專題04 指數(shù)函數(shù)+對數(shù)函數(shù)+函數(shù)與方程-【寒假提升課】2025年高一數(shù)學(xué)寒假提升試題（人教A版2019）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【考點1】求指數(shù)（對數(shù)）型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
【考點2】根據(jù)指數(shù)（對數(shù)）型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
【考點3】求指數(shù)（對數(shù)）型復(fù)合函數(shù)的值域（最值）
【考點4】比較指數(shù)冪的大小
【考點5】由指數(shù)（對數(shù)）型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性解不等式
【考點6】零點個數(shù)問題
【考點7】零點代數(shù)和問題
【考點8】新定義問題
知識點 1 ：指數(shù)函數(shù)的定義域與值域
1、定義域：
（1）指數(shù)函數(shù)的定義域為
（2）的定義域與函數(shù)的定義域相同
（3）的定義域與函數(shù)的定義域不一定相同.
2、值域
（1）指數(shù)函數(shù)的值域為
（2）求形如的函數(shù)的值域，先求的值域，然后結(jié)合得性質(zhì)確定的值域
（3）求形如的值域，轉(zhuǎn)化為先求的值域，再將的取值范圍代入函數(shù)中.
知識點2：對數(shù)函數(shù)的圖象及其性質(zhì)
函數(shù)的圖象和性質(zhì)如下表：
知識點3：函數(shù)零點的概念
對于一般函數(shù)，我們把使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點.
幾何定義:函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)解,也就是函數(shù)的圖象與軸的公共點的橫坐標.
這樣：方程有實數(shù)解函數(shù)有零點函數(shù)的圖象與軸有公共點
知識點4：函數(shù)零點存在定理及其應(yīng)用
1、函數(shù)零點存在定理
如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個零點，即存在，使得，這個也就是方程的解.
題型歸納
【考點1】求指數(shù)（對數(shù)）型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
1．（2024·河北·三模）函數(shù)的遞增區(qū)間為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識點】對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
【分析】根據(jù)題意，利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法，列出不等式組，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，則函數(shù)的遞增區(qū)間滿足，解得，
所以函數(shù)的遞增區(qū)間為.
故選：C.
2．（23-24高三上·廣西桂林·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知識點】對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域
【分析】先求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的“同增異減”性質(zhì)求解.
【詳解】由對數(shù)函數(shù)的定義域知：，即的定義域為，
是減函數(shù)，當(dāng) 時，也是減函數(shù)，當(dāng) 時，是增函數(shù)，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間是；
故選：A.
3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識點】對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、解不含參數(shù)的一元二次不等式
【分析】利用復(fù)合函數(shù)法可求得原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.
【詳解】令，，
由，得，即函數(shù)的定義域為，
因為函數(shù)是關(guān)于的遞減函數(shù)，
函數(shù)在上遞增，在上遞減，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．
故選：C.
4．（24-25高一上·江西宜春·階段練習(xí)）函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識點】對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性原則即可求解.
【詳解】由于，解得，故函數(shù)的定義域為，
當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞減，而在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
故的單調(diào)遞減區(qū)間是，
故選：C
【考點2】根據(jù)指數(shù)（對數(shù)）型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
1．（24-25高一上·重慶·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識點】由指數(shù)（型）的單調(diào)性求參數(shù)、判斷指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
【分析】利用復(fù)合函數(shù)“同增異減”的性質(zhì)求得二次函數(shù)對稱軸解不等式可得結(jié)果.
【詳解】易知函數(shù)是由指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)復(fù)合而成的；
再由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得，使二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減即可；
因此，可得.
故選：D
2．（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·期中）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識點】由指數(shù)（型）的單調(diào)性求參數(shù)
【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得在的單調(diào)性，再根據(jù)其對稱軸和區(qū)間端點值關(guān)系，即可求得參數(shù)范圍.
【詳解】因為為上的單調(diào)減函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，在單調(diào)遞減，
故，解得.
故選：D.
3．（24-25高一上·廣東東莞·期中）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識點】由對數(shù)（型）的單調(diào)性求參數(shù)、對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
【分析】根據(jù)對數(shù)型函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.
【詳解】二次函數(shù)的對稱軸為，且開口向下，
因為函數(shù)是正實數(shù)集上的增函數(shù)，
又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
則在區(qū)間上單調(diào)遞減，且恒成立，
只需滿足，
故選：C.
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識點】由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值、由對數(shù)（型）的單調(diào)性求參數(shù)
【分析】對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與底數(shù)有關(guān)，分和兩種情況討論，此外還要注意對數(shù)函數(shù)的定義域，即真數(shù)為正；復(fù)合函數(shù)單調(diào)性滿足“同增異減”，根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合題干中“在區(qū)間上單調(diào)遞減”得到真數(shù)部分函數(shù)的單調(diào)性，從而求得的取值范圍.
【詳解】設(shè)函數(shù)，則．
①若，則在定義域上單調(diào)遞減．
又在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故對任意的恒成立．
又，所以對任意的顯然成立．
又因為對任意恒成立，所以0，故．
②若，則在定義域上單調(diào)遞增．
又在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故對任意的恒成立．
因為拋物線的開口向上，所以不可能對任意的恒成立．
所以的取值范圍為．
故選：A．
【考點3】指數(shù)（對數(shù)）型復(fù)合函數(shù)的值域（最值）
1．（2024·寧夏銀川·二模）已知函數(shù)，，則其值域為．
【答案】
【知識點】求指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域
【分析】令，將問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在區(qū)間上的值域問題，結(jié)合二次函數(shù)單調(diào)性，即可求解.
【詳解】令，∵，∴，
∴，
又關(guān)于對稱，開口向上，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，
時，函數(shù)取得最小值，即，時，函數(shù)取得最大值，即，
.
故答案為：.
6．（23-24高一上·廣東廣州）已知函數(shù)．
(1)若，求函數(shù)的值域；
(2)若，使成立，求a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【知識點】求指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域、函數(shù)不等式恒成立問題
【分析】（1）根據(jù)參數(shù)的值求解出函數(shù)的解析式，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)求解值域即可；
（2）先將函數(shù)看成關(guān)于的一次函數(shù)，運用不等式恒成立問題的處理方法將問題轉(zhuǎn)化為只含一個變量的函數(shù)問題，再運用存在性問題的處理方法求解參數(shù)的取值范圍．
【詳解】（1）解：，時，，
令，，，
可寫出關(guān)于的二次函數(shù)，
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得，
所以當(dāng)，時，函數(shù)的值域為．
（2）解：，可看成關(guān)于的一次函數(shù)，且函數(shù)單調(diào)遞減，
,不等式成立，成立，
又,，成立，,使得不等式成立，
令,，又，，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最大值不小于4．
①，,時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故恒成立，又，，所以，
此時函數(shù)的最大值為，，解得；
②，,時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，所以，此時函數(shù)的最大值為，
，解得，
綜上，的取值范圍為．
3．（23-24高一上·吉林）設(shè)函數(shù)（且，，），若是定義在上的奇函數(shù)且．
(1)求k和a的值；
(2)判斷其單調(diào)性（無需證明），并求關(guān)于t的不等式成立時，實數(shù)t的取值范圍；
(3)函數(shù)，，求的值域．
【答案】(1)，
(2)增函數(shù)，或
(3)
【知識點】由奇偶性求函數(shù)解析式、求指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由奇偶性求參數(shù)
【分析】（1）為上的奇函數(shù)，利用和，列方程即可求出與；
（2）判斷為增函數(shù)，利用的單調(diào)性解不等式；
（3）化簡，利用，
可得，根據(jù)，判斷出的范圍，進而得到的值域.
【詳解】（1）∵是定義域為上的奇函數(shù)，
∴，得．此時，，，即是R上的奇函數(shù)．
∵，∴，即，∴或（舍去）
故，
（2）明顯地，為增函數(shù)，則只需，，
∴或．
（3）∴，
令，由（2），易知在上為增函數(shù)，
∴，∴
當(dāng)時，有最大值；
當(dāng)時，有最小值，∴的值域是．
4．（24-25高一上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之和為.
(1)求函數(shù)解析式，并求出關(guān)于的不等式的解集；
(2)求函數(shù)，的值域，并求出取得最值時對應(yīng)的的值.
【答案】(1)，或；
(2)，取最小值時，取最大值時.
【知識點】求二次函數(shù)的值域或最值、求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域、根據(jù)對數(shù)函數(shù)的最值求參數(shù)或范圍、由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性求出最值列式求出，再利用單調(diào)性解不等式.
（2）由（1）的結(jié)論求出并換元，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解.
【詳解】（1）函數(shù)定義域為，且在上單調(diào)，
由函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之和為，
得，即，解得，
于是；
，
解，得或；
解，即，得或，
因此或，
所以不等式的解集或.
（2）由（1）知，，
令，由，得，，
當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，此時，
所以函數(shù)的值域為，取最小值時，取最大值時.
5．（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知函數(shù)為奇函數(shù).
(1)解不等式；
(2)設(shè)函數(shù)，若對任意的，總存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2).
【知識點】對數(shù)函數(shù)最值與不等式的綜合問題、由奇偶性求參數(shù)、由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、函數(shù)不等式恒成立問題
【分析】
（1）根據(jù)題意，求得，得到，列出不等式，即可求解；
（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域是函數(shù)的值域的子集，結(jié)合對數(shù)的運算，求得，結(jié)合，列出不等式組，即可求解.
【詳解】（1）
解：由的定義域為，
因為為奇函數(shù)，可得，解得，所以，
又由不等式，可得，整理得，解得，
所以不等式的解集為.
（2）
解：因為，總有，使得成立，
所以函數(shù)的值域是函數(shù)的值域的子集，
而，
令，所以，
所以，又由在上遞增，
所以，所以，解得，所以的取值范圍為.
【考點4】比較指數(shù)冪的大小
1．（2024·四川雅安·一模）下列不等式成立的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識點】比較指數(shù)冪的大小、比較對數(shù)式的大小
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷出結(jié)果.
【詳解】對于A，因為底數(shù)，所以隨著指數(shù)的增大而減小，又，所以，故選項A錯誤；
對于B，，因為底數(shù)，所以隨著真數(shù)位置的增大而增大，又，所以，故選項B錯誤；
對于C，因為，，所以，故選項C正確；
對于D，因為，，函數(shù)有兩個交點，分別是當(dāng)，
增長速度比增長速度快，在0,2上，在上，
在上，所以，即，故選項D錯誤.
故選：C.
2．（2024·北京順義·二模）已知，，，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識點】比較指數(shù)冪的大小、比較對數(shù)式的大小
【分析】利用對數(shù)運算計算a，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷b，c即可得答案.
【詳解】因為，，，
所以.
故選：D
3．（2024·福建寧德·模擬預(yù)測）設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識點】比較指數(shù)冪的大小、比較對數(shù)式的大小
【分析】根據(jù)指數(shù)以及對數(shù)的單調(diào)性即可求解.
【詳解】因為，所以，因為，所以.
因為，所以，所以.
故選：D
4．（2024·天津河北·二模）若，則，，的大小關(guān)系為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知識點】比較指數(shù)冪的大小、比較對數(shù)式的大小
【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小即得.
【詳解】依題意，，
所以.
故選：D
【考點5】由指數(shù)（對數(shù)）型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性解不等式
1．（24-25高一上·河北石家莊·階段練習(xí)）已知函數(shù)，
(1)求證：為奇函數(shù)；
(2)解關(guān)于的不等式
(3)若恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【知識點】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域、基本不等式求和的最小值、由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式
【分析】（1）根據(jù)奇偶性定義判斷可得答案；
（2）設(shè)，根據(jù)在R上的單調(diào)性可得答案；
（3）原不等式等價為對恒成立，再利用基本不等式可得答案.
【詳解】（1）函數(shù)，即，
可得，解得或，
可得的定義域為或，關(guān)于原點對稱，
又，則為奇函數(shù)；
（2）不等式，即為式，
設(shè)，即，可得在R上遞減，
所以，所以，解得，
所以原不等式的解集為；
（3）由或，解得，
所以（）恒成立，即，
化為，即對恒成立
由，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得等號，
所以，即k的取值范圍是.
2．（24-25高一上·福建福州·期中）已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)，且.
(1)求實數(shù)，的值；
(2)試判斷的單調(diào)性，并用定義證明；
(3)解關(guān)于的不等式.
【答案】(1)，
(2)函數(shù)在上為減函數(shù)，證明見解析
(3)
【知識點】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、由奇偶性求參數(shù)、由函數(shù)奇偶性解不等式、由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式
【分析】（1）法1：根據(jù)求解出的值，并進行檢驗；法2：根據(jù)奇函數(shù)定義可得f-x=-fx，結(jié)合求得的值；
（2）計算并將其結(jié)果因式分解，根據(jù)條件判斷出的正負，由此可知的單調(diào)性；
（3）根據(jù)奇偶性將不等式化為，再根據(jù)單調(diào)性求解出不等式解集.
【詳解】（1）法1：函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，
，即，
又，即，
由①②解得，，
經(jīng)檢驗，，符合題意.
法2：函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，
，即，
，即，
，
又，即，
由①②解得，.
（2）函數(shù)在R上為減函數(shù).
證明如下：
由（1）得函數(shù)，任取且，
則，
，，又，
，即，
函數(shù)在R上為減函數(shù).
（3）函數(shù)為奇函數(shù)，
可化為，
又函數(shù)在上為減函數(shù)，
，解得：，
原不等式的解集為.
3．（24-25高一上·山東淄博·期中）已知定義域為R的函數(shù)是奇函數(shù)．
(1)求實數(shù)的值．
(2)試判斷的單調(diào)性（無需證明），并求的值域．
(3)解關(guān)于的不等式．
【答案】(1)
(2)單調(diào)遞增，理由見解析，的值域為；
(3)
【知識點】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、求指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域、由奇偶性求參數(shù)、由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式
【分析】（1）根據(jù)得到方程，得到，求出；
（2）定義法判斷函數(shù)單調(diào)性步驟，取點，作差，變形判號，下結(jié)論，并由，變形得到，解不等式，求出值域；
（3）由函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，得到，解不等式，求出解集.
【詳解】（1）為定義域為R上的奇函數(shù)，故，
，即，
故，解得；
（2）由（1）知，，在R上單調(diào)遞增，
任取，且，
，
因為，在R上單調(diào)遞增，故，
又，
所以，故，
所以在R上單調(diào)遞增，
，變形得到，解得，
故的值域為；
（3）為定義域為R上的奇函數(shù)，
故，
由（2）知，在R上單調(diào)遞增，
所以，令，
則，解得，
故，解得，
不等式解集為
4．（24-25高三上·河南·期中）已知函數(shù)為奇函數(shù).
(1)求a的值；
(2)求滿足的x的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【知識點】對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用、由奇偶性求參數(shù)、由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式
【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（2）先求出函數(shù)的定義域，再結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】（1）因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以f-x=-fx，
則，
即，
則.
（2）由（1）知，，
由，解得，即函數(shù)的定義域為，
由，，
即，
即，
即，
則，解得，
又，則，
即x的取值范圍為0,1.
5．（24-25高一上·江蘇蘇州·期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，．
(1)求和的解析式，并判斷在區(qū)間上的單調(diào)性（需要證明）；
(2)若對，都有，求實數(shù)m的取值集合．
【答案】(1)；；證明見解析.
(2)
【知識點】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、由奇偶性求函數(shù)解析式、由函數(shù)奇偶性解不等式、由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式
【分析】（1）由即可求得函數(shù)的解析式，再由函數(shù)是上的偶函數(shù)，即可得到其解析式，再由函數(shù)單調(diào)性的定義法即可證明的單調(diào)性；
（2）根據(jù)題意，由偶函數(shù)的性質(zhì)可得，再由函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性可得，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解不等式.
【詳解】（1）因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，
所以，且滿足，即；
設(shè)，則，即，
又是定義在上的偶函數(shù)，則，
所以；
在區(qū)間上單調(diào)遞減.
證明：任取，且，
則
，
由可得，，，，
所以，即，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.
（2）因為是定義在上的偶函數(shù)，
且當(dāng)時，，其對稱軸為，
所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，
對，都有，即，
由（1）可知，是定義在上的奇函數(shù)，
且時，單調(diào)遞減，
所以，
所以，即或，
當(dāng)時，即，解得；
當(dāng)時，即，解得；
綜上所述，實數(shù)m的取值集合為.
6．（22-23高一上·湖南長沙·期末）已知（，且）.
(1)求函數(shù)的定義域；
(2)當(dāng)（其中，且t為常數(shù)）時，是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，請說明理由；
(3)當(dāng)時，求滿足不等式的實數(shù)x的取值范圍.
【答案】(1)
(2)當(dāng)時存在最小值，當(dāng)時，不存在最小值，理由見解析
(3)
【知識點】求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域、求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域、對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式
【分析】(1)根據(jù)真數(shù)大于零解不等式即可求定義域；
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性即可求最小值；
(3)利用函數(shù)的奇偶性單調(diào)性解不等式.
【詳解】（1）由可得或，
解得，即函數(shù)的定義域為.
（2）設(shè)，則，
∵，∴，，∴，
①當(dāng)時，則在上是減函數(shù)，又，
∴時，有最小值，且最小值為；
②當(dāng)時，，則在上是增函數(shù)，又，
∴時，無最小值.
（3）由于的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，
且，所以函數(shù)為奇函數(shù).
由（2）可知，當(dāng)時，函數(shù)為減函數(shù)，由此，不等式等價于，
即有，解得，
所以x的取值范圍是.
【考點6】零點個數(shù)問題
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（），函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【知識點】求函數(shù)零點或方程根的個數(shù)
【分析】根據(jù)曲線在點處的切線方程判斷曲線和的交點情況，求方程的根，并根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點存在定理判斷該根的大致范圍，判斷的圖象與直線，的交點情況
【詳解】函數(shù)的零點個數(shù)即方程的根的個數(shù)．令，則方程等價于．
求曲線在點處的切線方程，得曲線和的交點情況
對于函數(shù)，易知當(dāng)時，，，
故曲線在點處的切線方程為，
因此曲線和無交點．（技巧：通過研究曲線在點處的切線，
數(shù)形結(jié)合判斷曲線和的交點情況）
求方程的根，并判斷該根的大致范圍：
將代入，得，
則，令，得或，
故當(dāng)時，，與無交點，
作出函數(shù)和的大致圖象如圖所示，結(jié)合圖象可知，
方程有且僅有1個解，且此解就是方程的解．
易知函數(shù)是增函數(shù)，且，（點撥：因為，所以，故）因此方程的解．
又當(dāng)時，，所以無解，顯然有2個解，
所以函數(shù)有2個零點，
故選：B．
2．（2024·廣東湛江·一模）函數(shù)零點的個數(shù)為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識點】對數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用、求函數(shù)零點或方程根的個數(shù)
【分析】數(shù)形結(jié)合思想，分別作出和的圖象即可求解.
【詳解】解：由，得函數(shù)的定義域為，
函數(shù)零點的個數(shù)零點個數(shù)，
即函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象的交點個數(shù)，
如圖所示：
數(shù)形結(jié)合可得函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象的交點個數(shù)為．
故選:C．
【考點7】零點代數(shù)和問題
1．（2024·貴州六盤水·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的零點分別為，，，則（）
A．0B．2C．4D．6
【答案】A
【知識點】求零點的和、反函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為與、、的交點橫坐標，結(jié)合指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的對稱性計算可得.
【詳解】由題設(shè)，，，，
所以問題可轉(zhuǎn)化為與、、的交點問題，函數(shù)圖象如下：
因為與關(guān)于對稱，而與互相垂直，
所以，，則.
故選：A
2．（2024·廣東珠?！ひ荒＃┮阎瘮?shù)在R上沒有零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識點】根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為與函數(shù) 的圖象沒有交點，利用數(shù)形結(jié)合法求解.
【詳解】設(shè) ，的圖象如圖所示，
問題轉(zhuǎn)化為與函數(shù) 的圖象沒有交點，
所以或,
解得或,
故選：A.
3．（2024·四川綿陽·一模）已知函數(shù)，m為正的常數(shù)，則的零點之和為．
【答案】
【知識點】求零點的和、判斷或證明函數(shù)的對稱性、對數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用
【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)的對稱性，再結(jié)合零點的意義即可求解得答案.
【詳解】函數(shù)的定義域為，
由，得，令函數(shù)，
，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
在同一坐標系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，如圖，

直線與函數(shù)的圖象有4個交點，令其橫坐標從左到右依次為，
觀察圖象得，所以的零點之和為.
故答案為：
4．（2024·天津紅橋·一模）設(shè)函數(shù)，若有四個實數(shù)根，，，，且，則的取值范圍．
【答案】
【知識點】分段函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用、函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用、函數(shù)圖象的應(yīng)用
【分析】作出的圖象，根據(jù)圖象確四個根間的關(guān)系，從而得到，且，再利用函數(shù)的單調(diào)性即可求出結(jié)果.
【詳解】因為，所以，其圖象如圖所示，
又有四個實數(shù)根，由圖知，得到，即，且，
由，得到或，所以，
所以，
令，，易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，
所以的取值范圍為，
故答案為：.
5．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知，函數(shù).
(1)若，求的值；
(2)若分別為fx,gx的零點，求的值.
【答案】(1)
(2)
【知識點】根據(jù)零點求函數(shù)解析式中的參數(shù)、對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用、對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
【分析】（1）根據(jù)兩函數(shù)值相等利用對數(shù)與指數(shù)運算的互化解方程即可得；
（2）由零點定義代入函數(shù)表達式，再由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，即可得.
【詳解】（1）由可得，即，
所以，
又，所以，因此；
因為，即，
解得；
（2）因為分別為的零點，所以，
即，也即，
又因為，所以在上單調(diào)遞增，
由可得，
與聯(lián)立可得。
所以.
6．（2024·河南·模擬預(yù)測）設(shè)且，函數(shù).
(1)當(dāng)時，求不等式的解集；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上有零點，求的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析
(2)
【知識點】由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、根據(jù)二次函數(shù)零點的分布求參數(shù)的范圍
【分析】（1）化簡不等式為，按照和分類討論，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可；
（2）將零點問題轉(zhuǎn)化為有解，設(shè)，則，利用函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù)范圍即可.
【詳解】（1）當(dāng)時，不等式可化為，
若，則，解得，
所以不等式的解集為；
若，則，解得，
所以不等式的解集為；
綜上所述，當(dāng)時，不等式的解集為；
當(dāng)時，不等式的解集為；
（2）由題意可知，
令，即，因為，所以，
所以，所以，
設(shè)，則，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，所以.
【考點8】新定義問題
1．（2024·上?！ざ＃τ诤瘮?shù)f(x)，若在定義域內(nèi)存在實數(shù)，滿足，則稱f(x)為“類函數(shù)”.
(1)已知函數(shù)，試判斷f(x)是否為“類函數(shù)”？并說明理由；
(2)設(shè)是定義域上的“類函數(shù)”，求實數(shù)m的取值范圍；
(3)若為其定義域上的“類函數(shù)”，求實數(shù)取值范圍.
【答案】(1)是，理由見解析；
(2)；
(3).
【知識點】函數(shù)新定義、函數(shù)不等式恒成立問題、函數(shù)不等式能成立（有解）問題
【分析】（1）根據(jù)題意，得到，利用三角恒等變換化簡，得，得到存在滿足，即可作出判斷；
（2）利用f(x)為“類函數(shù)”，得出，令，得到方程在有解可保證f(x)為“類函數(shù)”，分離參數(shù)即可求解；
（3）由為其定義域上的“類函數(shù)”，得到存在存在實數(shù)，滿足，根據(jù)分段函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，分類討論即可求解.
【詳解】（1）由題意，函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)存在實數(shù)，滿足，
可得，即，
化簡整理，得，解得，
所以存在滿足
所以函數(shù)是“M類函數(shù)”；
（2）當(dāng)時，
可化為，
令，則，
所以方程在有解可保證f(x)是“類函數(shù)”，
即在)有解可保證f(x)是“類函數(shù)”，
設(shè)在為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以當(dāng)時，取得最小值為
即，解得.
所以實數(shù)的取值范圍為；
（3）由在上恒成立，
轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即
所以.
因為為其定義域上的“類函數(shù)”，
所以存在實數(shù)使得，
當(dāng)時，則，所以，所以，
即在)有解可保證f(x)是“類函數(shù)”
設(shè)在為單調(diào)遞增函數(shù)，
，即，解得；
當(dāng)時，，此時，不成立；
當(dāng)時，則，所以，所以，
即在)有解可保證f(x)是“類函數(shù)”
設(shè)在為單調(diào)遞減函數(shù)，
，即，解得.
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.
【點睛】解決本題的關(guān)鍵準確理解函數(shù)的新定義“類函數(shù)”的含義，然后將問題轉(zhuǎn)化為有解問題，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)和的定義域分別為和，若對任意的都存在個不同的實數(shù)，使得（其中），則稱為的“重覆蓋函數(shù)”．
(1)試判斷是否為的“2重覆蓋函數(shù)”？請說明理由；
(2)求證：是的“4重覆蓋函數(shù)”；
(3)若為的“2重覆蓋函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)不是的“2重覆蓋函數(shù)”理由見解析；
(2)證明見解析；
(3).
【知識點】求已知指數(shù)型函數(shù)的最值、對數(shù)函數(shù)最值與不等式的綜合問題、分段函數(shù)的值域或最值、復(fù)合函數(shù)的最值
【分析】（1）：根據(jù)兩個函數(shù)的值域，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)進行判斷即；
（2）：可根據(jù)兩個函數(shù)的值域，結(jié)合余弦函數(shù)的周期性進行判斷即可；
（3）：將題轉(zhuǎn)化為對任意，有2個實根，根據(jù)的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）由可知：，函數(shù)的圖像如圖所示：
當(dāng)時，，
當(dāng)時，解得，
所以不是的“2重覆蓋函數(shù)”；
（2）證明：因為，
所以，
又因為，
又因為，
所以，
所以，
又因為，
所以，
又因，可得為奇函數(shù)且單調(diào)遞增，
作出兩函數(shù)的內(nèi)的大致圖像，如圖所示：
，
而函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，
由此可知在內(nèi)有4個解．
所以是在的“4重覆蓋函數(shù)”；
（3）可得的定義域為，
即對任意，存在2個不同的實數(shù)，使得（其中），
∵，∴，
所以，
所以，
即，
即對任意，有2個實根，
當(dāng)時，已有一個根，故只需時，僅有1個根，
當(dāng)時，，符合題意，
當(dāng)時，則需滿足，解得，
當(dāng)時，拋物線開口向下，有最大值，不能滿足對任意，僅有1個根，故不成立．
綜上，實數(shù)a的取值范圍是．
【點睛】在處理兩函數(shù)圖像交點問題時，可通過分離變量交點問題轉(zhuǎn)化為與兩個函數(shù)的圖像交點情況.
過關(guān)檢測
一、單選題
1．（2024·貴州六盤水·模擬預(yù)測）聲強級（單位：）由公式給出，其中I為聲強（單位：），若某人交談時的聲強級為，則其聲強約為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知識點】指數(shù)式與對數(shù)式的互化
【分析】利用給定的公式代入計算即得.
【詳解】由，，得，所以.
故選：C
2．（2024·四川宜賓·一模）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在是增函數(shù)的是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識點】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、比較對數(shù)式的大小、根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義分別進行判斷即可．
【詳解】對于A，是偶函數(shù)，不滿足條件．
對于B，，函數(shù)是奇函數(shù)，由于
均在單調(diào)遞增，故在單調(diào)遞增，符合條件，
對于C,，則是奇函數(shù)，
在單調(diào)遞增,且為正，函數(shù)在單調(diào)遞減，不滿足條件．
對于D，，函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時，，
，，此時，不是增函數(shù)，不滿足條件．
故選：B．
3．（2024·湖南郴州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知識點】對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)、由指數(shù)（型）的單調(diào)性求參數(shù)、根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性
【分析】分段函數(shù)單調(diào)遞減，需滿足每一段函數(shù)均單調(diào)遞減，且分段處左端點函數(shù)值大于等于右端點函數(shù)值，從而得到不等式，求出答案.
【詳解】顯然在上單調(diào)遞減，
要想在R上單調(diào)遞減，
則，解得.
故選：D
4．（2024·廣東湛江·一模）函數(shù)零點的個數(shù)為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識點】對數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用、求函數(shù)零點或方程根的個數(shù)
【分析】數(shù)形結(jié)合思想，分別作出和的圖象即可求解.
【詳解】解：由，得函數(shù)的定義域為，
函數(shù)零點的個數(shù)零點個數(shù)，
即函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象的交點個數(shù)，
如圖所示：
數(shù)形結(jié)合可得函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象的交點個數(shù)為．
故選:C．
5．（2024·吉林·模擬預(yù)測）已知，，，則下列說法正確的是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知識點】比較指數(shù)冪的大小
【分析】已知變形得，再證明后即可得．
【詳解】則已知，，所以，
由，則，因此，又，所以，
故選：B．
6．（2024·四川眉山·一模）若，，，則（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知識點】比較指數(shù)冪的大小、比較對數(shù)式的大小
【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)的運算性質(zhì)易得，，，進而分析比較與的大小，進而比較與的大小，進而判斷即可.
【詳解】，，
，
則，，下面比較與的大小，
即比較與的大小，
即比較與的大小，
即比較與的大小，而，
則，所以.
故選：B.
7．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，記，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識點】比較對數(shù)式的大小、比較函數(shù)值的大小關(guān)系
【分析】應(yīng)用介值法比較的大小，再應(yīng)用的單調(diào)性比較大小即可.
【詳解】解：因為，
所以；
又因為，
所以，
又因為在上單調(diào)遞減，
所以，
故選：D．
8．（2024·江西景德鎮(zhèn)·一模）函數(shù)的定義域為，是奇函數(shù)，當(dāng)時，則的解集是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知識點】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、函數(shù)對稱性的應(yīng)用、由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式
【分析】根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)可得關(guān)于1,0成中心對稱，先解出當(dāng)時的解，即可利用對稱性得不等式的解.
【詳解】∵f2x+1是奇函數(shù)，
∴，即關(guān)于1,0點對稱．
又函數(shù)的定義域為，故f1=0．
當(dāng)時，
令，即，解得．
根據(jù)對稱性可知當(dāng)時，．
綜上所述，的解集是．
故選：B．
9．（2024·河北石家莊·模擬預(yù)測）已知函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，滿足，則實數(shù)a的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識點】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式
【分析】根據(jù)題意可得，利用單調(diào)性解不等式結(jié)合對數(shù)運算即可求解
【詳解】函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，
所以在上是減函數(shù)，
，即，
所以，
所以，
所以，即實數(shù)a的取值范圍為.
故選：.
10．（2024·寧夏·模擬預(yù)測）已知定義在上的奇函數(shù)滿足：，且當(dāng)時，（為常數(shù)），則的值為（）
A．B．0C．1D．2
【答案】D
【知識點】對數(shù)函數(shù)的概念判斷與求值、由奇偶性求參數(shù)、由函數(shù)的周期性求函數(shù)值
【分析】首先根據(jù)其為奇函數(shù)，從而得，解出值，再根據(jù)其周期計算即可.
【詳解】因為在R上的奇函數(shù)，所以，解得，
所以，
因為，所以的周期為6，
所以.
故選：D.
二、多選題
11．（2024·陜西寶雞·二模）已知函數(shù)，則（）
A．在0,1單調(diào)遞增B．y=fx的圖象關(guān)于點1,0對稱
C．y=fx的圖象關(guān)于直線對稱D．函數(shù)有兩個零點
【答案】ACD
【知識點】判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)零點或方程根的個數(shù)
【分析】先求出函數(shù)的定義域，然后將函數(shù)利用對數(shù)的運算變形，再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷法則以及二次函數(shù)的性質(zhì)依次判斷A,B,C即可；分析函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合圖象的交點，即可判斷函數(shù)零點個數(shù)，從而判斷D.
【詳解】函數(shù)定義域為，又，
令，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故選項A正確；
因為函數(shù)的對稱軸為，則函數(shù)關(guān)于直線對稱，故選項B錯誤，選項C正確；
因為，所以函數(shù)，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又函數(shù)在上為增函數(shù)，
則函數(shù)與函數(shù)在平面直角坐標系中的圖象如下圖所示：
故函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上有兩個交點，即函數(shù)有兩個零點，故D正確.
故選：ACD．
12．（2024·貴州銅仁·模擬預(yù)測）設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，且對于恒有，已知當(dāng)時，，則下列判斷正確的是（）
A．的周期是2
B．在上遞減，在上遞增
C．的最大值是2，最小值是1
D．當(dāng)時，
【答案】ACD
【知識點】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、函數(shù)周期性的應(yīng)用
【分析】由即可判斷A選項；利用和函數(shù)的對稱性可判斷B，C的正誤；結(jié)合周期性和奇偶性可求當(dāng)時，，故可判斷D的正誤．
【詳解】對于A，對于恒有，則的周期為2，故A正確；
對于B，時，，，則函數(shù)在上是減函數(shù)，
因為且為偶函數(shù)，故，故的圖象關(guān)于對稱，
函數(shù)在上是增函數(shù)，結(jié)合的周期為2可得在上是減函數(shù)，故B不正確；
對于C，由B的分析可得在,的最大值是，
最小值為，結(jié)合函數(shù)的周期性可得的最大值為2，最小值為1，故C正確；
對于D，設(shè)，則，故，故D正確．
故選：ACD．
13．（24-25高三上·貴州六盤水·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為R，且，的圖象關(guān)于對稱.當(dāng)時，，若，則下列說法正確的是（）
A．的周期為4B．的圖象關(guān)于對稱
C．D．當(dāng)時，
【答案】AB
【知識點】函數(shù)周期性的應(yīng)用、函數(shù)對稱性的應(yīng)用、由函數(shù)的周期性求函數(shù)值
【分析】由已知可得，結(jié)合，可求周期判斷A；由已知可得的圖象關(guān)于2,0對稱，結(jié)合對稱性與周期性可得的圖象關(guān)于對稱，判斷B；由已知可得，，結(jié)合已知可求判斷C；利用對稱性可求當(dāng)時，的解析式判斷D.
【詳解】因為的圖象關(guān)于對稱，所以，
又，所以fx=-fx+2，所以fx+4=-fx+2=fx，
所以的周期為4，故A正確；
因為的圖象關(guān)于對稱，所以的圖象關(guān)于2,0對稱，
因為，所以關(guān)于對稱，所以的圖象關(guān)于對稱，
又的周期為4，所以可得的圖象關(guān)于對稱，故B正確；
因為關(guān)于對稱，所以，
又的圖象關(guān)于對稱，所以，所以，
，
又，所以，解得,
所以當(dāng)時，，
，故C錯誤；
當(dāng)，則，
因為，所以，故D錯誤.
故選：AB.
【點睛】思路點睛：本題解題思路在于利用函數(shù)的對稱性及相關(guān)條件推斷出函數(shù)具備的軸對稱和中心對稱的特征，再利用對稱性推斷結(jié)論，得到相關(guān)點的函數(shù)值，確定參數(shù)值，得到函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)對稱性求出相應(yīng)解析式.
三、填空題
14．（2024·四川瀘州·一模）已知函數(shù)，對任意實數(shù)，方程有解，則的取值范圍是 .
【答案】
【知識點】求對數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的值域、研究對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)、函數(shù)不等式恒成立問題
【分析】根據(jù)題意知的值域為R，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及分段函數(shù)形式確定在上的單調(diào)性和界點值范圍，即可得參數(shù)范圍.
【詳解】由題設(shè)的值域為R，而在上遞增，且值域為，
所以在上的一次函數(shù)也遞增，且，
則.
故答案為：
15．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·三模）已知函數(shù) （且），若有最小值，則實數(shù)a的取值范圍是 .
【答案】
【知識點】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的最值求參數(shù)或范圍、根據(jù)分段函數(shù)的值域（最值）求參數(shù)
【分析】利用單調(diào)性確定最小值后可得．
【詳解】是減函數(shù)，在時最小值是，
若，則是減函數(shù)，時，，沒有最小值，不合題意，
時，是增函數(shù)，因此要使得取得最小值，則，解得，
故答案為：．
16．（2024·廣東廣州·三模）函數(shù)，其中且，若函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，則a的一個可能取值為．
【答案】4（答案不唯一）
【知識點】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)、由指數(shù)（型）的單調(diào)性求參數(shù)
【分析】根據(jù)題意，在R上單調(diào)遞增，根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性列式求解.
【詳解】因為且，若函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)可知：在R上單調(diào)遞增，
，解得.
故答案為：4（答案不唯一）.
17．（2024·河北秦皇島·三模）已知奇函數(shù)的定義域為，，且，則在上的零點個數(shù)的最小值為 .
【答案】9
【知識點】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、函數(shù)周期性的應(yīng)用、函數(shù)對稱性的應(yīng)用、求函數(shù)零點或方程根的個數(shù)
【分析】由結(jié)合是奇函數(shù)可求出的周期為3，即可求出，再由的對稱性和周期性可得.
【詳解】由，可得的圖象關(guān)于點對稱，
又是奇函數(shù)，所以，
則的周期為3，所以，
，
而，則.
故在上的零點個數(shù)的最小值為9.
故答案為：9.
四、解答題
18．（2024·四川德陽·一模）已知函數(shù)的定義域為，
(1)若，求函數(shù)的值域；
(2)若，且，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【知識點】求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域、求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域
【分析】（1）當(dāng)時，先求內(nèi)層函數(shù)的值域，進而再求函數(shù)的值域即可；
（2）由對數(shù)函數(shù)定義域可知方程的兩根分別為，利用韋達定理可得，，代入化簡即可求解.
【詳解】（1）當(dāng)時，由解得，
令，當(dāng)時取最大值，
所以，從而的值域為.
（2）由于，且，
所以方程的兩根分別為，且，，
又，即，
將，代入整理得
，
從而，
所以
即實數(shù)的取值范圍為.
19．（2024·山東·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，且．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)是否存在正實數(shù)m，n，使得當(dāng)時，函數(shù)的值域為．若存在，求出m，n的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，
【知識點】根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)、由奇偶性求函數(shù)解析式、根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域或最值求參數(shù)（定義域）、指數(shù)式與對數(shù)式的互化
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)及即可求解；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為方程有兩個不相等的正根，再利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求解.
【詳解】（1）因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，
當(dāng)時，，且，
所以，解得，
所以當(dāng)時，，
當(dāng)時，，所以，
所以函數(shù)的解析式為.
（2）假設(shè)存在正實數(shù)滿足題意.
因為當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上是增函數(shù)，
所以，即，
所以是方程的兩個不相等的正根，
所以，且，
所以,所以,
所以存在正實數(shù)，使得當(dāng)時，函數(shù)的值域為.
20．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的值域；
(2)若不等式在上恒成立，求的取值范圍；
(3)當(dāng)時，函數(shù)的值域為，求正數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【知識點】根據(jù)值域求參數(shù)的值或者范圍、求指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域、根據(jù)二次函數(shù)零點的分布求參數(shù)的范圍、函數(shù)不等式恒成立問題
【分析】（1）求出函數(shù)式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)值域求解即得.
（2）變形給定不等式，按分段討論求出的范圍.
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性求出給定區(qū)間上的值域，結(jié)合已知轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個不等的正實根求解即得.
【詳解】（1）依題意，，
由，得，則，
當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，，
所以函數(shù)在時的值域為.
（2）不等式，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，則恒成立，
又在上遞減，在上的值域為，因此；
當(dāng)時，，則恒成立，
又在上遞減，在上的值域為，因此，
所以實數(shù)的取值范圍為.
（3）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，
又當(dāng)時，值域為，
因此，即，
則是關(guān)于的方程，即的兩個不相等的正根，
則，解得，
所以正數(shù)的取值范圍為.
21．（23-24高三上·浙江杭州）已知函數(shù)滿足．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)若關(guān)于x的方程恰有四個不同的實根，求實數(shù)k的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【知識點】根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍、函數(shù)方程組法求解析式
【分析】（1）構(gòu)造等式，即可解得的解析式；
（2）對k的符號分類討論，其中時，由參變分離可得恰有四個不相等的實根，結(jié)合對勾函數(shù)性質(zhì)數(shù)形結(jié)合討論即可.
【詳解】（1）由題意得：，∴，
解得；
（2）i.當(dāng)時，明顯無解；
ii.當(dāng)時，只有一個實根，不符合條件；
iii.當(dāng)時，恰有四個不相等的實根.
∴與共有四個不相等的實根.
∴解得或，∴或，
∴實數(shù)k的取值范圍是．
22．（23-24高一上·云南昆明）已知函數(shù)為奇函數(shù)．
(1)求常數(shù)的值；
(2)當(dāng)時，判斷的單調(diào)性；
(3)若函數(shù)，且在區(qū)間上沒有零點，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)單調(diào)遞增
(3)
【知識點】對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍、由奇偶性求參數(shù)
【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)值；
（2）令，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷的大小關(guān)系即可.
（3）將問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上無解，根據(jù)右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性求值域，即可確定m的范圍.
【詳解】（1）由，即，
所以，故，則，
當(dāng)時，顯然不成立，經(jīng)驗證：符合題意；
所以；
（2）單調(diào)遞增
由（1）知：，若，
則，
而，即，
所以，故單調(diào)遞增.
（3）由，令，
所以，由（2）知：在上遞增，而在上遞減，
所以在上遞減，則.
又在區(qū)間上無解，故
考點聚焦：核心考點+高考考點，有的放矢
重點專攻：知識點和關(guān)鍵點梳理，查漏補缺
難點強化：難點內(nèi)容標注與講解，能力提升
提升專練：真題感知+精選專練，全面突破
底數(shù)
圖象
性質(zhì)
定義域
值域
單調(diào)性
增函數(shù)
減函數(shù)

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