知識(shí)梳理
1. 兩角和與差的余弦、正弦、正切公式
sin(α±β)＝sinαcsβ±csαsinβ，簡(jiǎn)記作S(α±β)；
cs(α±β)＝csαcsβ?sinαsinβ，簡(jiǎn)記作C(α±β)；
tan(α±β)＝eq \f(tanα±tanβ,1?tanα·tanβ)，簡(jiǎn)記作T(α±β)．
2. 二倍角公式
sin2α＝2sinα·csα；
tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α)；
cs2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α．
3. 輔助角公式
y＝asinx＋bcsx＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中φ為輔助角，且其中csφ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，tanφ＝eq \f(b,a).
4. 公式的逆用及有關(guān)變形
tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanα·tanβ)；
sinα±csα＝eq \r(2)sin(α±eq \f(π,4))；
sinα·csα＝eq \f(1,2)sin2α；
1＋sin2α＝(sinα＋csα)2；
1－sin2α＝(sinα－csα)2；
sin2α＝eq \f(1－cs2α,2)；
cs2α＝eq \f(1＋cs2α,2)；
tan2α＝eq \f(1－cs2α,1＋cs2α)(降冪公式)；
1－cs2α＝2sin2α；1＋cs2α＝2cs2α(升冪公式)
考向一 利用兩角和(差)公式運(yùn)用
【例1】已知為銳角，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】運(yùn)用兩角和與差的正弦公式和同角的商數(shù)關(guān)系，計(jì)算即可得到所求值
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以，所以.故選：B
【變式1-1】已知角的終邊過點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由任意三角形的定義求出，由兩角差的正弦公式代入即可求出.
【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊過點(diǎn)，由任意三角形的定義知：，
.故選：D.
【變式1-2】下列選項(xiàng)中，與的值相等的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】，，故A錯(cuò)誤；
，故B正確；
，故C正確；
，故D錯(cuò)誤．故選：BC
【變式1-3】已知是第二象限角，且，，則____.
【答案】
【解析】由是第二象限角，且，可得，，
由，可得，代入，可得，
故答案為：.
方法總結(jié)：考查兩角和差的三角函數(shù)．公式的結(jié)構(gòu)特征要記牢，在求值、化簡(jiǎn)時(shí)，注意觀察角度、函數(shù)名、所求角與已知角之間的差異，再選擇適當(dāng)?shù)娜枪胶愕茸冃危蠼菃栴}的關(guān)鍵在于選擇恰當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)，選擇的標(biāo)準(zhǔn)是，在角的范圍內(nèi)根據(jù)函數(shù)值，角有唯一解．本題考查邏輯思維能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想．
考向二 二倍角公式的運(yùn)用
【例2】（多選）下列各式的值等于的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】】，故錯(cuò)誤，，故正確
，故正確，，故錯(cuò)誤，綜上所述，故選
【變式2-1】已知，則的值為（ ）
A．B．C．－D．
【答案】B
【解析】
，
故選：B
【變式2-2】化簡(jiǎn)： （ eq \f(1,tan \f(α,2))－tan eq \f(α,2)）·（1＋tan α·tan eq \f(α,2)）＝ ；
【答案】 eq \f(2,sin α).
【解析】 原式＝ eq \f(cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2),sin\f(α,2)cs \f(α,2))· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(sin α,cs α)·\f(sin \f(α,2),cs \f(α,2))))＝ eq \f(cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2),sin\f(α,2)cs \f(α,2))· eq \f(cs αcs \f(α,2)＋sin αsin \f(α,2),cs αcs \f(α,2))＝ eq \f(2cs α,sin α)· eq \f(cs \f(α,2),cs αcs \f(α,2))＝ eq \f(2,sin α).
方法總結(jié)：本題考查二倍角公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用．三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要注意以下3點(diǎn)：①看角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分，正確使用公式；②看函數(shù)名稱之間的差異，確定使用的公式，常見的有“切化弦”；③看結(jié)構(gòu)特征，找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升冪”等．本題考查運(yùn)算求解能力，邏輯思維能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想．
考向三 公式的綜合運(yùn)用
【例3】計(jì)算（ ）
A．1B．﹣1C．D．
【答案】B
【解析】
故選：B
【變式3-1】化簡(jiǎn)______．
【答案】
【解析】因?yàn)?．故答案為：
【變式3-2】已知，，其中，為銳角，以下判斷正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】因?yàn)?，，其中，為銳角，故
所以：，故A正確；因?yàn)椋?br>所以，故B錯(cuò)誤；
可得，故C正確；
可得，所以，故D錯(cuò)誤．故選:AC
【變式3-3】已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】所以，所以
故選:B.
方法總結(jié)：
(1)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則：
一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征.
(2)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系(和、差、倍、互余、互補(bǔ)等)，尋找式子和三角函數(shù)公式之間的共同點(diǎn).
三角恒等變換（2）
知識(shí)梳理
1. 在三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值、證明等三角恒等變換中，要注意將不同名的三角函數(shù)化成同名的三角函數(shù)，如遇到正切、正弦、余弦并存的情況，一般要切化弦．
2. 要注意對(duì)“1”的代換：
如1＝sin2α＋cs2α＝taneq \f(π,4)，還有1＋csα＝2cs2eq \f(α,2)，1－csα＝2sin2eq \f(α,2).
3. 對(duì)于sinαcsα與sinβ±csα同時(shí)存在的試題，可通過換元完成：
如設(shè)t＝sinα±csα，則sinαcsα＝±eq \f(t2－1,2).
4. 要注意角的變換，熟悉角的拆拼技巧，理解倍角與半角是相對(duì)的，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，eq \f(α,3)是eq \f(2α,3)的半角，eq \f(α,2)是eq \f(α,4)的倍角等．
5. 用三角方法求三角函數(shù)的最值常見的函數(shù)形式：
(1)y＝asinx＋bcsx＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中csφ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq \f(b,\r(a2＋b2)).則－eq \r(a2＋b2)≤y≤eq \r(a2＋b2).
(2)y＝asin2x＋bsinxcsx＋ccs2x可先降次，整理轉(zhuǎn)化為上一種形式．
(3)y＝eq \f(asinx＋b,csinx＋d)(或y＝eq \f(acsx＋b,ccsx＋d))
可轉(zhuǎn)化為只有分母含sinx或csx的函數(shù)式sinx＝f(y)的形式，由正、余弦函數(shù)的有界性求解．
6. 用代數(shù)方法求三角函數(shù)的最值常見的函數(shù)形式：
(1)y＝asin2x＋bcsx＋c可轉(zhuǎn)化為關(guān)于csx的二次函數(shù)式．
(2)y＝asinx＋eq \f(c,bsinx)(a，b，c＞0)，令sinx＝t，則轉(zhuǎn)化為求y＝at＋eq \f(c,bt)(－1≤t≤1)的最值，一般可用基本不等式或單調(diào)性求解．
考向四 變角的運(yùn)用
【例4】已知，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
.
故選：C.
【變式4-1】若，，則___________.
【答案】
【解析】因?yàn)?，，所以?br>故答案為：
【變式4-2】已知，，則的值為______．
【答案】
【解析】，而，
∴，∴.故答案為：.
【變式4-3】已知α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(24,25)，則cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝________.
【答案】 －eq \f(4,5)
【解析】 由題意知，α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)＜0，所以cs(α＋β)＝eq \f(4,5)，因?yàn)棣拢璭q \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝－eq \f(7,25)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（α＋β）－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))))＝cs(α＋β)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＋sin(α＋β)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝－eq \f(4,5).
方法總結(jié)：所謂邊角就是用已知角表示所求的角，要重點(diǎn)把握住它們之間的關(guān)系，然后運(yùn)用有關(guān)公式進(jìn)行求解。
考向五 求角
【例5】已知銳角α，β滿足sin α＝ eq \f(\r(5),5)，cs β＝ eq \f(3\r(10),10)，則α＋β的值為 ．
【解析】 因?yàn)棣粒聻殇J角，且sin α＝ eq \f(\r(5),5)，cs β＝ eq \f(3\r(10),10)，所以cs α＝ eq \r(1－sin2α)＝ eq \r(1－\f(1,5))＝ eq \f(2\r(5),5)，
sinβ＝ eq \r(1－cs2β)＝ eq \r(1－\f(9,10))＝ eq \f(\r(10),10)，所以cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β＝ eq \f(2\r(5),5)× eq \f(3\r(10),10)－ eq \f(\r(5),5)× eq \f(\r(10),10)＝ eq \f(\r(2),2).
由0＜α＜ eq \f(π,2)，0＜β＜ eq \f(π,2)，得0＜α＋β＜π.又cs (α＋β)＞0，所以α＋β為銳角，所以α＋β＝ eq \f(π,4).
【變式5-1】已知α，β為銳角，且sin α＝ eq \f(\r(5),5)，cs β＝ eq \f(\r(10),10)，則α－β的值為 ．
【解析】 因?yàn)棣?，β為銳角，所以由sin α＝ eq \f(\r(5),5)，cs β＝ eq \f(\r(10),10)，得cs α＝ eq \f(2\r(5),5)，sin β＝ eq \f(3\r(10),10)，所以α＜β，
所以－ eq \f(π,2)＜α－β＜0，所以cs (α－β)＝ eq \f(2\r(5),5)× eq \f(\r(10),10)＋ eq \f(\r(5),5)× eq \f(3\r(10),10)＝ eq \f(\r(2),2)，故α－β＝－ eq \f(π,4).
【變式5-2】若sin 2α＝ eq \f(\r(5),5)，sin (β－α)＝ eq \f(\r(10),10)，且α∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，π))，β∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，則α＋β的值為__________．
【答案】 eq \f(7π,4)
【解析】 因?yàn)棣痢?eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，π))，所以2α∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，2π)).又sin 2α＝ eq \f(\r(5),5)，所以2α∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，則α∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，故cs 2α＝－ eq \f(2\r(5),5).又β∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，所以β－α∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(5π,4)))，故cs (β－α)＝－ eq \f(3\r(10),10)，所以cs (α＋β)＝cs [2α＋(β－α)]＝cs 2α·cs (β－α)－sin 2αsin (β－α)＝－ eq \f(2\r(5),5)×（－ eq \f(3\r(10),10)）－ eq \f(\r(5),5)× eq \f(\r(10),10)＝ eq \f(\r(2),2).又α＋β∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，2π))，故 α＋β＝ eq \f(7π,4).
【變式5-3】（多選）已知，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】，故，
所以或，故或.
又，所以或，故選：BD.
方法總結(jié)：求角的步棸：1、求角的某一個(gè)三角函數(shù)值，（結(jié)合具體情況確定是正弦、余弦還是正切）2、確定角的范圍（范圍盡量縮?。?、根據(jù)范圍和值確定角的大小。
考向六 公式的綜合運(yùn)用
【例6】已知函數(shù)f(x)＝sin (x＋θ)＋a cs (x＋2θ)，其中a∈R，θ∈（- eq \f(π,2)， eq \f(π,2)）.
(1) 當(dāng)a＝ eq \r(2)，θ＝ eq \f(π,4)時(shí)，求f(x)在區(qū)間[0，π]上的最大值與最小值；
(2) 若f( eq \f(π,2))＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．
【解析】 (1) 由題意，得f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))＋ eq \r(2)cs（x＋ eq \f(π,2)）＝ eq \f(\r(2),2)(sin x＋cs x)－ eq \r(2)sin x＝ eq \f(\r(2),2)cs x－ eq \f(\r(2),2)sin x＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)).
因?yàn)閤∈[0，π]，所以 eq \f(π,4)－x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3π,4)，\f(π,4)))，故f(x)在區(qū)間[0，π]上的最大值為 eq \f(\r(2),2)，最小值為－1.
(2) 由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝0，,f(π)＝1，))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs θ(1－2a sin θ)＝0，,2a sin2θ－sinθ－a＝1.))由θ∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))知cs θ≠0，解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,θ＝－\f(π,6)．))
【變式6-1】（多選）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．是圖象的一條對(duì)稱軸
C．的最小正周期為
D．將的圖象向左平移個(gè)單位后，得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
【答案】AC
【解析】，A正確；
，由于在對(duì)稱軸處函數(shù)值要取到最值，故B錯(cuò)誤；
，C正確；將的圖象向左平移個(gè)單位后得，其為偶函數(shù)，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，D錯(cuò)誤.
故選：AC.
【變式6-2】已知，，則（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】D
【解析】因?yàn)?，所以，所以?br>所以，所以或，因?yàn)?，所以，所以?
所以
.
故選：D.
【變式6-3】已知，．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．
解：因?yàn)?，?br>又，所以，
所以.
(2)解：因?yàn)椋?br>，
又因?yàn)?，所以?br>由（1）知，，
所以．
因?yàn)?，，則，所以．
方法總結(jié)：降冪公式是解決含有cs2x、sin2x式子的問題較常用的變形之一，它體現(xiàn)了逆用二倍角公式的解題技巧．
三角恒等變換 隨堂檢測(cè)
1.（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由題意結(jié)合誘導(dǎo)公式可得，再由二倍角公式即可得解.
【詳解】由題意，.故選：D.
2.若sin(α+β)+cs(α+β)=22csα+π4sinβ，則（ ）
A．tan(α?β)=1 B．tan(α+β)=1 C．tan(α?β)=?1 D．tan(α+β)=?1
【答案】C
【解析】由已知得：sinαcsβ+csαsinβ+csαcsβ?sinαsinβ=2(csα?sinα)sinβ,
即：sinαcsβ?csαsinβ+csαcsβ+sinαsinβ=0，即：sinα?β+csα?β=0,
所以tanα?β=?1,故選：C
3.若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，
，，，解得，
，.故選：A.
4.已知，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用二倍角的余弦公式，將已知方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，求解得出，再用同角間的三角函數(shù)關(guān)系，即可得出結(jié)論.
【詳解】，得，即，解得或（舍去），又.故選：A.
5.已知2tanθ–tan(θ+)=7，則tanθ=（ ）
A．–2B．–1C．1D．2
【答案】D
【分析】利用兩角和的正切公式，結(jié)合換元法，解一元二次方程，即可得出答案.
【詳解】，，令，則，整理得，解得，即.故選：D.
6.已知，則（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【解析】由于且，則有．由得，，故，故選：D．
7.已知，則（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式計(jì)算作答.
【詳解】因?yàn)?，而，因此?br>則，所以.故選：B
8.若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關(guān)系配方化簡(jiǎn)，然后增添分母()，進(jìn)行齊次化處理，化為正切的表達(dá)式，代入即可得到結(jié)果．
【詳解】將式子進(jìn)行齊次化處理得：
．故選：C．
9.已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)，，且，則
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先根據(jù)兩點(diǎn)都在角的終邊上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函數(shù)的定義式，求得，從而得到，再結(jié)合，從而得到，從而確定選項(xiàng).
【詳解】由三點(diǎn)共線，從而得到，因?yàn)椋?br>解得，即，所以，故選B.
10.已知函數(shù)，則
A．的最小正周期為，最大值為 B．的最小正周期為，最大值為
C．的最小正周期為，最大值為 D．的最小正周期為，最大值為
【答案】B
【分析】首先利用余弦的倍角公式，對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，將解析式化簡(jiǎn)為，之后應(yīng)用余弦型函數(shù)的性質(zhì)得到相關(guān)的量，從而得到正確選項(xiàng).
【詳解】根據(jù)題意有，所以函數(shù)的最小正周期為，
且最大值為，故選B.
11.若α＋β＝ eq \f(3π,4)，則(1－tan α)(1－tan β)＝ ．
【答案】 2
【解析】 因?yàn)閠an eq \f(3π,4)＝tan (α＋β)＝ eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝－1，所以tan αtan β－1＝tan α＋tan β，所以(1－tan α)(1－tan β)＝1－tan α－tan β＋tan α·tan β＝2.
12.在△ABC中，tan A＋tan B＋ eq \r(3)＝ eq \r(3)tan Atan B，則C＝ ；
【答案】 eq \f(π,3).
【解析】 由已知，得tan A＋tan B＝ eq \r(3)(tan Atan B－1)，所以tan (A＋B)＝ eq \f(tan A＋tan B,1－tan A tan B)＝－ eq \r(3).又0

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（寒假）2024-2025年高二數(shù)學(xué) 寒假鞏固講義+隨堂檢測(cè) 第12課 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用（2份，原卷版+教師版）：

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（寒假）2024-2025年高二數(shù)學(xué) 寒假鞏固講義+隨堂檢測(cè) 第10課 第10課 數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和（2份，原卷版+教師版）：

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