專題05 三角函數(shù)-【寒假提升課】2025年高一數(shù)學(xué)寒假提升試題（人教A版2019）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【考點(diǎn)1】任意角的三角函數(shù)
【考點(diǎn)2】同角三角函數(shù)基本關(guān)系
【考點(diǎn)3】三角函數(shù)單調(diào)性
【考點(diǎn)4】三角函數(shù)周期性
【考點(diǎn)5】三角函數(shù)奇偶性
【考點(diǎn)6】三角函數(shù)對(duì)稱性
【考點(diǎn)7】三角函數(shù)圖象變化
【考點(diǎn)8】根據(jù)圖象求解析式
【考點(diǎn)9】與取值范圍有關(guān)的問題
【考點(diǎn)10】三角函數(shù)綜合（解答題）
【考點(diǎn)11】三角函數(shù)中的零點(diǎn)問題
【考點(diǎn)12】三角函數(shù)中的恒成立問題
知識(shí)點(diǎn) 1 ：任意角的三角函數(shù)定義
1、單位圓定義法：
如圖,設(shè)是一個(gè)任意角,,它的終邊與單位圓相交于點(diǎn)
①正弦函數(shù)：把點(diǎn)的縱坐標(biāo)叫做的正弦函數(shù),記作,即
②余弦函數(shù)：把點(diǎn)的橫坐標(biāo)叫做的余弦函數(shù),記作,即
③正切函數(shù)：把點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值叫做的正切,記作,即()
我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)
2、終邊上任意一點(diǎn)定義法：
在角終邊上任取一點(diǎn)，設(shè)原點(diǎn)到點(diǎn)的距離為
①正弦函數(shù)：②余弦函數(shù)： ③正切函數(shù)：()
知識(shí)點(diǎn)2：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
1、平方關(guān)系：
2、商數(shù)關(guān)系:（，）
知識(shí)點(diǎn)3：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性和奇偶性
知識(shí)點(diǎn)4：正弦、余弦型函數(shù)的常用周期
知識(shí)點(diǎn)5：根據(jù)圖象求解析式
形如的解析式求法：
1、求法：
①觀察法：代表偏離平衡位置的最大距離；平衡位置.
②代數(shù)法：記的最大值為,最小值為；則：，聯(lián)立求解.
2、求法：通過觀察圖象，計(jì)算周期，利用公式，求出.
3、求法：
①第一關(guān)鍵點(diǎn)法：通過觀察圖象找出第一關(guān)鍵點(diǎn)，將第一關(guān)鍵點(diǎn)代入求解.
（第一關(guān)鍵點(diǎn)判斷方法：圖象呈上升狀態(tài)與平衡位置的交點(diǎn),且該點(diǎn)離軸最近）
②最值代入法：通過觀察圖象的最高點(diǎn)（或者最低點(diǎn)）代入解析式求解.
③特殊點(diǎn)法：當(dāng)圖象給出的信息缺乏①②中的條件，可以尋找圖象的其它特殊點(diǎn)代入解析式求解，但用此法求解，若有多個(gè)答案注意根據(jù)條件取舍答案.
題型歸納
【考點(diǎn)1】任意角的三角函數(shù)
1．（2024·福建·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，將角的終邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后經(jīng)過點(diǎn)，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】由終邊或終邊上的點(diǎn)求三角函數(shù)值、用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值
【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義得到，，利用湊角法求出答案.
【詳解】由題意得，，
故
.
故選：B
2．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】由終邊或終邊上的點(diǎn)求三角函數(shù)值、特殊角的三角函數(shù)值
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義計(jì)算．
【詳解】，，
所以，
故選：A．
3．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為始邊的角，其終邊落在直線上，則（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】由終邊或終邊上的點(diǎn)求三角函數(shù)值、二倍角的正弦公式
【分析】根據(jù)條件，利用三角函數(shù)的定義，直接求出，再利用倍角公式求出，即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊落在直線上，
當(dāng)角的終邊在第一象限時(shí)，終邊過點(diǎn)，
此時(shí)，，，，
當(dāng)角的終邊在第三象限時(shí)，終邊過點(diǎn)，
此時(shí)，，，，
故選：C.
4．（2024·山東·一模）已知時(shí)，當(dāng)時(shí)，．
【答案】或.
【知識(shí)點(diǎn)】已知三角函數(shù)值求角
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.
【詳解】因?yàn)椋?，則或.
故答案為：或.
【考點(diǎn)2】同角三角函數(shù)基本關(guān)系
1．（2024·全國·高考真題）已知，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】正、余弦齊次式的計(jì)算、用和、差角的正切公式化簡(jiǎn)、求值
【分析】先將弦化切求得，再根據(jù)兩角和的正切公式即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，，
所以，
故選：B.
2．（2024·廣東韶關(guān)·一模）已知為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】正、余弦齊次式的計(jì)算、用和、差角的余弦公式化簡(jiǎn)、求值
【分析】根據(jù)韋達(dá)定理求出，利用三角函數(shù)和與差的正弦和余弦公式將展開，分子分母同時(shí)除以，代入即可得出答案.
【詳解】因?yàn)闉榉匠痰膬筛?br>由韋達(dá)定理，得，
則.
故選：C.
3．（2024·浙江金華·一模）已知，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】正、余弦齊次式的計(jì)算、用和、差角的正切公式化簡(jiǎn)、求值
【分析】根據(jù)兩角和的正切公式可得的值，再將弦化切，即可求解.
【詳解】由得，即，解得，
所以，
故選：B.
4．（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）已知，則
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】正、余弦齊次式的計(jì)算
【分析】將原式中的分子、分母同除以，再將代入即可.
【詳解】.
故答案為：
【考點(diǎn)3】三角函數(shù)單調(diào)性
1．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則的取值范圍（）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
【分析】由正弦函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合為正弦函數(shù)遞增區(qū)間的子區(qū)間求解即可；
【詳解】由正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，
所以，
因?yàn)樵趨^(qū)間單調(diào)遞增，
所以，解得，，
因?yàn)椋裕?br>故選：A.
2．（2024·全國·二模）如圖，已知函數(shù)，點(diǎn)A，B是直線與函數(shù)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)，若，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）

A．B．
C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】求csx型三角函數(shù)的單調(diào)性、由圖象確定正（余）弦型函數(shù)解析式
【分析】根據(jù)可知，或，可得的值，進(jìn)而代入可求解，即可得，由整體法即可求解單調(diào)性.
【詳解】設(shè)，由，不妨設(shè)，可得，
由可知，或，由圖可知，
，，即故，
，結(jié)合圖象，得，
即..
若時(shí)，由，由，由可知，或，由圖可知，
，，即故，
則，
，結(jié)合圖象，得，
即..
由，得.
故的單調(diào)遞減區(qū)間為.
故選：B
3．（23-24高一下·江西贛州·期中）函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】求正切型三角函數(shù)的單調(diào)性、由圖象確定正切（型）函數(shù)解析式
【分析】由條件列方程求，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)求的單調(diào)遞增區(qū)間.
【詳解】依題意，，且，
即且，
因?yàn)?，所以?br>則，
所以，化簡(jiǎn)得，
因?yàn)?，所以時(shí)，故，
所以．
由，得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間是．
故選：D．
4．（2024·湖南長(zhǎng)沙·二模）已知函數(shù)的最小正周期為，直線是圖象的一條對(duì)稱軸，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】求正切型三角函數(shù)的單調(diào)性、由正切函數(shù)的周期求值、正切函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用
【分析】根據(jù)的最小正周期確定的值，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱軸求出，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式，即可求得答案.
【詳解】由于的圖象是將的圖象在x軸下方部分翻折到x軸上方，
且僅有單調(diào)遞增區(qū)間，
故和的最小正周期相同，均為，
則，即，
又直線是圖象的一條對(duì)稱軸，則，
即，結(jié)合，得，
故，令，則，
即的單調(diào)遞減區(qū)間為，
故選：B
5．（2025·黑龍江齊齊哈爾·一模）已知函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，若在上是增函數(shù)，則正數(shù)m的取值范圍是 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)、利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性求參數(shù)
【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)對(duì)稱軸與周期的關(guān)系，結(jié)合正弦型函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，
所以，解得，即，
因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，則，
所以函數(shù)的增區(qū)間包含，
令，得，
所以，所以故的取值范圍為.
故答案為：
6．（2024·全國·二模）已知函數(shù)，，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】求csx型三角函數(shù)的單調(diào)性
【分析】利用整體代換法求出余弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間即可.
【詳解】由題意知，，
由，得，
令，得，令，則，
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.
故答案為：
7．（2024·遼寧本溪·一模）已知函數(shù).
(1)求的最小正周期和最大值；以及取最大值時(shí)相應(yīng)的值；
(2)討論在上的單調(diào)性.
【答案】(1)，最大值為，
(2)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為
【知識(shí)點(diǎn)】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、求正弦（型）函數(shù)的最小正周期、三角恒等變換的化簡(jiǎn)問題、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性
【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，進(jìn)而可得周期與最值；
（2）利用整體代入法可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
【詳解】（1），
所以的最小正周期，
當(dāng)時(shí)，取最大值為，此時(shí)，，即，；
（2）當(dāng)時(shí)，有，
從而時(shí)，即時(shí)，單調(diào)遞增，
時(shí)，即時(shí)，單調(diào)遞減，
綜上所述，單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.
【考點(diǎn)4】三角函數(shù)周期性
1．（2024·河北·三模）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，則周期的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、求正弦（型）函數(shù)的最小正周期、輔助角公式
【分析】先利用輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合正弦函數(shù)的零點(diǎn)求出零點(diǎn)的表達(dá)式，結(jié)合已知條件，求出的最大值，從而可求周期的最小值．
【詳解】，
令得，所以，，
因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，
所以，只需且，解得，
令得，得，
因?yàn)椋缘娜≈捣秶?br>所以周期的最小值是，
故選：．
2．（2024·湖南湘西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的最小正周期為10，則（）
A．B．C．D．1
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】已知正（余）弦求余（正）弦、求余弦（型）函數(shù)的最小正周期、二倍角的余弦公式、三角恒等變換的化簡(jiǎn)問題
【分析】利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式與倍角公式化簡(jiǎn)，從而利用余弦函數(shù)的周期公式求得，進(jìn)而代入即可得解.
【詳解】
，
又的最小正周期為10，所以，解得，
則，則.
故選：C.
3．（2024·上海·高考真題）下列函數(shù)的最小正周期是的是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】求正弦（型）函數(shù)的最小正周期、求余弦（型）函數(shù)的最小正周期、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式
【分析】根據(jù)輔助角公式、二倍角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系并結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可 .
【詳解】對(duì)A，，周期，故A正確；
對(duì)B，，周期，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C，，是常值函數(shù)，不存在最小正周期，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，，周期，故D錯(cuò)誤，
故選：A．
4．（2024·湖北荊州·三模）函數(shù)的最小正周期為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】求正切（型）函數(shù)的周期
【分析】根據(jù)條件，利用三角函數(shù)的周期公式，即可求出結(jié)果
【詳解】由周期公式得.
故選：B
5．（2024·福建龍巖·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的最小正周期是 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】求正弦（型）函數(shù)的最小正周期、用和、差角的余弦公式化簡(jiǎn)、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式
【分析】由兩角和的余弦公式，二倍角的正余弦公式及輔助角公式化簡(jiǎn)，即可由正弦型函數(shù)周期得解.
【詳解】
，
所以函數(shù)周期,
故答案為：
【考點(diǎn)5】三角函數(shù)奇偶性
1．（2024·貴州銅仁·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖象向右平移，個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得函數(shù)為偶函數(shù)，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】由正弦（型）函數(shù)的奇偶性求參數(shù)、求圖象變化前（后）的解析式
【分析】先求得平移后的解析式，然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性求得.
【詳解】函數(shù)的圖象向右平移，
得到，
由于偶函數(shù)，所以，
由于，所以取，得.
故選：D
2．（2024·四川樂山·三模）已知，若存在常數(shù)，使得為奇函數(shù)，則的可能值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】由余弦（型）函數(shù)的奇偶性求參數(shù)、由奇偶性求參數(shù)
【分析】根據(jù)給定條件，利用奇函數(shù)的定義，結(jié)合余弦型函數(shù)的奇偶性求解即得.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，由為奇函數(shù)，
得是奇函數(shù)，
則必有函數(shù)是偶函數(shù)，函數(shù)是奇函數(shù)，
此時(shí)，
因此，當(dāng)時(shí)，，
不存在整數(shù)，使得值為BCD，
當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù).
故選：A
3．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)為奇函數(shù)，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】由正切（型）函數(shù)的奇偶性求參數(shù)
【分析】分0在定義域內(nèi)和0不在定義域內(nèi)兩種情況進(jìn)行討論即可求得答案.
【詳解】若0在定義域內(nèi)，由時(shí)，得，；
若0不在定義域內(nèi)，由時(shí)，無意義，得．
綜上，．
故選：C．
4．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·三模）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則實(shí)數(shù) m的值為 .
【答案】/
【知識(shí)點(diǎn)】由正弦（型）函數(shù)的奇偶性求參數(shù)、求圖象變化前（后）的解析式、輔助角公式
【分析】運(yùn)用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式為正弦型函數(shù)，再利用正弦型函數(shù)的奇偶性和圖象變換的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】，
將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，
解析為，而的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
所以函數(shù)為偶函數(shù)，
因此有，
因?yàn)?，所以，即?br>故答案為：
5．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)，則的最小值為．
【答案】/
【知識(shí)點(diǎn)】由余弦（型）函數(shù)的奇偶性求參數(shù)、相位變換及解析式特征、三角恒等變換的化簡(jiǎn)問題
【分析】根據(jù)題意可得，并圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)，可得，從而結(jié)合題意可得的最小值.
【詳解】，
圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到是偶函數(shù)，
，的最小值為.
故答案為：.
【考點(diǎn)6】三角函數(shù)對(duì)稱性
1．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)圖像的一條對(duì)稱軸為，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性求參數(shù)
【分析】直接利用對(duì)稱性，取特殊值，即可求出.
【詳解】由的圖象關(guān)于對(duì)稱，
可知：，即，則．
故選：A．
2．（2024·四川南充·一模）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，若方程在上恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性求參數(shù)、輔助角公式
【分析】利用輔助角公式及函數(shù)的對(duì)稱性求出，即可得到函數(shù)解析式，再求出函數(shù)在上的單調(diào)性，求出端點(diǎn)函數(shù)值與最大值，依題意與在上恰有兩個(gè)交點(diǎn)，即可求出參數(shù)的取值范圍.
【詳解】因?yàn)椋ㄆ渲校?br>又函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且，
所以，解得，
所以，
當(dāng)時(shí)，則，
令，解得，且，
令，解得，且，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，，
因?yàn)榉匠淘谏锨∮袃蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，即與在上恰有兩個(gè)交點(diǎn)，
所以，即的取值范圍是.
故選：C
3．（2024·天津河西·二模）若函數(shù)滿足對(duì)于，，，則的解析式可能為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】求正弦（型）函數(shù)的最小正周期、求正弦（型）函數(shù)的對(duì)稱軸及對(duì)稱中心、求余弦（型）函數(shù)的最小正周期、求csx（型）函數(shù)的對(duì)稱軸及對(duì)稱中心
【分析】依題意可得關(guān)于對(duì)稱，且是以為周期的周期函數(shù)，再根據(jù)各選項(xiàng)一一判斷即可.
【詳解】因?yàn)椋躁P(guān)于對(duì)稱，
又，則，
所以是以為周期的周期函數(shù)；
對(duì)于A：若，則最小正周期，
又，所以不關(guān)于對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：若，則最小正周期，
又，所以不關(guān)于對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：若，則最小正周期，
則，又不恒成立，所以不恒成立，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：若，則最小正周期，
又，滿足關(guān)于對(duì)稱，故D正確.
故選：D
4．（多選）（23-24高三上·重慶·期末）下列函數(shù)中，其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的是（）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【知識(shí)點(diǎn)】求正弦（型）函數(shù)的對(duì)稱軸及對(duì)稱中心、求csx（型）函數(shù)的對(duì)稱軸及對(duì)稱中心、求正切（型）函數(shù)的對(duì)稱中心
【分析】利用三角函數(shù)的性質(zhì)，把代入驗(yàn)證即可判斷得解.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，A不是；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，B是；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，C是；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，正切值不存在，D是.
故選：BCD
5．（2024·河南開封·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，那么的最小值為．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】利用csx（型）函數(shù)的對(duì)稱性求參數(shù)
【分析】根據(jù)余弦函數(shù)圖像的性質(zhì)，代入對(duì)稱中心，求得，由此最小值即可求解.
【詳解】的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
，即，
令，可得的最小值為．
故答案為：
【考點(diǎn)7】三角函數(shù)圖象變化
1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖象向右平移φ個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】相位變換及解析式特征、描述正（余）弦型函數(shù)圖象的變換過程、求圖象變化前（后）的解析式、輔助角公式
【分析】根據(jù)輔助角公式，結(jié)合三角函數(shù)平移的性質(zhì)即可求解.
【詳解】因?yàn)椋渲校?br>因?yàn)榈膱D象向右平移φ個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)，
所以，所以.
故選：A.
2．（2024·福建廈門·三模）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象，則（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】相位變換及解析式特征、輔助角公式
【分析】先將化為正弦型，然后由平移規(guī)律可得答案.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以.
故選：A
3．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，其圖象與函數(shù)的圖象重合，則的值可以為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】相位變換及解析式特征、結(jié)合三角函數(shù)的圖象變換求三角函數(shù)的性質(zhì)
【分析】利用三角函數(shù)圖象的平移變換，代入計(jì)算即可.
【詳解】由題可得的圖象與函數(shù)的圖象重合，
則，即，，
解得，，故的值可以為.
故選：D．
4．（2024·安徽蚌埠·三模）已知函數(shù)，則要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）
A．向左平移個(gè)單位B．向右平移個(gè)單位
C．向左平移個(gè)單位D．向右平移個(gè)單位
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】相位變換及解析式特征、描述正（余）弦型函數(shù)圖象的變換過程
【分析】利用三角函數(shù)的平移法則求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位即可，
故選：C.
5．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）
A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】相位變換及解析式特征、輔助角公式
【分析】首先將函數(shù)利用輔助角公式化成一個(gè)三角函數(shù)，再根據(jù)平移規(guī)則求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以只需將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象.
故選：A.
【考點(diǎn)8】根據(jù)圖象求解析式
1．（2024·四川自貢·三模）函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，的圖象與y軸交于M點(diǎn)，與x軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)N在圖象上，點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱，下列說法錯(cuò)誤的是（）
A．函數(shù)的最小正周期是
B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C．函數(shù)在單調(diào)遞增
D．函數(shù)的圖象向右平移后，得到函數(shù)的圖象，則為奇函數(shù)
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】求正弦（型）函數(shù)的最小正周期、求正弦（型）函數(shù)的對(duì)稱軸及對(duì)稱中心、由圖象確定正（余）弦型函數(shù)解析式、求圖象變化前（后）的解析式
【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)M、N關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱得到點(diǎn)橫坐標(biāo)，從而得到最小正周期；B選項(xiàng)，根據(jù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱和最小正周期得到B正確；C選項(xiàng)，求出，將代入解析式求出，，從而利用整體法判斷出在不單調(diào)；D選項(xiàng)，求出，得到其奇偶性.
【詳解】A選項(xiàng)，點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱，故，
設(shè)的最小正周期為，則，故，A正確；
B選項(xiàng)，可以看出函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
又的最小正周期，
故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B正確；
C選項(xiàng)，又，故，
，故將代入解析式得，
解得，
又，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，滿足要求，故，
又當(dāng)時(shí)，，故，
則，
當(dāng)時(shí)，，
由于在上不單調(diào)，
故在上不單調(diào)，C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，，定義域?yàn)镽，
又，為奇函數(shù)，D正確.
故選：C
2．（多選）（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，則（）．

A．該函數(shù)的解析式為
B．該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為，
C．該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，
D．把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，可得到該函數(shù)圖象
【答案】ACD
【知識(shí)點(diǎn)】求正弦（型）函數(shù)的對(duì)稱軸及對(duì)稱中心、由圖象確定正（余）弦型函數(shù)解析式、求圖象變化前（后）的解析式、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性
【分析】對(duì)于選項(xiàng)A：根據(jù)圖像和已知條件求出和最小正周期，然后利用正弦型函數(shù)的最小正周期公式求出，通過代點(diǎn)求出即可；對(duì)于選項(xiàng)BC：結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，利用整體代入法求解即可；對(duì)于選項(xiàng)D：利用伸縮變換即可求解.
【詳解】由題圖可知，，周期，
所以，則，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，即，
所以，，即，，
又，故，
從而，故A正確；
令，，得，，故B錯(cuò)誤；
令，，
得，，故C正確；
函數(shù)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，
可得到，故D正確．
故選:ACD
3．（多選）（2024·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）如圖是函數(shù)（，，）的部分圖象，是圖象的一個(gè)最高點(diǎn)，是圖象與軸的交點(diǎn)，，是圖象與軸的交點(diǎn)，且，的面積等于，則下列說法正確的是（）

A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
B．函數(shù)的最小正周期為
C．函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到
D．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，
【答案】ABC
【知識(shí)點(diǎn)】求正弦（型）函數(shù)的對(duì)稱軸及對(duì)稱中心、由圖象確定正（余）弦型函數(shù)解析式、求圖象變化前（后）的解析式、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性
【分析】由圖像可得，再根據(jù)三角形面積可得，進(jìn)而可得函數(shù)的最小正周期與，再結(jié)合，可得函數(shù)解析式，進(jìn)而可判斷圖像性質(zhì)及平移變換.
【詳解】由圖象可知，，
即，所以，故B選項(xiàng)正確；
即，所以，
且圖象過點(diǎn)，即，
又，所以，
所以，
令，，解得，，
所以函數(shù)的對(duì)稱中心為，
當(dāng)時(shí)，對(duì)稱中心為，故A選項(xiàng)正確；
將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，故C選項(xiàng)正確；
令，，解得，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，
故選：ABC.
4．（多選）（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）
A．該圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得的圖象
B．函數(shù)y=fx的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C．函數(shù)y=fx的圖像關(guān)于直線對(duì)稱
D．函數(shù)y=fx在上單調(diào)遞減
【答案】ABC
【知識(shí)點(diǎn)】求正弦（型）函數(shù)的對(duì)稱軸及對(duì)稱中心、由圖象確定正（余）弦型函數(shù)解析式、求圖象變化前（后）的解析式、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性
【分析】利用圖象求出函數(shù)的解析式，利用三角函數(shù)圖象變換可判斷A選項(xiàng).利用正弦型函數(shù)的對(duì)稱性可判斷BC選項(xiàng)；利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項(xiàng)；
【詳解】由圖象知，，函數(shù)的周期，則，則，由得，而，則，因此.對(duì)于A，函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，即的圖象，故A正確，
對(duì)于B，，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；
對(duì)于C，，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故C正確；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，所以函數(shù)在上不單調(diào)，故D錯(cuò)誤.
故選:ABC.
5．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，點(diǎn)，
(1)求的解析式；
(2)將的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，再將所得圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，求在區(qū)間上的最值.
【答案】(1)
(2)最小值為，最大值為1
【知識(shí)點(diǎn)】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、由圖象確定正（余）弦型函數(shù)解析式、求圖象變化前（后）的解析式
【分析】（1）由圖象可得，代入求出，由，結(jié)合圖象可得，求出，求出函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)伸縮和平移變換得到，整體法求出函數(shù)在上的最值.
【詳解】（1）由圖象知.
因?yàn)榈膱D象過點(diǎn)，所以，
又，所以，所以.
又的圖象過點(diǎn)，由“五點(diǎn)作圖法”可得，
所以.所以.
（2）由題意知，
當(dāng)時(shí)，，
所以，
則，
所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為1.
【考點(diǎn)9】與取值范圍有關(guān)的問題
1．（2024·廣東·二模）已知函數(shù)（，），，，且在區(qū)間上單調(diào)，則的最大值為( ).
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】利用余弦函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)、由正（余）弦函數(shù)的性質(zhì)確定圖象（解析式）
【分析】由題意計(jì)算出周期，再由周期求，又因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)，
所以列出不等式，計(jì)算出，判斷即可.
【詳解】由題意知，，則，
因?yàn)?，所以，又因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)，
所以，解得，則的最大值為.
故選：B.
2．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（）在上有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、正弦函數(shù)圖象的應(yīng)用
【分析】由條件結(jié)合零點(diǎn)的定義可得在上有三個(gè)根，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)列不等式可求的取值范圍.
【詳解】令，
則，
當(dāng)時(shí)，則，
因?yàn)楹瘮?shù)在上有三個(gè)零點(diǎn)，
所以，
∴，
故選：A.
3．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)滿足，則的取值可能為（）
A．6B．8C．10D．12
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】由正弦（型）函數(shù)的值域（最值）求參數(shù)、由正（余）弦函數(shù)的性質(zhì)確定圖象（解析式）
【分析】由結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，確定的范圍，再結(jié)合選項(xiàng)選出正確答案.
【詳解】由，則，即，又，因此，
又，即，
，或，
即，或，
又，因此結(jié)合選項(xiàng)知，可能取值為12.
故選：D.
4．（2024·廣東河源·模擬預(yù)測(cè)）在函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)中，任取兩點(diǎn)與原點(diǎn)組成三角形，這些三角形的面積的最小值為，則．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】利用csx（型）函數(shù)的對(duì)稱性求參數(shù)
【分析】設(shè)，，且，根據(jù)已知及余弦型函數(shù)的對(duì)稱性有，再由，，即可求參數(shù)值.
【詳解】原點(diǎn)到直線的距離為，設(shè)交點(diǎn)，，且，
由，即，
點(diǎn)，相鄰，且在的一條對(duì)稱軸兩側(cè)時(shí)，，
此時(shí)，，，兩式相減，得，
所以．
故答案為：
5．（2024·廣東佛山·一模）已知函數(shù)在上單調(diào)，且，則的最大值為．
【答案】/1.8
【知識(shí)點(diǎn)】由正弦（型）函數(shù)的周期性求值、利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性求參數(shù)
【分析】根據(jù)單調(diào)性分析可得，根據(jù)題意可得為的對(duì)稱中心，若求的最大值，即的最小值，根據(jù)圖像結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)分析求解即可.
【詳解】設(shè)的最小正周期為，且，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，則，可得，
又因?yàn)?，且，可知為的?duì)稱中心，
不妨設(shè)，如圖所示：
依次討論對(duì)應(yīng)為點(diǎn)，A，，種情況，且，
若對(duì)應(yīng)為點(diǎn)（或點(diǎn)之后），則，即，不合題意；
若求的最大值，即的最小值，即與之間包含的周期最多，
若對(duì)應(yīng)為點(diǎn)，則為的對(duì)稱軸，
且，則，，滿足，
且此時(shí)為最小值，所以取值的最大值為．
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于三角函數(shù)問題的處理，常常與周期性相結(jié)合，本題根據(jù)對(duì)稱性可得，并分析與之間包含的周期最多，即可得解.
【考點(diǎn)10】三角函數(shù)綜合（解答題）
1．（2024·山西臨汾·三模）已知函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象平移得到，且關(guān)于直線對(duì)稱．
(1)求的值；
(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．
【答案】(1)
(2)和．
【知識(shí)點(diǎn)】利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性求參數(shù)、由圖象確定正（余）弦型函數(shù)解析式、求圖象變化前（后）的解析式、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性
【分析】（1）根據(jù)題意求出振幅和周期，再由正顯函數(shù)的對(duì)稱軸解出，進(jìn)而得到，再代入解出即可；
（2）先由圖象平移得到，法一換元法整體代入求增區(qū)間；法二由正弦函數(shù)的遞增區(qū)間結(jié)合條件中范圍求出即可.
【詳解】（1）依題知函數(shù)與函數(shù)有相同的振幅和周期，所以，
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線軸對(duì)稱，
所以，
即，
又因?yàn)椋裕?br>所以，
．
（2）
法一：因?yàn)?，所以?br>因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，
故的單調(diào)遞增區(qū)間為和．
法二：
由，
得，
又因?yàn)?br>所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和．
2．（2024·北京延慶·一模）已知函數(shù)，的最大值為.
(1)求的值；
(2)將的圖象向右平移個(gè)單位得到的圖象，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
【答案】(1)
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】求圖象變化前（后）的解析式、二倍角的正弦公式、輔助角公式、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性
【分析】（1）先利用二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（2）利用三角函數(shù)的平移公式求出，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>其中，，
所以，
又因?yàn)椋獾?
（2）由（1）可得，
將的圖象向右平移個(gè)單位可得，
由得，
即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.
3．（2024·山東濟(jì)寧·二模）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，在上的值域?yàn)椋蟮娜≈捣秶?br>【答案】(1)
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】由正弦（型）函數(shù)的值域（最值）求參數(shù)、求圖象變化前（后）的解析式、輔助角公式、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性
【分析】（1）先化簡(jiǎn)，根據(jù)正弦函數(shù)的周期性即可得出答案；
（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換和對(duì)稱性求出、，再由三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】（1）
因?yàn)?，所以?br>所以當(dāng)，即：時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增．
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）由題意可知：
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱．
所以．解得：．
因?yàn)?，所以．所以?br>當(dāng)時(shí)，．因?yàn)樵谏系闹涤驗(yàn)?br>所以．解得：．所以的取值范圍為．
4．（24-25高三上·江蘇常州·開學(xué)考試）已知函數(shù)，的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心到最近的對(duì)稱軸的距離為．
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)縮短到原來的，再向右平移，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間上的值域．
【答案】(1)，
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】由正弦（型）函數(shù)的值域（最值）求參數(shù)、求圖象變化前（后）的解析式、三角恒等變換的化簡(jiǎn)問題、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性
【分析】（1）先化簡(jiǎn)，再利用相鄰對(duì)稱軸與對(duì)稱中心的距離求出周期，再求出參數(shù)，然后利用復(fù)合函數(shù)同增異減方式求出單調(diào)遞增區(qū)間即可；
（2）先根據(jù)題意求出，然后求其值域即可.
【詳解】（1）因?yàn)?br>，
又由題，所以，
所以，
令，，則，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，．
（2）由（1），故由題意可得，
∵，∴，
故，
所以，即．
5．（23-24高一下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示.
(1)求函數(shù)的解析式及對(duì)稱中心；
(2)求函數(shù)在上的值域.
(3)先將的圖像縱坐標(biāo)縮短到原來的倍，再向左平移個(gè)單位后得到的圖像，求函數(shù)y=gx在上的單調(diào)減區(qū)間.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【知識(shí)點(diǎn)】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、求正弦（型）函數(shù)的對(duì)稱軸及對(duì)稱中心、由圖象確定正（余）弦型函數(shù)解析式、結(jié)合三角函數(shù)的圖象變換求三角函數(shù)的性質(zhì)
【分析】（1）根據(jù)題意，求得，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；
（2）由，可得，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)的最值，即可求解；
（3）根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，求得，求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，結(jié)合，即可求解.
【詳解】（1）解：根據(jù)函數(shù)的部分圖像，
可得，所以，
再根據(jù)五點(diǎn)法作圖，可得，
又因?yàn)?，可得，所以?br>令，解得，
故函數(shù)對(duì)稱中心為.
（2）解：因?yàn)椋傻茫?br>當(dāng)時(shí)，即，；
當(dāng)時(shí)，即，，
所以函數(shù)的值琙為.
（3）解：先將的圖像縱坐標(biāo)縮短到原來的，可得的圖像，
再向左平移個(gè)單位，得到的圖像，
即.
令，解得，
可得的減區(qū)間為，
結(jié)合，可得在上的單調(diào)遞減區(qū)間為.
【考點(diǎn)11】三角函數(shù)中的零點(diǎn)問題
1．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）函數(shù)的部分圖象如圖所示．

(1)求函數(shù)的解析式；
(2)將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，求在上的最大值和最小值；
(3)若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)，；
(3)．
【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、由圖象確定正（余）弦型函數(shù)解析式、求圖象變化前（后）的解析式
【分析】（1）利用函數(shù)圖象的頂點(diǎn)求出，利用周期求出，由特殊點(diǎn)求出，即可求出解析式；
（2）利用三角函數(shù)圖象變換求得，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，利用換元法求得最值；
（3）結(jié)合函數(shù)的定義域和三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定其值域，由圖象即求.
【詳解】（1）由函數(shù)的部分圖象可知，
，，，又，
，解得，由可得，
；
（2）將向右平移個(gè)單位，得到，
再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到，
令，由，可得，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，，
可得，；
（3）因?yàn)殛P(guān)于的方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根，
即與的圖象在有兩個(gè)交點(diǎn).

由圖象可知符合題意的的取值范圍為.
2．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)將函數(shù)的圖象的橫坐標(biāo)縮小為原來的，縱坐標(biāo)不變，再將其向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象.若，函數(shù)有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、求圖象變化前（后）的解析式、輔助角公式、函數(shù)不等式恒成立問題
【分析】（1）利用三角恒等變形，轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù)，然后利用相位整體思想，結(jié)合正弦曲線，求出最值，即可得到答案；
（2）根據(jù)伸縮和平移變換，得到新的函數(shù)解析式，再同樣把相位看成一個(gè)整體，利用正弦曲線，數(shù)形結(jié)合，就可以判定端點(diǎn)值的取值范圍，從而得到解答.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，可得，
當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，
因?yàn)闀r(shí)，恒成立，所以，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
（2）由圖象的橫坐標(biāo)縮小為原來的，可得：，
再將其向右平移，可得：，
即函數(shù)，
因?yàn)?，所以，在給定區(qū)間的正弦函數(shù)的零點(diǎn)是，
再由函數(shù)有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則滿足，
解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍.
3．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測(cè)）如圖為函數(shù)的部分圖象，且，．
(1)求，的值；
(2)將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，討論函數(shù)在區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【答案】(1)，
(2)答案見解析
【知識(shí)點(diǎn)】由圖象確定正（余）弦型函數(shù)解析式、三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用、求圖象變化前（后）的解析式、求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)
【分析】（1）由周期求出，根據(jù)求出；
（2）首先求出的解析式，函數(shù)在區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)的圖象與直線在上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由的取值范圍，求出的取值范圍，再結(jié)合余弦函數(shù)的圖象即可得解.
【詳解】（1）根據(jù)題意得，，故，，故．
將代入，得，解得，
又，故．
（2）依題意，．
函數(shù)在區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)的圖象與直線在上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
當(dāng)時(shí)，，結(jié)合余弦函數(shù)圖象可知，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
且，，，
作出函數(shù)在上的大致圖象如圖所示．
觀察可知，當(dāng)或時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)或時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)．
4．（2023·安徽亳州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.

(1)求函數(shù)的解析式；
(2)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若方程在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】由圖象確定正（余）弦型函數(shù)解析式、求圖象變化前（后）的解析式、求含sinx（型）的二次式的最值
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的圖象求得A和，再將代入求解；
（2）由（1）得到，再令，轉(zhuǎn)化為二次方程求解.
【詳解】（1）解：由函數(shù)的圖象知：，則，
所以，，
因?yàn)椋?br>所以，則，
又因?yàn)?，則，
所以；
（2）由題意得：，
令，
則化為：，
即在上有解，
由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)得：，
所以.
5．（2023·黑龍江哈爾濱·三模）已知函數(shù)，其圖象的一條對(duì)稱軸與相鄰對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)相差，______，從以下兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在空白橫線中.①函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱且；②函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為且.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，求t的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】由正弦（型）函數(shù)的周期性求值、利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性求參數(shù)、求圖象變化前（后）的解析式、三角恒等變換的化簡(jiǎn)問題
【分析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)可得，根據(jù)最小正周期求出，若選①，則根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移變換求得，可得解析式；若選②，則根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性求得，即得解析式；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的伸縮變換可得，結(jié)合x的取值范圍，確定，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可求得t的取值范圍.
【詳解】（1）由題意可得
，
，
由于其圖象的一條對(duì)稱軸與相鄰對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)相差，故,
故.
若選①，函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，
由題意知該函數(shù)為偶函數(shù)，故，
由于且，即，故，
故；
若選②，函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為且，
則，
由于且，即，故，
故；
（2）由題意可得，
由于在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，故，
即.
【考點(diǎn)12】三角函數(shù)中的零點(diǎn)代數(shù)和
1．（23-24高三上·吉林白城·階段練習(xí)）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為.
(1)求的解析式與單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，求方程的所有根的和.
【答案】(1)，
(2).
【知識(shí)點(diǎn)】三角恒等變換的化簡(jiǎn)問題、結(jié)合三角函數(shù)的圖象變換求三角函數(shù)的性質(zhì)、求圖象變化前（后）的解析式、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性
【分析】（1）利用恒等變換化簡(jiǎn)后，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解；
（2）利用圖象變換法,求得的函數(shù)表達(dá)式，解方程求得的值，利用換元思想，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)分析求出即可.
【詳解】（1）由題意可得：因?yàn)閳D象的相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為，
所以的最小正周期為，即可得，
又為奇函數(shù)，則，
又，所以，故.
令，得，
所以函數(shù)的遞減區(qū)間為.
（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得的圖象，
再把橫坐標(biāo)縮小為原來的，得到函數(shù)的圖象，
又，則或，
即或.
令，當(dāng)時(shí)，，
畫出的圖象如圖所示：
的兩個(gè)根對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，即，
有，
在上有兩個(gè)不同的根，
所以；
又的根為，
所以方程在內(nèi)所有根的和為.
2．（23-24高一下·江西萍鄉(xiāng)·期中）函數(shù)的部分圖象如圖所示．

(1)求函數(shù)的解析式；
(2)將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并求的值．
【答案】(1)
(2)，
【知識(shí)點(diǎn)】由圖象確定正（余）弦型函數(shù)解析式、三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用、利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)、求圖象變化前（后）的解析式
【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)計(jì)算即可；
（2）先根據(jù)三角函數(shù)的圖像變換得，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性可判定的取值范圍與的值.
【詳解】（1）由圖可知，，
∵，
∴，∴，
又，
∴，，∴，
由可得，
∴；
（2）將向右平移個(gè)單位得到，
再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到，
令，則，
易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，，，∴；
由對(duì)稱性可知，
∴，∴，
∴．
3．（23-24高二上·陜西咸陽·開學(xué)考試）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且其圖像的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為．
(1)求的解析式；
(2)將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖像，記方程在上的根從小到大依次為，試確定的值，并求的值．
【答案】(1)
(2)，
【知識(shí)點(diǎn)】正弦函數(shù)對(duì)稱性的其他應(yīng)用、由正（余）弦函數(shù)的性質(zhì)確定圖象（解析式）、求圖象變化前（后）的解析式、三角恒等變換的化簡(jiǎn)問題
【分析】（1）化簡(jiǎn)的解析式，根據(jù)的奇偶性和周期性求得.
（2）根據(jù)三角函數(shù)圖像變換求得，利用換元法，結(jié)合三角函數(shù)圖像與性質(zhì)求得以及的值.
【詳解】（1）函數(shù)
，
圖像的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為，
，解得．
為奇函數(shù)，，
．．
（2）函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，
再把橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到，
令，則，
，令，則，
函數(shù)在上的圖像如下圖所示，
由圖可知，與共有5個(gè)交點(diǎn)，
在上共有5個(gè)根，即，
，
．
4．（23-24高二上·江蘇蘇州·開學(xué)考試）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為.
(1)求的解析式及單調(diào)減區(qū)間；
(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，求方程的所有根之和.
【答案】(1)，單調(diào)減區(qū)間為.
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】由正（余）弦函數(shù)的性質(zhì)確定圖象（解析式）、結(jié)合三角函數(shù)的圖象變換求三角函數(shù)的性質(zhì)、二倍角的余弦公式、輔助角公式
【分析】（1）利用三角恒等變換將函數(shù)化簡(jiǎn)可得，再函數(shù)性質(zhì)可求得解析式，根據(jù)整體代換可求出單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）由三角函數(shù)平移規(guī)則可知，再根據(jù)三角函數(shù)值域以及方程的根可求出方程的所有根之和為.
【詳解】（1）由題意可知，函數(shù)fx=3sinωx+φ-csωx+φ=2sinωx+φ-π6，
又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以可得，，
又，解得
因?yàn)楹瘮?shù)圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為，
可得周期，由可得.
故函數(shù).
令，
可得單調(diào)減區(qū)間為，.
（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得的圖象，
再把橫坐標(biāo)縮小為原來的，得到函數(shù).
由方程得或，
即或（舍）
當(dāng)時(shí)，，所以或或或；
即方程有四個(gè)實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)為；
可得.
所以，
故所有根之和為.
【考點(diǎn)13】三角函數(shù)中的恒（能）成立問題
1．（23-24高一上·重慶北碚·期末）已知函數(shù)，，函數(shù)的圖象上兩相鄰對(duì)稱軸之間的距離為，_________.請(qǐng)從以下三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充至橫線上.
①函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸為直線；
②函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為點(diǎn)；
③函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn).
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個(gè)單位得到的圖象，若對(duì)任意的，不等式恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】求正弦（型）函數(shù)的對(duì)稱軸及對(duì)稱中心、求圖象變化前（后）的解析式、求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值
【分析】（1）由正弦函數(shù)的對(duì)稱軸，對(duì)稱中心，特殊點(diǎn)的性質(zhì)解出即可；
（2）先做伸縮變換，再做平移變換，得到，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)解出參數(shù)的取值范圍即可.
【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象上兩相鄰對(duì)稱軸之間的距離為，所以，
所以，
若選①函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸為直線；
所以，
因?yàn)?，所以?br>所以；
若選②函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為點(diǎn)，
則，因?yàn)椋?br>所以；
所以；
若選③函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，
則，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以.
（2）將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個(gè)單位得到的圖象，則
，
因?yàn)?，所以?br>所以，所以，
因?yàn)椴坏仁胶愠闪ⅲ?br>所以設(shè)，則二次函數(shù)，開口向上，
所以，
的取值范圍為.
2．（23-24高一上·吉林長(zhǎng)春·期末）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．

(1)求的解析式并求出的增區(qū)間；
(2)先把的圖象向右平移個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若且關(guān)于的方程在上有解，求的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、由圖象確定正（余）弦型函數(shù)解析式、求圖象變化前（后）的解析式、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性
【分析】（1）由圖象結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求得的解析式，再利用整體代入法即可求得的增區(qū)間；
（2）先由圖象的變換得出函數(shù)的解析式，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)得出的值域，從而得解.
【詳解】（1）由圖象可知，，則，
又，所以，故，
因?yàn)辄c(diǎn)在上，則，即，
所以，即，又，故，
所以，
令，得，
所以的增區(qū)間為.
（2）先把的圖象向右平移個(gè)單位得到的圖像對(duì)應(yīng)的解析式為，
再向下平移1個(gè)單位，得到的圖像對(duì)應(yīng)的解析式為，
，則，
所以，即，
因?yàn)樵谏嫌薪?，即在上有解?br>所以，即的取值范圍為.
3．（23-24高一上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)在某一周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：
(1)請(qǐng)利用上表中的數(shù)據(jù)，寫出、的值，并求函數(shù)的解析式；
(2)若，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
(3)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若在上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)，，；
(2)；
(3)
【知識(shí)點(diǎn)】由正弦（型）函數(shù)的值域（最值）求參數(shù)、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性、由圖象確定正（余）弦型函數(shù)解析式、求圖象變化前（后）的解析式
【分析】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)以及五點(diǎn)作圖的規(guī)律直接求解即可；
（2）先求得，再令求解即可；
（3）先根據(jù)平移變換及周期變換的規(guī)則可得函數(shù)的解析式，再將問題轉(zhuǎn)化為，然后求出函數(shù)在上的最值即可.
【詳解】（1）由表格根據(jù)五點(diǎn)作圖的規(guī)律，
可得，，，，
得，，
，得，
綜上：，，；
（2）由（1）可知，，
令，解得，
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.
（3）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得，
再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的，縱坐標(biāo)不變得.
由得，
若在上恒成立，
則，
又當(dāng)時(shí)，，
，得.
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為
4．（23-24高一下·湖南長(zhǎng)沙·開學(xué)考試）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其相鄰的兩個(gè)最值點(diǎn)P，Q的距離為，且
(1)求函數(shù)f(x)的解析式；
(2)若將函數(shù)f(x)的圖象向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象，關(guān)于x的不等式在[0，2]上恒成立，求a的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】由圖象確定正（余）弦型函數(shù)解析式、求圖象變化前（后）的解析式、求csx（型）函數(shù)的最值
【分析】（1）先求出A,再由周期求出，由求出，即可得到函數(shù)f(x)的解析式；
（2）先由平移變換求出g(x)的解析式，再求出在[0，2]上的最大值，即可求出a的取值范圍.
【詳解】（1）依題意得f(x)的最大值為A，最小值為-A.
得.
設(shè)f(x)的最小正周期為T
則解得：.
又
∵f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0，).
∴，∵∴∴.
（2）∵將函數(shù)f(x)的圖象向左平移2個(gè)單位得到函數(shù)g(x)的圖象，
∴.
當(dāng)時(shí).，則
∵關(guān)于x的不等式在上恒成立，可得.
解得或.
綜上可得a的取值范圍是.
過關(guān)檢測(cè)
一、單選題
1．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）若，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】正、余弦齊次式的計(jì)算、誘導(dǎo)公式二、三、四
【分析】利用誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)可得結(jié)果.
【詳解】.
故選：C.
2．（2024·廣西柳州·一模）設(shè)函數(shù)，已知，，且的最小值為，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】求余弦（型）函數(shù)的最小正周期
【分析】根據(jù)題意求出函數(shù)的最小正周期，再利用余弦型函數(shù)的周期公式可求得的值.
【詳解】設(shè)函數(shù)的最小正周期為，
因?yàn)楹瘮?shù)，已知，，且的最小值為，
則，可得，故.
故選：D.
3．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】誘導(dǎo)公式五、六、用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值、二倍角的正弦公式、輔助角公式
【分析】先用誘導(dǎo)公式將轉(zhuǎn)化為，再用輔助角公式，最后兩邊平方即可得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以，即，
所以，即，
兩邊同時(shí)平方整理得，所以．
故選：A
4．（2024·山東·一模）已知，且是第二象限角，則等于（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】已知弦（切）求切（弦）、三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值——誘導(dǎo)公式
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系得到方程組，解出即可.
【詳解】，則，
又因?yàn)?，且是第二象限角，所?
故選：C.
5．（2024·江西景德鎮(zhèn)·一模）已知，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】sinα±csα和sinα·csα的關(guān)系、二倍角的正弦公式
【分析】將題干等式兩邊同時(shí)平方，再結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系與二倍角公式即可得出答案.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以.
故選：C.
6．（2024·四川內(nèi)江·一模）函數(shù)的部分圖象如圖所示，若、，且，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性求參數(shù)、由圖象確定正（余）弦型函數(shù)解析式
【分析】利用圖象求出函數(shù)的解析式，利用正弦型函數(shù)的對(duì)稱性可求出的值，代值計(jì)算可得出的值.
【詳解】由圖可知，函數(shù)的最小正周期為，則，
所以，，
因?yàn)?，且函?shù)在附近單調(diào)遞減，
所以，，解得，
又因?yàn)?，所以，，則，
因?yàn)?，可得?br>所以，，
因?yàn)?、，則，，
因?yàn)椋瑒t，所以，，
故.
故選：C.
7．（2024·山東威海·一模）已知，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】正、余弦齊次式的計(jì)算、三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值——誘導(dǎo)公式、二倍角的余弦公式
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和余弦二倍角公式得到，化弦為切，代入求值即可.
【詳解】，
故
.
故選：A
8．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，若，則（）
A．-2B．C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】由終邊或終邊上的點(diǎn)求三角函數(shù)值、由三角函數(shù)值求終邊上的點(diǎn)或參數(shù)、用和、差角的正切公式化簡(jiǎn)、求值
【分析】首先根據(jù)三角函數(shù)的定義，求出的值，得到的值，結(jié)合兩角差的正切公式，即可求解.
【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，
因?yàn)椋?br>所以且，解得，
所以，則．
故選：D．
9．（2024·廣東佛山·一模）函數(shù)是（）
A．偶函數(shù)，且最小值為－2B．偶函數(shù)，且最大值為2
C．周期函數(shù)，且在上單調(diào)遞增D．非周期函數(shù)，且在上單調(diào)遞減
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、求余弦（型）函數(shù)的最小正周期、二倍角的余弦公式
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性判定方式以及函數(shù)的最值判斷A，B；根據(jù)周期性判斷，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷C，D.
【詳解】定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
，
所以為偶函數(shù)，又，
令，，，
當(dāng)時(shí)，即，有最小值，最小值為，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有最大值，最大值為2，故A錯(cuò)誤，故B正確；
因?yàn)?，所以為周期函?shù)，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)，，令，，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
當(dāng)，，令，，，在單調(diào)遞減，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，在上先減后增，在上單調(diào)遞增；
故C，D錯(cuò)誤，
故選：B.
10．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，且，則函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸可以為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】求正弦（型）函數(shù)的對(duì)稱軸及對(duì)稱中心
【分析】根據(jù)題意可得函數(shù)的一條對(duì)稱軸，再由的最小正周期為，即可得到結(jié)果.
【詳解】由題設(shè)有，且可知.
故，所以的一條對(duì)稱軸為.
又的最小正周期為，故其一條對(duì)稱軸為.
故選：B.
二、多選題
11．（2024·貴州六盤水·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，則（）
A．為函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸
B．
C．函數(shù)在上單調(diào)遞增
D．函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為5
【答案】ACD
【知識(shí)點(diǎn)】求正弦（型）函數(shù)的對(duì)稱軸及對(duì)稱中心、求圖象變化前（后）的解析式、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)
【分析】利用三角函數(shù)平移的性質(zhì)求得，進(jìn)而利用三角函數(shù)的對(duì)稱性判斷A，同時(shí)判斷B，利用三角函數(shù)的單調(diào)性與整體法判斷C，利用三角函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合判斷D，從而得解.
【詳解】對(duì)于A，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，
可得到函數(shù)的圖象，
則，
所以為函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，故A正確；
對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，
而在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；
對(duì)于D，對(duì)于，其周期為，最大值為，
令，則，
令，則，且，
因?yàn)榈亩x域?yàn)?,+∞，且，
作出與在上的大致圖象，如圖，
結(jié)合圖象可知，的與函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為5，故D正確.
故選：ACD.
12．（2024·福建·三模）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）
A．當(dāng)時(shí)，的最小正周期為
B．函數(shù)過定點(diǎn)
C．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)是偶函數(shù)，則的最小值為
D．函數(shù)在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為
【答案】BC
【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、由正弦（型）函數(shù)的奇偶性求參數(shù)、求正弦（型）函數(shù)的最小正周期、求圖象變化前（后）的解析式
【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)判斷A、B；圖象平移確定解析式，根據(jù)偶函數(shù)求參數(shù)判斷C；令，化為在有5個(gè)根求參數(shù)范圍判斷D.
【詳解】A：由題設(shè)，則最小正周期為，錯(cuò)；
B：顯然恒成立，故函數(shù)過定點(diǎn)，對(duì)；
C：函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得為偶函數(shù)，
所以，可得且，又，
所以的最小值為，對(duì)；
D：由題意在上有5個(gè)根，而，
所以在有5個(gè)根，如下圖示，
所以，可得，錯(cuò).
故選：BC
13．（2024·甘肅白銀·一模）若將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像，則（）
A．
B．
C．與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱
D．與的圖像在上有公共點(diǎn)
【答案】BC
【知識(shí)點(diǎn)】求圖象變化前（后）的解析式、結(jié)合三角函數(shù)的圖象變換求三角函數(shù)的性質(zhì)
【分析】由三角函數(shù)圖像的平移變換可得函數(shù)的解析式，代入計(jì)算即可判斷AB，由函數(shù)對(duì)稱性的定義即可判斷C，由函數(shù)的值域即可判斷D.
【詳解】對(duì)AB，由題意得，
則，A錯(cuò)誤，B正確.
對(duì)C，由題可得，C正確.
對(duì)D，當(dāng)時(shí)，，則，D錯(cuò)誤.
故選：BC
14．（2024·吉林長(zhǎng)春·一模）函數(shù)的最小正周期為，則（）
A．是的一條對(duì)稱軸
B．與函數(shù)相等
C．在區(qū)間上單調(diào)遞減
D．在區(qū)間上的取值范圍是
【答案】AD
【知識(shí)點(diǎn)】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、求正弦（型）函數(shù)的對(duì)稱軸及對(duì)稱中心、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性
【分析】先根據(jù)正弦函數(shù)的周期公式求出的值確定函數(shù)的解析式，然后根據(jù)結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性、最值及誘導(dǎo)公式結(jié)合選項(xiàng)一一判斷即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為, 由周期公式，
可得，則.
對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以是的一條對(duì)稱軸，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?
與不相等，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，
而在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，而，，所以在區(qū)間上的取值范圍是，故選項(xiàng)D正確；
故選：AD.
三、填空題
15．（2024·四川成都·二模）若函數(shù)對(duì)恒成立，則的取值范圍是 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的余弦公式、一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題
【分析】利用二倍角公式把問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在給定區(qū)間上恒成立的問題求參數(shù)的取值范圍.
【詳解】因?yàn)樵谏虾愠闪?
設(shè)，，則在恒成立.
則.
故答案為：
16．（2024·山東威?！ひ荒＃┮阎瘮?shù)，若將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，再將得到的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性求參數(shù)、求圖象變化前（后）的解析式、用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值
【分析】由圖象變換寫出新解析式，然后由圖象關(guān)于軸對(duì)稱求得參數(shù)值．
【詳解】，變換后函數(shù)式為
，它的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，
則，,
又，所以，
故答案為：．
17．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）若的部分圖象如圖，則 .

【答案】0
【知識(shí)點(diǎn)】由正（余）弦函數(shù)的性質(zhì)確定圖象（解析式）
【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)求得的值.
【詳解】解:由函數(shù)的部分圖象知,
又
解得取
則，則.
故答案為：0.
18．（2024·陜西西安·二模）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，為圖象上的點(diǎn)且滿足四邊形為平行四邊形，若，則．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】由圖象確定正（余）弦型函數(shù)解析式
【分析】設(shè)的中點(diǎn)為，設(shè)，由已知可得，進(jìn)而求得，再由，求得，從而可求得.
【詳解】如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，
因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
則可設(shè)，由，
得，解得，則，
的最小正周期，
所以，所以，
結(jié)合圖象可知，解得，
又，則，則，
又由，可得，解得，
所以，所以.
故答案為：.
19．（24-25高三上·河北邢臺(tái)·期中）已知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值為 .
【答案】/0.5
【知識(shí)點(diǎn)】利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
【分析】由題意得，問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)在上單調(diào)遞增，接著由正弦函數(shù)性質(zhì)可得，解該不等式組即可得解.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>又在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
而，，所以由正弦函數(shù)性質(zhì)得，
解得，則的最大值為.
故答案為：.
20．（2024·陜西·一模）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且在軸右側(cè)的第一個(gè)零點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，曲線與的交點(diǎn)有個(gè)，
【答案】6
【知識(shí)點(diǎn)】由正（余）弦函數(shù)的性質(zhì)確定圖象（解析式）、三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用
【分析】根據(jù)題意，求得函數(shù)的解析式為，畫出與在區(qū)間上的圖象，結(jié)合圖象，即可求解.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，可得，即，又因?yàn)椋裕?br>因?yàn)樵谳S右側(cè)的第一個(gè)零點(diǎn)為所以，
解得，所以，
畫出與在區(qū)間上的圖象，如圖所示，
由圖可知曲線與的交點(diǎn)有6個(gè).
故答案為：6.
四、解答題
21．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)，且在軸右側(cè)的第一個(gè)零點(diǎn)為.
(1)求和的值；
(2)已知，，，求的值.
【答案】(1)，
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值——誘導(dǎo)公式、正、余弦型三角函數(shù)圖象的應(yīng)用、三角恒等變換的化簡(jiǎn)問題、給值求值型問題
【分析】（1）根據(jù)可得，即可根據(jù)周期關(guān)系得，結(jié)合中心對(duì)稱即可求解，
（2）根據(jù)同角關(guān)系可得，進(jìn)而根據(jù)和差角公式即可求解.
【詳解】（1）由已知，∵，∴，∴，
由已知，，∴，，
由圖象可知，∵，∴，∴
（2）由（1）知，
∵，∴，∵，∴；
∵，∴，
∴，即
∵，∴，∴，
∴.
22．（24-25高三上·江西撫州·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），再將所得的函數(shù)圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，求在區(qū)間上的最大值，并求出取得最大值時(shí)自變量x的值.
【答案】(1)，.
(2)最大值為2， .
【知識(shí)點(diǎn)】求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值、求圖象變化前（后）的解析式、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性
【分析】（1）根據(jù)輔助角公式可得，即可利用整體法求解單調(diào)性，
（2）根據(jù)函數(shù)圖象的變換可得，即可求解，
【詳解】（1），
令，，解得，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，.
（2）將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），得到；
再將所得的函數(shù)圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，
得到，
因?yàn)椋瑒t，可得，即，
所以在區(qū)間上的最大值為2，此時(shí)，即.
23．（2024·湖北黃岡·一模）函數(shù)，函數(shù)的最小正周期為.
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間以及對(duì)稱中心；
(2)將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，在函數(shù)圖象上從左到右依次取點(diǎn)，該點(diǎn)列的橫坐標(biāo)依次為，其中，，求.
【答案】(1)增區(qū)間為，對(duì)稱中心為為.
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】由正弦（型）函數(shù)的周期性求值、求正弦（型）函數(shù)的對(duì)稱軸及對(duì)稱中心、求圖象變化前（后）的解析式、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性
【分析】（1）利用三角變換可得，結(jié)合周期可求，再利用整體法可求單調(diào)增區(qū)間和對(duì)稱中心.
（2）根據(jù)圖象變換可得，根據(jù)其周期性和特殊角的三角函數(shù)值可求的值.
【詳解】（1），
因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，故，即?br>所以，
令，故，
故的增區(qū)間為.
令，則，
故圖象的對(duì)稱中心為.
（2）由題設(shè)有，
則的周期為，而，故，
而，
，
故
24．（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的在上單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、三角恒等變換的化簡(jiǎn)問題、求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性
【分析】（1）利用二倍角公式及和差角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，再求出相位的范圍，并借助正弦函數(shù)的性質(zhì)求出遞減區(qū)間.
（2）由的取值范圍求出的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可.
【詳解】（1）依題意，
，
當(dāng)時(shí)，，由，得，
所以函數(shù)的在上的單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）當(dāng)時(shí)，，又函數(shù)在區(qū)間上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，
即函數(shù)在只有兩個(gè)零點(diǎn)，
因此，解得，
所以的取值范圍為.
25．（2024·重慶·三模）如果存在實(shí)數(shù)對(duì)使函數(shù)，那么我們就稱函數(shù)為實(shí)數(shù)對(duì)的“型正余弦生成函數(shù)”，實(shí)數(shù)對(duì)為函數(shù)的“型正余弦生成數(shù)對(duì)”.
(1)已知函數(shù)的“4型正余弦生成數(shù)對(duì)”為，求方程在區(qū)間上所有實(shí)根之和；
(2)若實(shí)數(shù)對(duì)的“2型正余弦生成函數(shù)”在處取最大值，其中，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性求參數(shù)、二倍角的正切公式、輔助角公式
【分析】（1）得到，由，得到，設(shè)，即，結(jié)合正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)，即可求解；
（2）由，根據(jù)題意，得到，求得，得到，結(jié)合雙曲函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】（1）解：由函數(shù)的“4型正余弦生成數(shù)對(duì)”為，
可得，
又由方程，即，即，
因?yàn)?，可得?br>設(shè)，即，
結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，可得方程在區(qū)間有2個(gè)解，
設(shè)其兩根為，且，
由對(duì)稱性可知，解得，則實(shí)根之和為.
（2）解：由題意得，其中，
因?yàn)樵谔幦∽畲笾?，可得?br>所以，
即，
可得，
又因?yàn)椋以谏蠁握{(diào)遞增，
可得，所以，即的取值范圍為.
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函數(shù)
奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)；
函數(shù)
最小正周期
或（）
或
或（）
無周期
x
0
0
1
0
－1
0
0
0
0

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