【考點1 “8字”模型】
【結(jié)論】∠A+∠B=∠D+∠E.
【考點2 飛鏢模型】
【結(jié)論】∠BPC=∠A+∠B+∠C.
【考點3 “風(fēng)箏”模型】
【結(jié)論】∠PBD+∠PCD=∠A+∠P
【考點1 “8字”模型】
【典例1】（2021春?鼓樓區(qū)校級月考）圖1，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：
（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系： ；
（2）圖2中，當(dāng)∠D＝50度，∠B＝40度時，求∠P的度數(shù)．
（3）圖2中∠D和∠B為任意角時，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系．
【變式1-1】（2020?柯橋區(qū)模擬）如圖所示，∠α的度數(shù)是（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
【變式1-2】（2022春?敘州區(qū)期末）如圖，BP平分∠ABC交CD于點F，DP平分∠ADC交AB于點E，若∠A＝45°，∠P＝40°，則∠C的度數(shù)為（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【變式1-3】（2022春?渝中區(qū)校級期中）如圖，五角星的五個角之和，即：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（ ）
A．180°B．90°C．270°D．240°
【變式1-4】（2021春?玄武區(qū)期末）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ °．
【變式1-5】（2020秋?平輿縣期末）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ °．
【變式1-6】（2021秋?正陽縣期末）圖1，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：
（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系： ；
（2）仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù)： 個；
（3）圖2中，當(dāng)∠D＝50度，∠B＝40度時，求∠P的度數(shù)．
（4）圖2中∠D和∠B為任意角時，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果，不必證明）．
【考點2 飛鏢模型】
【典例2】（2019秋?建平縣期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖（1）所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品一圓規(guī)，我們，不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖
（1）觀察“規(guī)形圖（1）”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）請你直接利用以上結(jié)論，解決以下問題：
①如圖（2），把一塊三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點B、C，若∠A＝40°，則∠ABX+∠ACX＝ °．
②如圖（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度數(shù)．
【變式2-1】（2020春?沙坪壩區(qū)校級期中）如圖，△ABC中，∠A＝30°，D為CB延長線上的一點，DE⊥AB于點E，∠D＝40°，則∠C為（ ）
A．20°B．15°C．30°D．25°
【變式2-2】（2017?東昌府區(qū)一模）如圖，∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠A＝37°，∠B的度數(shù)是（ ）
A．33°B．23°C．27°D．37°
【變式2-3】（2021春?工業(yè)園區(qū)校級月考）如圖，點C是∠BAD內(nèi)一點，連CB、CD，∠A＝80°，∠B＝10°，∠D＝40°，則∠BCD的度數(shù)是（ ）
A．110°B．120°C．130°D．150°
【變式2-4】（2021?碑林區(qū)校級二模）如圖，BE是∠ABD的平分線，CF是∠ACD的平分線，BE與CF交于G，如果∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，則∠A＝ ．
【考點3 “風(fēng)箏”模型】
【典例3】（2020秋?五華區(qū)期末）如圖，在三角形紙片ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，將紙片的一角折疊，使點C落在△ABC外，若∠2＝18°，則∠1的度數(shù)為（ ）
A．50°B．118°C．100°D．90°
【變式3-1】（2020秋?潮陽區(qū)期中）如圖，在△ABC中，將△ABC沿直線m翻折，點B落在點D的位置，若∠1﹣∠2＝60°，則∠B的度數(shù)是（ ）
A．30°B．32°C．35°D．60°
【變式3-2】（2018?聊城）如圖，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使點A落在△ABC外的A'處，折痕為DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正確的是（ ）
A．γ＝2α+βB．γ＝α+2βC．γ＝α+βD．γ＝180°﹣α﹣β
【典例4】（2021春?高州市期末）如圖，小明從一張三角形紙片ABC的AC邊上選取一點N，將紙片沿著BN對折一次使得點A落在A′處后，再將紙片沿著BA′對折一次，使得點C落在BN上的C′處，已知∠CMB＝68°，∠A＝18°，則原三角形的∠C的度數(shù)為（ ）
A．87°B．84°C．75°D．72°
【變式4-1】（2021春?濟南期中）如圖，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，點D為邊BC上一點，將△ADC沿直線AD折疊后，點C落到點E處，若DE∥AB，則∠ADE的度數(shù)為（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
【變式4-2】（2021春?灤州市期末）已知：如圖所示，將△ABC的∠C沿DE折疊，點C落在點C'處，若設(shè)∠C＝α，∠AEC′＝β，∠BDC'＝γ，則下列關(guān)系成立的是（ ）
A．2α＝β+γB．α＝β+γC．α+β+γ＝180°D．α+β＝2γ
【變式4-3】（2021春?通許縣期末）如圖所示，將△ABC沿著DE折疊，使點A與點N重合，若∠A＝65°，則∠1+∠2＝（ ）
A．25°B．65°C．115°D．130°
1．（2021秋?廣州期中）如圖，三角形紙片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，將∠C沿DE對折，使點C落在△ABC外的點C′處，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為（ ）
A．80°B．90°C．100°D．110°
2．（2022春?晉江市期末）如圖，把三角形紙片ABC沿DE折疊，當(dāng)點A落在四邊形BCDE外部時，則∠A與∠1、∠2之間的數(shù)量關(guān)系是（ ）
A．2∠A＝∠1﹣∠2B．3∠A＝2（∠1﹣∠2）
C．3∠A＝2∠1﹣∠2D．∠A＝∠1﹣∠2
3．（2021春?沙坪壩區(qū)校級期中）如圖所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ 度．
4．（2021秋?海珠區(qū)校級期中）如圖，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為 ．
5．（2020?開福區(qū)校級開學(xué)）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+E+∠F的度數(shù)為 ．
6．（2020春?昌黎縣期末）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ 度．
7．（2017秋?磴口縣校級期中）如圖，∠A＝50°，∠ABO＝28°，∠ACO＝32°，則∠BDC＝ 度，∠BOC＝ 度．
8．（2021春?江都區(qū)校級期末）如圖，三角形紙片ABC中∠A＝63°，∠B＝77°，將紙片一角折疊，使點C落在△ABC的內(nèi)部，若∠2＝50°，則∠1＝ ．
9.（2018春?莘縣期末）一個零件的形狀如圖所示，按規(guī)定∠A應(yīng)等于90°，∠B、∠D應(yīng)分別是20°和30°．
（1）李叔叔量得∠BCD＝142°，根據(jù)李叔叔量得的結(jié)果，你能斷定這個零件是否合格？請解釋你的結(jié)論；
（2）你知道∠B、∠D、∠BCD三角之間有何關(guān)系嗎？請寫出你的結(jié)論．（不需說明理由）．
10．（2020秋?郯城縣期末）探索歸納：
（1）如圖1，已知△ABC為直角三角形，∠A＝90°，若沿圖中虛線剪去∠A，則∠1+∠2等于
A.90°B.135°C.270° D.315°
（2）如圖2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四邊形，則∠1+∠2＝
（3）如圖2，根據(jù)（1）與（2）的求解過程，請你歸納猜想∠1+∠2與∠A的關(guān)系
是
（4）如圖3，若沒有剪掉，而是把它折成如圖3形狀，試探究∠1+∠2與∠A的關(guān)系并說明理由．
11．（2022春?新野縣期末）在學(xué)習(xí)并掌握了平行線的性質(zhì)和判定內(nèi)容后，數(shù)學(xué)老師安排了自主探究內(nèi)容一利用平行線有關(guān)知識探究并證明：三角形的內(nèi)角和等于180°．小穎通過探究發(fā)現(xiàn)：可以將三角形的三個內(nèi)角之和轉(zhuǎn)化為一個平角來解決，也就是可以過三角形的一個頂點作其對邊的平行線來證明．請將下面（1）中的證明補充完整：
（1）已知：如圖1，三角形ABC，求證：∠BAC+∠B+∠C＝180°，證明：過點A作EF∥BC．
（2）如圖2，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖2這樣的圖形稱之為“8字形”．請利用小穎探究的結(jié)論直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系： ；
（3）在圖2的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N，得到圖3，請判斷∠P與∠D、∠B之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
12．（2021春?邗江區(qū)月考）如圖1，已知線段AB、CD相交于點O，連接AC、BD，則我們把形如這樣的圖形稱為“8字型”．
（1）求證：∠A+∠C＝∠B+∠D．
利用以上結(jié)論解決下列問題：
（2）如圖2所示，∠1＝130°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為 ．
（3）如圖3，若∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點P，且與CD，AB分別相交于點M，N．
①若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度數(shù)．
②若角平分線中角的關(guān)系改成“∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB”，試直接寫出∠P與∠B，∠C之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明理由．

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