知識(shí)點(diǎn)一：基本定理公式
（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則
（2）面積公式：
（r是三角形內(nèi)切圓的半徑，并可由此計(jì)算R，r．）
知識(shí)點(diǎn)二：相關(guān)應(yīng)用
（1）正弦定理的應(yīng)用
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①邊化角，角化邊
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②大邊對(duì)大角 大角對(duì)大邊
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③合分比：
（2）內(nèi)角和定理：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①
同理有：，．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③斜三角形中，
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④；
= 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤在中，內(nèi)角成等差數(shù)列．
知識(shí)點(diǎn)三：實(shí)際應(yīng)用
（1）仰角和俯角
在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角（如圖①）．
（2）方位角
從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α（如圖②）．
（3）方向角：相對(duì)于某一正方向的水平角．
（1）北偏東α，即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向（如圖③）．
（2）北偏西α，即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向．
（3）南偏西等其他方向角類似．
（4）坡角與坡度
（1）坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)（如圖④，角θ為坡角）．
（2）坡度：坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比（如圖④，i為坡度）．坡度又稱為坡比．
【解題方法總結(jié)】
1、方法技巧：解三角形多解情況
在△ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況如下：
2、在解三角形題目中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：
（1）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；
（2）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；
（3）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；
（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；
（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；
（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到．
3、三角形中的射影定理
在 中，；；．
題型一：正弦定理的應(yīng)用
例1．在中，設(shè)命題p：，命題q：是等邊三角形，那么命題p是命題q的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
例2．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若且，，則（ ）
A．B．C．8D．4
變式1．△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則（ ）
A．B．C．D．
變式2．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c．若，則的值為（ ）
A．B．C．1D．
變式3．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，則c＝（ ）
A．4B．6C．D．
【解題方法總結(jié)】
（1）已知兩角及一邊求解三角形；
（2）已知兩邊一對(duì)角；．
（3）兩邊一對(duì)角，求第三邊．
題型二：余弦定理的應(yīng)用
例3．設(shè)△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，且，則（ ）
A．B．C．D．
例4．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，則（ ）
A．0B．1C．2D．
變式4．在中，角的對(duì)邊分別為，且，則的值為（ ）
A．1B．C．D．2
【解題方法總結(jié)】
（1）已知兩邊一夾角或兩邊及一對(duì)角，求第三邊．
（2）已知三邊求角或已知三邊判斷三角形的形狀，先求最大角的余弦值，
若余弦值
題型三：判斷三角形的形狀
例5．在中內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則的形狀為（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
例6．在中，若，則的形狀為（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
變式5．已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為．若，則該三角形的形狀一定是（ ）
A．鈍角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．銳角三角形
變式6．設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若則的形狀為（ ）
A．等腰三角形B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形D．銳角三角形
變式7．設(shè)的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則的形狀為（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等邊三角形
【解題方法總結(jié)】
（1）求最大角的余弦，判斷是銳角、直角還是鈍角三角形．
（2）用正弦定理或余弦定理把條件的邊和角都統(tǒng)一成邊或角，判斷是等腰、等邊還是直角三角形．
題型四：正、余弦定理與的綜合
例7．銳角是單位圓的內(nèi)接三角形，角的對(duì)邊分別為，且，則等于（ ）
A．2B．C．D．1
例8．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，.
(1)求證：；
(2)若，求.
變式8．已知的三個(gè)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．
(1)若，求；
(2)求的值．
變式9．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c，若的面積是，則（ ）
A．B．C．D．
變式10．已知a，b，c分別為的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，.
(1)求證：a，b，c成等比數(shù)列；
(2)若，求的值.
【解題方法總結(jié)】
先利用平面向量的有關(guān)知識(shí)如向量數(shù)量積將向量問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)形式，再利用三角函數(shù)轉(zhuǎn)化求解．
題型五：倍角關(guān)系
例9．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c（a，b，c互不相等），且滿足.
（1）求證：；
（2）若，求.
例10．在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，若．
(1)求證：；
(2)若，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，，，求邊長(zhǎng)．
題型六：三角形中的面積與周長(zhǎng)問題
例11．在中，若，且，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
例12．在中，內(nèi)角A，，所對(duì)的邊分別為，，，，為上一點(diǎn)，，，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
變式11．在中，，，分別為角，，的對(duì)邊，已知，，且，則（ ）
A．B．C．D．
變式12．已知向量（，），（，），.
(1)求函數(shù)的最大值及相應(yīng)x的值；
(2)在△ABC中，角A為銳角且，，BC=2，求的面積.
【解題方法總結(jié)】
解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理，以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．
解三角形 隨堂檢測(cè)
1.在中，角所對(duì)的邊分別為，若，則（ ）
A．B．C．D．
2.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，且，則（ ）
A．B．C．D．
3.，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊．已知，，則外接圓的面積為（ ）
A．B．C．D．
4.在中，角的對(duì)邊分別為，若，則（ ）
A．B．C．或D．或
5.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為滿足且，則（ ）
A． B． C． D．
6.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且，則形狀為（ ）
A．銳角三角形B．直角三角形
C．鈍角三角形D．等腰直角三角形
7.設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，且，則的形狀為（ ）
A．銳角三角形B．直角三角形
C．鈍角三角形D．等腰三角形
8.在中，，則（ ）
A．B．C．D．
9.已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，．
(1)求；
(2)若，求．
10.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知
(1)求角的大??；
(2)若，，求邊及的值．
11.已知分別為銳角ABC內(nèi)角的對(duì)邊，．
(1)證明：；
(2)求的取值范圍．
定理
正弦定理
余弦定理
公式
；
；
．
常見變形
（1），，；
（2），，；
；
；
．
A為銳角
A為鈍角或直角
圖形
關(guān)系式
解的個(gè)數(shù)
一解
兩解
一解
一解
無(wú)解

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