A．趙爽弦圖B．笛卡爾心形線
C．科克曲線D．斐波那契螺旋線
【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：A．是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
B．不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
C．既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
D．不是中心對(duì)稱圖形，也不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合．
2．（2021秋?邯山區(qū)期末）已知一元二次方程x2+kx+3＝0有一個(gè)根為3，則k的值為（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
【分析】把x＝3代入方程計(jì)算即可求出k的值．
【解答】解：把x＝3代入方程得：9+3k+3＝0，
移項(xiàng)合并得：3k＝﹣12，
解得：k＝﹣4．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．
3．（2021秋?信豐縣期末）如圖，面積為50m2的矩形試驗(yàn)田一面靠墻（墻的長(zhǎng)度不限），另外三面用20m長(zhǎng)的籬笆圍成，平行于墻的一邊開(kāi)有一扇1m寬的門（門的材料另計(jì)）．設(shè)試驗(yàn)田垂直于墻的一邊AB的長(zhǎng)為x，則所列方程正確的是（ ）
A．（20+1﹣x）x＝50B．（20﹣1﹣x）x＝50
C．（20+1﹣2x）x＝50D．（20﹣1﹣2x）x＝50
【分析】根據(jù)籬笆的總長(zhǎng)及AB的長(zhǎng)度，可得出BC＝（20+1﹣2x）m，利用矩形的面積計(jì)算公式，結(jié)合矩形試驗(yàn)田的面積為50m2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：∵籬笆的總長(zhǎng)為20m，且AB＝xm，平行于墻的一邊開(kāi)有一扇1m寬的門，
∴BC＝（20+1﹣2x）m．
依題意得：（20+1﹣2x）x＝50．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
4．（2021秋?鐵西區(qū)期末）如圖所示的幾何體是由6個(gè)大小相同的小立方體搭成，它的主視圖是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)主視圖是從正面看到的圖象判定則可．
【解答】】解：從正面看，共有四列，從左到右每列的正方形的個(gè)數(shù)分別為：1、2、1、1，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三視圖的知識(shí)，主視圖是從物體的正面看得到的視圖．
5．（2021秋?岳陽(yáng)樓區(qū)期末）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0時(shí)，原方程應(yīng)變形為（ ）
A．（x+1）2＝6B．（x+2）2＝9C．（x﹣1）2＝6D．（x﹣2）2＝9
【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：x2﹣2x﹣5＝0，
x2﹣2x＝5，
x2﹣2x+1＝5+1，
（x﹣1）2＝6，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握解一元二次方程﹣配方法是解題的關(guān)鍵．
6．（2021秋?舞陽(yáng)縣期末）下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（ ）
A．y＝x﹣2B．y＝C．y＝x2+2x﹣1D．y＝
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義：形如y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)且a≠0），即可解答．
【解答】解：A、y＝x﹣2是一次函數(shù)，故A不符合題意；
B、y＝是反比例函數(shù)，故B不符合題意；
C、y＝x2+2x﹣1是二次函數(shù)，故C符合題意；
D、y＝不是二次函數(shù)，故D不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
7．（2021秋?豐寧縣期末）下表中列出的是一個(gè)二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)y的幾組對(duì)應(yīng)值：
下列各選項(xiàng)中，正確的是（ ）
A．這個(gè)函數(shù)的圖象開(kāi)口向下
B．這個(gè)函數(shù)的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)
C．當(dāng)x＞1時(shí)，y的值隨x值的增大而增大
D．這個(gè)函數(shù)的最小值小于﹣6
【分析】根據(jù)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，﹣4），（3，﹣4）可得拋物線對(duì)稱軸為直線x＝，由拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣2，6）可得拋物線開(kāi)口向上，進(jìn)而求解．
【解答】解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，﹣4），（3，﹣4），
∴拋物線對(duì)稱軸為直線x＝，
∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣2，6），
∴當(dāng)x＜時(shí)，y隨x增大而減小，
∴拋物線開(kāi)口向上，且跟x軸有交點(diǎn)，故A，B錯(cuò)誤，不符合題意；
∴x＞時(shí)，y隨x增大而增大，故C錯(cuò)誤，不符合題意；
由對(duì)稱性可知，在x＝處取得最小值，且最小值小于﹣6．故D正確，符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系．
8．（2021秋?攸縣期末）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，PO交⊙O于點(diǎn)C，連接BC，PA．若∠P＝36°，且PA與⊙O相切，則此時(shí)∠B等于（ ）
A．27°B．32°C．36°D．54°
【分析】先利用切線的性質(zhì)求出∠AOP＝54°，再利用等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵PA是⊙O的切線，
∴∠PAO＝90°，
∴∠AOP＝90°﹣∠P＝54°，
∵OB＝OC，
∴∠AOP＝2∠B，
∴∠B＝∠AOP＝27°，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了切線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，求出∠AOP是解本題的關(guān)鍵．
9．（2021秋?岱岳區(qū)期末）反比例函數(shù)y＝與一次函數(shù)y＝ax+b在同一坐標(biāo)系中的大致圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象判定a、b的符號(hào)，根據(jù)ab的符號(hào)判定反比例函數(shù)圖象所在的象限．
【解答】解：A、一次函數(shù)y＝ax+b的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限，則a＞0，與y軸交于負(fù)半軸，則b＜0，所以ab＜0，則反比例y＝經(jīng)過(guò)第二、四象限，不符合題意；
B、一次函數(shù)y＝ax+b的圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限，則a＜0，與y軸交于負(fù)半軸，則b＜0，所以ab＞0，則反比例y＝經(jīng)過(guò)第一、三象限，不符合題意；
C、一次函數(shù)y＝ax+b的圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限，則a＜0，與y軸交于正半軸，則b＞0，所以ab＜0，則反比例y＝經(jīng)過(guò)第二、四象限，不符合題意；
D、一次函數(shù)y＝ax+b的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限，則a＞0，與y軸交于負(fù)半軸，則b＜0，所以ab＜0，則反比例y＝經(jīng)過(guò)第二、四象限，符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)和一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，要掌握它們的性質(zhì)才能靈活解題．
10．（2021秋?睢縣期末）已知反比例函數(shù)y＝（a為常數(shù)）圖象上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），其中x1＜0＜x2＜x3，則y1，y2，y3的大小關(guān)系的是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1
【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)的解析式判斷出函數(shù)圖象所在的象限，再根據(jù)x1＜0＜x2＜x3即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵反比例函數(shù)y＝（a為常數(shù)）中，﹣a2﹣3＜0，
∴函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于第二、四象限，且在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．
∵x1＜0＜x2＜x3，
∴B、C兩點(diǎn)在第四象限，A點(diǎn)在第二象限，
∴y2＜y3＜y1．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知反比例函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．
11．（2021秋?巨野縣期末）把拋物線y＝﹣3x2的圖象向左平移1個(gè)單位，再向上平移6個(gè)單位，所得的拋物線的函數(shù)關(guān)系式是（ ）
A．y＝﹣3（x﹣1）2+6B．y＝﹣3（x﹣1）2﹣6
C．y＝﹣3（x+1）2+6D．y＝﹣3（x+1）2﹣6
【分析】求出頂點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，即可根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)式得到答案．
【解答】解：∵拋物線y＝﹣3x2的頂點(diǎn)為：（0，0），
∴將拋物線y＝﹣3x2的圖象向左平移1個(gè)單位，再向上平移6個(gè)單位，所得的拋物線頂點(diǎn)為（﹣1，6），
∴平移后的拋物線是y＝﹣3（x+1）2+6，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的平移，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，本題也可根據(jù)平移規(guī)律：“左加右減，上加下減”解答．
12．（2021秋?信都區(qū)期末）已知⊙O的半徑為3，平面內(nèi)有一點(diǎn)到圓心O的距離為5，則此點(diǎn)可能是（ ）
A．P點(diǎn)B．Q點(diǎn)C．M點(diǎn)D．N點(diǎn)
【分析】根據(jù)點(diǎn)到圓心O的距離大于半徑，可判定出點(diǎn)在圓外，即可得到答案．
【解答】解：∵平面內(nèi)有一點(diǎn)到圓心O的距離為5，5＞3．
∴該點(diǎn)在圓外，
∴點(diǎn)N符合要求．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)到圓心距離與半徑的大小關(guān)系可作出判斷．
13．（2021秋?諸暨市期末）如圖，△ABC的頂點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則sin∠ABC的值為（ ）
A．B．2C．D．
【分析】連接小正方形的對(duì)角線，證明△BCD是直角三角形，再利用sin∠ABC與它的余角的正弦值相等解答即可．
【解答】解：如圖所示，連接小正方形的對(duì)角線CD，
設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則CD＝，＝，BD＝，
∵，
即CD2+BD2＝BC2，
∴△BCD是直角三角形，
∴sin∠ABC＝＝．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過(guò)程就是解直角三角形．靈活運(yùn)用勾股定理和銳角三角函數(shù)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
14．（2022春?工業(yè)園區(qū)校級(jí)期末）如圖，過(guò)圓心且互相垂直的兩條直線將兩個(gè)同心圓分成了若干部分，在該圖形區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自陰影部分的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)概率公式求解即可．
【解答】解：觀察圖形可知，陰影部分是大圓面積的一半，則該點(diǎn)取自陰影部分的概率是．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查概率公式，求概率時(shí)，已知和未知與幾何有關(guān)的就是幾何概率．計(jì)算方法是長(zhǎng)度比，面積比，體積比等．
15．（2021秋?萊州市期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D，O都在格點(diǎn)上．下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心B．點(diǎn)O是△ABC的外心
C．點(diǎn)O是△ABD的內(nèi)心D．點(diǎn)O是△ABD的外心
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形的外接圓與外心即可解決問(wèn)題．
【解答】解：根據(jù)點(diǎn)A，B，C，D，O都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上．
可知：點(diǎn)O到點(diǎn)A，B，D三點(diǎn)的距離相等，
所以點(diǎn)O是△ABD的外心，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形的外接圓與外心，解決本題的關(guān)鍵是掌握內(nèi)心與外心的定義．
16．（2021秋?淥口區(qū)期末）《九章算術(shù)》中記載了一種測(cè)量古井水面以上部分深度的方法．如圖所示，在井口A處立一根垂直于井口的木桿AB，從木桿的頂端B觀察井水水岸D，視線BD與井口的直徑AC交于點(diǎn)E，如果測(cè)得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD為（ ）
A．2米B．3米C．米D．米
【分析】由題意知：△ABE∽△CDE，得出對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出CD．
【解答】解：由題意知：AB∥CD，
則∠BAE＝∠C，∠B＝∠CDE，
∴△ABE∽△CDE，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝3米，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意得出△ABE∽△CDE是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
17．（2021秋?自貢期末）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，它的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，有下列結(jié)論：
①abc＜0；②4ac﹣b2＜0；③c﹣a＞0；④當(dāng)x＝﹣n2﹣2時(shí)，y≥c；⑤若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的兩根，則方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的兩根m，n（m＜n）滿足m＜x1且n＞x2；其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】①由開(kāi)口向上得到a＞0，由對(duì)稱軸在y軸左側(cè)得到b＞0，由函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上得到c＞0，進(jìn)而得到abc的正負(fù)情況；
②由函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)得到b2﹣4ac的正負(fù)；
③由對(duì)稱軸為x＝﹣1得到b＝2a，然后由當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＜0得到c﹣a的正負(fù)；
④由對(duì)稱軸為x＝﹣1和x＝0時(shí)，y＝c，得到x＝﹣2時(shí)，y＝c，再由﹣n2﹣2≤﹣2，得到當(dāng)x＝﹣n2﹣2時(shí)，y≥c；
⑤由方程的根得到函數(shù)與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為x1，x2（x1＜x2），進(jìn)而由方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的兩根為m，n即為函數(shù)y＝ax2+bx+c與直線y＝1的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，得到x1與m、x2與n之間的關(guān)系．
【解答】解：①∵開(kāi)口向上，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上，
∴a＞0，b＞0，c＞0，
∴abc＞0，故①錯(cuò)誤，不符合題意；
②∵函數(shù)圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，故②正確，符合題意；
③∵對(duì)稱軸為x＝﹣1，
∴＝﹣1，
∴b＝2a，
∵當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＜0，
∴a﹣b+c＝a﹣2a+c＝c﹣a＜0，
∴c＜a，故③錯(cuò)誤，不符合題意；
④∵對(duì)稱軸為x＝﹣1，且當(dāng)x＝0時(shí)，y＝c，
∴x＝﹣2時(shí)，y＝c，當(dāng)x＜﹣1時(shí)，y隨x的增大為減小，
∵﹣n2﹣2≤﹣2，得到當(dāng)x＝﹣n2﹣2時(shí)，y≥c，故④正確，符合題意；
⑤∵x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的兩根，
∴y＝ax2+bx+c（a＞0）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1，x2（x1＜x2），
∵方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的兩根為m，n，
∴函數(shù)y＝ax2+bx+c與直線y＝1的交點(diǎn)橫坐標(biāo)位m，n，
∵函數(shù)圖象開(kāi)口向上，
∴x1＞m，x2＜n，故⑤正確，符合題意，
∴正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)與方程的解之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟知函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系．
二．填空題（共23小題）
18．（2021秋?阿城區(qū)期末）在半徑為15的圓中，120°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是 10π ．
【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)計(jì)算公式進(jìn)行求解即可得出答案．
【解答】解：l＝＝＝10π．
故答案為：10π．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，熟練掌握弧長(zhǎng)的計(jì)算公式進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．
19．（2021秋?河北區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（﹣2，1）與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為 （2，﹣1） ．
【分析】關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，橫縱坐標(biāo)都變成原來(lái)相反數(shù)，據(jù)此求出點(diǎn)B的坐標(biāo)．
【解答】解：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（﹣2，1）與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，﹣1）．
故答案為：（2，﹣1）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反，即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)是P′（﹣x，﹣y）．
20．（2021秋?仙居縣期末）如圖，在一塊長(zhǎng)22m，寬為14m的矩形空地內(nèi)修建三條寬度相等的小路，其余部分種植花草．若花草的種植面積為240m2，則小路寬為 2 m．
【分析】設(shè)小路寬為xm，則種植花草部分的面積等同于長(zhǎng)（22﹣x）m，寬（14﹣x）m的矩形的面積，根據(jù)花草的種植面積為240m2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)小路寬為xm，則種植花草部分的面積等同于長(zhǎng)（22﹣x）m，寬（14﹣x）m的矩形的面積，
依題意得：（22﹣x）（14﹣x）＝240，
整理得：x2﹣36x+68＝0，
解得：x1＝2，x2＝34（不符合題意，舍去）．
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
21．（2021秋?順平縣期末）二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+3的圖象如圖，對(duì)稱軸為直線x＝﹣1．
（1）b＝ ﹣2 ；
（2）若直線y＝t與拋物線y＝﹣x2+bx+3在﹣3≤x≤1的范圍內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)，則t的取值范圍是 0≤t＜4 ．
【分析】（1）通過(guò)拋物線對(duì)稱軸為直線x＝﹣求解；
（2）將拋物線解析式化為頂點(diǎn)式，通過(guò)﹣3≤x≤1時(shí)y的取值范圍求解．
【解答】解：（1）∵拋物線對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝﹣1，
∴b＝﹣2．
故答案為：﹣2．
（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴函數(shù)最大值為y＝4，
∵（﹣1）﹣（﹣3）＞1﹣（﹣1），
∴x＝1時(shí)，y＝﹣1﹣2+3＝0為﹣3≤x≤1的函數(shù)最小值，
∴0≤t＜4時(shí)，直線y＝t與拋物線y＝﹣x2+bx+3在﹣3≤x≤1的范圍內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)，
故答案為：0≤t＜4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系．
22．（2021秋?臨湘市期末）計(jì)算：2cs60°﹣sin30°+tan245°＝ ．
【分析】根據(jù)特殊銳角的三角函數(shù)值代入計(jì)算即可．
【解答】解：原式＝2×﹣+12＝1﹣+1＝，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查特殊銳角的三角函數(shù)值，掌握特殊銳角的三角函數(shù)值是正確計(jì)算的前提．
23．（2022春?興寧區(qū)校級(jí)期末）已知關(guān)于x的方程x2﹣3x+m＝0的一個(gè)根是1，則另一個(gè)根是 2 ．
【分析】由已知方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出另一根即可．
【解答】解：設(shè)另一個(gè)根為a，
∵關(guān)于x的方程x2﹣3x+m＝0的一個(gè)根是1，
∴a+1＝3，
解得：a＝2，
則另一個(gè)根為2．
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，以及一元二次方程的解，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．
24．（2021秋?陜州區(qū)期末）已知拋物線y＝x2﹣x﹣1與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，0），則代數(shù)式m2﹣m+2021的值為 2022 ．
【分析】由題意求出m2﹣m的值，代入代數(shù)式m2﹣m+2021進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．
【解答】解：∵拋物線y＝x2﹣x﹣1與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（m，0），
∴m2﹣m﹣1＝0，
∴m2﹣m＝1，
∴m2﹣m+2021＝1+2021＝2022．
故答案為：2022．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，熟知x軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是解答此題的關(guān)鍵．
25．（2021秋?江油市期末）n個(gè)球隊(duì)參加籃球比賽，每?jī)申?duì)之間進(jìn)行一場(chǎng)比賽，比賽的場(chǎng)次數(shù)m與球隊(duì)數(shù)n（n≥2）之間的函數(shù)關(guān)系是 m＝n2﹣n ．
【分析】n個(gè)球隊(duì)都要與除自己之外的（n﹣1）球隊(duì)個(gè)打一場(chǎng)，因此要打n（n﹣1）場(chǎng)，然而有重復(fù)一半的場(chǎng)次，故比賽場(chǎng)次為n（n﹣1），得出關(guān)系式．
【解答】解：m＝n（n﹣1）＝n2﹣n，
故答案為：m＝n2﹣n．
【點(diǎn)評(píng)】考查函數(shù)關(guān)系式的求法，在具體的情景中，蘊(yùn)含數(shù)量之間的關(guān)系，理解和發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵．
26．（2021秋?東港區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，動(dòng)點(diǎn)P以2mm/s的速度從A向B移動(dòng)，（不與B重合），動(dòng)點(diǎn)Q以4mm/s的速度從B向C移動(dòng)，（不與C重合），若P、Q同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò) 3或 秒后，△PBQ與△ABC相似．
【分析】設(shè)x秒后△PBQ與原三角形相似，則可用x表示出AP＝2x，PB＝12﹣2x，BQ＝4x，由于△PBQ和△ABC有公共角∠B，則根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，分兩種情況．
【解答】解：設(shè)x秒后△PBQ與△ABC相似，則AP＝xcm，PB＝（12﹣2x）（cm），BQ＝4xcm，
∵∠PBQ＝∠ABC，
∴當(dāng)時(shí)，△BPQ∽△BAC，
即，
解得x＝3；
當(dāng)時(shí)，△PBQ∽△CBA，
即，
解得x＝．
即經(jīng)過(guò)3秒或秒后，△PBQ與△ABC相似．
故答案為：3或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
27．（2021秋?興化市期末）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是CD的中點(diǎn)．則△DEO與△BCD的面積的比等于 1：4 ．
【分析】由平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，可得O是BD中點(diǎn)，已知條件中有E是CD的中點(diǎn)，則OE是△BCD的中位線，所以O(shè)E∥BC，OE＝BC，則△DEO∽△BCD，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方可以求出△DEO與△BCD的面積的比．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，且對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，
∴O是BD的中點(diǎn)，
∵E是CD的中點(diǎn)，
∴OE∥BC，OE＝BC，
∴＝，
∵△DEO∽△BCD，
∴＝＝＝，
∴△DEO與△BCD的面積的比等于1：4，
故答案為：1：4．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)三角形中位線定理證明OE∥BC是解題的關(guān)鍵．
28．（2021秋?高陽(yáng)縣期末）常態(tài)化防疫形勢(shì)下，某學(xué)生寫了一份預(yù)防新型冠狀病毒倡議書在微信朋友圈傳播，規(guī)則為：將倡議書發(fā)表在自己的朋友圈，再邀請(qǐng)n個(gè)好友轉(zhuǎn)發(fā)倡議書，每個(gè)好友轉(zhuǎn)發(fā)倡議書，又邀請(qǐng)n個(gè)互不相同的好友轉(zhuǎn)發(fā)倡議書，以此類推，已知經(jīng)過(guò)兩輪傳播后，共有931人參與了傳播活動(dòng)，則方程列為 n2+n+1＝931 ．
【分析】設(shè)邀請(qǐng)了n個(gè)好友轉(zhuǎn)發(fā)倡議書，第一輪轉(zhuǎn)發(fā)了n個(gè)人，第二輪轉(zhuǎn)發(fā)了n2個(gè)人，根據(jù)兩輪轉(zhuǎn)發(fā)后，共有931人參與列出方程即可．
【解答】解：由題意，得
n2+n+1＝931，
故答案為：n2+n+1＝931．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解答時(shí)先由條件表示出第一輪增加的人數(shù)和第二輪增加的人數(shù)，根據(jù)兩輪總?cè)藬?shù)為931人建立方程是關(guān)鍵．
29．（2021秋?宣化區(qū)期末）如圖，點(diǎn)A在雙曲線y＝上，點(diǎn)B在雙曲線y＝上，AB∥x軸，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于D，連接OB，與AD相交于點(diǎn)C，若AB＝2OD，則k的值為 18 ．
【分析】過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，延長(zhǎng)線段BA，交y軸于F，得出四邊形AFOD是矩形，四邊形OEBF是矩形，得出S矩形AFOD＝6，S矩形OEBF＝k，由AB＝2OD，得到OE＝3OD，即可求得矩形OEBF的面積，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可求得k的值．
【解答】解：過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，延長(zhǎng)線段BA，交y軸于F，
∵AB∥x軸，
∴AF⊥y軸，
∴四邊形AFOD是矩形，四邊形OEBF是矩形，
∴AF＝OD，BF＝OE，
∴AB＝DE，
∵點(diǎn)A在雙曲線y＝上，
∴S矩形AFOD＝6，
同理S矩形OEBF＝k，
∵AB＝2OD，
∴DE＝2OD，
∴S矩形OEBF＝3S矩形AFOD＝18，
∴k＝18，
故答案是：18．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，矩形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，作出輔助線，構(gòu)建矩形是解題的關(guān)鍵．
30．（2022春?長(zhǎng)沙期末）已知二次函數(shù)y＝2（x﹣1）2﹣m的圖象上有三點(diǎn)A（，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3），則y1，y2，y3的大小關(guān)系為 y3＞y2＞y1 ．
【分析】二次函數(shù)y＝2（x﹣1）2﹣m開(kāi)口向上，對(duì)稱軸是直線x＝1，在對(duì)稱軸兩側(cè)時(shí)，則A、B、C的橫坐標(biāo)離對(duì)稱軸越近，則縱坐標(biāo)越小，由此判斷y1、y2、y3的大?。?br>【解答】解：∵二次函數(shù)y＝2（x﹣1）2﹣m，
∴拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸是直線x＝1，
∵點(diǎn)A（，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3）在二次函數(shù)y＝2（x﹣1）2﹣m的圖象上，且|﹣2﹣1|＞|2﹣1|＞|﹣1|，
∴y1、y2、y3的大小關(guān)系為：y3＞y2＞y1．
故答案為：y3＞y2＞y1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，由點(diǎn)的橫坐標(biāo)到對(duì)稱軸的距離判斷點(diǎn)的縱坐標(biāo)的大?。?br>31．（2021秋?渝中區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分別以AB、BC、AC邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波克拉底月牙”．當(dāng)AB＝8，BC＝4時(shí)，則陰影部分的面積為 8 ．
【分析】根據(jù)勾股定理得到AB2＝AC2+BC2，根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可．
【解答】解：由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，
∴AC＝＝4，
則陰影部分的面積＝×AC×BC+×π×（）2+×π×（）2﹣×π×（）2
＝×4×4+×π××（AC2+BC2﹣AB2）
＝8，
故答案為：8．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理、扇形面積計(jì)算，掌握勾股定理和扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．
32．（2021秋?蓮池區(qū)期末）如圖，點(diǎn)O是正方形ABCD的對(duì)稱中心，射線OM，ON分別交正方形的邊AD，CD于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接EF，已知AD＝2，∠EOF＝90°．
（1）以點(diǎn)E，O，F(xiàn)，D為頂點(diǎn)的圖形的面積為 1 ；
（2）線段EF的最小值是 ．
【分析】（1）連接AO，DO，證明△AEO≌△DFO（ASA），可得S四邊形EOFD＝S△ADO，求出S△ADO＝×4＝1即可求解；
（2）設(shè)AE＝x，則ED＝2﹣x，由勾股定理可得EF2＝2（x﹣1）2+2，即可求EF的最小值．
【解答】解：（1）連接AO，DO，
∵∠EOF＝90°，
∴∠EOD+∠FOD＝90°，
∵四邊形ABCD是正方形，O是中心，
∴∠AOD＝90°，
∴∠EOD+∠AOE＝90°，
∴∠FOD＝∠AOE，
∵AO＝DO，∠DAO＝∠ADO＝45°，
∴△AEO≌△DFO（ASA），
∴S四邊形EOFD＝S△ADO，
∵AD＝2，
∴S△ADO＝×4＝1，
∴S四邊形EOFD＝1，
故答案為：1；
（2）設(shè)AE＝x，則ED＝2﹣x，
在Rt△EDF中，EF2＝x2+（2﹣x）2＝2x2﹣4x+4＝2（x﹣1）2+2，
∴當(dāng)x＝1時(shí)，EF有最小值，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查中心對(duì)稱，熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)求最值的方法是解題的關(guān)鍵．
33．（2022春?港南區(qū)期末）如圖，⊙M的半徑為4，圓心M的坐標(biāo)為（5，12），點(diǎn)P是⊙M上的任意一點(diǎn)，PA⊥PB，且PA、PB與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，則AB的最小值為 18 ．
【分析】由Rt△APB中AB＝2OP知要使AB取得最小值，則PO需取得最小值，連接OM，交⊙M于點(diǎn)P′，當(dāng)點(diǎn)P位于P′位置時(shí)，OP′取得最小值，據(jù)此求解可得．
【解答】解：連接OP，
∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最小值，則PO需取得最小值，
連接OM，交⊙M于點(diǎn)P′，當(dāng)點(diǎn)P位于P′位置時(shí)，OP′取得最小值，過(guò)點(diǎn)M作MQ⊥x軸于點(diǎn)Q，
則OQ＝5，MQ＝12，
∴OM＝13，
又∵M(jìn)P′＝4，
∴OP′＝9，
∴AB＝2OP′＝18，
故答案是：18．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出AB取得最小值時(shí)點(diǎn)P的位置．
34．（2021秋?岳陽(yáng)期末）若，則＝ ．
【分析】根據(jù)已知條件得出a＝b，c＝d，e＝f，再代入要求的式子進(jìn)行計(jì)算，即可得出答案．
【解答】解：∵＝＝＝，
∴a＝b，c＝d，e＝f，
∴＝＝×＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件得出a＝b，c＝d，e＝f．
35．（2021秋?汝州市期末）如圖，甲樓AB高16米，乙樓CD坐落在甲樓的正北面，已知當(dāng)?shù)囟林形?2時(shí)，物高與影長(zhǎng)的比是，已知兩樓相距BD為12米，那么甲樓的影子落在乙樓上的高DE＝ （16﹣6） 米．（結(jié)果保留根號(hào)）
【分析】設(shè)FE⊥AB于點(diǎn)F，那么在Rt△AEF中，∠AFE＝90°，解直角三角形AEC可以求得AF的長(zhǎng)，進(jìn)而求得DE＝AB﹣AF即可解題．
【解答】解：如圖，
設(shè)FE⊥AB于點(diǎn)F，那么在Rt△AEF中，∠AFE＝90°，EF＝BD＝12米．
∵物高與影長(zhǎng)的比是1：，
∴，
則AF＝EF＝6米，
故DE＝FB＝（16﹣6）米．
故答案為（16﹣6）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角似三角形的應(yīng)用和平行投影，根據(jù)物高與影長(zhǎng)的比是1：，得出AF的值是解題的關(guān)鍵．
36．（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）在一個(gè)不透明的袋子里，裝有6枚白色球和若干枚黑色球，這些球除顏色外都相同．將袋子里的球搖勻，隨機(jī)摸出一枚球，記下它的顏色后再放回袋子里．不斷重復(fù)這一過(guò)程，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，摸到白色球的頻率穩(wěn)定在0.2，由此估計(jì)袋子里黑色球的個(gè)數(shù)為 24 ．
【分析】設(shè)袋子里黑色棋子的個(gè)數(shù)為x個(gè)，根據(jù)概率公式列出算式，再進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．
【解答】解：設(shè)袋子里黑色棋子的個(gè)數(shù)為x個(gè)，根據(jù)題意得：
＝0.2，
解得：x＝24，
經(jīng)檢驗(yàn)：x＝24是分式方程的解，
估計(jì)袋子里黑色棋子的個(gè)數(shù)為24個(gè)．
故答案為：24．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了利用概率的求法估計(jì)總體個(gè)數(shù)，利用如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）＝是解題關(guān)鍵．
37．（2021秋?高新區(qū)校級(jí)期末）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2，以A為圓心，AC的長(zhǎng)為半徑畫弧，得，連接AC，AE，則圖中陰影部分的面積為 2π ．
【分析】由正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2，可得AB＝BC＝2，∠ABC＝∠BAF＝120°，進(jìn)而求出∠BAC＝30°，∠CAE＝60°，過(guò)B作BH⊥AC于H，由等腰三角形的性質(zhì)和含30°直角三角形的性質(zhì)得到AH＝CH，BH＝1，在Rt△ABH中，由勾股定理求得AH＝，得到AC＝2，根據(jù)扇形的面積公式即可得到陰影部分的面積．
【解答】解：∵正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2，
∴AB＝BC＝2，∠ABC＝∠BAF＝＝120°，
∵∠ABC+∠BAC+∠BCA＝180°，
∴∠BAC＝（180°﹣∠ABC）＝×（180°﹣120°）＝30°，
過(guò)B作BH⊥AC于H，
∴AH＝CH，BH＝AB＝×2＝1，
在Rt△ABH中，AH＝＝＝，
∴AC＝2，
同理可證，∠EAF＝30°，
∴∠CAE＝∠BAF﹣∠BAC﹣∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°，
∴S扇形CAE＝＝2π，
∴圖中陰影部分的面積為2π，
故答案為：2π．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是正六邊形的性質(zhì)和扇形面積的計(jì)算、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．
38．（2021秋?海淀區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（﹣2，0），點(diǎn)B（0，1）．將線段BA繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°得到線段BC，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 （2，2） ．
【分析】設(shè)C（m，n）．利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式構(gòu)建方程組求解即可．
【解答】解：設(shè)C（m，n）．
∵線段BA繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°得到線段BC，
∴AB＝BC，
∵點(diǎn)A（﹣2，0），點(diǎn)B（0，1），
∴＝0，＝1，
∴m＝2，n＝2，
∴C（2，2）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題即可．
39．（2021秋?花都區(qū)期末）如圖，以點(diǎn)O為位似中心，把△AOB縮小后得到△COD，使△COD∽△AOB，且相似比為，已知點(diǎn)A（3，6），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 （1，2）或（﹣1，﹣2） ．
【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)計(jì)算即可．
【解答】解：由題意得，點(diǎn)A與點(diǎn)C是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，
△AOB與△COD的相似比是3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3×，6×），即（1，2），
當(dāng)點(diǎn)C值第三象限時(shí)，C（﹣1，﹣2）
故答案為：（1，2）或（﹣1，﹣2）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是位似變換的性質(zhì)，掌握在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或﹣k是解題的關(guān)鍵．
40．（2021秋?浦東新區(qū)期末）如圖，a∥b∥c，直線a與直線b之間的距離為，直線c與直線b之間的距離為2，等邊△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別在直線a、直線b、直線c上，則等邊三角形的邊長(zhǎng)是 2 ．
【分析】過(guò)點(diǎn)A作AD⊥直線b于D，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE，作EG⊥直線c于G交直線a于F．想辦法求出AE，EC即可解決問(wèn)題．
【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥直線b于D，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE，作EG⊥直線c于G交直線a于F．
則有∠AEC＝∠ADB＝∠AFE＝∠EGC＝90°，AE＝AD＝，∠EAF＝∠CEG＝30°，
∴EF＝AE＝，
∴EG＝，CG＝EG＝，CE＝2CG＝5，
∴AC＝＝＝2．
∴等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2．
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)構(gòu)造相似三角形是關(guān)鍵．
三．解答題（共20小題）
41．（2022春?鄞州區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，若BE＝5，CD＝6，求AE的長(zhǎng)．
【分析】根據(jù)垂徑定理和勾股定理求出圓的半徑，進(jìn)而求出AE的長(zhǎng)即可．
【解答】解：如圖，連接OC，
∵CD⊥AB，AB是直徑，
∴CE＝DE＝CD＝3，
在Rt△COE中，設(shè)半徑為r，則OE＝5﹣r，OC＝r，由勾股定理得，
OE2+CE2＝OC2，
即（5﹣r）2+32＝r2，
解得r＝3.4，
∴AE＝AB﹣BE＝3.4×2﹣5＝1.8，
答：AE的長(zhǎng)為1.8．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理、勾股定理，掌握垂徑定理和勾股定理是正確解答的前提．
42．（2021秋?山西期末）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，，∠ABD＝33°，∠ACB＝44°．
（1）求∠BAC的度數(shù)．
（2）求∠BAD的度數(shù)．
【分析】（1）先根據(jù)圓周角定理得到∠CBD＝∠ABD＝33°，則∠ABC＝66°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和計(jì)算∠BAC的度數(shù)；
（2）先根據(jù)圓周角定理得到∠DAC＝∠DBC＝33°，然后計(jì)算∠BAC+∠DAC即可．
【解答】解：（1）∵，
∴∠CBD＝∠ABD＝33°，
∴∠ABC＝66°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣66°﹣44°＝70°；
（2）∵∠DAC＝∠DBC＝33°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝70°+33°＝103°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．也考查了圓周角定理．
43．（2021秋?禪城區(qū)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE＝∠B．
（1）求證：△ADF∽△DEC；
（2）若AE＝6，AD＝8，AB＝7，求AF的長(zhǎng)．
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，得兩對(duì)角相等，即可證明△ADF∽△DEC；
（2）根據(jù)AE與BC垂直，得到兩個(gè)角為直角，利用勾股定理求出BE與DE的長(zhǎng)，由三角形ADF與三角形DEC相似，得出比例線段，求出AF的長(zhǎng)即可．
【解答】（1）證明：在平行四邊形ABCD中，AB∥DC，
∴∠C+∠B＝180°，
∵∠AFD+∠AFE＝180°，
∵∠AFE＝∠B．
∴∠AFD＝∠C，
∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DEC，
∴△ADF∽△DEC；
（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB＝CD＝7，
∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∴DE＝＝＝10，
由（1）可知△ADF∽△DEC，
∴，
∴，
∴AF＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．
44．（2021秋?牡丹區(qū)期末）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br>（1）（x﹣2）2＝4x﹣2x2；
（2）（x﹣1）（x+2）＝4．
【分析】（1）移項(xiàng)后分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，再求出方程的解即可；
（2）整理后分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，再求出方程的解即可．
【解答】解：（1）（x﹣2）2＝4x﹣2x2，
（x﹣2）2+2x（x﹣2）＝0，
（x﹣2+2x）（x﹣2）＝0，
x﹣2+2x＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝，x2＝2；
（2）（x﹣1）（x+2）＝4，
整理，得x2+x﹣6＝0，
（x+3）（x﹣2）＝0，
x+3＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼馐墙獯祟}的關(guān)鍵，解一元二次方程的方法有直接開(kāi)平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
45．（2021秋?雙牌縣期末）已知關(guān)于x的方程x2﹣2（k﹣3）x+k2﹣4k﹣1＝0．
（1）若這個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍；
（2）若這個(gè)方程有一個(gè)根為﹣1，求k的值．
【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式△≥0，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范圍；
（2）把x＝﹣1代入原方程，求出k的值即可；
【解答】解：（1）∵關(guān)于x的方程x2﹣2（k﹣3）x+k2﹣4k﹣1＝0有實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝[﹣2（k﹣3）]2﹣4×1×（k2﹣4k﹣1）≥0，
解得：k≤5．
（2）把x＝﹣1代入原方程得，1+2k﹣6+k2﹣4k﹣1＝0，
解得：k＝1±，
所以，當(dāng)方程有一個(gè)根為﹣1，k的值為1+或1﹣．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式和解一元一次不等式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：
（1）Δ＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）Δ＝0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
（3）Δ＜0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
46．（2021秋?薛城區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝ax+b（a≠0）的圖象分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象交于C，D兩點(diǎn)，DE⊥x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，﹣1），DE＝3．
（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)P在反比例函數(shù)圖象上，且△POA的面積等于8，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．
【分析】（1）用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)表達(dá)式即可求解；
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（m，n），根據(jù)三角形面積公式求得即可．
【解答】解：（1）∵點(diǎn)C（6，﹣1）在反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象上，
∴k＝6×（﹣1）＝﹣6，
∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為y＝﹣，
∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)y＝﹣上，且DE＝3，
∴y＝3，代入求得：x＝﹣2，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣2，3）．
∵C、D兩點(diǎn)在直線y＝ax+b上，則，解得，
∴一次函數(shù)的關(guān)系式為y＝﹣x+2；
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（m，n）．
把y＝0代入y＝﹣x+2，解得x＝4，
即A（4，0），則OA＝4，
∵△POA的面積等于8，
∴×OA×|n|＝8，
解得：|n|＝4，
∴n1＝4，n2＝﹣4，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（﹣，4），（，﹣4）．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，涉及的知識(shí)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，三角形面積，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．
47．（2021秋?江都區(qū)期末）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，直線l與⊙O相切于點(diǎn)A，在l上取一點(diǎn)D使得DA＝DC，線段DC，AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．
（1）求證：直線DC是⊙O的切線；
（2）若BC＝4，∠CAB＝30°，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．
【分析】（1）連接OC，由DA＝DC得∠DCA＝∠DAC，由OA＝OC得∠OCA＝∠OAC，而直線l與⊙O相切于點(diǎn)A，則∠OCD＝∠OAD＝90°，可證得直線DC是⊙O的切線；
（2）先證明△BOC是等邊三角形，則OC＝BC＝4，再根據(jù)勾股定理求出CE的長(zhǎng)，由S陰影＝S△COE﹣S扇形COB求出圖中陰影部分的面積即可．
【解答】（1）證明：如圖，連接OC，
∵DA＝DC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠DCA+∠OCA＝∠DAC+∠OAC，
∴∠OCD＝∠OAD，
∵直線l與⊙O相切于點(diǎn)A，
∴直線l⊥OA，
∴∠OCD＝∠OAD＝90°，
∵OC是⊙O的半徑，且DC⊥OC，
∴直線DC是⊙O的切線.
（2）解：∵∠CAB＝30°，
∴∠COB＝2∠CAB＝2×30°＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC是等邊三角形，
∴OC＝BC＝4，
∵∠OCE＝90°，∠COE＝60°，
∴∠E＝30°，
∴OE＝2OC＝2×4＝8，
∴CE＝＝＝4，
∴S陰影＝S△COE﹣S扇形COB＝×4×4﹣×π×42＝8﹣．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查圓的切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理、扇形的面積計(jì)算等知識(shí)與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．
48．（2021秋?達(dá)川區(qū)期末）如圖1是一臺(tái)手機(jī)支架，圖2是其側(cè)面示意圖，AB，BC可分別繞點(diǎn)A，B轉(zhuǎn)動(dòng)，測(cè)量知BC＝8cm，AB＝16cm．當(dāng)AB，BC轉(zhuǎn)動(dòng)到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°時(shí)，求點(diǎn)C到AE的距離．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，≈1.73）
【分析】通過(guò)作垂線，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系分別求出BM、BD，進(jìn)而求出CN即可．
【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B、C分別作AE的垂線，垂足分別為M、N，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥BM于D，
在Rt△ABM中，∠A＝60°，AB＝16cm，
∴BM＝AB?sinA
＝16×
＝8（cm），
∵∠ABM＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝50°，
∴∠CBD＝50°﹣30°＝20°，
∴∠BCD＝90°﹣20°＝70°，
在Rt△BCD中，BC＝8cm，∠BCD＝70°，
∴BD＝BC?sin70°
≈8×0.94
＝7.52（cm），
CN＝DM＝BM﹣BD
＝8﹣7.52
≈6.3（cm），
答：點(diǎn)C到AE的距離約為6.3cm．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提．
49．（2021秋?政和縣期末）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+px+q的圖象過(guò)點(diǎn)（﹣2，4），（1，﹣2）．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)﹣1≤x≤3時(shí)，求y的最大值與最小值的差；
（3）若一次函數(shù)y＝（2﹣m）x+2﹣m的圖象與二次函數(shù)y＝x2+px+q的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為a和b，且a＜3＜b，求m的取值范圍．
【分析】（1）由二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)（﹣2，4），（1，﹣2）兩點(diǎn)，利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）求出在﹣1≤x≤3范圍內(nèi)，二次函數(shù)的最大值和最小值，進(jìn)而可求得它們的差；
（3）由題意得x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0，解方程求得x1＝﹣1，x2＝4﹣m，根據(jù)題意得到4﹣m＞3，解得m＜1．
【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝x2+px+q的圖象過(guò)點(diǎn)（﹣2，4），（1，﹣2），
∴，
解得，
∴此二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2﹣x﹣2；
（2）∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，
∴拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線x＝，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣），
∴在﹣1≤x≤3范圍內(nèi)，當(dāng)x＝3，函數(shù)有最大值為y＝（3﹣）2﹣＝4；當(dāng)x＝時(shí)函數(shù)有最小值y＝﹣，
∴y的最大值與最小值的差為：4﹣（﹣）＝；
（3）∵y＝（2﹣m）x+2﹣m與二次函數(shù)y＝x2﹣x﹣2圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a和b，
∴a，b是x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4﹣m，
∵a＜3＜b，
∴a＝﹣1，b＝4﹣m＞3，
解得m＜1，即m的取值范圍是m＜1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
50．（2021秋?東莞市校級(jí)期末）如圖，用一段長(zhǎng)為30米的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形苗圃園，墻長(zhǎng)為18米，設(shè)這個(gè)苗圃園垂直于墻的一邊AB的長(zhǎng)為x米．
（1）若苗圃園的面積為72平方米，求AB的長(zhǎng)．
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，苗圃的面積最大？最大值為多少平方米？
【分析】（1）根據(jù)題意和圖形，可以列出相應(yīng)的一元二次方程，從而可以求得x的值，注意墻長(zhǎng)是18米；
（2）根據(jù)題意和圖形，可以得到S與x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得當(dāng)x取何值時(shí)，這個(gè)苗圃園的面積有最大值，最大值是多少．
【解答】解：（1）由題意可得，
x（30﹣2x）＝72，
即x2﹣15x+36＝0，
解得，x1＝3，x2＝12，
當(dāng)x＝3時(shí)，30﹣2x＝24＞18，故舍去；
當(dāng)x＝12時(shí)，30﹣2x＝6，
由上可得，x的值是12，
故AB的長(zhǎng)為12米；
（2）設(shè)這個(gè)苗圃園的面積為S平方米，
由題意可得，
S＝x（30﹣2x）＝﹣2（x﹣）2+，
∵平行于墻的一邊長(zhǎng)＞0米，且不大于18米，
∴0≤30﹣2x≤18，
解得，6≤x≤15，
∴當(dāng)x＝時(shí)，S取得最大值，此時(shí)S＝，
答：當(dāng)x＝時(shí)，這個(gè)苗圃園的面積有最大值，最大值是平方米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的一元二次方程，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．
51．（2021秋?泗縣期末）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)M在⊙O上，MD恰好過(guò)圓心O，連接MB．
（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的半徑．
（2）若∠M＝∠D，求∠D的度數(shù)．
【分析】（1）設(shè)OB＝OD＝r．利用勾股定理構(gòu)建方程求解；
（2）證明∠DOE＝2∠D，可得結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)OB＝OD＝r．
∵AB⊥CD，AB是直徑，
∴CE＝DE＝8，
在Rt△ODE中，OD2＝DE2+OE2，
∴r2＝82+（r﹣4）2，
∴r＝10，
∴⊙O的半徑為10；
（2）∵OM＝OB，
∴∠M＝∠B，
∵∠DOE＝∠M+∠B＝2∠M，∠D＝∠M，
∴∠DOE＝2∠D，
∴3∠D＝90°，
∴∠D＝30°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，垂徑定理，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
52．（2021秋?西城區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD中，射線AE與邊CD交于點(diǎn)E，將射線AE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，BF＝DE，連接FE．
（1）求證：AF＝AE；
（2）若∠DAE＝30°，DE＝2，直接寫出△AEF的面積．
【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，求得∠ABF＝90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BAF＝∠DAE，得到△AEF是等腰直角三角形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AE＝2DE＝4，于是得到結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，
∴∠ABF＝90°，
在△ABF與△ADE中，
，
∴△ABF≌△ADE（SAS），
∴AF＝AE；
（2）解：由（1）知，△ABF≌△ADE，
∴∠BAF＝∠DAE，
∴∠BAF+∠BAE＝∠DAE+∠BAE＝90°，
∴∠FAE＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
在Rt△ADE中，∠D＝90°，∠DAE＝30°，DE＝2，
∴AE＝2DE＝4，
∴△AEF的面積＝×4×4＝8．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，證得△ABF≌△ADE是解題的關(guān)鍵．
53．（2021秋?呼和浩特期末）如圖①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，四邊形EFGH是正方形，EH與BD重合，將圖①中的正方形EFGH繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．
（1）旋轉(zhuǎn)至如圖②位置，使點(diǎn)G落在BC的延長(zhǎng)線上，DE交BC于點(diǎn)L．已知旋轉(zhuǎn)開(kāi)始時(shí)，即圖①位置∠CDG＝37°，求正方形EFGH從圖①位置旋轉(zhuǎn)至圖②位置時(shí)，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．
（2）旋轉(zhuǎn)至如圖③位置，DE交BC于點(diǎn)L．延長(zhǎng)BC交FG于點(diǎn)M，延長(zhǎng)DC交EF于點(diǎn)N．試判斷DL、EN、GM之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．
【分析】（1）連接BD，則BD＝DG，得∠DGB＝∠DBG＝37°，從而得出∠CDG＝90°﹣∠DGC＝90°﹣37°＝53°，即可求出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；
（2）過(guò)點(diǎn)G作GK∥BM，交DE于K，利用ASA證明△DKG≌△END，得EN＝DK，再證四邊形KLMG是平行四邊形，得GM＝KL，從而證明結(jié)論．
【解答】解：（1）由圖①知，∠ADB＝∠DBC＝37°，
如圖②，連接BD，
則BD＝DG，
∴∠DGB＝∠DBG＝37°，
∴∠CDG＝90°﹣∠DGC＝90°﹣37°＝53°，
∴旋轉(zhuǎn)角為：53°﹣37°＝16°；
（2）DL＝EN+GM，理由如下：
過(guò)點(diǎn)G作GK∥BM，交DE于K，
∵四邊形EFGD是正方形，
∴∠DEF＝∠GDE，DE＝DG，
∴∠EDN＝∠DGK，
∴△DKG≌△END（ASA），
∴EN＝DK，
∵GK∥ML，KL∥GM，
∴四邊形KLMG是平行四邊形，
∴GM＝KL，
∴DL＝EN+GM．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
54．（2021秋?海淀區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，將線段CA繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段CD，連接AD，BD．
（1）依題意補(bǔ)全圖形；
（2）若BC＝1，求線段BD的長(zhǎng)．
【分析】（1）根據(jù)題意，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可補(bǔ)全圖形；
（2）根據(jù)含30度角的直角三角形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD＝AC＝，∠DAB＝90°，再利用勾股定理即可解決問(wèn)題．
【解答】解：（1）如圖，即為補(bǔ)全的圖形；
（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝30°，BC＝1，
∴AB＝2BC＝2，
∴AC＝，
由旋轉(zhuǎn)可知：∠DAC＝60°，AD＝AC＝，
∴∠DAB＝∠DAC+∠∠AC＝90°，
∴BD＝＝＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
55．（2021秋?石鼓區(qū)期末）我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做底角的鄰對(duì)（can），如圖1，在△ABC中，AB＝AC，底角∠B的鄰對(duì)記作canB，這時(shí)canB＝＝．容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的鄰對(duì)值是一一對(duì)應(yīng)的，根據(jù)上述角的鄰對(duì)的定義，解下列問(wèn)題：
（1）can30°＝ ，若canB＝1，則∠B＝ 60 °．
（2）如圖2，在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC＝48，求△ABC的周長(zhǎng)．
【分析】（1）根據(jù)定義，要求can30°的值，想利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)，想到過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，根據(jù)∠B＝30°，可得：BD＝AB，再利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)，求出BC即可解答，
根據(jù)定義，canB＝1，可得底邊與腰相等，所以這個(gè)等腰三角形是等邊三角形，從而得∠B＝60°；
（2）根據(jù)定義，想利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)，想到過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，canB＝，所以設(shè)BC＝8x，AB＝5x，然后利用勾股定理表示出三角形的高，再利用S△ABC＝48，列出關(guān)于x的方程即可解答．
【解答】解：（1）如圖：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2BD，
∵∠B＝30°，
∴BD＝ABcs30°＝AB，
∴BC＝2BD＝AB，
∴can30°＝＝＝，
若canB＝1，
∴canB＝＝1，
∴BC＝AB，
∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠B＝60°，
故答案為：，60；
（2）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，
∵canB＝，
∴＝，
∴設(shè)BC＝8x，AB＝5x，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝BC＝4x，
∴AD＝＝3x，
∵S△ABC＝48，
∴BC?AD＝48，
∴?8x?3x＝48，
∴x2＝4，
∴x＝±2（負(fù)值舍去），
∴x＝2，
∴AB＝AC＝10，BC＝16，
∴△ABC的周長(zhǎng)為36，
答：△ABC的周長(zhǎng)為36．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，熟練掌握等腰三角形的三線合一的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
56．（2021秋?衡陽(yáng)期末）如圖，王華晚上由路燈A下的B處走到C處時(shí)，測(cè)得影子CD的長(zhǎng)為1米，繼續(xù)往前走3米到達(dá)E處時(shí)，測(cè)得影子EF的長(zhǎng)為2米，已知王華的身高是1.5米，那么路燈A的高度AB是多少？
【分析】通過(guò)相似三角形的性質(zhì)可得＝，＝＝，可得＝，即可求解．
【解答】解：∵，
當(dāng)王華在CG處時(shí)，Rt△DCG∽R(shí)t△DBA，即＝，
當(dāng)王華在EH處時(shí)，Rt△FEH∽R(shí)t△FBA，即＝＝，
∴＝，
∵CG＝EH＝1.5米，CD＝1米，CE＝3米，EF＝2米，
設(shè)AB＝x，BC＝y(tǒng)，
∴＝，解得：y＝3，經(jīng)檢驗(yàn)y＝3是原方程的根．
∵＝，即＝，
解得x＝6米．
即路燈A的高度AB＝6米．
【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了中心投影的特點(diǎn)和規(guī)律以及相似三角形性質(zhì)的運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是利用中心投影的特點(diǎn)可知在這兩組相似三角形中有一組公共邊，利用其作為相等關(guān)系求出所需要的線段，再求公共邊的長(zhǎng)度．
57．（2021秋?濰坊期末）某校在一次體育抽測(cè)活動(dòng)中，隨機(jī)抽取了七年級(jí)甲、乙兩班部分女生進(jìn)行測(cè)試，測(cè)試每位女生的一分鐘內(nèi)仰臥起坐次數(shù)，將測(cè)試成績(jī)分成四個(gè)組（一分鐘內(nèi)仰臥起坐成績(jī)記為x次/分鐘）；A組（0≤x＜15）；B組（15≤x＜30）；C組（30≤x＜45）；D組（45≤x＜60），并繪制了如圖所示的不完整的頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)你根據(jù)上述信息解答下列問(wèn)題：
（1）求出m的值，并通過(guò)計(jì)算將頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整；
（2）如果該校七年級(jí)共有女生200人，請(qǐng)估計(jì)仰臥起坐能夠一分鐘完成30次以上（含30次）的女生有多少人？
（3）已知A組中只有一個(gè)甲班學(xué)生，D組中只有一個(gè)乙班學(xué)生，體育老師隨機(jī)從這兩個(gè)組中各選一名學(xué)生進(jìn)行交流座談，請(qǐng)利用畫樹(shù)狀圖或列表的方法，求出所選兩人正好都是甲班學(xué)生的概率．
【分析】（1）由頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖易得m的值和B組的人數(shù)，即可解決問(wèn)題；
（2）利用樣本估計(jì)總體的知識(shí)求解即可求得答案；
（3）畫出樹(shù)狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中所選兩人正好都是甲班學(xué)生的有3種情況，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）抽取的總?cè)藬?shù)為：3÷15%＝20（人），
則m＝20×20%＝4（人），
∴B組的人數(shù)為：20﹣（3+4+7）＝6（人），
補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如下：
（2）200×（35%+20%）＝200×0.55＝110（人），
答：七年級(jí)一分鐘完成30次以上（含30次）仰臥起坐的女生有110人；
（3）∵A組中只有一個(gè)甲班學(xué)生，D組中只有一個(gè)乙班學(xué)生，
∴A組中有2個(gè)乙班學(xué)生，D組中有3個(gè)甲班學(xué)生，
畫樹(shù)狀圖如下：
共有12種等可能的結(jié)果，其中所選兩人正好都是甲班學(xué)生的有3種情況，
∴所選兩人正好都是甲班學(xué)生的概率是．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是用樹(shù)狀圖法求概率以及扇形統(tǒng)計(jì)圖、頻數(shù)分布直方圖等知識(shí)．樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
58．（2021秋?定陶區(qū)期末）某商場(chǎng)以每件220元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品，當(dāng)每件商品售價(jià)為280元時(shí)，每天可售出30件，為了迎接“618購(gòu)物節(jié)”，擴(kuò)大銷售，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)降價(jià)的方式促銷，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件商品降價(jià)1元，那么商場(chǎng)每天就可以多售出3件．
（1）降價(jià)前商場(chǎng)每天銷售該商品的利潤(rùn)是多少元？
（2）要使商場(chǎng)每天銷售這種商品的利潤(rùn)達(dá)到3600元，且更有利于減少庫(kù)存，則每件商品應(yīng)降價(jià)多少元？
【分析】（1）根據(jù)總利潤(rùn)＝單件利潤(rùn)×銷售數(shù)量解答；
（2）根據(jù)總利潤(rùn)＝單件利潤(rùn)×銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較大值即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）（280﹣220）×30＝1800 （元）．
答：降價(jià)前商場(chǎng)每天銷售該商品的利潤(rùn)是1800元．
（2）（4分）設(shè)每件商品應(yīng)降價(jià)x元，
由題意，得 （280﹣x﹣220）（30+3x）＝3600．
解得 x1＝20，x2＝30．
∵要更有利于減少庫(kù)存，
∴x＝30．
答：每件商品應(yīng)降價(jià)30元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
59．（2021秋?金安區(qū)期末）如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)是AM的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作EF⊥AM，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交DC于點(diǎn)N．
（1）求證：△ABM∽△EFA；
（2）若AB＝6，BM＝2，求DE的長(zhǎng)．
【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，得出∠AMB＝∠EAF，再由∠B＝∠AFE，即可得出結(jié)論；
（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的長(zhǎng)．
【解答】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠AMB＝∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE＝90°，
∴∠B＝∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
（2）∵∠B＝90°，AB＝6，BM＝2，
∴AM＝，AD＝6，
∵F是AM的中點(diǎn)，
∴AF＝AM＝，
∵△ABM∽△EFA，
∴，
∴，
∴AE＝10，
∴DE＝AE﹣AD＝4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
60．（2021秋?濰坊期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+2ax+4與x軸交于點(diǎn)A（﹣4，0），B（x2，0），與y軸交于點(diǎn)C．經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線y＝kx+b與y軸交于點(diǎn)D（0，2），與拋物線交于點(diǎn)E．
（1）求拋物線的表達(dá)式及B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△AEP的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)M是直線BE上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)M作MN∥y軸交拋物線于點(diǎn)N，判斷是否存在點(diǎn)M，使以點(diǎn)M，N，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）先利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，再求出點(diǎn)B、C坐標(biāo)；
（2）利用待定系數(shù)法可求出一次函數(shù)解析式，由A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，則BE與拋物線對(duì)稱軸交點(diǎn)，即為△AEP的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）由MN∥CD可知MN為平行四邊形的邊，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，﹣m+2），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，），利用MN＝CD，可得到關(guān)于m的方程，從而求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）∵點(diǎn)A（﹣4，0）在拋物線y＝ax2+2ax+4上，
∴0＝16a﹣8a+4，
∴a＝，
∴y＝．
令y＝0，得＝0
解得：x1＝﹣4，x2＝2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），
令x＝0，則y＝4，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4）；
（2）如圖，
由y＝，
可得對(duì)稱軸為：，
∵△AEP的邊AE是定長(zhǎng)，
∴當(dāng)PE+PA的值最小時(shí)，△AEP的周長(zhǎng)最?。?br>點(diǎn)A關(guān)于x＝﹣1的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，
∴當(dāng)點(diǎn)P是BE與直線x＝﹣1的交點(diǎn)時(shí)，PE+PA的值最小．
∵直線BE經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（2，0），D（0，2），
∴，解得，
∴直線BE：y＝﹣x+2，
令x＝﹣1，得y＝3，
∴當(dāng)△AEP的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，3）；
（3）存在點(diǎn)M，使以點(diǎn)M，N，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
∵M(jìn)N∥CD，
∴要使以點(diǎn)M，N，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則MN＝CD即可，
∵CD＝4﹣2＝2，
∴MN＝CD＝2，
∵點(diǎn)M在直線y＝﹣x+2上，
∴可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，﹣m+2），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，），
∴，
即，
當(dāng)時(shí)，
解得，
此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（，）或（，），
當(dāng)時(shí)，
解得m＝0（舍去），
綜上所述，存在點(diǎn)M使以點(diǎn)M，N，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（，）或（，）．
【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法、軸對(duì)稱的應(yīng)用、平行四邊形的性質(zhì)、方程思想、分類討論等知識(shí)點(diǎn)．（1）中注意函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸交點(diǎn)求法，（2）確定點(diǎn)P位置是解題關(guān)鍵，（3）利用平行四邊形的性質(zhì)得到關(guān)于M點(diǎn)坐標(biāo)方程是關(guān)鍵．
x
…
﹣2
0
1
3
…
y
…
6
﹣4
﹣6
﹣4
…

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