◎結(jié)論1：若AB∥CD，則∠B0C=∠B+∠C

【證明】過點 O作OE//AB，如圖.

∵AB∥CD,∴OE∥CD,
∴∠B=∠1,∠C=∠2,
∴∠1+∠2=∠B+∠C，即∠BOC=∠B＋∠C.
◎結(jié)論2：若∠BOC=∠B+∠C，則AB∥CD.

【證明】過點 O作OE∥AB，如圖，則 ∠B=∠1,
∵∠BOC=∠B+∠C，∠BOC=∠1+∠2，
∴∠1+∠2=∠B+∠C，∴∠C=∠2，∴OE∥DC，
又OE∥AB，∴AB∥CD.
1． (2023·山東·滕州市龍泉街道滕東中學(xué)七年級期中）①如圖1，ABCD，則∠A +∠E +∠C=180°；②如圖2，ABCD，則∠E =∠A +∠C;③如圖3，ABCD，則∠A +∠E－∠1=180° ； ④如圖4，ABCD，則∠A=∠C +∠P．以上結(jié)論正確的個數(shù)是( )

A．1個B．2個C．3個D．4個
2． (2023·江蘇·蘇州工業(yè)園區(qū)景城學(xué)校七年級階段練習(xí)）如圖，ABDE，BC⊥CD，則以下說法中正確的是（ ）
A．α，β的角度數(shù)之和為定值B．α，β的角度數(shù)之積為定值C．β隨α增大而增大D．β隨α增大而減小
3． (2023·山東濟寧·七年級期中）如圖，，，則與滿足（ ）
A．B．C．D．
1． (2023·河南新鄉(xiāng)·七年級期中）如圖，∠B+∠C=180°，∠A=50°，∠D=40°，則∠AED的度數(shù)為( )
A．70°B．80°C．90°D．100°
2． (2023·江蘇·揚州市江都區(qū)華君外國語學(xué)校七年級階段練習(xí)）如圖，一塊直角三角尺的一個頂點落在直尺的一邊上，若∠2＝25°，則∠1的度數(shù)為___．
3． (2023·四川·瀘州市梓橦路學(xué)校七年級期中）如圖，直線，，＝，＝，則的度數(shù)為 ________．
1．已知直線，直線EF分別與直線a，b相交于點E，F(xiàn)，點A，B分別在直線a，b上，且在直線EF的左側(cè)，點P是直線EF上一動點（不與點E，F(xiàn)重合），設(shè)∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．
(1)如圖，當(dāng)點在線段上運動時，試說明∠1＋∠3＝∠2；
(2)當(dāng)點P在線段EF外運動時有兩種情況．
①如圖2寫出∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系并給出證明；
②如圖3所示，猜想∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系（不要求證明）．
2．如圖：
(1)如圖1，，，，直接寫出的度數(shù)．
(2)如圖2，，點為直線，間的一點，平分，平分，寫出與之間的關(guān)系并說明理由．
(3)如圖3，與相交于點，點為內(nèi)一點，平分，平分，若，，直接寫出的度數(shù)．
相交線與平行線
模型（三）——豬蹄模型
◎結(jié)論1：若AB∥CD，則∠B0C=∠B+∠C

【證明】過點 O作OE//AB，如圖.

∵AB∥CD,∴OE∥CD,
∴∠B=∠1,∠C=∠2,
∴∠1+∠2=∠B+∠C，即∠BOC=∠B＋∠C.
◎結(jié)論2：若∠BOC=∠B+∠C，則AB∥CD.

【證明】過點 O作OE∥AB，如圖，則 ∠B=∠1,
∵∠BOC=∠B+∠C，∠BOC=∠1+∠2，
∴∠1+∠2=∠B+∠C，∴∠C=∠2，∴OE∥DC，
又OE∥AB，∴AB∥CD.
1． (2023·山東·滕州市龍泉街道滕東中學(xué)七年級期中）①如圖1，ABCD，則∠A +∠E +∠C=180°；②如圖2，ABCD，則∠E =∠A +∠C;③如圖3，ABCD，則∠A +∠E－∠1=180° ； ④如圖4，ABCD，則∠A=∠C +∠P．以上結(jié)論正確的個數(shù)是( )

A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】C
【分析】①過點E作直線，由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；②過點E作直線，由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；③過點E作直線，由平行線的性質(zhì)可得出∠A+∠E-∠1=180°；④先過點P作直線，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等和同位角相等即可作出判斷．
【詳解】解：①過點E作直線，
∵，∴，
∴∠A＋∠1＝180°，∠2＋∠C＝180°，
∴∠A＋∠C＋∠AEC＝360°，故①錯誤；
②過點E作直線，
∵，
∴，∴∠A＝∠1，∠2＝∠C，
∴∠AEC＝∠A＋∠C，即∠AEC＝∠A＋∠C，故②正確；
③過點E作直線，
∵，∴，
∴∠A＋∠3＝180°，∠1＝∠2，
∴∠A＋∠AEC－∠2＝180°，
即∠A＋∠AEC－∠1＝180°，故③正確；
④如圖，過點P作直線，
∵，∴，
∴∠1=∠FPA，∠C=∠FPC，
∵∠FPA=∠FPC+∠CPA，
∴∠1＝∠C＋∠CPA，
∵ABCD，∴∠A＝∠1，
即∠A＝∠C+∠CPA，故④正確．
綜上所述，正確的小題有②③④．
故選：C．
【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及平行公理的推論，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．
2． (2023·江蘇·蘇州工業(yè)園區(qū)景城學(xué)校七年級階段練習(xí)）如圖，ABDE，BC⊥CD，則以下說法中正確的是（ ）
A．α，β的角度數(shù)之和為定值B．α，β的角度數(shù)之積為定值C．β隨α增大而增大D．β隨α增大而減小
【答案】C
【分析】過C點作CFAB，利用平行線的性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：過C點作CFAB，
∵ABDE，
∴CFDE，
∴∠α=∠BCF，∠β+∠DCF=180°，
∵BC⊥CD，
∴∠BCF+∠DCF=90°，
∴∠α+180°-∠β=90°，
∴∠β=90°+∠α，
∴β隨α增大而增大，
故選：C．
【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)；熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3． (2023·山東濟寧·七年級期中）如圖，，，則與滿足（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】過點C作CFAB，由，則，利用平行線的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：過點C作CFAB，如圖，
∵CFAB，
∴∠BCF=∠α，
∵ABDE，
∴CFDE，
∴∠FCD=180°-∠β，
∴∠BCD=∠BCF+∠FCD=∠α+180°-∠β，
∵
∴∠α+180°-∠β=96°，
∴，
故選：D．
【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，平行公理的推論，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
1． (2023·河南新鄉(xiāng)·七年級期中）如圖，∠B+∠C=180°，∠A=50°，∠D=40°，則∠AED的度數(shù)為( )
A．70°B．80°C．90°D．100°
【答案】C
【分析】過點E作，根據(jù)平行線的性質(zhì)“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”可推導(dǎo)，再根據(jù)∠B+∠C=180°，借助平行線的判定“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”可判斷，故有，可知，然后由計算∠AED的度數(shù)即可．
【詳解】解：如下圖，過點E作，
則，
∵∠B+∠C=180°，
∴，
∴，
∴，
∴．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．
2． (2023·江蘇·揚州市江都區(qū)華君外國語學(xué)校七年級階段練習(xí)）如圖，一塊直角三角尺的一個頂點落在直尺的一邊上，若∠2＝25°，則∠1的度數(shù)為___．
【答案】65°
【分析】過直角頂點作直尺長邊的平行線，根據(jù)平行線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，可以得到∠1的度數(shù)，本題得以解決．
【詳解】解：過直角頂點作直尺長邊的平行線，如右圖所示，
則∠2=∠3，∠1=∠4，
∵∠2=25°，
∴∠3=25°，
∵∠3+∠4=90°，
∴∠4=65°，
∴∠1=65°，
故答案為：65°．
【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用平行線的性質(zhì)解答．
3． (2023·四川·瀘州市梓橦路學(xué)校七年級期中）如圖，直線，，＝，＝，則的度數(shù)為 ________．
【答案】117°##117度
【分析】過C作，過B作，利用平行線的性質(zhì)和判定即可得出結(jié)論．
【詳解】解：過C作，過B作，
∴,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
故答案為：．
【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，能綜合運用平行線的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．
1．已知直線，直線EF分別與直線a，b相交于點E，F(xiàn)，點A，B分別在直線a，b上，且在直線EF的左側(cè)，點P是直線EF上一動點（不與點E，F(xiàn)重合），設(shè)∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．
(1)如圖，當(dāng)點在線段上運動時，試說明∠1＋∠3＝∠2；
(2)當(dāng)點P在線段EF外運動時有兩種情況．
①如圖2寫出∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系并給出證明；
②如圖3所示，猜想∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系（不要求證明）．
【答案】(1)證明見詳解
(2)①；證明見詳解；②；證明見詳解
【分析】（1）如圖4過點作，利用平行線的傳遞性可知，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，，根據(jù)等量代換就可以得出；
（2）①如圖5過點作，利用平行線的傳遞性可知，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，，根據(jù)等量代換就可以得出；
②如圖6過點作，利用平行線的傳遞性可知，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，，根據(jù)等量代換就可以得出．
（1）
解：如圖4所示：過點作，
∵
∴
∴，，
∵，
∴；
（2）
解：①如圖5過點作，
∵
∴
∴，，
∵，
∴；
②如圖6過點作，
∵
∴
∴，，
∵，
∴．
【點睛】本題利用“豬蹄模型”及其變式考查了利用平行線的性質(zhì)求角之間的數(shù)量關(guān)系，準(zhǔn)確的作出輔助線和找到對應(yīng)的內(nèi)錯角是解決本題的關(guān)鍵．
2．如圖：
(1)如圖1，，，，直接寫出的度數(shù)．
(2)如圖2，，點為直線，間的一點，平分，平分，寫出與之間的關(guān)系并說明理由．
(3)如圖3，與相交于點，點為內(nèi)一點，平分，平分，若，，直接寫出的度數(shù)．
【答案】(1)∠BED=66°；
(2)∠BED=2∠F，見解析；
(3)∠BED的度數(shù)為130°．
【分析】（1）首先作EF∥AB，根據(jù)直線AB∥CD，可得EF∥CD，所以∠ABE=∠1=45°，∠CDE=∠2=21°，據(jù)此推得∠BED=∠1+∠2=66°；
（2）首先作EG∥AB，延長DE交BF于點H，利用三角形的外角性質(zhì)以及角平分線的定義即可得到∠BED=2∠F；
（3）延長DF交AB于點H，延長GE到I，利用三角形的外角性質(zhì)以及角平分線的定義即可得到∠BED的度數(shù)為130°．
（1）
解：（1）如圖，作EF∥AB，
，
∵直線AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠ABE=∠1=45°，∠CDE=∠2=21°，
∴∠BED=∠1+∠2=66°；
（2）
解：∠BED=2∠F，
理由是：過點E作EG∥AB，延長DE交BF于點H，
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EG，
∴∠5=∠1+∠2，∠6=∠3+∠4，
又∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠2=∠1，∠3=∠4，則∠5=2∠2，∠6=2∠3，
∴∠BED=2(∠2+∠3) ，
又∠F+∠3=∠BHD，∠BHD+∠2=∠BED，
∴∠3+∠2+∠F=∠BED，
綜上∠BED=∠F+12∠BED，即∠BED=2∠F；
（3）
解：延長DF交AB于點H，延長GE到I，
∵∠BGD=60°，
∴∠3=∠1+∠BGD=∠1+60°，∠BFD=∠2+∠3=∠2+∠1+60°=95°，
∴∠2+∠1=35°，即2(∠2+∠1) =70°，
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠ABE=2∠2，∠CDE=2∠1，
∴∠BEI=∠ABE +∠BGE=2∠2+∠BGE，∠DEI=∠CDE+∠DGE=2∠1+∠DGE，
∴∠BED=∠BEI+∠DEI=2(∠2+∠1)+( ∠BGE+∠DGE)=70°+60°=130°，
∴∠BED的度數(shù)為130°．
【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等知識，掌握平行線的判定和性質(zhì)，正確添加輔助線是解題關(guān)鍵．

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