1. 了解三元一次方程組的概念.
2. 能解簡(jiǎn)單的三元一次方程組，在解的過程中進(jìn)一步體會(huì)“消元”思想.
3. 會(huì)解較復(fù)雜的三元一次方程組.
1.解二元一次方程組有哪幾種方法？
2.解二元一次方程組的基本思路是什么？
代入消元法和加減消元法
【思考】若含有3個(gè)未知數(shù)的方程組如何求解？
問題： 1．題目中有幾個(gè)條件？ 2．問題中有幾個(gè)未知量？ 3．根據(jù)等量關(guān)系你能列出方程組嗎？
小明手頭有12張面額分別是1元、2元、5元的紙幣，共計(jì)22元，其中1元紙幣的數(shù)量是2元紙幣數(shù)量的4倍．求1元、2元、5元的紙幣各多少張？
（三個(gè)量關(guān)系）每張面值 × 張數(shù) = 錢數(shù)
1元紙幣的數(shù)量是2元紙幣數(shù)量的4倍，即x=4y
分析：在這個(gè)題目中，要我們求的有三個(gè)未知數(shù)，我們自然會(huì)想到設(shè)1元、2元、5元的紙幣分別是x張、y張、 z張，根據(jù)題意可以得到下列三個(gè)方程:
x+y+z=12, x+2y+5z=22, x=4y.
對(duì)于這個(gè)問題的解必須同時(shí)滿足上面三個(gè)條件，因此，我們把三個(gè)方程合在一起寫成
這個(gè)方程組中含有 個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是 .
含有三個(gè)未知數(shù)，且每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組．
由此，我們得出三元一次方程組的定義
下列是三元一次方程組的是(　　)A.　　　　　 B.C. 　　　　　 D.
下列方程組不是三元一次方程組的是( )
提示： 組成三元一次方程組的三個(gè)一次方程中，不一定要求每一個(gè)一次方程都含有三個(gè)未知數(shù)．
類似二元一次方程組的解，三元一次方程組中各個(gè)方程的公共解，叫做這個(gè)三元一次方程組的解.
怎樣解三元一次方程組呢？
能不能像以前一樣“消元”，把“三元”化成“二元”呢？
解：②×3＋③，得 11x＋10z=35.④
分析：方程①中只含x, z, 因此,可以由②③消去y, 得到一個(gè)只含x, z的方程, 與方程①組成一個(gè)二元一次方程組.
把 x＝5，z＝-2 代入②，得
因此，三元一次方程組的解為
你還有其它解法嗎？試一試，并與這種解法進(jìn)行比較.
例1 解三元一次方程組
解三元一次方程組的基本思路是：通過“代入”或“加減”進(jìn)行 ，把 轉(zhuǎn)化為 ，使解三元一次方程組轉(zhuǎn)化為解 ，進(jìn)而再轉(zhuǎn)化為解 .
解：由方程②得 x=y+1. ④ 把④分別代入①③得 2y+z=22, ⑤ 3y-z=18. ⑥ 解由⑤⑥組成的二元一次方程組，得 y=8,z=6. 把y=8代入④，得x=9.
x=9,y=8,z=6.
類似二元一次方程組的“消元”,把“三元”化成“二元”.
在等式 y=ax2＋bx＋c中,當(dāng)x=－1時(shí),y=0;當(dāng)x=2時(shí),y=3;當(dāng)x=5時(shí),y=60. 求a,b,c的值.
解:根據(jù)題意，得三元一次方程組
a－b＋c= 0， ①4a＋2b＋c=3， ②25a＋5b＋c=60. ③
②－①， 得 a＋b=1; ④
③－①，得 4a＋b=10. ⑤
④與⑤組成二元一次方程組
a＋b=1，4a＋b=10.
三元一次方程組求字母的值
把 代入①，得
即a,b,c的值分別為3，-2，-5.
幼兒營(yíng)養(yǎng)標(biāo)準(zhǔn)中要求每一個(gè)幼兒每天所需的營(yíng)養(yǎng)量中應(yīng)包含35單位的鐵、70單位的鈣和35單位的維生素.現(xiàn)有一批營(yíng)養(yǎng)師根據(jù)上面的標(biāo)準(zhǔn)給幼兒園小朋友們配餐，其中包含A、B、C三種食物，下表給出的是每份（50g)食物A、B、C分別所含的鐵、鈣和維生素的量（單位）
利用三元一次方程組解答實(shí)際問題
解：(1)由該食譜中包含35單位的鐵、70單位的鈣和35單位的維生素，得方程組
（1）如果設(shè)食譜中A、B、C三種食物各為x、y、z份，請(qǐng)列出方程組，使得A、B、C三種食物中所含的營(yíng)養(yǎng)量剛好滿足幼兒營(yíng)養(yǎng)標(biāo)準(zhǔn)中的要求.（2）解該三元一次方程組，求出滿足要求的A、B、C的份數(shù).
(2)②-①×4,③-①,得
通過回代，得 z=2,y=1,x=2.
答：該食譜中包含A種食物2份，B種食物1份，C種食物2份.
某農(nóng)場(chǎng)300名職工耕種51公頃土地,計(jì)劃種植水稻,棉花和蔬菜,已知種植農(nóng)作物每公頃所需的勞動(dòng)力人數(shù)及投入的設(shè)備資金如下表:
已知該農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃在設(shè)備上投入67萬元,應(yīng)該怎樣安排三種農(nóng)作物的種植面積,才能使所有的職工都有工作,而且投入的資金正好夠用?
解:設(shè)安排x公頃種水稻,y公頃種棉花,z公頃種蔬菜.依題意,得 答:安排15公頃種水稻,20公頃種棉花,16公頃種蔬菜.
小明媽媽到文具店購買三種學(xué)習(xí)用品,其單價(jià)分別為2元、4元、6元,購買這些學(xué)習(xí)用品需要56元,經(jīng)過協(xié)商最后以每種單價(jià)均下調(diào)0.5元成交,結(jié)果只用了50元就買下了這些學(xué)習(xí)用品,則小明媽媽的購買方法有(　　)A.6種　　　　B.5種　　　　C.4種　　　　D.3種
解析：設(shè)分別購買學(xué)習(xí)用品的數(shù)量為x,y,z.由題意得 ,即 ①-②得:y+2z=16,所以y=16-2z③,所以滿足x、y、z之間關(guān)系的取值可以是:當(dāng)y=2時(shí),z=7,x=3.當(dāng)y=4時(shí),z=6,x=2.當(dāng)y=6時(shí),z=5,x=1.所以小明媽媽有3種不同的購買方法.
1.方程 　　　，3x＋y＋z＝0,2x＋8y＝1,6x＋y－2z＝0，x2－y＋1＝0中，三元一次方程的個(gè)數(shù)是( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. 1個(gè)　　 B. 2個(gè)　 C. 3個(gè) 　 D. 4個(gè)
2.若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，則x＋y＋z的值為（ ）A.2 B.3 C.4 D.5
解析: 通過觀察未知數(shù)的系數(shù)，可采取兩個(gè)方程相加得，5x+5y+5z=25，所以x+y+z=5.
3.解方程組 則x＝_____，y＝______，z＝_______.
解析：通過觀察未知數(shù)的系數(shù)，可采?、?+②求出y， ②+ ③求出z，最后再將y與z的值代入任何一個(gè)方程求出x即可.
若|a－b－1|＋(b－2a＋c)2＋|2c－b|＝0，求a，b，c的值．
解：因?yàn)槿齻€(gè)非負(fù)數(shù)的和等于0，所以每個(gè)非負(fù)數(shù)都為0. 可得方程組 解得
解：設(shè)原三位數(shù)百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字分別為x、y、z.由題意，得 答：原三位數(shù)是368.

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10.4 三元一次方程組的解法

版本： 人教版（2024）

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