【考點1】 并、交、補集的簡單運算
【考點2】根據(jù)元素與集合的關系求參數(shù)
【考點3】根據(jù)集合中元素個數(shù)求參數(shù)
【考點4】判斷兩個集合的包含關系
【考點5】根據(jù)集合的包含關系求參數(shù)
【考點6】根據(jù)集合的并、交、補集運算結果求參數(shù)
【考點7】集合新定義題
【考點8】充分性與必要性的判斷
【考點9】根據(jù)充分性與必要性求參數(shù)
【考點10】根據(jù)命題的真假求參數(shù)
知識點 1：元素與集合
1元素與集合的關系
(1)屬于(belng t)：如果是集合的元素，就說屬于，記作 .
(2)不屬于(nt belng t)：如果不是集合的元素，就說不屬于，記作.
特別說明：表示一個元素，表示一個集合.它們間的關系為：.
2集合元素的三大特性
（1）確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的，也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了，我們把這個性質(zhì)稱為集合元素的確定性.
（2）互異性（考試常考特點，注意檢驗集合的互異性）：一個給定集合中元素是互不相同的，也就是說，集合中的元素是不重復出現(xiàn)的，我們把這個性質(zhì)稱為集合元素的互異性.
（3）無序性：集合中的元素是沒有固定順序的，也就是說，集合中的元素沒有前后之分，我們把這個性質(zhì)稱為集合元素的無序性.
知識點2：子集
1子集：
一般地，對于兩個集合，，如果集合中任意一個元素都是集合中的元素，我們就說這兩個集合有包含關系，稱集合為集合的子集
（1）記法與讀法：記作(或)，讀作“含于”(或“包含”)
（2）性質(zhì)：
①任何一個集合是它本身的子集，即.
②對于集合，，，若，且，則
（3）圖表示：
2集合與集合的關系與元素與集合關系的區(qū)別
符號“”表示集合與集合之間的包含關系,而符號“”表示元素與集合之間的從屬關系.
知識點3：真子集的含義
如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集;
（1）記法與讀法：記作，讀作“真包含于”(或“真包含”)
（2）性質(zhì)：
①任何一個集合都不是是它本身的真子集.
②對于集合，，，若，且，則
（3）圖表示：
知識點4：并集
一般地，由所有屬于集合或屬于集合的元素組成的集合稱為集合與集合的并集，記作 （讀作：并）.記作：.
并集的性質(zhì)：,,,,.
高頻性質(zhì)：若.
圖形語言
知識點5：交集
一般地，由既屬于集合又屬于集合的所有元素組成的集合即由集合和集合的相同元素組成的集合，稱為集合與集合的交集，記作（讀作：交）.記作：.
交集的性質(zhì)：,,,,.
高頻性質(zhì)：若.
圖形語言
知識點6：全集與補集
全集：在研究某些集合的時候，它們往往是某個給定集合的子集，這個給定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的這些集合.
補集：設是全集，是的一個子集（即）,則由中所有不屬于集合的元素組成的集合，叫做中子集的補集，記作 ，即.
補集的性質(zhì)： , , .
知識點7： 充分條件、必要條件與充要條件的概念
（1）若，則是的充分條件，是的必要條件；
（2）若且，則是的充分不必要條件；
（3）若且，則是的必要不充分條件；
（4） 若，則是的充要條件；
（5）若且，則是的既不充分也不必要條件.
知識點8 ：全稱量詞命題和存在量詞命題的否定
1全稱量詞命題及其否定（高頻考點）
①全稱量詞命題：對中的任意一個，有成立；數(shù)學語言：.
②全稱量詞命題的否定：.
2存在量詞命題及其否定（高頻考點）
①存在量詞命題：存在中的元素，有成立；數(shù)學語言：.
②存在量詞命題的否定：.
題型歸納
【考點1】 并、交、補集的簡單運算
1．（2024·北京·高考真題）已知集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·全國·高考真題（甲卷文））若集合，，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全國·高考真題（甲卷理））已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·全國·高考真題（新課標Ⅰ卷））已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
【考點2】根據(jù)元素與集合的關系求參數(shù)
1．（2024·廣東河源·模擬預測）已知集合，，若且，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·北京·三模）已知集合，若，則可能是（ ）
A．B．1C．2D．3
3．（多選）（2024·河南·模擬預測）已知，則的值可以為（ ）
A．2B．64C．256D．1024
4．（2024·上海寶山·二模）已知集合，且，則實數(shù)的值為 .
【考點3】根據(jù)集合中元素個數(shù)求參數(shù)
1．（2024·全國·模擬預測）已知集合，，若中有2個元素，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·陜西寶雞·一模）若集合中只有一個元素，則實數(shù)（ ）
A．1B．0C．2D．0或1
3．（2024·全國·模擬預測）已知集合，，若中有2個元素，則實數(shù)a的取值范圍是 ．
【考點4】判斷兩個集合的包含關系
1．（2024·寧夏·模擬預測）設集合，則（ ）
A．?B．?
C．D．
2．（2024·江西·一模）已知集合，，，則（ ）
A．?B．C．?D．?
3．（2024·湖北·模擬預測）已知集合，則下列表述正確的是（ ）
A．B．C．D．
【考點5】根據(jù)集合的包含關系求參數(shù)
1．（2024·北京朝陽·模擬預測）已知集合，若集合A、B滿足：，則集合對共有（ ）個．
A．36B．48C．64D．81
2．（2024·河南·模擬預測）已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·江西新余·模擬預測）已知集合，，若，則的取值范圍是（ ）.
A．B．C．D．
4．（2024·河南·模擬預測）已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【考點6】根據(jù)集合的并、交、補集運算結果求參數(shù)
1．（2024·陜西商洛·一模）已知集合，若，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2024·河南·模擬預測）已知集合，且，則實數(shù)的最小值為（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（2024·福建·模擬預測）設集合，若，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·廣東韶關·一模）已知集合，寫出滿足條件的整數(shù)的一個值 .
5．（2024·安徽·模擬預測）已知，，若，則的取值范圍為 ．
【考點7】集合新定義題
1．（24-25高一上·上海楊浦·開學考試）已知集合A為非空數(shù)集，對于集合A，定義對A中任意兩個不同元素相加得到一個絕對值，將這些絕對值重新組成一個新的集合，對于這一過程，我們定義為“自相加”，重新組成的集合叫做“集合A的1次自相加集合”，再次進行n－1次“自相加”操作，組成的集合叫做“集合A的n次自相加集合”，若集合A的任意k次自相加集合都不相等，則稱集合A為“完美自相加集合”，同理，我們可以定義出“A的1次自相減集合”，集合A的1次自相加集合和1次自相減集合分別可表示為：.
(1)已知有兩個集合，集合，集合，判斷集合B和集合C是否是完美自相加集合并說明理由；
(2)對（1）中的集合B進行11次自相加操作后，求：集合B的11次自相加集合的元素個數(shù)；
(3)若且，集合，，求：的最小值．
2．（2025·江蘇南通·一模）已知有限集，若，則稱為“完全集”.
(1)判斷集合是否為“完全集”，并說明理由；
(2)若為“完全集”，且，用列舉法表示集合（不需要說明理由）；
(3)若集合為“完全集”，且均大于0，證明：中至少有一個大于2.
3．（2024·安徽馬鞍山·三模）已知S是全體復數(shù)集的一個非空子集，如果，總有，則稱S是數(shù)環(huán)．設是數(shù)環(huán)，如果①內(nèi)含有一個非零復數(shù)；②且，有，則稱是數(shù)域．由定義知有理數(shù)集是數(shù)域．
(1)求元素個數(shù)最小的數(shù)環(huán)；
(2)證明：記，證明：是數(shù)域；
(3)若是數(shù)域，判斷是否是數(shù)域，請說明理由．
4．（2024·全國·模擬預測）已知有序數(shù)對，有序數(shù)對，定義“變換”：，，，可以將有序數(shù)對轉化為有序數(shù)對．
(1)對于有序數(shù)對，不斷進行“變換”，能得到有序數(shù)對嗎？請說明理由．
(2)設有序數(shù)對經(jīng)過一次“變換”得到有序數(shù)對，且有序數(shù)對的三項之和為2024，求的值．
(3)在（2）的條件下，若有序數(shù)對經(jīng)過次“變換”得到的有序數(shù)對的三項之和最小，求的最小值．
【考點8】充分性與必要性的判斷
1．（2024·山東威海·一模）已知命題，命題，則成立是成立的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
2．（2024·浙江臺州·一模）已知集合，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．（2024·河南·模擬預測）若，則使成立的一個充分不必要條件為（ ）
A．B．C．D．
【考點9】根據(jù)充分性與必要性求參數(shù)
1．（2024·湖北黃岡·一模）已知集合，若“”是“”的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍是 .
2．（2024·山西·模擬預測）已知集合，.
(1)若，，且是的必要不充分條件，求的取值范圍；
3．（2024·四川遂寧·模擬預測）已知集合，函數(shù)的定義域為.
(1)若集合，求集合；
(2)在（1）條件下，若，求；
(3)在（1）條件下，若“”是“”充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.
4．（23-24高一上·遼寧·階段練習）已知集合、集合（）.
(1)若，求實數(shù)的取值范圍；
(2)設命題：；命題：，若命題是命題的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.
【考點10】根據(jù)命題的真假求參數(shù)
1．（2024·河南·模擬預測）已知命題“”是假命題，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．0,4B．0,4C．0,2D．0,2
2．（2024·四川涼山·二模）已知命題“，”是假命題，則m的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·上海長寧·一模）若“存在，使得”是假命題，則實數(shù)的取值范圍 .
4．（23-24高三上·安徽銅陵·階段練習）若命題“，使得”是假命題，則的取值范圍是 ．
過關檢測
一、單選題
1．（2024·天津·高考真題）集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全國·高考真題）已知命題p：，；命題q：，，則（ ）
A．p和q都是真命題B．和q都是真命題
C．p和都是真命題D．和都是真命題
3．（2024·寧夏吳忠·一模）已知集合，，則（ ）
A．B．
C．，或D．
4．（2024·福建·三模）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·山東威?！ひ荒＃┮阎?，，則（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·河北石家莊·模擬預測）設集合，，則（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·陜西榆林·模擬預測）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．既不充分也不必要條件D．充要條件
8．（2024·吉林長春·模擬預測）設，則使成立的一個充分不必要條件是（ ）
A．B．
C．D．
9．（24-25高一上·江蘇南京·階段練習）已知命題：命題.若p為假命題，q為真命題，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024·全國·模擬預測）設集合，，若，則a的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2025·全國·模擬預測）已知：哥德巴赫猜想認為任一大于2的偶數(shù)都可寫成兩個質(zhì)數(shù)之和．定義為全體素數(shù)的集合，那么以下形式化命題中和哥德巴赫猜想不等價的是（ ）
A．，，，
B．
C．
D．或
二、多選題
12．（2024·吉林長春·模擬預測）對于集合，若，則稱為對偶互存集，則下列為對偶互存集的是（ ）
A．B．
C．D．
13．（24-25高一上·廣西南寧·階段練習）下列說法正確的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要條件
B．. 是的必要不充分條件
C．若，，，則“”的充要條件是“”
D．若，，則“”是“”的充要條件
14．（2024·新疆烏魯木齊·三模），運算“”為，則（ ）
A．B．
C．D．若，則
三、填空題
15．（2022·福建寧德·模擬預測）已知命題，命題，若命題是命題的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是 ．
16．（2024·海南·模擬預測）已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍為 .
17．（2024·江蘇常州·三模）集合，，若，則實數(shù)m的取值范圍為 ．
18．（2024·全國·模擬預測）已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是 ．
19．（2024·山東泰安·三模）已知集合，，若，則的取值范圍是 .
20．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）設表示不超過的正整數(shù)集合，表示k個元素的有限集，表示集合A中所有元素的和，集合，則 ；若，則m的最大值為 ．
四、解答題
21．（2024·寧夏·模擬預測）已知集合.
(1)若，且是的必要不充分條件，求的取值范圍；
(2)若函數(shù)的定義域為，且，求的取值范圍.
22．（23-24高一上·湖北·期中）已知集合，或x≥4，為實數(shù)集．
(1)若，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若“”是“”的充分不必要條件，且，求實數(shù)的取值范圍．
23．（2023·安徽·模擬預測）已知集合，集合，全集為.
(1)若，求；
(2)若“”是“”的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.
24．（23-24高一上·河南信陽·階段練習）已知：，：.
(1)若是真命題，求對應的取值范圍；
(2)若是的必要不充分條件，求的取值范圍.
考點聚焦：核心考點+高考考點，有的放矢
重點專攻：知識點和關鍵點梳理，查漏補缺
難點強化：難點內(nèi)容標注與講解，能力提升
提升專練：真題感知+精選專練，全面突破

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