若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x＝a處的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，，而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)，右側(cè)，則點(diǎn)a叫做函數(shù)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)的極小值．
(2)函數(shù)的極大值與極大值點(diǎn)
若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x＝b處的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，，而且在點(diǎn)x＝b 附近的左側(cè)，右側(cè)，則點(diǎn)b叫做函數(shù)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)的極大值．
（3）極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
是極值點(diǎn)
是極值點(diǎn)，即：是為極值點(diǎn)的必要非充分條件
函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)
(1)函數(shù)f(x)在[a，b]上有最值的條件
如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步驟
①求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；
②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．
考點(diǎn)一、求函數(shù)的極值或極值點(diǎn)
【例1】已知函數(shù)在上滿足，當(dāng)時(shí)取得極值.
（1）求的單調(diào)區(qū)間和極大值；
（2）證明：對任意、，不等式恒成立.
【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，極大值為；（2）證明見解析.
【分析】（1）由可求得，由題意得出可解出、的值，可得出函數(shù)的解析式，然后利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極大值；
（2）求得函數(shù)在區(qū)間上的最大值，最小值，由此可得出，進(jìn)而可證得結(jié)論.
【詳解】（1），由，得，可得.
，，
由于函數(shù)在處取得極值，則，解得，，
，從而.
當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上是增函數(shù)；
在時(shí)，，則函數(shù)在上是減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上是增函數(shù).
所以，函數(shù)在處取得極大值，即；
（2）由（1）知，函數(shù)在上是減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，.
所以，對任意、，不等式.
【例2】已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸，求的值；
（2）求函數(shù)的極值；
（3）當(dāng)時(shí)，若直線與曲線沒有公共點(diǎn)，求的最大值.
【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極小值；當(dāng)，在處取得極小值，無極大值（3）的最大值為
【分析】（1）求出，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解方程即可；（2）解方程，注意分類討論，以確定的符號(hào)，從而確定的單調(diào)性，得極大值或極小值（極值點(diǎn)多時(shí)，最好列表表示）；（3）題意就是方程無實(shí)數(shù)解，即關(guān)于的方程在上沒有實(shí)數(shù)解．一般是分類討論，時(shí)，無實(shí)數(shù)解，時(shí)，方程變?yōu)?，因此可通過求函數(shù)的值域來求得的范圍．
【詳解】（1）由,得．又曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸,
得,即,解得．
（2）,①當(dāng)時(shí),,為上的增函數(shù),所以函數(shù)無極值．
②當(dāng)時(shí),令,得,．,;,．
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
故在處取得極小值,且極小值為,無極大值．
綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)無極小值
當(dāng),在處取得極小值,無極大值．
（3）當(dāng)時(shí),，令,
則直線:與曲線沒有公共點(diǎn),等價(jià)于方程在上沒有實(shí)數(shù)解．
假設(shè),此時(shí),,又函數(shù)的圖象連續(xù)不斷,由零點(diǎn)存在定理,可知在上至少有一解,與“方程在上沒有實(shí)數(shù)解”矛盾,故．
又時(shí),,知方程在上沒有實(shí)數(shù)解．所以的最大值為．
解法二:
（1）（2）同解法一．
（3）當(dāng)時(shí),．直線:與曲線沒有公共點(diǎn),
等價(jià)于關(guān)于的方程在上沒有實(shí)數(shù)解,即關(guān)于的方程:（*）
在上沒有實(shí)數(shù)解．
①當(dāng)時(shí),方程（*）可化為,在上沒有實(shí)數(shù)解．
②當(dāng)時(shí),方程（*）化為．令,則有．令,得,
當(dāng)變化時(shí),的變化情況如下表:
當(dāng)時(shí),,同時(shí)當(dāng)趨于時(shí),趨于,從而的取值范圍為．
所以當(dāng)時(shí),方程（*）無實(shí)數(shù)解, 解得的取值范圍是．
綜上,得的最大值為．
【變式2】已知函數(shù)
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，證明當(dāng)時(shí)，
（Ⅲ）如果，且，證明
【答案】（Ⅰ）f(x)在()內(nèi)是增函數(shù)，在()內(nèi)是減函數(shù)．函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值f(1)且f(1)= （Ⅱ）見解析（Ⅲ）見解析
【詳解】（Ⅰ）解：f’，令f’(x)=0,解得x=1，當(dāng)x變化時(shí)，f’(x)，f(x)的變化情況如下表
所以f(x)在()內(nèi)是增函數(shù)，在()內(nèi)是減函數(shù)．函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值f(1)且f(1)=
（Ⅱ）證明：由題意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x) 令F(x)=f(x)-g(x),即
于是
當(dāng)x>1時(shí)，2x-2>0,從而’(x)>0,從而函數(shù)F（x）在[1,+∞)是增函數(shù)．
又F(1)=0，所以x>1時(shí)，有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).
（Ⅲ）證明：（1）若
（2）若
根據(jù)（1）（2）得
由（Ⅱ）可知，>,則=，所以>,從而>.因?yàn)?，所以，又由（Ⅰ）可知函?shù)f(x)在區(qū)間（-∞，1）內(nèi)事增函數(shù)，所以>,即>2.
考點(diǎn)二、根據(jù)函數(shù)極值或極值點(diǎn)求參數(shù)值或范圍
【例2】（多選）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（ ）．
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由已知可得在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個(gè)不等的正根判斷作答.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，
因?yàn)楹瘮?shù)既有極大值也有極小值，則函數(shù)在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，而，因此方程有兩個(gè)不等的正根，于是，即有，，，顯然，即，A錯(cuò)誤，BCD正確.故選：BCD
【變式3】已知函數(shù)，若函數(shù)在處取得極小值，則的取值范圍為 .
【答案】
【分析】考查 的單調(diào)性，令，即 或，單調(diào)遞增，設(shè)方程 的根為，通過對分類討論，研究函數(shù) 的單調(diào)性即可得出．
【詳解】，
考查 的單調(diào)性，令，即，
或，即 或，
單調(diào)遞增，設(shè)方程 的根為
①若，則不等式組 的解集為和，，
此時(shí) 在和，上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，與在處取極小值矛盾；
②若，則不等式組 的解集為和，此時(shí)在上單調(diào)遞增，與在處取極小值矛盾；③若，則不等式組 的解集為 和，
此時(shí)在 和上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，滿足在處取極小值，
由單調(diào)性，．綜上所述：．則的取值范圍為．
故答案為：．
【變式4】已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)極值點(diǎn)的定義，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的定義，通過構(gòu)造函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.
【詳解】由有兩個(gè)不同實(shí)根，且，
設(shè)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，
顯然當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，圖象如下：
所以有，則有，當(dāng)時(shí)，即.，
時(shí)，，故答案為：
考點(diǎn)三、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值
【例3】函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，從而判斷出在區(qū)間上的最小值和最大值.
【詳解】，所以在區(qū)間和上，即單調(diào)遞增；在區(qū)間上，即單調(diào)遞減，又，，，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.故選：D
【變式5】已知函數(shù)，其中a為實(shí)數(shù).
(1)若，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；
(2)若函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且.求證：.
【答案】(1)0；(2)證明見解析
【分析】利用導(dǎo)函數(shù)的判斷函數(shù)的單調(diào)性即可求最小值.
先根據(jù)，為函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，可得，為的兩根，可得，帶入后即證，再根據(jù)，和的關(guān)系，消元后只需要證明即，結(jié)合，即證.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，，
令，，則，所以在上單調(diào)遞增，故，
所以，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為．
（2）依題意，在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且．
所以在R上有兩個(gè)不等的實(shí)根，，且．令，，
所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得最小值，
要使得在R上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，必須滿足得，
此時(shí)，故．因?yàn)?，是的兩個(gè)不等的實(shí)根，
所以，即要證：，即證：，
只要證：．下面首先證明：．要證：，即證：，
因，在上單調(diào)遞增，只要證：，即證：，
令，，則，
所以在上單調(diào)遞減，，即．
因?yàn)?，所以．所以，故?br>要證：，只要證：，即證：，只要證：，即證：，
事實(shí)上，，顯然成立，得證．
【變式6】已知函數(shù)，，.
(1)討論函數(shù)在區(qū)間上的最大值；
(2)確定k的所有可能取值，使得存在，對任意的，恒有.
【答案】(1)答案詳見解析；(2)
【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，求得，對進(jìn)行分類討論，由此求得所求的最大值.
（2）對進(jìn)行分類討論，化簡不等式，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來求得的值.
【詳解】（1），，則，
當(dāng)時(shí)，對任意恒成立，又，所以恒成立，
所以在上遞減，所以的最大值為.
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間，遞增；在區(qū)間遞減.
所以的最大值是.
（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，對任意，，要使成立，顯然.
當(dāng)時(shí)，，令，
則，對于方程，，
所以方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，
由于，所以，故在區(qū)間，遞增，
此時(shí)，即，所以滿足題意的不存在.
當(dāng)時(shí)，由（1）知，存在，使得對任意的恒有，
此時(shí)，
令，，
對于方程，，
所以方程兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，
由于，所以，所以在區(qū)間遞增，
此時(shí)即，
即與中較小者為，則當(dāng)時(shí)，恒有，所以滿足題意的不存在.
當(dāng)時(shí)，由（1）知當(dāng)時(shí)，，
令，，
所以當(dāng)時(shí)，遞減，所以在區(qū)間上，
故當(dāng)時(shí)，恒有，此時(shí)任意實(shí)數(shù)滿足題意.
綜上所述，.
考點(diǎn)四、由函數(shù)最值求參數(shù)值或范圍
【例4】當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】根據(jù)題意可知，即可解得，再根據(jù)即可解出．
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時(shí)取最大值，滿足題意，即有．故選：B.
【變式7】已知與有相同的最小值.
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)已知，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求證：.
【答案】(1)1；(2)證明見解析
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求得和的最小值，由它們相等可得參數(shù)的值；
（2）由有零點(diǎn)得，不妨令，利用導(dǎo)數(shù)得出，令，證明，從而證得，令，證明，從而證明，再由不等式得證結(jié)論成立．
【詳解】（1），則，
若單調(diào)遞減，若單調(diào)遞增．.
，若，則無最小值，.
若單調(diào)遞減，若單調(diào)遞增，
，，，，
令，則，在上單調(diào)遞增.
又，；
（2），，，則，
時(shí)，，時(shí)，，
在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，不妨令，則，
①令，單調(diào)遞增，，
∴，，，，
②令，單調(diào)遞增，，
，，由上知，，
，，．
【基礎(chǔ)過關(guān)】
一、多選題
1．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)槭堑臉O大值點(diǎn)，以下結(jié)論一定正確的是（ ）
A．B．是的極大值點(diǎn)
C．是的極小值點(diǎn)D．是的極大值點(diǎn)
【答案】BC
【分析】根據(jù)極值的定義結(jié)合函數(shù)的對稱性進(jìn)行判斷即可.
【詳解】是的極大值點(diǎn)．則存在區(qū)間，，對任意有，不一定是最大值，A錯(cuò)誤；的圖象與的圖象關(guān)于軸對稱，因此，對任意有，是的極大值點(diǎn)，B正確；的圖象與的圖象關(guān)于軸對稱，因此對任意有，C正確；由BC的推理可知是的極小值點(diǎn)，D錯(cuò)誤．故選：BC．
2.已知實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，且函數(shù)，當(dāng)時(shí)取到極大值，則等于 .
【答案】
【分析】通過導(dǎo)函數(shù)，求出極值，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】令，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極大值，極大值為，所以，故，又成等比數(shù)列，所以，
故答案為：.
3.設(shè)函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；
（2）當(dāng)，，方程有唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）先寫解析式，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)函數(shù)單調(diào)性并求最值即可；
（2）先寫解析式代入方程，把方程有解問題轉(zhuǎn)化成構(gòu)造函數(shù)的零點(diǎn)問題，研究其導(dǎo)數(shù)、最值情況，構(gòu)建關(guān)系求解參數(shù)即可.
【詳解】解：（1）依題意，知的定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，
令，解得．（∵），
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減．
所以的極大值為，此即為最大值；
（2）由，，得
因?yàn)榉匠逃形ㄒ粚?shí)數(shù)解，所以有唯一實(shí)數(shù)解，
設(shè)，則，令，即．
因?yàn)椋?，所以（舍去），?br>當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，取最小值．因?yàn)橛形ㄒ唤?，所以?br>則，即．所以，
因?yàn)椋? （*）設(shè)函數(shù)，
易見當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，所以至多有一解．
因?yàn)椋苑匠蹋?）的解為，即，解得．
4.已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)極小值為，無極大值；(2)
【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求解函數(shù)的極值；
（2）由不等式參變分離為在恒成立，構(gòu)造函數(shù)后，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，即可求參數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
則在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，，單調(diào)遞減，
，，單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極小值為，無極大值.
（2）令，則即，因?yàn)?br>即在時(shí)恒成立，令，
，故單調(diào)遞增，
所以，故．
5.已知為函數(shù)的極值點(diǎn)．
(1)求；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，．
【答案】(1)；(2)證明見解析
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意，即可求出的值，再檢驗(yàn)即可；
（2）設(shè)，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到，再由零點(diǎn)存在性定理得到存在唯一，使，即可得到的單調(diào)性，再結(jié)合特殊值，即可證明.
【詳解】（1）定義域?yàn)椋?，由，解得?br>若時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，
所以在處取得極大值，符合題意，因此．
（2）設(shè)，則，又，
因?yàn)?，，所以存在唯一，使?br>且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．由得，所以，
因此當(dāng)時(shí)，，而，于是當(dāng)時(shí)，．
課后訓(xùn)練
1.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
【答案】
【分析】求函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，由已知可得有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，作出其圖象，由此可求a的取值范圍.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)，
由已知有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，所以有兩個(gè)不相等正實(shí)數(shù)根，
令，則，由，得.
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減.
又，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，由以上信息可得，函數(shù)的圖象大致如下：

所以a的取值范圍是.故答案為：.
2.已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；
(2)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明.
【答案】(1)；(2)有個(gè)零點(diǎn)，證明見解析
【分析】（1）對求導(dǎo)，令，，得出在的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，再比較的大小，即可得出答案.
（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點(diǎn)存在性定理，討論，和時(shí)，的正負(fù)，即可得出證明.
【詳解】（1）的定義域?yàn)椋剩?br>令，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，且，，
所以由零點(diǎn)存在定理可知，在區(qū)間存在唯一的，使
又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又因?yàn)?，?br>所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.
（2）有個(gè)零點(diǎn)，證明如下：因?yàn)?，，若，?br>所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，，
結(jié)合零點(diǎn)存在定理可知，在區(qū)間有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，
若，則，則，若，因?yàn)?，所以?br>綜上，函數(shù)在有且僅有一個(gè)零點(diǎn).
3.已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；
(2)若不等式在上恒成立，求可取的最大整數(shù)值.
【答案】(1)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；(2)4
【分析】（1）求出，然后證明只有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)即可；
（2）條件不等式可轉(zhuǎn)化為，然后求出，分、兩種情況得到的單調(diào)性，然后可得到成立，然后利用導(dǎo)數(shù)可分析出答案.
【詳解】（1）已知，可得
令，則，
函數(shù)單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)先增后減，
當(dāng)時(shí)，，
其中，∴，∴
當(dāng)時(shí)，，
∴函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，∴函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.
（2）變形，得，整理得，
令，則，∵，∴，
若，則恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，
由，∴，∴，∴，此時(shí)可取的最大整數(shù)為2，
若，令，則，令，則，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以在區(qū)間上有最小值，，
于是問題轉(zhuǎn)化為成立，求的最大值，
令，則，∵當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，∴在處取得最大值，
∵，∴，∵，，
，此時(shí)可取的最大整數(shù)為4.
綜上，可取的最大整數(shù)為4.
隨堂檢測
1.設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．是奇函數(shù) B．當(dāng)時(shí)，有最小值2
C．在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．有兩個(gè)極值點(diǎn)
【答案】BCD
【分析】對A：根據(jù)奇偶性定義判斷；對B：使用基本不等式求解；對C：根據(jù)的單調(diào)性及平移判斷；對D：用導(dǎo)數(shù)結(jié)合偶函數(shù)判斷.
【詳解】，對A：定義域?yàn)椋?，故是偶函?shù)，故A錯(cuò)誤；對B：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，故B正確；
對C：當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，而可以由向右平移1個(gè)單位得到，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，故C正確；
對D：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故為極小值點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)只有一個(gè)極小值點(diǎn)，
因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以有兩個(gè)極值點(diǎn)，故D正確.故選：BCD
2.已知函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，則以下結(jié)論正確的為（ ）
A．B．
C．若，則D．
【答案】BD
【分析】由題可得方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)的大致圖象，然后結(jié)合條件逐項(xiàng)分析即得.
【詳解】由題可得，則即，顯然，
若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，即方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，
即的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，且橫坐標(biāo)分別為，，
又，所以由可得，由可得，
所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
對A，要使函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，則，A錯(cuò)誤；
對B，當(dāng)時(shí)，的圖象如圖，易知，B正確；
對C，若，則，得，故，C錯(cuò)誤；
對D，因?yàn)椋?，又，所以，，所以，故，所以，D正確．故選：BD．
3.若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則整數(shù)的取值可以是 ．
【答案】（答案不唯一，、均可）
【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，作出圖形，求出使得的的值，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上有最小值可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，解之即可.
【詳解】因?yàn)椋瑒t.
由可得，由可得或，
所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、，
所以，函數(shù)的極大值為，極小值為，令，其中，則，解得，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上存在最小值，則，解得，所以，整數(shù)的取值集合為.故答案為：（答案不唯一，、均可）.
4.已知函數(shù)在處取得極值-14.
(1)求a，b的值；
(2)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(3)求函數(shù)在上的最值.
【答案】(1)；(2)
(3)函數(shù)在上的最小值為，最大值為.
【分析】(1)求導(dǎo)，利用在處的導(dǎo)數(shù)值為0，并且，解之檢驗(yàn)即可求解；
(2)結(jié)合（1）的結(jié)果，求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，代入即可求解；
(3) 結(jié)合（1）的結(jié)果，列出在時(shí)，隨的變化，的變化情況，進(jìn)而即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)，所以，又函數(shù)在處取得極值.
則有，即，解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，符合題意，故.
（2）由（1）知：函數(shù)，則，所以，
又因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
也即.
（3）由（1）知：函數(shù)，則，令，解得：，
在時(shí)，隨的變化，的變化情況如下表所示：
由表可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值；
因?yàn)椋?br>故函數(shù)在上的最小值為，最大值為.
5.已知函數(shù).
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)求在區(qū)間上的最大值；
(3)設(shè)實(shí)數(shù)使得對恒成立，寫出的最大整數(shù)值，并說明理由.
【答案】(1)；(2)；(3)，理由見解析
【分析】（1）求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，即切線斜率，求出，即可得出切線方程；
（2）求出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，求出最值即可；
（3）將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為在上恒成立.構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性和最小值，進(jìn)而得證.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以，則，又，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
（2）令，
則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.
因?yàn)?，，所以，使?
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
又，，所以.
（3）滿足條件的的最大整數(shù)值為.理由如下：
不等式恒成立等價(jià)于恒成立.令，
當(dāng)時(shí)，，所以恒成立.當(dāng)時(shí)，令，，，
與的情況如下：
所以，當(dāng)趨近正無窮大時(shí)，，且無限趨近于0，
所以的值域?yàn)?，因?yàn)椋缘淖钚≈敌∮谇掖笥?
所以的最大整數(shù)值為.
6.已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值；
(2)若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；
（2）求導(dǎo)得，按照、及結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，即可得解.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
所以；
（2），則，
當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
所以，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)，不合題意；
當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；
在上，，單調(diào)遞減；
又，由（1）得，即，所以，
當(dāng)時(shí)，，
則存在，使得，所以僅在有唯一零點(diǎn)，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，又，所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；
在上，，單調(diào)遞減；此時(shí)，
由（1）得當(dāng)時(shí)，，，所以，
此時(shí)存在，使得，
所以在有一個(gè)零點(diǎn)，在無零點(diǎn)，所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；
綜上，a的取值范圍為.
7.已知函數(shù) ．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間
(2)若函數(shù)在的最小值為，求的最大值．
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為；(2) ．
【分析】（1）求導(dǎo)并判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)，進(jìn)一步可得單調(diào)區(qū)間；
（2）求導(dǎo)，對進(jìn)行分類討論，根據(jù)函數(shù)在的最小值為，求得的取值范圍，從而得到的最大值．
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，
令，在R上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上遞減，在上遞增，
故， 所以恒成立，僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
即的單調(diào)遞增區(qū)間為
（2）
當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，則在取得最小值，符合題意；
當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，， 時(shí)，，
因?yàn)樽钚≈禐椋缘?，即?br>當(dāng)時(shí)，由（1）可知單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)無最小值，不合題意；
當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，， 時(shí)，，
則有，不合題意；
綜上可得，的最大值 ．
減
增
X
()
1
()
f’(x)
+
0
-
f(x)
極大值
單調(diào)遞減
單調(diào)遞增
單調(diào)遞減
1

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