1.了解三元一次方程組的概念.
2.能解簡單的三元一次方程組，在解的過程中進一步體會“消元”思想．
前面我們學習了二元一次方程組及其解法.有些含有兩個未知數(shù)的問題，可以列出二元一次方程組來解決，實際上，有不少問題含有更多未知數(shù)，這時又該怎么解決呢？這節(jié)課我們就來學習三元一次方程組及其解法.
小明手頭有 12 張面額分別是 1 元、2 元和 5 元的紙幣，共計 22 元，其中 1 元紙幣的數(shù)量是 2 元紙幣數(shù)量的 4倍．求 1 元、2 元和 5 元的紙幣各多少張.
可設 1 元、2 元和 5 元的紙幣分別為 x 張、y 張和 z 張．
1 元張數(shù)+2 元張數(shù)+5 元張數(shù)=12(張)所有紙幣面值之和=22(元)1 元張數(shù)=4×2 元張數(shù)
如何用三元一次方程組表示上面的三個等量關(guān)系？
方程組含有三個未知數(shù)，每個方程中含未知數(shù)的項的次數(shù)都是 1，并且一共有三個方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組.
下列方程組中，是三元一次方程組的是( )
如何解這個三元一次方程組呢？
解三元一次方程組的基本思路：
把 y=2 代入③，得 x=8.
答：1元、2元和5元紙幣分別為 8 張、2 張、2 張．
解：①×5-②，得 4x+3y=38. ④
把 x=8，y=2 代入①，得 8+2+z=12，解得 z=2.
解三元一次方程組的一般步驟：
(1)消元：利用代入法或加減法，把方程組中的一個方程與另外兩個方程分別組成方程組，消去兩個方程組中的同一個未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個未知數(shù)的二元一次方程組；
(2)求解：解這個二元一次方程組，求出兩個未知數(shù)的值；
(3)回代：將求得的兩個未知數(shù)的值代入原方程組中系數(shù)比較簡單的方程，得到一個一元一次方程；
(5)寫解：將求得的三個未知數(shù)的值用“{”寫在一起.
(4)求解：解這個一元一次方程，求出第三個未知數(shù)的值；
例1 解三元一次方程組
解：②×3+③，得 11x+10z=35. ④
把 x=5，z=-2 代入②，得 2×5+3y-2=9，
解：①×2+②，得 5x+8y=7. ④
把 x=3，y=-1 代入①，得 3+3×(-1)+2z=2，解得 z=1.
解析：3 個方程左右兩邊分別相加，得 3x+3y+3z=24，所以 x+y+z=8.
解：①+③，得 5x+y=7. ④
把 x=1，y=2 代入②，得 1+2+z=6，解得 z=3.
②+③，得 4x-y=2. ⑤
解三元一次方程組的步驟：
解：由①+②+③，得 2x+2y+2z=8，即 x+y+z=4. ④
④-②，得 x=-1.
解：由①②，得 x:y:z=3:2:5.
設 x=3k，y=2k，z=5k(k≠0)，
所以 x=3k=6，y=2k=4，z=5k=10.
代入③，得 5k+3k+2k=20，解得 k=2.
3.為確保信息安全，在傳輸時往往需加密，當發(fā)送方發(fā)出一組密碼 a，b，c 時，則接收方對應收到的密碼為 A，B，C. 雙方約定：A=2a-b，B=2b，C=b+c，例如發(fā)出 1，2，3 時，則收到 0，4，5.(1)當發(fā)送方發(fā)出一組密碼為 2，3，5 時，則接收方收到的密碼是多少？
3.為確保信息安全，在傳輸時往往需加密，當發(fā)送方發(fā)出一組密碼 a，b，c 時，則接收方對應收到的密碼為 A，B，C.雙方約定：A=2a-b，B=2b，C=b+c，例如發(fā)出 1，2，3 時，則收到 0，4，5.(2)當接收方收到一組密碼為 2，8，11 時，則發(fā)送方發(fā)出的密碼是多少？

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10.4 三元一次方程組的解法

版本： 人教版（2024）

年級： 七年級下冊（2024）

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