù)的單調(diào)性，按照判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟即可，但應(yīng)注意一是不能漏掉求函數(shù)的定義域，二是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能用并集，要用“逗號(hào)”或“和”隔開．
題型五：含參數(shù)單調(diào)性討論
情形一：函數(shù)為一次函數(shù)
例6.已知函數(shù)．討論的單調(diào)性；
變式9.已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性；
情形二：函數(shù)為準(zhǔn)一次函數(shù)
變式10.已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；
(2)設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性；
情形三：函數(shù)為二次函數(shù)型
方向1、可因式分解
變式11.已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性；
【解題方法總結(jié)】
1、關(guān)于含參函數(shù)單調(diào)性的討論問題，要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的情況來作出選擇，通過對(duì)新函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的討論，從而得到原函數(shù)對(duì)應(yīng)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，最終判斷原函數(shù)的增減．（注意定義域的間斷情況）．
2、需要求二階導(dǎo)的題目，往往通過二階導(dǎo)的正負(fù)來判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合一階導(dǎo)函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值或零點(diǎn)可判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段．
3、利用草稿圖像輔助說明．
情形四：函數(shù)為準(zhǔn)二次函數(shù)型
變式12.已知.討論函數(shù)的單調(diào)性；
單調(diào)性問題 隨堂檢測(cè)
1.設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（ ）
A． B． C． D．
2.函數(shù)（ ）
A．嚴(yán)格增函數(shù)
B．在上是嚴(yán)格增函數(shù)，在上是嚴(yán)格減函數(shù)
C．嚴(yán)格減函數(shù)
D．在上是嚴(yán)格減函數(shù)，在上是嚴(yán)格增函數(shù)
3.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
4.三次函數(shù)在上是減函數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
5.已知函數(shù).若對(duì)任意，，且，都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
6.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
7.已知函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
8.已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，則（ ）
A．3B．C．2D．
9.已知函數(shù)，其中.討論函數(shù)的單調(diào)性；

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