1、正弦定理
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(R為△ABC外接圓的半徑)．
2、余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccs A；b2＝c2＋a2－2cacs B；c2＝a2＋b2－2abcs C.
3、三角形的面積公式
(1)S△ABC＝eq \f(1,2)aha(ha為邊a上的高)； (2)S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B；
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑)．
考向一 運(yùn)用正余弦定理解三角形
【例1】在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知，，成等差數(shù)列.
（1）求角B的大?。?br>（2）若，求的值.
【變式1-1】記的內(nèi)角 的對邊分別為 ，．
（1）證明：；
（2）若，求．
【變式1-2】已知在中，．
(1)求；
(2)設(shè)，求邊上的高．
方法總結(jié)：本題考查正弦定理、余弦定理的公式．在解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．考查基本運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化與化歸思想．
考向二 利用正、余弦定理判定三角形形狀
【例2】（多選）在中，角、、的對邊分別是、、．下面四個結(jié)論正確的是（ ）
A．，，則的外接圓半徑是4
B．若，則
C．若，則一定是鈍角三角形
D．若，則
【變式2-1】在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若 eq \f(sin A,sin B)＝ eq \f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，則△ABC的形狀為( )
A. 直角三角形 B. 等腰非等邊三角形 C. 等邊三角形 D. 鈍角三角形
【變式2-2】在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若c－a cs B＝(2a－b)cs A，則△ABC的形狀為( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
【變式2-3】在中，若，則的形狀為（ ）
A. 鈍角三角形B. 直角三角形C. 等邊三角形D. 等腰直角三角形
方法總結(jié)： 判定三角形形狀的途徑：①化邊為角，通過三角變換找出角之間的關(guān)系；②化角為邊，通過代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系．正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁．考查轉(zhuǎn)化與化歸思想．
考點(diǎn)三 運(yùn)用正余弦定理研究三角形的面積
考向三 運(yùn)用正余弦定理解決三角形的面積、周長
【例3】已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，△ABC的面積為 eq \f(a2,3sin A).
(1) 求sin B sin C的值；
(2) 若6cs B cs C＝1，a＝3，求△ABC的周長．
【變式3-1】在中，，，，，，若的外接圓的半徑為，則角___________.
【變式3-2】已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，sin A＋ eq \r(3)cs A＝0，a＝2 eq \r(7)，b＝2.
(1) 求c的值；
(2) 設(shè)D為邊BC上的一點(diǎn)，且AD⊥AC，求△ABD的面積．
【變式3-3】在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.
（1）求角C的大?。?br>（2）若，，求的面積.
方法總結(jié)：1．求三角形面積的方法
(1)若三角形中已知一個角(角的大小或該角的正、余弦值)，結(jié)合題意求解這個角的兩邊或該角的兩邊之積，代入公式求面積．
(2)若已知三角形的三邊，可先求其一個角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面積．總之，結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇面積公式是解題的關(guān)鍵．
2．已知三角形面積求邊、角的方法
(1)若求角，就尋求夾這個角的兩邊的關(guān)系，利用面積公式列方程求解．
(2)若求邊，就尋求與該邊(或兩邊)有關(guān)聯(lián)的角，利用面積公式列方程求解．
考向四 利用正弦、余弦定理解決范圍問題
【例4】在①，②，③．
這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并解答．
已知銳角三角形的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，__________，且．
（1）求角C的值；
（2）求a的取值范圍．
注：如果選擇多個條件分別解答，那么按第一個解答計分．
【變式4-1】已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足．
（1）求；
（2）若，為邊的中點(diǎn)，求的最小值．
【變式4-2】在①；②；③，這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并進(jìn)行解答.問題：在中，內(nèi)角的對邊分別為，且__________.
（1）求角；
（2）若是銳角三角形，且，求的取值范圍.
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
考向五 利用正弦、余弦定理解決多邊形的問題
【例5】已知在四邊形中，，，，且，．
（1）求；
（2）求．
【變式5-1】在平面四邊形ABCD中，∠BAD＝2∠ACB＝4∠BAC，AB＝2，BC＝－，CD＝．
（1）求∠ACB的大小；
（2）求四邊形ABCD的面積．
正余弦定理 隨堂檢測
1.在中，“”是“為鈍角三角形”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
2.在△ABC中，若AB＝eq \r(13)，BC＝3，C＝120°，則AC等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3. 已知△ABC，a＝eq \r(5)，b＝eq \r(15)，A＝30°，則c等于( )
A．2eq \r(5) B.eq \r(5) C．2eq \r(5)或eq \r(5) D．均不正確
4.在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面積為eq \f(\r(3),2)，則BC的長為( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \r(3) C．2eq \r(3) D．2
5.若在中，角的對邊分別為，則（ ）
A. 或B. C. D. 以上都不對
6.在中，內(nèi)角的對邊分別是，若，且，則（ ）
A. B. C. D.
7.在銳角三角形中，已知，，分別是角，，的對邊，且，，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
8.記內(nèi)角的對邊分別為，已知．
（1）求；
（2）若，求面積．
9.在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足．
（1）求角A；
（2）如圖，若，點(diǎn)D是外一點(diǎn)，，設(shè)，求平面四邊形面積的最大值及相應(yīng)的值．
10.給出以下三個條件：①且；②，； ③；請從這三個條件中任選一個將下面的題目補(bǔ)充完整，并求解．
在銳角△ABC中，，____．
（1）求角B；
（2）求△ABC的周長l的取值范圍．
正弦定
理的常
見變形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)；
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(4)eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝eq \f(a,sin A).
余弦定理的常見變形
(1)cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；(2)cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ca)；(3)cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab).

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