【素養(yǎng)目標(biāo)】
1.了解三元一次方程組的概念.
2.會(huì)運(yùn)用“代入法”或“加減法”對(duì)三元一次方程組逐步消元，進(jìn)而求解.
3.能根據(jù)三元一次方程組的具體形式選擇適當(dāng)?shù)慕夥?
【教學(xué)重點(diǎn)】三元一次方程組的解法及“消元”思想.
【教學(xué)難點(diǎn)】根據(jù)方程組的特點(diǎn)，選擇合適的未知數(shù)和方法消元.
【教學(xué)過程】
活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)情境，新課導(dǎo)入
[設(shè)計(jì)意圖]
列舉實(shí)際問題，為引入三元一次方程(組)做準(zhǔn)備.
[情境導(dǎo)入]
(教材P107問題)請(qǐng)大家看下面這一問題：在一次足球聯(lián)賽中，一支球隊(duì)共參加了22場(chǎng)比賽，積47分，且勝的場(chǎng)數(shù)比負(fù)的場(chǎng)數(shù)的4倍多2.按照足球聯(lián)賽的積分規(guī)則，勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分，那么這支球隊(duì)勝、平、負(fù)各多少場(chǎng)？
我們可以通過設(shè)元解一元一次方程或二元一次方程組，得到上面問題的答案為勝14場(chǎng)，平5場(chǎng)，負(fù)3場(chǎng).
觀察上述問題，我們發(fā)現(xiàn)：這道題中一共有三個(gè)未知量和三個(gè)相等關(guān)系.參考二元一次方程組，我們能否把這三個(gè)未知量都設(shè)出來，然后通過方程求出它們的值呢？
今天我們將學(xué)習(xí)如何通過列三元一次方程組來解決此類問題.
[教學(xué)建議]教師引導(dǎo)學(xué)生思考兩種解法應(yīng)如何設(shè)元和列方程(組)，不必寫出解方程(組)的過程.
活動(dòng)二：?jiǎn)栴}引入，自主探究
[設(shè)計(jì)意圖]
結(jié)合解二元一次方程組的“消元”方法，探索三元一次方程組的解法.
探究點(diǎn) 三元一次方程組的有關(guān)概念及解法
問題1 對(duì)于“活動(dòng)一”中的問題，請(qǐng)結(jié)合已知條件寫出相等關(guān)系：
①勝的場(chǎng)數(shù)＋平的場(chǎng)數(shù)＋負(fù)的場(chǎng)數(shù)＝22；
②勝場(chǎng)積分＋平場(chǎng)積分＋負(fù)場(chǎng)積分＝47；
③勝的場(chǎng)數(shù)＝負(fù)的場(chǎng)數(shù)×4＋2.
問題2 設(shè)這個(gè)球隊(duì)勝、平、負(fù)的場(chǎng)數(shù)分別為x，y，z.根據(jù)題意，可以得到哪三個(gè)方程？
x＋y＋z＝22，① 3x＋y＝47，② x＝4z＋2.③
問題3 大家知道，方程②③是二元一次方程，觀察方程①，結(jié)合二元一次方程的定義，方程①有什么特點(diǎn)？
方程①中含有三個(gè)未知數(shù)，并且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1.
概念引入：
一個(gè)方程中含有三個(gè)未知數(shù)，且含有未知數(shù)的式子都是整式，含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫作三元一次方程.
這個(gè)問題的解必須同時(shí)滿足上面三個(gè)條件，因此，我們把這三個(gè)方程合在一起，寫成概念引入：
一個(gè)方程組含有三個(gè)未知數(shù)，且含有未知數(shù)的式子都是整式，含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組叫作三元一次方程組.
問題4 這個(gè)方程組能用代入法解嗎？如果能，請(qǐng)寫出解題過程.(請(qǐng)學(xué)生上臺(tái)板演)
解：把③分別代入①②，得到關(guān)于y，z的二元一次方程組解這個(gè)方程組，得把z＝3代入③，得x＝14.
因此，這個(gè)三元一次方程組的解為問題5 你還能用其他方法解這個(gè)三元一次方程組嗎？
解：可以用加減法解這個(gè)三元一次方程組.因?yàn)榉匠挞壑胁缓粗獢?shù)y，故考慮通過方程①②消去y.
②－①，得2x－z＝25.④
③與④組成方程組 解這個(gè)方程組，得把x＝14，z＝3代入①，得y＝5.
因此，原方程組的解為 (方法不唯一)
歸納總結(jié)：解三元一次方程組的基本思路與解二元一次方程組的基本思路一樣.
例 (教材P108例1)解三元一次方程組3x＋4z＝7，2x＋3y＋z＝9，5x－9y＋7z＝8.①②③
問題1 觀察方程組中的各個(gè)方程的未知數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？
方程①中，不含未知數(shù)y；方程②和方程③中，三個(gè)未知數(shù)均含有.
問題2 根據(jù)上面的發(fā)現(xiàn)，你認(rèn)為選擇哪種方法解方程組較簡(jiǎn)便，請(qǐng)寫出解答過程.
用加減法較簡(jiǎn)便.
解：②×3＋③，得11x＋10z＝35.④
①與④組成方程組 解這個(gè)方程組，得把x＝5，z＝－2代入②，得2×5＋3y－2＝9，y＝13.
因此，這個(gè)三元一次方程組的解為問題3 你還有其他解法嗎？試一試，并與上面的解法進(jìn)行比較.
解：由①，得x＝7－4z3.④
把④分別代入②③，得到關(guān)于y，z的二元一次方程組
[對(duì)應(yīng)訓(xùn)練]
1.下列是三元一次方程組的是（D）
2.解方程組(1)若先消去x，得到關(guān)于y，z的方程組是(2)若先消去y，得到關(guān)于x，z的方程組是(3)若先消去z，得到關(guān)于x，y的方程組是 (答案均不唯一)
3.教材P109練習(xí).
[教學(xué)建議]學(xué)生分組討論合作完成問題，得出三元一次方程(組)的概念，類比二元一次方程組的解法，將三元一次方程組消元后求解，體會(huì)方程組解法的多樣性.當(dāng)三元一次方程組中有二元一次方程時(shí)，可將二元一次方程變形后代入(或直接代入)另兩個(gè)方程，運(yùn)用代入法消元；也可對(duì)另外兩個(gè)方程運(yùn)用加減法消去二元一次方程中不含的未知數(shù).
活動(dòng)三：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)
[課堂總結(jié)]師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問題：
1.什么是三元一次方程組？解三元一次方程組的基本思想是什么？方法有哪些？
2.解三元一次方程組時(shí)有哪些需要注意的問題？如何消元可以使過程更簡(jiǎn)便？
【作業(yè)布置】
1.教材P111習(xí)題10.4第1，2題.

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10.4 三元一次方程組的解法

版本： 人教版（2024）

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