根與系數(shù)的關(guān)系：即的兩根為，則，。利用韋達(dá)定理可以求一些代數(shù)式的值（式子變形），如
解題錦囊：
當(dāng)一元二次方程的題目中給出一個(gè)根讓你求另外一個(gè)根或未知系數(shù)時(shí)，可以用韋達(dá)定理。
【典例1】設(shè)a，b是方程x2﹣x﹣2021＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a+b﹣ab的值為（ ）
A．2022B．﹣2022C．2020D．﹣2020
【答案】A
【解答】解：根據(jù)題意，得a+b＝1，ab＝﹣2021，
∴a+b﹣ab＝1+2021＝2022，
故選：A．
【變式1-1】已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a+b+2022的值是（ ）
A．2024B．2023C．2022D．2021
【答案】D
【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴a+b＝﹣1，
∴a+b+2022
＝﹣1+2022
＝2021．
故選：D．
【變式1-2】已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則ab﹣2020a﹣2020b的值是（ ）
A．﹣2023B．﹣2017C．2017D．2023
【答案】C
【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣3＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴a+b＝﹣1，ab＝﹣3．
∴ab﹣2020a﹣2020b＝ab﹣2020（a+b）＝﹣3﹣2020×（﹣1）＝2017，
故選：C．
【變式1-3】已知x1、x2是一元二次方程x2﹣6x+3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為（ ）
A．4B．﹣4C．D．2
【答案】A
【解答】解：根據(jù)題意得x1+x2＝6，x1x2＝3，
則＝＝＝4，
故選：A．
【典例2】已知x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則x22+2x2﹣x1的值為（ ）
A．4B．1C．﹣2D．﹣1
【答案】A
【解答】解：∵x2是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的根，
∴x22+3x2﹣1＝0，
∴x22＝﹣3x2+1，
∴原式＝﹣3x2+1+2x2﹣x1
＝﹣（x1+x2）+1，
∵x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x1+x2＝﹣3，
∴原式＝﹣（﹣3）+1＝4．
故選：A．
【變式2-1】設(shè)a，b是方程x2﹣x﹣2021＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a2+b的值為（ ）
A．2022B．2021C．2020D．2019
【答案】A
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x﹣2021＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴a+b＝1，a2﹣a﹣2021＝0，
即a2＝a+2021，
∴a2+b＝a+b+2021＝1+2021＝2022．
故選：A．
【變式2-2】若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)根，則m2+4m+2n的值是（ ）
A．﹣4B．﹣3C．3D．4
【答案】B
【解答】解：∵m是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的實(shí)根，
∴m2+2m﹣1＝0，
∴m2＝﹣2m+1，
∴m2+4m+2n＝﹣2m+1+4m+2n＝2（m+n）+1，
∵m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)根，
∴m+n＝﹣2，
∴m2+4m+2n＝2×（﹣2）+1＝﹣3．
故選：B．
【變式2-3】若m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m3﹣4n2+17的值為（ ）
A．﹣2B．6C．﹣4D．4
【答案】A
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴m2+m﹣3＝0，n2+n﹣3＝0，m+n＝﹣1，
∴m2＝3﹣m，n2＝3﹣n，
∴m3＝3m﹣m2＝3m﹣3+m＝4m﹣3，4n2＝12﹣4n，
∴m3﹣4n2+17
＝4m﹣3﹣12+4n+17
＝4（m+n）+2
＝4×（﹣1）+2
＝﹣4+2
＝﹣2，
故選：A．
【典例3】關(guān)于x的一元二次方程x2+（m+4）x+2m＝0．
（1）求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若x1、x2是方程的兩個(gè)實(shí)根，且x1+x2+x1x2＝m2﹣4m，求m的值．
【解答】（1）證明：∵Δ＝（m+4）2﹣4×2m
＝m2+8m+16﹣8m
＝m2+16＞0，
∴方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）解：根據(jù)題意得x1+x2＝﹣（m+4），x1x2＝2m，
∵x1+x2+x1x2＝m2﹣4m，
∴﹣（m+4）+2m＝m2﹣4m，
解得m＝1或4，
即m的值為1或4．
【變式3-1】已知關(guān)于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有實(shí)數(shù)根．
（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
（2）設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值．
【解答】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝32﹣4×1×（k﹣2）≥0，
解得k≤，
即k的取值范圍是k≤；
（2）∵方程x2+3x+k﹣2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，
∴x1+x1＝﹣3，x1x2＝k﹣2，
∵（x1+1）（x2+1）＝﹣1，
∴x1x2+（x1+x2）+1＝﹣1，
∴k﹣2+（﹣3）+1＝﹣1，
解得k＝3，
即k的值是3．
【變式3-2】已知關(guān)于x的方程x2﹣2mx+m2﹣9＝0．
（1）求證：此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）設(shè)此方程的兩個(gè)根分別為x1，x2，若x1+x2＝6，求m的值．
【解答】（1）證明：∵Δ＝（﹣2m）2﹣4×（m2﹣9）＝4m2﹣4m2+36＝36＞0，
∴此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）解：x2﹣2mx+m2﹣9＝0，即（x﹣m+3）（x﹣m﹣3）＝0，
解得：x1＝m+3，x2＝m﹣3．
∵x1+x2＝6，
∴2m＝6，
解得：m＝3．
【典例4】已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）若兩實(shí)數(shù)根分別為x1和x2，且，求m的值．
【解答】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＞0，
即m＞﹣1；
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可知：x1+x2＝2，x1?x2＝﹣m，
∵，
∴x12+x22+（x1x2）2＝（x1+x2）2﹣2x1x2+（x1x2）2＝7，
∴22﹣2×（﹣m）+（﹣m）2＝7，
即m2+2m﹣3＝0，
解得m＝﹣3或m＝1，
而m＞﹣1，
∴m的值為1．
【變式4-1】（2021秋?蓬溪縣期末）已知關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2．
（1）求m的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，求m的值．
【答案】（1）m＞﹣1且m≠0； （2）4
【解答】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴Δ＞0且m≠0，
即（﹣2）2﹣4×m×（﹣1）＞0且m≠0，
解得：m＞﹣1且m≠0；
（2）∵關(guān)于的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，
∴x1+x2＝，x1x2＝﹣，
∵x12+x22＝x1x2+1，（x1+x2）2﹣2x1x2＝x1x2+1，
即（x1+x2）2＝3x1x2+1，
∴（）2＝﹣+1，即m2﹣3m﹣4＝0，
解得：m1＝4，m2＝﹣1，
經(jīng)檢驗(yàn)，m1，m2都是分式方程的解，
∵m＞﹣1且m≠0，
∴m的值為4．
【變式4-2】已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0．
（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）如果方程的兩實(shí)根為x1、x2，且x12+x22﹣x1x2＝13，求m的值．
【解答】（1）證明：關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0，
∵（m﹣1）2≥0，
∴Δ＝（m﹣3）2﹣4×（﹣m）
＝m2﹣6m+9+4m
＝m2﹣2m+1+8
＝（m﹣1）2+8≥8＞0，
則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可得：x1+x2＝m﹣3，x1x2＝﹣m，
∵x12+x22﹣x1x2＝13，
∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝13，即（m﹣3）2+3m＝13，
整理得：m2﹣3m﹣4＝0，即（m﹣4）（m+1）＝0，
所以m﹣4＝0或m+1＝0，
解得：m＝4或m＝﹣1．
1．若，是一元二次方程的兩個(gè)根，則，的值分別是（ ）
A．1和6B．5和-6C．-5和6D．5和6
【答案】D
【解答】解：∵，是一元二次方程的兩個(gè)根，
∴x1+x2=5，x1x2=6，
故答案為：D．
2.（2021?貴港）已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則α+β﹣αβ的值是（ ）
A．3B．1C．﹣1D．﹣3
【答案】B
【解答】解：∵α，β是方程x2+x﹣2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴α+β＝﹣1，αβ＝﹣2，
∴α+β﹣αβ＝﹣1+2＝1，
故選：B．
3．已知是方程的根，則的值是（ ）
A．1B．-1C．±1D．0
【答案】B
【解答】解：∵x1與x2是方程的根，
∴ ，
∴.
故答案為：B.
4．已知m，n是方程 的兩根，則代數(shù)式 的值等于（ ）
A．0B．C．9D．11
【答案】C
【解答】解：∵m，n是方程 的兩根，
∴ ， ，
∴ ，
∴ .
故答案為：C.
5．若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2022＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式x12﹣2x1+2x2的值等于（ ）
A．2022B．2026C．2030D．2034
【答案】C
【解答】解：∵x1是方程x2﹣4x﹣2022＝0的實(shí)數(shù)根，
∴x12﹣4x1﹣2022＝0，
∴x12＝4x1+2022，
∴x12﹣2x1+2x2＝4x1+2022﹣2x1+2x2＝2022+2（x1+x2），
∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2022＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x1+x2＝4，
∴x12﹣2x1+2x2＝2022+2×4＝2030．
故選：C．
6．已知 是關(guān)于 的方程 的兩根，則 的值是（ ）
A．2018B．2019C．2020D．2021
【答案】D
【解答】解：∵ 是關(guān)于 的方程 的兩根，
∴ ，
∴ ，
∴
=
=
=2009+12
=2021
故答案為：D.
7．已知方程 的兩根分別為m、n，則 的值為（ ）
A．1B．C．2021D．
【答案】B
【解答】解：∵方程x2﹣2021x+1＝0的兩根分別為m，n，
∴mn＝1，m2﹣2021m+1＝0，
∴m2＝2021m-1，
∴m2﹣ ＝2021m-1-2021m=-1.
故答案為：B.
8．設(shè)x1，x2是方程x2－3x－1＝0的兩個(gè)根，則x1＋x2＝ ，x1x2＝ .
【答案】3；－1
【解答】解：∵x1，x2是方程x2－3x－1＝0的兩個(gè)根，
∴ .
故答案為：3，-1.
9．若關(guān)于x的一元二次方程 有一個(gè)根為1，則方程另一個(gè)根為 .
【答案】2
【解答】解：設(shè)方程的另一個(gè)根為x2，
根據(jù)題意得，x2·1=2，
解得：x2=2，
∴方程的另一個(gè)根為2.
故答案為：2
10．若一元二次方程的兩根分別為m與n，則 ．
【答案】
【解答】解：∵一元二次方程的兩根分別為m與n，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，mn=2，
所以原式=．
故答案為：．
11．已知關(guān)于x的一元二次方程x2?(2m?2)x+(m2?2m)=0．
（1）請(qǐng)說(shuō)明該方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)情況；
（2）如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，且(x1+1)?(x2+1)=8，求m的值．
【解答】（1）解：∵a=1，b=?(2m?2)，c= m2?2m，
∴ =2-4(m2-2m)=4m2-8m+4-4m2+8m=4＞0，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）解：∵(x1+1)?(x2+1)=8，
整理得x1x2+(x1+x2)+1=8，
∵x1+x2=2m-2，x1x2=m2-2m，
∴m2-2m+2m-2+1=8，
∴m2=9，
∴m=3或m=-3．
12．已知方程mx2﹣4x+1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1和x2．
（1）求m的取值范圍；
（2）若x1+x2+x1x2＝m，求m的值．
【解答】解：（1）∵方程mx2﹣4x+1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴，
解得：m≤4且m≠0，
∴m的取值范圍為m≤4且m≠0．
（2）∵x1，x2是方程mx2﹣4x+1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x1+x2＝，x1x2＝．
又∵x1+x2+x1x2＝m，
∴+＝m，
解得：m1＝2，m2＝﹣2，
經(jīng)檢驗(yàn)，m1＝2，m2＝﹣2是原方程的解，m1＝2不符合題意，舍去，
∴m的值為﹣2．
13．已知關(guān)于x的方程kx2﹣3x+1＝0有實(shí)數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）若該方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，分別為x1和x2，當(dāng)x1+x1x2＝4﹣x2時(shí)，求k的值．
【解答】解：（1）當(dāng)k＝0時(shí)，原方程為﹣3x+1＝0，
解得：x＝，
∴k＝0符合題意；
當(dāng)k≠0時(shí)，原方程為一元二次方程，
∵該一元二次方程有實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0，解得：k≤，
綜上所述，k的取值范圍為k≤；
（2）∵x1和x2是方程kx2﹣3x+1＝0的兩個(gè)根，
∴x1+x2＝，x1x2＝，
∵x1+x1x2＝4﹣x2，即x1+x2+x1x2＝4，
∴+＝4，
解得：k＝1，
經(jīng)檢驗(yàn)，k＝1是分式方程的解，且符合題意．
∴k的值為1．
14．已知關(guān)于 的方程 ，
（1）求證：方程恒有二不等實(shí)根；
（2）若 是該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且 ，求 的值.
【解答】（1）證明：
方程恒有二不等實(shí)根.
（2）解：由根與系數(shù)的關(guān)系
.
15．關(guān)于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2．
（1）求k的取值范圍；
（2）請(qǐng)問(wèn)是否存在實(shí)數(shù) k，使得 x1+x2＝1﹣x1x2 成立？若存在，求出 k 的值；若不存在， 說(shuō)明理由．
【解答】（1）解：∵關(guān)于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根
根據(jù)題意得，
解得
（2）解：存在．
根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系，，
∵x1+x2＝1﹣x1x2，
∴，
解得，
∵．
∴存在實(shí)數(shù)k=-3，使得x1+x2＝1﹣x1x2．
16．已知關(guān)于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0
（1）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍；
（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1、x2，且滿足x12+x22＝11，求k的值．
【解答】解：（1）∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝（2k+1）2﹣4×1×（k2﹣2）＝4k+9＞0，
解得：k＞﹣，
即k的取值范圍是k＞﹣；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：x1+x2＝﹣（2k+1），x1?x2＝k2﹣2，
∵方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1、x2，且滿足x12+x22＝11，
∴（x1+x2）2﹣2x1?x2＝11，
[﹣（2k+1）]2﹣2（k2﹣2）＝11，
解得：k＝﹣3或1，
∵關(guān)于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
必須k＞﹣，
∴k＝﹣3舍去，
所以k＝1．
17．已知關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2．
（1）求m的取值范圍；
（2）若＝4m，求m的值
【解答】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴，
解得：m＞﹣1且m≠0．
（2）∵x1，x2是一元二次方程mx2﹣（m+2）x+＝0的實(shí)數(shù)根，
∴x1+x2＝，x1x2＝．
∵＝＝4m，即＝4m，
∴m2﹣m﹣2＝0，
解得：m1＝﹣1，m2＝2．
又∵m＞﹣1且m≠0，
∴m＝2．
18．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m＝0（m為常數(shù)）．
（1）求證：不論m為何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若x1，x2滿足，求實(shí)數(shù)m的值．
【解答】解（1）證明：△＝（m+2）2﹣4×1?m＝m2+4，
∵無(wú)論m為何值時(shí)m2≥0，
∴m2+4≥4＞0，
即Δ＞0，
所以無(wú)論m為何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）∵關(guān)于x的方程x2﹣（m+2）x+m＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2
∴x1+x2＝m+2，x1x2＝m．
∵，
∴（m+2）2﹣2m＝16+m，
即m2+m﹣12＝0，
解得：m＝﹣4或m＝3
∴實(shí)數(shù)m的值為﹣4或3．

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北師大版數(shù)學(xué)九上期末重難點(diǎn)培優(yōu)訓(xùn)練專題06 因式分解法解一元二次方程及根與系數(shù)的關(guān)系（2份，原卷版+解析版）：

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