類型一：“手拉手”模型
模型特征：兩個(gè)等邊三角形或等腰直角三角形或正方形共頂點(diǎn)。
模型說明：如圖1，▲ABE，▲ACF都是等邊三角形，可證▲AEC≌▲ABF。
如圖2，▲ABD，▲ACE都是等腰直角三角形，可證▲ADC≌▲ABE
如圖2，四邊形ABEF，四邊形ACHD都是正方形，可證▲ABD≌▲AFC
類型二： “半角”模型
模型特征：大角含半角+有相等的邊，通過旋轉(zhuǎn)“使相等的邊重合，拼 出特殊角”
模型說明：
（1）如圖，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，將▲ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到▲ABG可證▲AEF≌AEG，所以可到DF+BE=EF
（2）如圖，在等腰直角▲ABC中，∠MAN=45°，將▲ACN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到▲ABQ，可證▲AMN≌▲AMQ，所以可得CN2+BM2=MN2
（3）如圖，等腰▲ABC中，AB=BC，∠DBE=將▲CBD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠CBA的度數(shù)得到▲ABD’可證▲DBE≌▲D’BE。

類型三： 構(gòu)造旋轉(zhuǎn)模型解題
方法指導(dǎo)：若一個(gè)圖形中含有相等的線段和特殊的角度，通常是以等線段的公共端點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，使得相等的邊重合，得出特殊的圖形.
常見圖形旋轉(zhuǎn)：
（1）“等邊三角形”的旋轉(zhuǎn)
方法歸納：將等邊三角形內(nèi)的一個(gè)小三角形，旋轉(zhuǎn)60度，從而使小三角形的一邊與原等邊三角形的邊重合，連接小三角形的鈍角頂點(diǎn)，得三角形．通過旋轉(zhuǎn)將不相關(guān)的線段轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中，將分散的已知條件集中起來，使問題得以解決．
【考點(diǎn)1 “手拉手”模型】
【典例1】（2021春?西安期末）如圖，在△ABC中，BC＝5，以AC為邊向外作等邊△ACD，以AB為邊向外作等邊△ABE，連接CE、BD．
（1）若AC＝4，∠ACB＝30°，求CE的長；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝3，求BD的長．
【變式1-1】（2021秋?荔灣區(qū)校級期中）以△ABC的AB，AC為邊分別作正方形ADEB，正方形ACGF，連接DC，BF．
（1）CD與BF有什么數(shù)量與位置關(guān)系？說明理由．
（2）利用旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)，在此題中，△ADC可看成由哪個(gè)三角形繞哪點(diǎn)旋轉(zhuǎn)多少角度得到的．
【變式1-2】（2021九上·吉林期末）如圖①，在中，，，點(diǎn)D，E分別在邊，上，且，此時(shí)，成立．
（1）將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，在圖②中補(bǔ)充圖形，并直接寫出的長度；
（2）當(dāng)繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否仍然成立？若成立，請你利用圖③證明，若不成立請說明理由；
（3）將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當(dāng)A，D，E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，請直接寫出的長度．
【考點(diǎn)2 “半角”模型】
【典例2】（2017秋?錦江區(qū)期末）在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E，F(xiàn)是邊BC所在直線上與點(diǎn)B，C不重合的兩點(diǎn)．
（1）如圖1，當(dāng)∠BAC＝90°，∠EAF＝45°時(shí)，直接寫出線段BE，CF，EF的數(shù)量關(guān)系；（不必證明）
（2）如圖2，當(dāng)∠BAC＝60°，∠EAF＝30°時(shí)，已知BE＝3，CF＝5，求線段EF的長度；
（3）如圖3，當(dāng)∠BAC＝90°，∠EAF＝135°時(shí)，請?zhí)骄烤€段CE，BF，EF的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【變式2-1】（2021春?金牛區(qū)校級期中）類比探究：
（1）如圖1，等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，若AP＝8，BP＝15，CP＝17，求∠APB的大?。唬ㄌ崾荆簩ⅰ鰽BP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP′處）
（2）如圖2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F為BC上的點(diǎn)，且∠EAF＝45°．求證：EF2＝BE2+FC2；
（3）如圖3，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，點(diǎn)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AO、BO、CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，若AC＝1，求OA+OB+OC的值．
【變式2-2】（2022春?西山區(qū)校級月考）如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)E、F分別是AB、BC邊上，且∠EDF＝45°，將△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM．
（1）求證：△EDF≌△MDF；
（2）若正方形ABCD的邊長為5，AE＝2時(shí)，求EF的長？
【變式2-3】（2022春?路北區(qū)期末）如圖，在邊長為6的正方形ABCD內(nèi)作∠EAF＝45°，AE交BC于點(diǎn)E，AF交CD于點(diǎn)F，連接EF，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG．
（1）求證：GE＝FE；
（2）若DF＝3，求BE的長為 ．
【變式2-4】（2021秋?山西期末）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：
任務(wù)：
如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝120°，以A為頂點(diǎn)的∠EAF＝60°，AE、AF與BC、CD邊分別交于E、F兩點(diǎn)．請參照閱讀材料中的解題方法，你認(rèn)為結(jié)論EF＝BE+DF是否依然成立，若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．
【考點(diǎn)3 構(gòu)造旋轉(zhuǎn)模型解題 】
【典例3】（2017九上·江津期中）請閱讀下列材料：
問題：如圖1，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=2，PB= ，PC=1、求∠BPC度數(shù)的大小和等邊三角形ABC的邊長．
李明同學(xué)的思路是：將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形（如圖2），連接PP′，可得△P′PB是等邊三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證），所以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°，進(jìn)而求出等邊△ABC的邊長為 ，問題得到解決．
請你參考李明同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：如圖3，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA= ，BP= ，PC=1．求∠BPC度數(shù)的大小和正方形ABCD的邊長．
【變式3-1】（2020九上·南昌月考）如圖，在等邊三角形 內(nèi)有一點(diǎn)P，且 ， ， ，求 的度數(shù)和等邊三角形 的邊長．
【變式3-2】（2021九上·德州期中）當(dāng)圖形具有鄰邊相等的特征時(shí)，我們可以把圖形的一部分繞著公共端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，這樣將分散的條件集中起來，從而達(dá)到解決問題的目的．
（1）如圖1，等腰直角三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，連接AP，BP，CP，∠APB＝135°，為探究AP，BP，CP三條線段間的數(shù)量關(guān)系，我們可以將△ABP，繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACP'，連接PP'，則PP'＝ AP，△CPP'是 三角形，AP，BP，CP三條線段的數(shù)量關(guān)系是 ．
（2）如圖2，等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，連接AP、BP、CP，∠APB＝150°，請借助第一問的方法探究AP、BP、CP三條線段間的數(shù)量關(guān)系．
（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)P在四邊形的內(nèi)部，且PD＝PC，∠CPD＝90°，∠APB＝135°，AD＝4，BC＝5，請直接寫出AB的長．
1.（2021九上·鲅魚圈期中） 與 都是等邊三角形，連接AD、BE．
（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)B、C、D在同一條直線上時(shí)，則 度；
（2）將圖①中的 繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖②的位置，求證： ．
2．（2021九上·宜春期末）如圖
（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，和均為等邊三角形，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．則：
①的度數(shù)為 ；
②線段BE，CE與AE之間的數(shù)量關(guān)系是 ．
（2）拓展研究：如圖2，和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)A，D，E在同一直線上．若，，求AB的長度．
（3）探究發(fā)現(xiàn)：圖1中的和，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)A，D，E不在同一直線上時(shí)，設(shè)直線AD與BE相交于點(diǎn)O，試在備用圖中探索的度數(shù)，直接寫出結(jié)果，不必說明理由．
3.（2021秋?夏河縣期中）已知△ABC為等邊三角形．
（1）如圖，P為△ABC外一點(diǎn)，∠BPC＝120°，連接PA，PB，PC，求證：PB+PC＝PA；
（2）如圖，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若PA＝12，PB＝5，PC＝13，求∠APB的度數(shù)．
4.（2021九上·伊通期末）如圖，已知正方形ABCD的邊長為6，E，F(xiàn)分別是AB、BC邊上的點(diǎn)，且∠EDF＝45°，將△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM．
（1）求證：EF＝MF；
（2）若AE＝2，求FC的長．
5．（2019九上·西城期中）在△ABC中，∠ACB為銳角．點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連結(jié)EC．如果AB=AC，∠BAC=90°．
①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖1，請你判斷線段CE、BD之間的位置和數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)論）；
②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，請你在圖2畫出圖形，判斷①中的結(jié)論是否仍然成立，并證明你的判斷．
6．（2022春?臨渭區(qū)期末）數(shù)學(xué)探究課上老師出了這樣一道題：“如圖，等邊△ABC中有一點(diǎn)P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，試求∠APB的度數(shù)．”小明和小軍探討時(shí)發(fā)現(xiàn)了一種求∠APB度數(shù)的方法，下面是這種方法的一部分思路，請按照下列思路要求畫圖或判斷．
（1）在圖中畫出△APC繞點(diǎn)A順時(shí)旋轉(zhuǎn)60°后的△AP1B，并判斷△AP1P的形狀是 ；
（2）試判斷△BP1P的形狀，并說明理由；
（3）由（1）、（2）兩問可知：∠APB ．
7．（2022春?丹江口市期末）（1）如圖1，已知，正方形ABCD和正方形CEFG，點(diǎn)G在BC延長線上，點(diǎn)E在CD邊上，則BE與DG的數(shù)量關(guān)系為 ，BE與DG的位置關(guān)系為 ；
（2）將（1）中的正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至圖2時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請給以證明；若不成立，請說明理由；
（3）若AB＝5，CE＝，在正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周過程中，當(dāng)A，F(xiàn)，G三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，請畫出圖形，并直接寫出AG長．
8．（2021秋?十堰期末）正方形ABCD中，點(diǎn)F為正方形ABCD內(nèi)的點(diǎn)，△BFC繞著點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后與△BEA重合．
（1）如圖①，若正方形ABCD的邊長為2，BE＝1，F(xiàn)C＝，求證：AE∥BF．
（2）如圖②，若點(diǎn)F為正方形ABCD對角線AC上的點(diǎn)（點(diǎn)F不與點(diǎn)A、C重合），試探究AE、AF、BF之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明．
9．（2021秋?寧津縣期末）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，以AE，AF為邊作正方形AEGF．
（1）在圖1中，線段DF與CG之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？說明理由；
（2）在圖2中，將正方形AEGF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度（旋轉(zhuǎn)角小于90°）后，得到正方形AE'G'F'，連接DF'，CG'，則線段DF′與CG′之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立，請說明理由．
10.（2020秋?饒平縣校級期末）如圖，O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA＝3，OB＝4，OC＝5，將線段BO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′．
（1）求點(diǎn)O與O′的距離；
（2）求∠AOB的度數(shù)．
11．（大興安嶺）已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點(diǎn)M、N．當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時(shí)（如圖1），易證BM+DN＝MN．
（1）當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)（如圖2），線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明；
（2）當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段BM、DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想．
從正方形的一個(gè)頂點(diǎn)引出夾角為45°的兩條射線，并連接它們與該頂點(diǎn)的兩對邊的交點(diǎn)構(gòu)成的基本平面幾何模型稱為半角模型．半角模型可證出多個(gè)幾何結(jié)論，例如：
如圖1，在正方形ABCD中，以A為頂點(diǎn)的∠EAF＝45°，AE、AF與BC、CD邊分別交于E、F兩點(diǎn)．易證得EF＝BE+FD．
大致證明思路：如圖2，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABH，由∠HBE＝180°可得H、B、E三點(diǎn)共線，∠HAE＝∠EAF＝45°，進(jìn)而可證明△AEH≌△AEF，故EF＝BE+DF．

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