知識點 1 平面向量基本定理
（1）平面向量基本定理
如果,是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對實數(shù),,使.
若,不共線,我們把,叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.
知識點2 平面向量基本定理的有關結(jié)論
（1）設,是平面內(nèi)一組基底，若，當時，與共線；當時，與共線；當時，，同樣的時，.
（2）設是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量，若，則.
知識點3平面向量的正交分解
（1）把一個向量分解為兩個互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.
（2）在不共線的兩個向量中,垂直是一種特殊的情形,向量的正交分解是向量分解常用且重要的一種分解.在平面上,如果選取互相垂直的向量作為基底,會給問題的研究帶來方便.
知識點4平面向量的坐標表示
（1）向量的坐標表示
在直角坐標系中，分別取與軸、軸方向相同的兩個不共線單位向量、作為基底，
對于平面內(nèi)的一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)，使得，則把有序數(shù)對，叫做向量的坐標．記作，此式叫做向量的坐標表示，其中叫做在軸上的坐標，叫做在軸上的坐標，
注意：①對于，有且僅有一對實數(shù)與之對應
②兩向量相等時，坐標一樣
③，，
④從原點引出的向量的坐標就是點的坐標
（2）點的坐標與向量的坐標的關系
區(qū)別：①表示形式不同向量中間用等號連接，而點中間沒有等號
②意義不同點的坐標表示點在平面直角坐標系中的位置，的坐標既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外既可以表示點，也可以表示向量，敘述時應指明點或向量.
聯(lián)系：當平面向量的起點在原點時，平面向量的坐標與向量終點的坐標相同.
知識點5平面向量的坐標表示
（1）兩個向量和（差）的坐標表示
兩個向量和（差）的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和（差）.
坐標表示：，則：
；
（2）任一向量的坐標
一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標
，，則.
（3）向量數(shù)乘的坐標表示
實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標.
坐標表示:,則.
知識點6平面向量共線的坐標表示
設,,其中,則當且僅當存在唯一實數(shù),使得；
用坐標表示,可寫為,即：
消去得到：.
這就是說,向量()共線的充要條件是.
知識點7平面向量數(shù)量積的坐標表示
在平面直角坐標系中，設，分別是軸，軸上的單位向量．向量分別等價于，，根據(jù)向量數(shù)量積的運算，有：由于，為正交單位向量，故，，，，從而．即，其含義是：兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和．
知識點8兩個向量平行、垂直的坐標表示
已知非零向量，
（1）．
（2）
知識點9向量模的坐標表示
（1）向量模的坐標表示
若向量，由于，所以．
其含義是：向量的模等于向量坐標平方和的算術平方根．
（2）兩點間的距離公式
已知原點，點，則，于是．
其含義是：向量的模等于A，B兩點之間的距離．
（3）向量的單位向量的坐標表示
設，表示方向上的單位向量
知識點10兩向量夾角余弦的坐標表示
已知非零向量，是與的夾角，則．
考點一：用基底表示向量
例1．（24-25高三上·陜西漢中·期中）如圖，在中，，則（ ）

A．B．
C．D．
【變式1-1】（2024高三·全國·專題練習）在△ABC中，點D為AB的中點，記，，則（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】（23-24高一下·福建福州·期末）在平行四邊形中，是的中點，則（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】（23-24高一下·湖北武漢·期末）平行四邊形ABCD中，點M是線段BC的中點，N是線段CD的中點，則向量為（ ）
A．B．
C．D．
考點二：根據(jù)平面向量基本定理求參數(shù)
例2.（23-24高一下·貴州貴陽·階段練習）在中，D為邊的中點，E，F(xiàn)分別為邊，上的點，且，，若，，則值為（ ）
A．1B．C．3D．5
【變式2-1】（2024高三·全國·專題練習）如圖，在中，點D，E分別在邊AB，BC上，且均為靠近的四等分點，CD與AE交于點，若，則（ ）
A．B．C．D．
【變式2-2】（2025高三·全國·專題練習）在三角形OAB中，點為邊AB上的一點，且，點為直線OP上的任意一點(與點和點不重合)，且滿足，則 .
【變式2-3】（2024高三·全國·專題練習）如圖，在中，點D，E分別在，上，且，，若，則 ．
考點三：平面向量正交分解及坐標表示
例3.（2024高一下·全國·專題練習）如圖，向量，，的坐標分別是 ， ， .
【變式3-1】（23-24高二上·上海虹口·階段練習）若向量，則對應的位置向量的終點坐標是 ．
【變式3-2】（24-25高一下·全國·課堂例題）如圖，設為一組標準正交基，用這組標準正交基分別表示向量，，，，并求出它們的坐標.
考點四：平面向量坐標運算
例4.（2024·山東·一模）已知向量，若，則向量的坐標為（ ）
A．B．-1,1
C．D．
【變式4-1】（2024高二上·黑龍江佳木斯·學業(yè)考試）若，則的坐標是（ ）
A．B．C．D．
【變式4-2】（23-24高一下·新疆·期中）已知向量，則（ ）
A．B．C．D．
【變式4-3】（23-24高一下·廣西南寧·期末）已知向量，，若滿足，則 ．
考點五：根據(jù)坐標求模運算
例5.（23-24高一·上海·課堂例題）已知向量，，求的坐標及．
【變式5-1】（2024高三·全國·專題練習）已知向量，，則（ ）
A．2B．3C．4D．5
【變式5-2】（24-25高二上·湖南長沙·開學考試）平面內(nèi)給定兩個向量.
(1)求；
(2)求.
【變式5-3】（23-24高一下·江蘇徐州·期末）已知向量，，則 ．
考點六：平面向量數(shù)量積的坐標表示
例6.（24-25高三上·廣東深圳·期中）設，，，則（ ）
A．B．1C．D．
【變式6-1】（24-25高三上·黑龍江·階段練習）向量，，則 （ ）
A．B．0C．D．1
【變式6-2】（24-25高三上·浙江·階段練習）已知平面向量，則（ ）
A．2B．10C．D．
【變式6-3】（2024高三·全國·專題練習）已知向量，，則 ．
考點七：向量垂直的坐標表示
例7.（24-25高三上·浙江·開學考試）已知向量，若，則（ ）
A．1B．2C．D．
【變式7-1】（23-24高二下·貴州六盤水·期末）已知向量，，且，則（ ）
A．2B．C．2或D．2或
【變式7-2】（2024高三·全國·專題練習）已知向量，．若，則 ．
【變式7-3】（24-25高三上·安徽·期中）已知平面向量，滿足，則 ．
考點八：向量投影
例8.（23-24高二下·河北石家莊·期末）設向量，則在方向上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
【變式8-1】（24-25高二上·陜西·期中）已知向量，滿足，且，則在上的投影向量的坐標為（ ）
A．B．C．D．
【變式8-2】（23-24高一下·河北·期末）已知是夾角為的單位向量，則在方向上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
【變式8-3】（24-25高三上·遼寧·期中）已知向量，，則在方向的投影向量為 .
考點9：向量夾角
例9.（23-24高一下·河北邯鄲·階段練習）已知向量.
(1)求與;
(2)求與的夾角的余弦值.
【變式9-1】（24-25高二上·云南昭通·期中）若，，則（ ）
A．B．C．D．
【變式9-2】（23-24高三上·貴州黔東南·開學考試）已知向量，，則向量與夾角的余弦值為 ．
【變式9-3】（23-24高一下·吉林·期末）已知向量，，若與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍為 .
【變式9-4】（2024高二下·湖北）已知平面內(nèi)兩個向量，，若與的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍是 ．
考點10：向量數(shù)量積的最值范圍問題
例10.（23-24高一下·浙江臺州·期末）已知是邊長為2的正六邊形內(nèi)（含邊界）一點，為邊的中點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【變式10-1】（23-24高一下·江蘇泰州·階段練習）窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術之一，圖1是一個正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．如圖2，若正八邊形的邊長為2，P是正八邊形八條邊上的動點，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【變式10-2】（23-24高一下·上海·期中）如圖，這個優(yōu)美圖形由一個正方形和以各邊為直徑的四個半圓組成，若正方形的邊長為4，點在四段圓弧上運動，則的取值范圍為 .
一、單選題
1．（2024高二上·黑龍江佳木斯·學業(yè)考試）設向量.若，則（ ）
A．4B．3C．2D．1
2．（2024高二上·黑龍江佳木斯·學業(yè)考試）若，則的坐標是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二上·吉林·期中）已知，，則（ ）
A．B．2C．D．10
4．（24-25高三上·海南·階段練習）已知向量，，，若與平行，則實數(shù)的值為（ ）
A．B．C．1D．3
5．（2024高二下·安徽·學業(yè)考試）已知，，，則與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
6．（2024高三·全國·專題練習）已知，，，則向量在方向上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·廣東·模擬預測）已知向量，若，則實數(shù)的值為（ ）
A．4B．或1C．D．4或
8．（2024高三·全國·專題練習）已知向量，，則下列關系正確的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
9．（24-25高三上·重慶·階段練習）已知點、、，其中，則（ ）
A．若、、三點共線，則B．若，則
C．若，則D．當時，
10．（2024·江西·一模）已知向量，，則（ ）
A．若，則B．若，共線，則
C．不可能是單位向量D．若，則
11．（24-25高二上·湖南郴州·開學考試）設向量，則下列說法錯誤的是（ ）
A．若與的夾角為鈍角，則
B．的最小值為9
C．與共線的單位向量只有一個，為
D．若，則
三、填空題
12．（浙江省杭州市S9聯(lián)盟2024-2025學年高二上學期期中聯(lián)考數(shù)學試題）已知，，向量與垂直，則實數(shù)的值為 .
13．（24-25高三上·上?！て谥校┤鐖D，在邊長為3的正方形ABCD中，，若P為線段BE上的動點，則的最小值為 ．
14．（24-25高三上·河北邢臺·期中）已知四邊形是邊長為4的正方形，點滿足，為平面內(nèi)一點，則的最小值為 ．
15．（24-25高三上·上海松江·期中）已知向量，則在方向上的數(shù)量投影為 ．
16．（24-25高三上·廣東深圳·階段練習）已知向量與的夾角為，，，則 .
四、解答題
17．（23-24高一下·江蘇·期末）已知平面向量，且.
(1)求與的夾角的值；
(2)當取得最小值時，求實數(shù)的值.
18．（21-22高一下·天津·階段練習）已知向量，，，且.
(1)求實數(shù)m的值；
(2)求；
(3)求向量與的夾角.
19．（22-23高一下·江蘇揚州·期中）已知向量在同一平面上，且.
(1)若，且，求向量的坐標；
(2)若，且與垂直，求實數(shù)的值.
20．（23-24高一下·廣西賀州·階段練習）已知向量的夾角為．
(1)求；
(2)若與的夾角為鈍角，求實數(shù)的取值范圍．模塊一 思維導圖串知識
模塊二 基礎知識全梳理（吃透教材）
模塊三 核心考點舉一反三
模塊四 小試牛刀過關測
1．掌握平面向量基本定理，不僅僅局限在直角坐標系，更應該學會用基底表示平面向量
2．會利用坐標法，理解和掌握兩個向量是否共線的判斷.
3．掌握平面向量數(shù)量積的坐標表示，會進行平面向量數(shù)量積的坐標運算；

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